精品解析：江苏省梅村高级中学2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

高二（下）数学测试卷 一、单项选择题（每题5分） 1. 已知函数，则（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，通过赋值法求得代入，即可得. 【详解】因为， 所以， 令，得， ∴， 所以，故 故选：D. 2. 若函数的导函数存在，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的概念将已知式配凑成定义式可得答案. 【详解】，所以， 故选：C. 3. 用数字，，，，组成的没有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ） A. 60 B. 30 C. 36 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】通过个位数分别为，，，讨论即可； 【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即，，，有3种选择， 因为这是一个三位数，所以百位数不能是0. ①当个位数为0时，有种， ②当个位数为2或4时，有种.综上，有30种. 故选：B. 4. 对于样本相关系数r，下列说法不正确的是（ ） A. 样本相关系数r可以用来判断成对数据相关的正负性 B. 样本相关系数 C. 当时，表明成对样本数据间没有线性相关关系 D. 样本相关系数r越大，成对样本数据的线性相关程度也越强 【答案】D 【解析】 【分析】根据相关系数：1.；2.，则成对数据为正相关,，则成对数据为负相关；3. ，线性相关程度越强，，线性相关程度越弱，时，则成对样本数据间没有线性相关关系；理解辨析． 【详解】根据相关系数的理解： ，B正确； ，则成对数据为正相关；，则成对数据为负相关； A正确； ，线性相关程度越强，，线性相关程度越弱，时，则成对样本数据间没有线性相关关系，C正确，D不正确； 故选：D． 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的特殊值、奇偶性、单调性排除可得. 【详解】当时，，排除A选项； 因为，所以为偶函数，排除C； 当时，， 时，，所以在区间单调递增； 因为，所以存在，便得， 故在上单调递增，在上单调递诚，排除. 故选：B 6. 已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台常用设备，两台备用设备）的配置．这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断线．如果一台常用设备正常工作的概率为，两台备用设备正常工作的概率均为，且它们之间互不影响，则该计算机网络不会断线的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用其对立事件三台设备均不能正常工作计算． 【详解】由题意所求概率为． 故选：A． 7. 已知随机变量服从正态分布，有下列四个命题： 甲： 乙： 丙： 丁： 若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】由甲乙两个有一个正确得的均值为，可得甲乙正确，然后由正态分布的性质判断丙丁． 【详解】首先甲、乙中至少有一个正确，因此是的均值，从而甲乙两个均正确， ，丙正确， 而，丁错误． 故选：D． 8. 若函数，且，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】的定义域为， 由可得，即； 因为，所以，即， 构造函数，则， 可知函数在上单调递增，因此， 即，所以， 令，则， 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 因此在处取得极小值，也是最小值，； 即可得，解得， 所以正实数的取值范围是. 二、多项选择题（每题6分） 9. 已知（），则下列结论正确的是（ ） A. ab的最小值为2 B. 的最小值为 C. 的最大值为1 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用基本不等式即可判断A；利用1的变换，即可判断B；变形，根据的范围，即可判断C；利用平方，以及A选项的判断结果，即可判断D. 【详解】对于A，，即，，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为8，故A错误； 对于B，由得，， 当时，结合，即时等号成立，故B正确； 对于C，由，得， 由，且，得，所以，故C错误； 对于D，由，两边平方后得，即，由A知， 所以，所以的最小值为，故D正确. 故选：BD 10. 已知，下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，设，则 C. 当时，中最大的是 D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】令可得各项系数和判断A，根据二项式定理求得判断B，求出后判断C，在展开式中先求得，再令计算后判断D． 【详解】在已知式中令得，A正确； 时，， ， ，，B错； 时，， ，C错； 在中，令得， 令，则， 所以，D正确． 故选：AD． 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，的图像关于y轴对称 B. 当时，的图像关于点中心对称 C. ，使得为上的增函数 D. 当时，若在上单调递增，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】判断奇偶性后可判断A，由计算可判断B，利用可判断C，求出，由得的表达式，求得最小值判断D． 【详解】时，，，是奇函数，A错； 时，，， 所以的图象关于点对称，B正确； ，， 当时，恒成立，在上递增，C正确； ，， ，所以有两个不等的实根，设，在或时，，时，，即在上单调递增， ，， ， 所以时，取得最小值，即取得最小值，D正确． 故选：BCD． 三、填空题（每题5分） 12. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意构造，进而在上是增函数，根据奇偶函数的定义判断的奇偶性，原不等式等价于，结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】令， 则， 由当时，，所以， 即在上是增函数， 由题意是定义在上的偶函数，所以， 所以， 所以是偶函数，在递减， 所以，， 即不等式等价为， 所以，解得或． 