上海市延安中学2025-2026学年第二学期期末考试高二年级数学试卷

上海市延安中学2026学年第二学期期末考试 高二年级数学试卷 （考试时间：90分钟满分100分） 一、填空题（本大题共12题，满分36分，每题3分） 1．已知事件满足，则__________． 2．样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的75百分位数为_________． 3．在一个关于AI智能助手的准确率测试中，有三种不同的AI模型，，．模型的准确率为0.8，模型的准确率为0.75，模型的准确率为0.7．已知选择模型，，的概率分别为0.4，0.4，0.2．现随机选取一个模型进行测试，则准确率为__________． 4．现有下表所示的一组观测数据： 2 4 5 6 8 30 40 60 70 80 若与的线性回归方程为，则对应的离差为_________． 5．已知事件，相互独立，且，，则________． 6．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是_________． 7．为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图．在考核成绩为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在中的学生应抽取的人数为________． 8．已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为__________． 9．已知，则的值为________． 10．设有两个罐子，A罐中放有2个白球，1个黑球，B罐中放有3个白球，这些球的大小与质地相同．现在从两个罐子中各摸1个球进行交换，则这样交换4次后，黑球还在A罐中的概率为________． 11．一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为_________．（以数字作答） 12．设函数与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的，都有，则称与在上是“k度和谐函数”，称为“k度密切区间”．设函数与在上是“e度和谐函数”，则实数m的取值范围是_________． 二、选择题（本大题共4题，满分12分，每题3分） 13．某市职业技能大赛的移动机器人比赛项目有19位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前10位的同学才能进入决赛，若该比赛项目中的某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这19位同学的预赛积分的（ ）． A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数 14．设随机变量，则（ ）． A． B． C． D． 15．对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（ ）． A． B． C． D． 16．设，随机变量取值、、、的概率均为0．25，随机变量取值、、、的概率也均为0．25，随机变量取值、、、的概率也均为0．25．若记、分别为、的方差，则（ ）． A． B． C． D．与的大小关系与、、、的取值有关． 三、解答题（本大题共5题，满分52分） 17．（本题满分6分：第（1）小题3分，第（2）小题3分） 一个口袋中有8个球，白球3个，黑球5个，现从中取出3个球，求下列事件的概率 （1）取出的三个球均为黑球； （2）取出的三个球中两个是白球，另一个是黑球． 18．（本题满分8分：第（1）小题4分，第（2）小题4分） 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中经X表示． （1）如果，求乙组同学植树棵数的平均数和方差； （2）如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率． 19．（本题满分10分：第（1）小题3分，第（2）小题3分，第（3）小题4分） 已知的展开式中，二项式系数和为256． （1）求n的值； （2）求该展开式中的常数项； （3）求该展开式中所有的有理项． 20．（本题满分14分：第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分） AI手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略．某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表． 购买AI手机 购买无AI技术的手机 总计 男性顾客 45 65 110 女性顾客 56 34 90 总计 101 99 200 （1）从这90位女性顾客中随机挑选4位，求其中至少有2位购买AI手机的概率（精确到0.01）； （2）根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关？并说明理由； （3）为促进AI手机的销量，该商场为购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖．每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立．记某位顾客两次抽中的奖金之和为X元，求随机变量X的数学期望．参考公式及数据：①，其中． ②，，，． 21．（本题满分14分：第（1）小题4分，第（2）小题①5分，②5分） 已知函数． （1）若函数，求函数的单调区间； （2）若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，，且． ①求的取值范围； ②已知，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $