精品解析： 广东省湛江市赤坎区金沙湾学校2024-2025学年上学期期末学情调研九年级数学试卷

2024-2025学年第一学期九年级（数学）核心素养发展调研 （考试时间：120分钟；满分：120分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程是（　　） A. x2+3x+y＝0 B. x+y+1＝0 C. x2+x﹣1＝0 D. x2++5＝0 2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何学的研究对象之一，下列坐标系中的数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 圆内接四边形对角和是 B. 九年级开展篮球赛，901班获得冠军 C. 抛掷一枚硬币，正面朝上 D. 打开电视，正好播放神舟十七号载人飞船发射实况 4. 如图，是的切线，切点分别是P、C、D．若，则的长是（　　）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 在平面直角坐标系中，若抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得到的抛物线的解析式为（　　） A. B. C D. 6. ⊙O的半径为7cm，点P到圆心O的距离OP=10cm，则点P与⊙O的位置关系为（　 　） A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 无法确定 7. 如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，当点E恰好落在边上时，连接，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，半径垂直弦于，点在上，连接，，．若，，则的长是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 10. 如图，二次函数图象的对称轴是直线，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则.正确的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 点A（1，-5）关于原点的对称点为点B，则点B的坐标为______． 12. 一个不透明的布袋中装有4个红色球、m个白色球，除颜色外都相同，每次将球充分搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回袋中，通过大量摸球试验发现摸到白色球的频率稳定在，可估计这个布袋中白球的个数为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的两根为___． 14. 已知：如图，PA，PB分别与相切于A，B点，C为上一点，，则等于___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去……，若点A(，0)，B(0，4)，则点B2019的横坐标为_____． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 对于实数a，b，我们定义一种运算“※”：，例如． （1）计算； （2）若，求x的值． 17. 如图，抛物线与直线相交于A，B两点． （1）求物线的对称轴及B点坐标． （2）已知和是抛物线上两点，且，求b的取值范围． （3）请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 18. 非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．以下是云南省非物质文化遗产的场景图：傣族孔雀舞、彝族火把节、白族扎染、撒尼阿诗玛． （1）小琪从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中阿诗玛的概率是_____； （2）小琪和小杰计划从以下四幅图中各随机选择一幅，用于宣传云南的非物质文化遗产，求两人恰好选中同一幅图的概率． 19. 在平面直角坐标系中，已知的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）若和关于原点O成中心对称图形，画出； （2）画的外接圆，并写出圆心M的坐标． （3）连接，求劣弧与半径围成的扇形的面积为_____（结果保留）． 20. 已知关于x的方程， （1）若该方程一个根为，求m的值及该方程的另一根； （2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 21. 如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，． （1）求证：； （2）若半圆O的半径为8，且，求的长． 22. 某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”．汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶时间t（单位：s）之间成二次函数关系，函数图象如图所示． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若在汽车前处，有一测速仪，当汽车刹车过程中，经过多少时间，汽车超过测速仪； （3）若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 23. 思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是　 　米． 思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE． ①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是　 　； ②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论； ③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝l，请直接写出PC2的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期九年级（数学）核心素养发展调研 （考试时间：120分钟；满分：120分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. x2+3x+y＝0 B. x+y+1＝0 C. x2+x﹣1＝0 D. x2++5＝0 【答案】C 【解析】 【分析】由题意直接根据一元二次方程的定义依次对各个选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．