故答案为：或 13. 已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】设出曲线的切点坐标，写出切线方程后代入点A坐标，将切线条数转化为关于切点横坐标的一元二次方程的实根个数，利用判别式求解参数的取值范围. 【详解】由，得： ， 即切点处切线斜率为​， 切线方程为：， 将代入切线方程， 整理得： ， 过点有两条切线，等价于上述关于的一元二次方程有两个不相等的实根， 计算判别式：， 解得或，即或 因此的取值范围是. 14. 将四个“0”和四个“1”按从左到右的顺序排成一排，这列数有________种不同排法；若这列数前n（）个数中的“0”的个数不少于“1”的个数，则这列数有________种不同排法．（用数字作答） 【答案】 ①. 70 ②. 25 【解析】 【分析】第一空，先选4个位置排0，余下位置排1即可；第二空，确定第1个位置排0，继而讨论第2个位置排0和1的情况，即可求得答案. 【详解】对于第一空：在8个位置中选出4个，安排4个0， 剩下4个位置安排4个1即可，则有种不同的排法； 对于第二空，若这列数前n（）个数中的“0”的个数不少于“1”的个数， 则第一个数必为0，若第二个数为0，则在后面6个位置中选2个排0，有种不同的排法； 若第二个数为1，则第3个数必为0，则在后面5个位置中选2个排0，有种不同的排法； 故共有种不同的排法； 故答案为：70；25 四、解答题 15. 已知，命题：，为真命题.实数的取值集合记为. （1）求集合； （2）设的定义域为集合，若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求出的取值范围，即可求出； （2）依题意可得，解得即可求出，再根据，得到，解得即可. 【小问1详解】 因为命题：，为真命题， 所以，解得，所以； 【小问2详解】 对于函数，则， 即，因为， 解得， 所以，又， 所以，解得，即实数的取值范围为. 16. 已知函数，. （1）求曲线过点处的切线； （2）若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. 【答案】（1）或；； （2）, 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求过一点的切线方程； （2）利用导数的几何意义，由切线平行，列方程求参数的值即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 设过点直线与函数相切于点， 切线方程为， 代入点， 得， 整理得， 即， ， 解得或， 当时，切点为, 则切线方程为：； 当时， 求得切线方程为； 所以切线方程为：或； 【小问2详解】 由（1）可得曲线在点处的切线， 即， 由，可得， 所以曲线在处的切线的斜率为， 所以，解得, 此时切点为， 所以曲线在处的切线方程为， 即，与平行，满足题意， 所以. 17. 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了50个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：），其箱产量如下表所示. 养殖法 箱产量 箱产量 箱产量 旧养殖法 30 20 新养殖法 15 35 （1）根据小概率的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关； （2）现需从抽取的新、旧网箱中各选1箱产品进行进一步检测，记为所选产品中箱产量不低于的箱数，求的分布列和期望. 附：，，. 【答案】（1） 根据小概率的独立性检验，箱产量与养殖方法有关； （2） X的分布列为 X 0 1 2 P 期望 【解析】 【分析】（1）进行零假设：箱产量与养殖方法无关，提取列联表数据代入卡方公式计算统计量，与临界值对比，作出相应判断； （2）确定X的所有可能取值，结合独立事件概率公式计算对应概率，得分布列，再由期望定义计算期望. 【小问1详解】 零假设：箱产量与养殖方法相互独立，即二者无关. 补充完整列联表，得 养殖法 箱产量 合计 箱产量 箱产量 旧养殖法 30 20 50 新养殖法 15 35 50 合计 45 55 100  ， 依据的独立性检验，不成立，即认为箱产量与养殖方法有关，该推断犯错误的概率不超过0.005. 【小问2详解】 X的可能取值为. 记事件为“旧养殖法所选网箱产量”，事件为“新养殖法所选网箱产量”，相互独立， 以频率代替概率得，，，.  ；  ；  。. 因此的分布列为： X 0 1 2 P 的期望.. 18. 某研发团队研发了一款聊天机器人，在对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，机器人作答正确的概率为0.8；如果出现语法错误，机器人作答正确的概率为0.3.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，机器人的作答是否正确相互独立.该研发团队成员小王想挑战一下聊天机器人，与机器人各自从给定的10个问题中随机抽取5个作答.已知在这10个给定的问题中，小王恰好能正确作答其中9个问题. （1）对抽出的5个问题，求小王能全部答对的概率； （2）求聊天机器人答对题数的数学期望； （3）答对题数较多者判定为获胜，求小王获胜的概率. 【答案】（1） （2）3.75 （3） 【解析】 【分析】（1）根据组合知识求出相应的概率； （2）根据全概率公式得到聊天机器人作答正确的概率，从而得到，根据二项分布期望公式求出答案； （3）计算出机器人获胜和两者平局的概率，从而求出小王获胜的概率. 【小问1详解】 小王能全部答对的概率为； 【小问2详解】 设每次输入的问题出现语法错误为事件A，则， 聊天机器人作答正确为事件， 则 ， 故聊天机器人答对题数， 数学期望； 【小问3详解】 由题意可得小王最少答对4道题， 小王能答对5道题的概率为，答对4道题的概率为， 由（2）知，聊天机器人答对题数， 故机器人能答对5道题的概率为， 机器人能答对4道题的概率为， 故机器人获胜的情况为机器人能答对5题且小王答对4题， 故机器人获胜的概率为， 小王和机器人平局的情况为小王和机器人都答对5道题和都答对4道题， 其中都答对5道题的概率为， 都答对4道题的概率为， 所以小王获胜的概率为. 19. 