精品解析：广东省湛江市赤坎区培才学校2024-2025学年上学期九年级数学月考试题

湛江市寸金培才学校2024-2025学年度 初三级第二次学情调研数学科试卷 时间：120分钟 总分：120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. 4（x＋2）＝25 B. 2x2＋3x－1＝0 C. x＋y＝0 D. ＝4 2. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 3. 已知a，b，c，d是比例线段，若，，，则d的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 函数最小值是3 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 抛物线的顶点坐标是 D. 对称轴为直线 5. 如图，是的直径，是的弦，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，连接，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 4 7. 如图，教室内地面有个倾斜的簸箕，箕面与水平地面的夹角，小明将它扶起（将簸箕绕点A顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点A旋转的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（） A. B. C. D. 9. 如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒.已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图象如图所示． 　　　　　　　　　信息窗 1．药物8分钟燃毕，此时室内空气中的含药量为6． 2．空气中的含药量不高于1.6 时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于3时，对杀灭病毒有效． 则下列说法不正确的是（　　） A. 药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 B. 药物燃烧4时，才开始对杀灭病毒起效 C. 从消毒开始，至少需要30学生才能回到教室 D. 本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为16 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在一个不透明的口袋中，有2个红球和3个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是__________． 12. 如图，在△ABC中,DE//BC，=，AE=2,则EC=_____. 13. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m取值范围是__________． 14. 如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器－－蒸馏瓶，其底部是圆球形．已知截面圆中弦的长为，瓶内液体的最大深度，则球形的半径为______． 15. 如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若轴，点的横坐标为2，则的值为______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 17. 如图，放置于平面直角坐标系中，，，，按下面要求画图： （1）画出绕原点O逆时针旋转的，并写出点的坐标． （2）求点A在旋转过程中所经过的路径长度． 18. 某校科学社团开展“我爱科学，强基有我”的分享活动，先将“燃料燃烧”“电池充电”“镜花水月”“冰雪消融”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片(其中主要为化学变化， 主要为物理现象)．活动时学生根据所抽取的卡片分享相关科学知识． 抽取规则如下：张卡片背面朝上洗匀，小云先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小云分享；若他们取出的两张卡片上都是物理现象，则由小南分享；其他情况重抽． （1）小云抽到的卡片正面图案是物理现象的概率是_______． （2）这个规则对小云和小南公平吗?请用列表或画树状图法说明理由． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上，与相交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C． （1）求一次函数的解析式； （2）根据图象，请直接写出当时，自变量x的取值范围； （3）连接，若点P是x轴上一点，且的面积是面积的2倍，求点P的坐标． 21. 【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间t 0 1 2 3 刹车后行驶的距离s 0 27 48 63 发现： ①开始刹车后行驶的距离s（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离s随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求s关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若汽车刹车4秒后，行驶了多长距离； （3）若汽车司机发现正前方处有一辆抛抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 五、解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法．已知四边形是的内接四边形，对角线与相交于点E． 【特殊情形】 （1）如图①，，过圆心O作，垂足为F．当是的直径时，求证：． 【一般情形】 （2）如图②，，过圆心O作，垂足为F．当不是的直径时，求证：． 【经验迁移】 （3）如图③，，，F为劣弧上的一点，，若M为的中点，连接，则长的最小值为__________． 23. 如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． （3）点为抛物线的顶点，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内一个动点，是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市寸金培才学校2024-2025学年度 初三级第二次学情调研数学科试卷 时间：120分钟 总分：120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. 4（x＋2）＝25 B. 2x2＋3x－1＝0 C. x＋y＝0 D. ＝4 【答案】B 【解析】 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答． 【详解】解：A. 4（x＋2）＝25不符合定义，故该项不符合题意； B. 2x2＋3x－1＝0符合定义，故该项不符合题意； C. x＋y＝0不符合定义，故该项不符合题意； D. ＝4不符合定义，故该项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键． 2. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将各个选项的点代入计算即可得解，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：A、当时，，故反比例函数的图象不经过，不符合题意； B、当时，，故反比例函数的图象不经过，不符合题意； C、当时，，故反比例函数的图象不经过，不符合题意； D、当时，，故反比例函数的图象经过，符合题意； 故选：D． 3. 已知a，b，c，d是比例线段，若，，，则d的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了成比例线段的定义．由、、、四条线段是成比例线段，根据成比例线段的定义，可得，又由，，，即可求得的值． 【详解】解：∵、、、是成比例线段，，， ∴， 即， ∴． 故选：D． 4. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 函数最小值是3 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 抛物线的顶点坐标是 D. 对称轴为直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，由抛物线可得出抛物线开口向下，对称轴直线为，顶点坐标为：，进而可得出函数的最大值为3，且当时，y随x的增大而减小，即可判断． 