该方程含有两个未知数，此选项不符合题意； B．该方程含有两个未知数，此选项不符合题意； C．此方程符合一元二次方程，符合题意； D．此方程不是整式方程，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何学的研究对象之一，下列坐标系中的数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 圆内接四边形对角和是 B. 九年级开展篮球赛，901班获得冠军 C. 抛掷一枚硬币，正面朝上 D. 打开电视，正好播放神舟十七号载人飞船发射实况 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】A. 圆内接四边形对角和是，是必然事件，故此选项符合题意； B. 九年级开展篮球赛，901班获得冠军，是随机事件，故此选项不符合题意； C. 抛掷一枚硬币，正面朝上, 是随机事件，故此选项不符合题意； D. 打开电视，正好播放神舟十七号载人飞船发射实况，是随机事件，故此选项不符合题意； 故选：A． 4. 如图，是切线，切点分别是P、C、D．若，则的长是（　　）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据是的切线，则，再求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵为的切线， ∴． ∵为的切线， ∴． ∵， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题关键． 5. 在平面直角坐标系中，若抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得到的抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的顶点坐标为，再利用点平移的规律得到点平移后所得对应点的坐标为，然后利用顶点式写出平移后抛物线的解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴把点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度所得对应点的坐标为， ∴所得到的抛物线的解析式为； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 6. ⊙O的半径为7cm，点P到圆心O的距离OP=10cm，则点P与⊙O的位置关系为（　 　） A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据点与圆的位置关系进行解答. 解：∵10>7， ∴点P在圆外， 故选C. 7. 如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，当点E恰好落在边上时，连接，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握等腰三角形的判定与性质成为解题的关键． 由旋转性质知，据此得、，再根据等腰三角形性质即可解答． 【详解】解：由旋转的性质的可得：， ∴、， ∴． 故选：D． 8. 如图，是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于x的一元二次方程，即可得解，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：B． 9. 如图，在中，半径垂直弦于，点在上，连接，，．若，，则的长是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理和垂径定理．连接，得到，解直角三角形，求出的长即可． 【详解】解：连接，则：， ∵半径垂直弦， ∴， ∴； 故选B． 10. 如图，二次函数图象的对称轴是直线，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则.正确的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数和式子的关系．分别判a、b、c的符号，即可判断①；根据图象与x轴交点可以判断②；根据对称轴是直线，得到，结合，即可判断③；根据二次函数的对称轴得出最值，即可判断④． 【详解】解：图象开口向下，与y轴交点再x轴上方， ，， ， ， ，故①正确； 函数图象与x轴有2个交点， ，即，故②正确； 函数图象的对称轴是直线， 函数图象与x轴的另一个交点在和0之间， 当时，， ，即，故③错误； 当时，y的值最大．此时，， 而当时，， ， 即，故④正确； 综上所述，①②④正确，共3个， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 点A（1，-5）关于原点的对称点为点B，则点B的坐标为______． 【答案】（-1，5） 【解析】 【分析】根据若两点关于坐标原点对称，横纵坐标均互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵点A（1，-5）关于原点的对称点为点B， ∴点B的坐标为（-1，5）． 故答案为：（-1，5） 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于原点对称的特征，熟练掌握若两点关于坐标原点对称，横纵坐标均互为相反数是解题的关键． 12. 一个不透明的布袋中装有4个红色球、m个白色球，除颜色外都相同，每次将球充分搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回袋中，通过大量摸球试验发现摸到白色球的频率稳定在，可估计这个布袋中白球的个数为______． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据白球的频率，列出方程，然后求解即可得出答案． 解答此题的关键是根据口袋中白色球所占的比例，计算其个数． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验是方程的解， 答：估计这个布袋中白球的个数为4个， 故答案为：4． 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的两根为___． 