已知函数，. （1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，判断关于的方程实数根的个数，并证明. 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）参变分离后可得在上恒成立，构造相应函数，借助导数研究其单调性即可得其最值，即可得解； （2）构造函数，结合导数讨论其单调性，可得其极值点，结合零点的存在性定理即可得其零点个数，即可得方程的实数根的个数. 【小问1详解】 ，则有在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 令，则， 则当时，恒成立， 故在上单调递增， 又， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 即有，故； 【小问2详解】 当时，关于的方程有三个不同的实数根，证明如下： 当时，令，即， 令，则， 由（1）知在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，， ， 故存在，，使， 由，故是方程的一个根， 则，，又时，， 故存在，使，即是方程的一个根， 存在，使，即是方程的一个根， 综上所述，当时，关于的方程有三个不同的实数根. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于灵活利用零点的存在性定理判断函数是否在某个固定区间内有零点，从而得到方程的根的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二（下）数学测试卷 一、单项选择题（每题5分） 1. 已知函数，则（ ） A. 6 B. 3 C. D. 2. 若函数的导函数存在，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 用数字，，，，组成的没有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ） A. 60 B. 30 C. 36 D. 21 4. 对于样本相关系数r，下列说法不正确的是（ ） A. 样本相关系数r可以用来判断成对数据相关的正负性 B. 样本相关系数 C. 当时，表明成对样本数据间没有线性相关关系 D. 样本相关系数r越大，成对样本数据的线性相关程度也越强 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台常用设备，两台备用设备）的配置．这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断线．如果一台常用设备正常工作的概率为，两台备用设备正常工作的概率均为，且它们之间互不影响，则该计算机网络不会断线的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量服从正态分布，有下列四个命题： 甲： 乙： 丙： 丁： 若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 若函数，且，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每题6分） 9. 已知（），则下列结论正确的是（ ） A. ab的最小值为2 B. 的最小值为 C. 的最大值为1 D. 的最小值为 10. 已知，下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，设，则 C. 当时，中最大的是 D. 当时， 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，的图像关于y轴对称 B. 当时，的图像关于点中心对称 C. ，使得为上的增函数 D. 当时，若在上单调递增，则的最小值为 三、填空题（每题5分） 12. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为_________． 13. 已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围为______ 14. 将四个“0”和四个“1”按从左到右的顺序排成一排，这列数有________种不同排法；若这列数前n（）个数中的“0”的个数不少于“1”的个数，则这列数有________种不同排法．（用数字作答） 四、解答题 15. 已知，命题：，为真命题.实数的取值集合记为. （1）求集合； （2）设的定义域为集合，若，求实数的取值范围. 16. 已知函数，. （1）求曲线过点处的切线； （2）若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. 17. 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了50个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：），其箱产量如下表所示. 养殖法 箱产量 箱产量 箱产量 旧养殖法 30 20 新养殖法 15 35 （1）根据小概率的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关； （2）现需从抽取的新、旧网箱中各选1箱产品进行进一步检测，记为所选产品中箱产量不低于的箱数，求的分布列和期望. 附：，，. 18. 某研发团队研发了一款聊天机器人，在对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，机器人作答正确的概率为0.8；如果出现语法错误，机器人作答正确的概率为0.3.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，机器人的作答是否正确相互独立.该研发团队成员小王想挑战一下聊天机器人，与机器人各自从给定的10个问题中随机抽取5个作答.已知在这10个给定的问题中，小王恰好能正确作答其中9个问题. （1）对抽出的5个问题，求小王能全部答对的概率； （2）求聊天机器人答对题数的数学期望； （3）答对题数较多者判定为获胜，求小王获胜的概率. 19. 已知函数，. （1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，判断关于的方程实数根的个数，并证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $