上海市莘庄中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

2025-2026学年上海市闵行区莘庄中学高二下学期 数学期末考试 一、填空题（满分54分，其中第1-6题，每题4分；第7-12题，每题5分）： 1. 抛物线的准线方程是__________． 2. 若随机变量 服从正态分布， ，则 ________. 3. 函数在处的切线斜率为________. 4. 已知两个具有线性相关关系的变量，的一组数据，，，，根据上述数据可得关于的回归直线方程，则实数______. 5. 二项式，则该展开式中的常数项是______. 6. 设实数，圆的面积为，则________． 7. 小莘操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，6圈的概率为0.4.小莘一周跑11圈的概率为________. 8. 设双曲线的左右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交双曲线于，两点，若，，则双曲线的离心率为________. 9. 某校要求每日综合体育不少于2小时，其中上午2个15分钟的课间、下午2个15分钟的课间可算入综合体育时间（共1小时），其余从五项运动中不可重复选择若干项使得综合体育总时长达标，如下表所示，则有(_________)种运动方式组合. A运动 B运动 C运动 D运动 E运动 上午大课间广播操 室内操 专项体育课 下午大课间自由活动 八段锦 30分钟 20分钟 40分钟 30分钟 20分钟 10. 已知圆锥曲线的方程：.当为正整数，且时，存在两条曲线、，其交点与点满足，则满足题意的有序实数对共有__________对. 11. 小申同学要在边长为10的正方形纸片上剪出一个等腰梯形的图案，如图所示，腰、与正方形内的抛物线分别相切于、两点，其中的顶点为的中点.若当点到的距离为4时，，则等腰梯形的面积最小值为________（结果保留2位小数）. 12. 设 ，第一象限内有两个动点 、 ，其中点 在曲线上，点 在曲线上，已知，，记，，若“”当且仅当“存在实数 ，使得”，则实数 的取值范围是________． 二、选择题（满分18分，其中第13-14题，每题4分；第15-16题，每题5分）： 13. 已知事件和事件满足，则下列说法正确的是（ ）． A. 事件和事件独立 B. 事件和事件互斥 C. 事件和事件对立 D. 事件和事件互斥 14. 在研究“温度是否影响庄稼生长”时，对实验数据利用2×2列联表进行独立性检验，计算得实验数据的统计量的值为.已知，则（ ） A. 的值小于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长” B. 的值大于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长” C. 的值越大，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越小 D. 的值越小，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越大 15. 已知，，，C在函数，图像上，则下列判断错误的是（ ） A. 存在，使得的点C有且只有一个 B. 任意，使得的点C至少一个 C. 存在，使得的点C有且仅有两个 D. 任意，使得的点C最多两个 16. 定义在上的函数，集合对任意的，有.对于所有使得的函数，以下说法正确的个数是（ ）. ①存在，使得是偶函数； ②存在，使得在处取极小值； ③存在，使得在R上严格减； ④存在，使得在处取得最大值. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 三、简答题（满分78分，14分+14分+14分+18分+18分）： 17. 如图，在圆柱中，是底面圆的一条直径，和是两条母线，是底面圆上异于的一点，是线段的中点． （1）求证：直线平面； （2）若，求二面角的大小． 18. 设且，，. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有两个不同的驻点，求的取值范围. 19. 闵行区2026年3月31日至4月13日的天气预报如图所示. （1）从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是阵雨的概率； （2）根据天气预报，该区4月14日的最低气温是9℃，温差是指一段时间内最高温度与最低温度之间的差值，例如3月31日的最高温度为17℃，最低温度为9℃，当天的温差为8℃.记4月1日至4日这4天温差的方差为，4月11日至14日这4天温差的方差为，若，求4月14日天气预报的最高气温（整数）； （3）从3月31日至4月13日中随机抽取两天，用表示一天温差不高于9℃的天数，求的分布列及期望. 20. 已知椭圆的左、右顶点分别为、，过点的直线交椭圆于、两点. （1）若，椭圆的离心率为，求的值； （2）若，为等腰三角形且在第一象限，求的面积； （3）设直线交椭圆于另一点，若，求的取值范围． 21. 设函数的极小值点组成集合. （1）若，求集合； （2）若，，求实数的取值范围； （3）若定义域为R的函数的图像是一条连续曲线，且处处可导，记其导函数为，且在R上为严格增函数.求证：若存在，使得对任意恒成立，则必有. 2025-2026学年上海市闵行区莘庄中学高二下学期 数学期末考试 一、填空题（满分54分，其中第1-6题，每题4分；第7-12题，每题5分）： 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】0.15 【3题答案】 【答案】## 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】180 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】## 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】3 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（满分18分，其中第13-14题，每题4分；第15-16题，每题5分）： 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】D 三、简答题（满分78分，14分+14分+14分+18分+18分）： 【17题答案】 【答案】（1） 连接，令，连接，则是、的中点， 在中是线段中点，是的中点， ∴，又平面，平面， ∴直线平面； （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）18℃ （3） X 0 1 2 P 【20题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）． 【21题答案】 【答案】（1） （2） （3） 解法一：若，则在上有解，设为， 由于在上为严格增函数，所以当时，， 为严格减函数， 当时，，为严格增函数，所以为极小值点， 当，则结合在上为严格减函数，即在也为严格减函数， 所以存在，使得，与题意矛盾， 当，由于存在，使得对任意恒成立， 所以存在实数，使得对任意恒成立， 且满足随着从连续减小趋近于负无穷，函数的函数值从逐渐连续减小趋近于， 所以为的渐近线，则有时，，时，， 由于的定义域为，在上为严格减函数，在上为严格增函数， 所以当时，有 ， 和， 与不等式的传递性矛盾， 所以不存在这样的使得在上有解，故. 解法二：先证明：当在上为严格增函数时， 任取、，均有，等号当且仅当时成立， 设，则， 所以当，即时，，即函数在单调递增， 当，即时，，即函数在单调递减， 所以 即，等号当且仅当时成立； 再证明：， 若，则在上有解，设为， 由于在上为严格增函数， 所以当时，为严格减函数， 当时，，为严格增函数，所以为极小值点， 当，则结合在上为严格减函数， 即在也为严格减函数， 所以存在，使得，与题意矛盾， 当，令 ， 则，由于的任意性，取， 则，故 ， 再取实数满足且， 有 ， 与“”对任意恒成立矛盾， 所以不存在这样的使得在上有解，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $