2027年广东省普通高中学业水平考试数学复习讲义8.解三角形

该高中数学高考复习讲义聚焦解三角形专题，整合正弦定理、余弦定理及面积公式等核心考点，按“定理内容-变形应用-综合情境”逻辑梳理知识体系，通过真题再现、知识点整理、对点训练三环节，帮助学生构建从基础到综合的解题框架。 资料以近三年真题为导向，通过“真题解析-方法提炼-分层训练”路径，如在解中点问题时引导学生用向量法或余弦定理构建关系，培养数学思维与推理能力。设置基础应用到综合拓展的8道对点训练题，配合详细解答，助力学生高效突破边角互化、面积计算等难点，为教师把控复习节奏提供精准素材。

2027年广东省普通高中学业水平考试数学 复习讲义8.解三角形 1、 真题再现 （2024.19）已知在中，内角A、B、C的对边分别为，，，. (1)求；(2)求. （2025.21） 中，已知，，． (1)求；(2)如为的中点，求的长． （2026.21）在中，角所对的边分别是，且． (1)求边长的值；（2）求的面积． 真题答案 （2024.19）已知在中，内角A、B、C的对边分别为，，，. (1)求；(2)求. 解：(1)，，，由余弦定理可得： ，所以； (2)，，，由正弦定理可得， 所以. （2025.21） 中，已知，，． (1)求；(2)如为的中点，求的长． 解：(1)因为，且，，根据正弦定理得， 解得， 又 ，且，故. (2)由（1）可知，，由可得. 因为D为AC的中点，所以， 在中， 由余弦定理可得， 则，从而. （2026.21）在中，角所对的边分别是，且． （1）求边长的值；（2）求的面积． 解：(1)由正弦定理，得； (2)由(1)得，由可得 ， 则， 故．故的面积是． 二、知识点整理 1.正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ===2R a2=b2+c2-2bccos A； b2=c2+a2-2cacos B； c2=a2+b2-2abcos C 变形 (1)a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C； (2)sin A=，sin B=，sin C=； (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C cos A=； cos B=； cos C= 2.三角形中常用的面积公式 (1)S=aha(ha表示边a上的高)；(2)S=absin C=acsin B=bcsin A 三、对点训练 1 在中，已知，，，(1)求；(2)求． 2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin B=1+cos B. (1)求B；(2)若a=3c，求sin A. 3.锐角△ABC中,. (1)求；](2)若，，求△ABC的周长. 4.在△ABC中，AB=2，AC=4，角A为钝角，△ABC的面积为2. (1)求A的大小；(2)若D是BC的中点，求AD的长度； 5.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求C；(2)若是等腰三角形，且周长为，求BC边上中线的长． 6.如图，已知的内角的对边分别为，且. (1)求的大小；(2)若，设为的角平分线，求的长. 7.如图，在中，30°，是边上的点， （1）求的面积； （2）求边的长。 8.在中，. (1)求的大小；(2)若边上的高为，求的面积. 对点训练答案 1 在中，已知，，，(1)求；(2)求． 【小问1详解】 【小问2详解】 2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin B=1+cos B. (1)求B；(2)若a=3c，求sin A. 【小问1详解】 由sin B=1+cos B，得sin Bcos B=1 ，得sin Bcos B =. 所以sin=. 因为0<B<π，所以<B<，所以B=，B=. 【小问2详解】 由余弦定理得，所以 所以a2+c2b2=ac. 又a=3c，所以b2=a2+c2ac=a2， 所以b=a，故由正弦定理得sin B=sin A， 所以sin A=. 3.锐角△ABC中,. (1)求；](2)若，，求△ABC的周长. 【小问1详解】 【小问2详解】 4.在△ABC中，AB=2，AC=4，角A为钝角，△ABC的面积为2. (1)求A的大小；(2)若D是BC的中点，求AD的长度； 【小问1详解】 ∵AB=2，AC=4，△ABC的面积为2， ∴S△ABC=AB·AC·sinA=×2×4×sinA=2，∴sinA=，又A为钝角，∴A=， 【小问2详解】 ∵D是BC的中点，∴=+)， ∴=+)2，∴=2+2+)=2×2×4×()]=3 ∴||=，即AD=. 5.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求C；(2)若是等腰三角形，且周长为，求BC边上中线的长． 【小问1详解】 因为，由余弦定理，得． 又，所以 【小问2详解】 由（1），且是等腰三角形，所以，， 因为，所以，所以 因为的周长为，所以，解得． 设BC的中点为D，则， 在中由余弦定理，得： ， 所以BC边上中线的长为． 6.如图，已知的内角的对边分别为，且. (1)求的大小；(2)若，设为的角平分线，求的长. 【小问1详解】 由得 由余弦定理得 又因为,所以. 【小问2详解】 因为，所以, 又因为, 所以, 所以 所以的长是. 7.如图，在中，30°，是边上的点， （1）求的面积； （2）求边的长。 【小问1详解】 在， 由余弦定理得 , 又，所以, ,由面积公式得 【小问2详解】 在中,由正弦定理得， 因为，所以,所以 8.在中，. (1)求的大小；(2)若边上的高为，求的面积. 【小问1详解】 (1)方法1：由正弦定理及，得.① 因为，所以② 由①②得，因为，所以， 所以， 因为，所以. 方法2：在中，因为，由余弦定理得， 整理得所以，因为，所以. 【小问2详解】 边上的高，所以， 由余弦定理，得 即，解得. 所以 学科网（北京）股份有限公司 $