【答案】， 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标，即可求得关于的方程的两根． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴关于的方程的解为，， 故答案为：，． 14. 已知：如图，PA，PB分别与相切于A，B点，C为上一点，，则等于___________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】连接，，根据圆周角定理和四边形内角和定理求解即可． 【详解】解：连接，， 、切于点、， ， 由圆周角定理知，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、以及四边形的内角和为360度，掌握切线的性质及圆周角定理是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去……，若点A(，0)，B(0，4)，则点B2019的横坐标为_____． 【答案】10096． 【解析】 【分析】由图象可知点在第一象限，求出，，的坐标，探究规律后即可解决问题. 【详解】由图象可知点在轴上， ，，， ， ，，，… ， 点横坐标为. 故答案为：. 【点睛】本题考查坐标与图形的变化—旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型. 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 对于实数a，b，我们定义一种运算“※”为：，例如． （1）计算； （2）若，求x的值． 【答案】（1）14 （2）或 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，把新定义运算化为普通运算，得出一元二次方程是解本题的关键． （1）直接根据新定义得到答案； （2）根据题中的新定义，把转化为，然后解这个方程即可． 【小问1详解】 解：根据新定义可知： ； 【小问2详解】 解：由新定义可知， 将转化为． 解得或． 17. 如图，抛物线与直线相交于A，B两点． （1）求物线的对称轴及B点坐标． （2）已知和是抛物线上两点，且，求b的取值范围． （3）请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）x=1， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先计算直线与x轴的交点，解得点A的坐标，再代入抛物线解析式，解得点B坐标，再利用配方法解得顶点坐标及对称轴； （2）把点P、Q分别代入抛物线解析式中，解得m，n的值，再根据即可解答； （3）由图象解答． 【小问1详解】 解：令y=0解得x=2 把点A代入抛物线得， 对称轴为 【小问2详解】 把、分别代入中得， 【小问3详解】 不等式的解集即直线位于抛物线的上方， 由图象可知， 当 时，． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数与二次函数的综合、二次函数与一元二次方程、二次函数与一元一次不等式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 18. 非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．以下是云南省非物质文化遗产的场景图：傣族孔雀舞、彝族火把节、白族扎染、撒尼阿诗玛． （1）小琪从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中阿诗玛的概率是_____； （2）小琪和小杰计划从以下四幅图中各随机选择一幅，用于宣传云南的非物质文化遗产，求两人恰好选中同一幅图的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据概率公式直接计算即可； （）列出表格，根据表格解答即可求解； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，恰好选中阿诗玛的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： （小琪，小杰） 由表格可知，共有种等结果，其中恰好选中同一幅图的结果有种， ∴恰好选中同一幅图的概率为． 19. 在平面直角坐标系中，已知位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）若和关于原点O成中心对称图形，画出； （2）画的外接圆，并写出圆心M的坐标． （3）连接，求劣弧与半径围成的扇形的面积为_____（结果保留）． 【答案】（1）见解析； （2）图见解析，； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了利用中心对称变换作图，勾股定理的逆定理，求扇形面积，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．另外要求掌握对称中心的定义． （1）分别作出点A，B，C关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可得； （2）分别作出的垂直平分线，交于点，则点为的外接圆，圆心M的坐标； （3）连接，由证明，再运用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图；即为的外接圆， 圆心M的坐标； 【小问3详解】 解：连接，如图， ∵， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 20. 已知关于x的方程， （1）若该方程的一个根为，求m的值及该方程的另一根； （2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1）；另一根为2； （2）证明详见解析 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的定义、一元二次方程的解法及根的判别式． （1）根据方程根的定义，把代入方程，求得；当时，解此一元二次方程得到方程的另一根； （2）根据一元二次方程的根的判别式列出关于m的代数式，整理代数式得到一个有特征的式子，从而确定该式子的正负，使问题得证． 【小问1详解】 解：将代入方程， 得，， 解得，， 方程为， 设另一根为，则， 解得． 【小问2详解】 证明：∵， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 21. 