【详解】解：∵抛物线，， ∴抛物线开口向下，对称轴直线为，顶点坐标为：， ∴函数的最大值为3，且当时，y随x的增大而减小， 故选：D． 5. 如图，是的直径，是的弦，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、直径的性质等知识，连接，利用直径的性质，可知，根据角的和差求出，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 如图，中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，连接，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．由勾股定理可求，由旋转的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 7. 如图，教室内地面有个倾斜的簸箕，箕面与水平地面的夹角，小明将它扶起（将簸箕绕点A顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点A旋转的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、平角的定义，根据旋转的性质和平角的定义计算即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：箕面与水平地面的夹角， ，即箕面绕点旋转的度数为， 故选：A． 8. 在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设一共邀请了支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间都进行一场比赛），则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【详解】解：由题意得，． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数二队数(队数，进而得出方程是解题关键． 9. 如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、三角形内切圆、面积法求内切圆半径、扇形面积等知识点，求出内切圆半径是解题的关键． 连结、、，，设半径为，利用面积公式求出内切圆半径，，再说明四边形是正方形，再根据求解即可． 【详解】解：如图：连接、、，，设半径为， ，，， ， 的内切圆与，，分别相切于点，，， ，，，且， ， 四边形是正方形， ， ， ，． 故选：C． 10. 为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒.已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图象如图所示． 　　　　　　　　　信息窗 1．药物8分钟燃毕，此时室内空气中的含药量为6． 2．空气中的含药量不高于1.6 时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于3时，对杀灭病毒有效． 则下列说法不正确的是（　　） A. 药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 B. 药物燃烧4时，才开始对杀灭病毒起效 C. 从消毒开始，至少需要30学生才能回到教室 D. 本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为16 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出，，然后根据正比例函数和反比例函数的概念分别判断各个选项即可． 【详解】解：由题意知，，， 消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量与时间成正比例函数关系， ， 代入点坐标， 得，解得， 药物燃烧时，关于的函数关系式为，A选项说法正确； 当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效， 药物燃烧时，当时，， 药物燃烧时，才开始对杀灭病毒起效，B选项说法正确； 药物燃烧完成后，与成反比例函数关系， 设反比例函数式为， 代入点坐标， 得， 反比例函数式为， 空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室， 当时，， 即从消毒开始，至少需要学生才能回到教室，C选项说法正确； 药物燃烧完成后，当时，， 本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为（分钟），D选项说法错误； 故选：D． 【点睛】本题主要考查正比例函数和反比例函数的知识，熟练掌握反比例函数和一次函数的知识是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在一个不透明的口袋中，有2个红球和3个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是__________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】本题考查简单的概率计算，根据题意，直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：从装有2个红球和3个白球的袋子中摸出一个球，摸到红球的有2种可能， ∴摸出一个球，摸到红球的概率为， 故答案为：． 12. 如图，在△ABC中,DE//BC，=，AE=2,则EC=_____. 【答案】4 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理求出AC的长，进而可求出EC的长. 【详解】∵DE//BC， ∴==, ∵AE=2, ∴AC=6, ∴EC=6-2=4. 故答案为4. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.推论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 13. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】由一元二次方程的定义，，有实数根，则，建立不等式求解．本题考查一元二次方程的定义、根的判别式；由判别式定理建立关于参数的不等式是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且． 故答案为：且． 14. 如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器－－蒸馏瓶，其底部是圆球形．已知截面圆中弦的长为，瓶内液体的最大深度，则球形的半径为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，由垂径定理得，设球形的半径，则，由勾股定理解，即可得出结论． 【详解】解：由题意知， ， 设球形的半径，则， 在中，， ， 解得， 故答案为：9． 15. 如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若轴，点的横坐标为2，则的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象及应用，涉及正方形的性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标．连接交于E，延长交x轴于F，连接、，由四边形是正方形，设，，由轴，可以表示点A，B的坐标，可求得m，a的关系，再由在反比例函数（）的图象上，在（）的图象上，即可解答本题． 【详解】解：连接交于E，延长交x轴于F，连接、，如图： ∵四边形是正方形， ∴． 设，， ∵轴， ∴，． ∵A，B都在反比例函数（）的图象上， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵在反比例函数（）的图象上，在（）的图象上， ∴， ∴， 故答案为：8． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程是解题的关键．方程两边同加上9，进行配方，然后直接开平方求解即可． 【详解】解：两边同加上9，得 配方，得 ，． 17. 如图，放置于平面直角坐标系中，，，，按下面要求画图： （1）画出绕原点O逆时针旋转的，并写出点的坐标． （2）求点A在旋转过程中所经过的路径长度． 【答案】（1） 如图，即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形；也考查了弧长公式． （1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点、、再连接各点即可得出答案，再根据图形即可得到的坐标； （2）先计算出的长，然后利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 解：由图形得：； 【小问2详解】 解： 点A经过的路径长为． 