如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，． （1）求证：； （2）若半圆O的半径为8，且，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，则，由等边对等角可得，由切线的性质可得，求出，即可得证； （2）利用勾股定了计算即可得解． 【小问1详解】 证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵与相切于点C，与的延长线相交于点D， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵的半径为8． ∴． ∵． ∴， ∴， ∴． ∵，且， ∴， 解得， ∴的长是2． 22. 某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”．汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶时间t（单位：s）之间成二次函数关系，函数图象如图所示． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若在汽车前处，有一测速仪，当汽车刹车过程中，经过多少时间，汽车超过测速仪； （3）若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】（1） （2）汽车刹车后，汽车与测速仪相距； （3）不会，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数实际应用，熟练掌握用待定系数法求解二次函数解析式的方法和步骤是解题的关键． （1）设，将，，代入，求出a、b、c的值，即可得出函数解析式； （2）求出当时的t的值，即可解答； （3）将二次函数解析式化为顶点式，求出最大值，再与80进行比较即可． 【小问1详解】 解：设， 将，，代入，得： ，解得：， ∴y关于t的函数解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意得： 解得或（不符题意，舍去）， 答：汽车刹车后，汽车超过测速仪； 【小问3详解】 解：不会．理由如下： ∵， ∴当时，汽车停下，行驶了， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 23. 思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是　 　米． 思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE． ①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是　 　； ②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论； ③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝l，请直接写出PC2的值． 【答案】（1）200；（2）①PC＝PE，PC⊥PE；②PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE，见解析；③PC2＝. 【解析】 【分析】（1）由CD∥AB，可得∠C＝∠B，根据∠APB＝∠DPC即可证明△ABP≌△DCP，即可得AB＝CD，即可解题． （2）①延长EP交BC于F，易证△FBP≌△EDP（SAS）可得△EFC是等腰直角三角形，即可证明PC＝PE，PC⊥PE． ②作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，易证△FBP≌△EDP（SAS），结合已知得BF＝DE＝AE，再证明△FBC≌△EAC（SAS），可得△EFC是等腰直角三角形，即可证明PC＝PE，PC⊥PE． ③作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，过E点作EH⊥AC交CA延长线于H点，由旋转旋转可知，∠CAE＝150°，DE与BC所成夹角的锐角为30°，得∠FBC＝∠EAC，同②可证可得PC＝PE，PC⊥PE，再由已知解三角形得∴EC2＝CH2+HE2＝，即可求出 【详解】（1）解：∵CD∥AB，∴∠C＝∠B， 在△ABP和△DCP中， ， ∴△ABP≌△DCP（SAS）， ∴DC＝AB． ∵AB＝200米． ∴CD＝200米， 故答案为200． （2）①PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE． 理由如下：如解图1，延长EP交BC于F， 同（1）理，可知∴△FBP≌△EDP（AAS）， ∴PF＝PE，BF＝DE， 又∵AC＝BC，AE＝DE， ∴FC＝EC， 又∵∠ACB＝90°， ∴△EFC是等腰直角三角形， ∵EP＝FP， ∴PC＝PE，PC⊥PE． ②PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE． 理由如下：如解图2，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF， 同①理，可知△FBP≌△EDP（SAS）， ∴BF＝DE，PE＝PF＝， ∵DE＝AE， ∴BF＝AE， ∵当α＝90°时，∠EAC＝90°， ∴ED∥AC，EA∥BC ∵FB∥AC，∠FBC＝90， ∴∠CBF＝∠CAE， 在△FBC和△EAC中， ， ∴△FBC≌△EAC（SAS）， ∴CF＝CE，∠FCB＝∠ECA， ∵∠ACB＝90°， ∴∠FCE＝90°， ∴△FCE是等腰直角三角形， ∵EP＝FP， ∴CP⊥EP，CP＝EP＝． ③如解图3，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，过E点作EH⊥AC交CA延长线于H点， 当α＝150°时，由旋转旋转可知，∠CAE＝150°，DE与BC所成夹角的锐角为30°， ∴∠FBC＝∠EAC＝α＝150° 同②可得△FBP≌△EDP（SAS）， 同②△FCE是等腰直角三角形，CP⊥EP，CP＝EP＝， 在Rt△AHE中，∠EAH＝30°，AE＝DE＝1， ∴HE＝，AH＝， 又∵AC＝AB＝3， ∴CH＝3+， ∴EC2＝CH2+HE2＝ ∴PC2＝ 【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质、勾股定理和30°直角三角形性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$