18. 某校科学社团开展“我爱科学，强基有我”的分享活动，先将“燃料燃烧”“电池充电”“镜花水月”“冰雪消融”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片(其中主要为化学变化， 主要为物理现象)．活动时学生根据所抽取的卡片分享相关科学知识． 抽取规则如下：张卡片背面朝上洗匀，小云先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小云分享；若他们取出的两张卡片上都是物理现象，则由小南分享；其他情况重抽． （1）小云抽到的卡片正面图案是物理现象的概率是_______． （2）这个规则对小云和小南公平吗?请用列表或画树状图法说明理由． 【答案】（1）； （2） 这个规则对小云和小南公平，理由： 画树状图如下， 由树状图可得，共有种等结果，其中两张卡片上都是化学变化的结果有种，两张卡片上都是物理现象的结果有种， ∴，， ∵， ∴这个规则对小云和小南公平． 【解析】 【分析】（）根据概率公式计算即可求解； （）画出树状图，求出小云和小南分享的概率即可判断求解； 本题考查了用树状图或列表法求概率，游戏的公平性，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【小问1详解】 解：小云从张卡片中随机抽取一张，有种结果，其中卡片正面图案是物理现象的结果有种， ∴小云抽到的卡片正面图案是物理现象的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 略 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上，与相交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质及勾股定理，解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等． （1）先根据旋转的性质得到，，再利用等腰三角形的性质得到，即可得证； （2）利用勾股定理求出，再根据旋转的性质得到，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，，， ∴， 旋转的性质得到， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C． （1）求一次函数的解析式； （2）根据图象，请直接写出当时，自变量x的取值范围； （3）连接，若点P是x轴上一点，且的面积是面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用．解题关键在于把已知点代入解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题； （3）首先求出，设，然后根据题意得到，求解即可． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ， 解得：， ， 把的坐标代入得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：观察图象可得， 不等式的解集为：或； 【小问3详解】 解：由一次函数的解析式为可得， ， ∴， 设， 由题意可得， 则， 解得：， 或． 21. 【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间t 0 1 2 3 刹车后行驶的距离s 0 27 48 63 发现： ①开始刹车后行驶的距离s（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离s随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求s关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若汽车刹车4秒后，行驶了多长距离； （3）若汽车司机发现正前方处有一辆抛抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】（1） （2）米 （3） 该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车，理由如下： 由（）得关于的函数解析式为， ∴， ∴当时，汽车停下，行驶了米， ∵， ∴该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （）利用待定系数法即可求出关于的函数解析式； （）将 代入（）中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离； （）求出（）中函数的最大值，与比较，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设关于的函数解析式为，将，，代入，  ， 解得：， ∴关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（）得关于的函数解析式为， 当时，， ∴汽车刹车后，行驶了米； 【小问3详解】 略 五、解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法．已知四边形是的内接四边形，对角线与相交于点E． 【特殊情形】 （1）如图①，，过圆心O作，垂足为F．当是的直径时，求证：． 【一般情形】 （2）如图②，，过圆心O作，垂足为F．当不是的直径时，求证：． 【经验迁移】 （3）如图③，，，F为劣弧上的一点，，若M为的中点，连接，则长的最小值为__________． 【答案】 （1）证明：在中，， ， ， 是的中位线， ； ∵为的直径，， ， ， ， （2）证明：作直径，连接． 在中，， ， ， 是的中位线， ， ， ， 是的直径， ； ， ， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理可知F是中点，故是的中位线，即，再根据垂径定理说明即可； （2）作直径并连接，根据中位线定理证明，再根据圆周角定理证明，从而证明即可； （3）根据条件分析出当时，取最小值，利用等腰直角三角形的性质与勾股定理即可解出此时的长度． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）， ， ， ， ， ， 在中，，，M是的中点， 如图⑤所示，当的长度发生变化时： 点M是中点， 点M始终保持在平行于的直线上， 当的长度取最小值时，， 如图④， 此时，取中点H，连接，则， H、M分别是中点， 是的中位线，， ， ， ， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题属于圆的综合题型，主要考查勾股定理，垂径定理、圆周角定理与中位线定理的应用，根据三个小问的变化情况，构造含中位线的三角形，是本题的解题关键． 23. 如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． （3）点为抛物线的顶点，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内一个动点，是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）四边形面积的最大值为，； （3）或或或或 【解析】 【分析】把代入中求出b，c的值即可； 先求出，求出，，求出直线的解析式为，设，则，，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点的坐标为； 先求出顶点的坐标，设，分为菱形的对角线、为菱形的对角线和为菱形的对角线三种情况，画出图形，利用菱形的性质和勾股定理解答即可求解． 【小问1详解】 解：把代入中，得 ， 解得 ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵二次函数与y轴交于点C， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴； ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为， ∴此时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：存在， ∵， ∴， 设， 当为菱的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得或， ∴或； 当为菱形的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得， ∴； 当为菱形的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得或， ∴或； 综上，存在点坐标为或或或或使得以为顶点的四边形是菱形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $