精品解析：山东省高密市第一中学2025-2026学年高二卓越班下学期6月检测数学试题

卓越高二6月检测数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设随机变量，若，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】D 【解析】 【分析】 根据已知，利用，可得，即得. 【详解】随机变量服从正态分布，且正态曲线的对称轴是：，由，可得，则. 故选： 【点睛】本题考查正态分布曲线的性质，属于基础题. 2. 在一组数据1，2，4，5，8中插入一个数后，该组数据的方差为，则的下列取值中，使得最小的是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】将新数据的方差表示为关于的函数，通过配方法求最小值. 【详解】插入一个数后，平均数为， 化简，得， 当时，取最小值. 3. 下列结论中正确的是（ ） A. 数据1，3，4，5，7，9，11，16的第三四分位数为9 B. 多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案个数可能有16个 C. 已知关于的经验回归方程为，则样本点的残差为22 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于选项A：先按分位数计算规则确定位置，再根据位置对应的数据判断是否正确，对于选项B：因为多选题正确答案至少为1个，所以计算4个选项的非空子集个数，判断是否符合结论，对于选项C：先求时的预测值，结合残差公式计算后判断结果是否正确，对于选项D：由条件结合正态分布曲线的对称性计算即可判断. 【详解】对于选项A，由条件可知该组数据包含个数据，第三四分位数即分位数， 又，因此第三四分位数为，A错误； 对于选项B，多选题正确答案为1个或多个，4个选项中每个选项有选/不选两种可能， 总情况为种，减去「都不选」的无效情况，共种可能的正确答案，B错误； 对于选项C，残差定义为：实际值减预测值， 将代入回归方程可得时的预测值， 故残差为 ，C错误， 对于选项D，正态分布的密度曲线的对称轴为， 因为，所以，由对称性得， 又因为该正态分布的对称轴为，所以， 所以，D正确. 4. 已知定义在R上的可导函数满足，不等式的解集为，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设，证明在R上为减函数，不等式的解集为，可得，求出即可得解. 【详解】根据题意，设， 则其导数， 又由满足，则有， 即在R上为减函数， 由，得，即 ， 若不等式的解集为，则有， 即有，， 则. 5. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 A. 12种 B. 18种 C. 36种 D. 54种 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意知，完成这一件事可分为两步：先将标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；再将其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B. 考点：排列与组合 6. 若一组样本数据的平均数为2，方差为4，则数据，的平均数和方差分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，，再利用平均数和方差公式可求得结果. 【详解】因为一组样本数据的平均数为2，方差为4， 则，可得，方差为，可得， 因此，对于数据， 平均数为， 方差为 ． 故选：A． 7. 若数列的前项积，则的最大值与最小值的和为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得，利用数列的增减性可得最值. 【详解】∵数列的前项积， 当时，， 当时，， ， 时也适合上式， ∴， ∴当时，数列单调递减，且， 当时，数列单调递减，且， 故的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值之和为2. 故选：C. 8. 利用“”可得到许多与n（且）有关的结论①，②，③，④，则结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先证明出，当且仅当时，等号成立，对于①，令，得到，累加后得到①正确；对于②，推导出，，当且仅当时等号成立，令，可得，累加后得到②正确；对于③，推导出，累加后得到③错误；对于④，将中的替换为，推导出，故，当且仅当时，等号成立，累加后得到④正确. 【详解】令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，也时最小值，， 故，当且仅当时，等号成立， 对于①，令，所以， 故， 其中 ， 所以，故①正确； 对于②，将中的替换为，可得，， 当且仅当时等号成立， 令，可得， 所以， 故， 其中 所以，故②正确； 对于③，将中的替换为，显然， 则， 故， 故，故③错误； 对于④，将中的替换为，其中，，则， 则，故，当且仅当时，等号成立， 则，故④正确. 故选：C 【点睛】思路点睛：导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常用到裂项相消法求和）达到证明的目的. 二、多选题 9. 有3台车床加工同一型号零件，第1台次品率为6%，第2，3台次品率为5%，加工的零件混在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件分别占总数的25%，30%，45%，记事件“任取一个零件为次品”，事件“零件为第台车床加工”（，2，3），则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用相互独立事件概率的乘法公式及条件概率公式分别求出各个选项的值即可判断各个选项的正误. 【详解】解：根据题意，故C正确； ， 则，故A正确； ，故B正确； ，故D错误. 故选：ABC. 10. 若，则（ ） A. B. C. D. | 【答案】BD 【解析】 【分析】令可计算出的值，可判断A；根据展开式对整数进行变形，写出展开式通项公式，求出，可判断 B；令结合的结果可计算出的值，判断C；分别令，，然后根据展开式的通项公式判断取值的正负即可计算出的值，判断D． 【详解】A．令，所以，故A错误； B．， 展开式通项公式为， 令得：，故，故B正确； C．令，所以，所以，故C错误； D．令，所以，又， 所以，， 又因为的展开式通项为，所以当为奇数时，项的系数为负数， 所以，故D正确. 故选：BD. 11. 已知是定义在R上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用函数的性质求出， 利用代入法当和当时求解析式,即可判断A、B；对于C，分别求出，在计算即可，对于D，由，利用等比数列的求和公式求.即可. 【详解】因为是奇函数，是偶函数， 所以， 所以 任取，则， 所以， 故A错误； 任取，则，， 所以， 故B正确； 因为，所以， 所以 ， 当且时， 所以 ， 当时，， 满足， 所以， 所以， 故C错误； 由C的结论，， 则， 故D正确， 故选：BD． 三、填空题 12. 的展开式的常数项是________（用数字作答） 【答案】240 【解析】 【分析】根据二项式的展开式的通项公式赋值即可求出． 【详解】因为的展开式的通项公式为， 令，解得． 所以的展开式的常数项是． 故答案为：240． 【点睛】本题主要考查利用二项式的展开式的通项公式求指定项，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 13. 已知随机变量，的五组观测数据如下表： 1 2 3 4 5 由表中数据通过模型得到经验回归方程为，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，则，求出，再根据线性回归方程必过样本中心点即可得解. 【详解】令， 则， 因为，所以， 所以，解得. 故答案为：. 14. 已知为常数，函数，若关于的方程有且只有四个不同的解，则实数的取值所构成的集合为______． 【答案】 【解析】 【分析】关于的方程有且只有四个不同的解等价于直线与的图像有四个不同的交点，画出与的图像，利用数形结合可得结果. 【详解】关于的方程有且只有四个不同的解，等价于直线与有四个不同的交点， 直线过定点，斜率为，当直线与相切时，由，令可得斜率； 当直线相切时，，由，可得斜率； 同理，当直线相切时，斜率， 画出与的图像， 如图，由图知，或时，与有四个交点，此时关于的方程有且只有四个不同的解， 故答案为：. 四、解答题 15. 设，，已知 （1）求实数的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）-2； （2）-2； （3）128. 【解析】 【分析】（1）根据二项式定理得到方程，求出； （2）赋值得到，，计算出答案； （3）令得到答案. 【小问1详解】 根据二项式定理可得， ，解得； 【小问2详解】 由（1）知，，令得 再令得 所以； 【小问3详解】 在式子中， 令可得 16. 已知函数(其中常数). （1）讨论的单调性； （2）若有两个极值点，且，求证：. 【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减．；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）求导得，记，，分两种情况讨论①当，②当，的正负，即的正负，进而得单调性； （2）由（1）知，，又，将代入函数解析式，构造，利用导数判断出单调性和最值，可证得结论成立． 【详解】（1）， 记，， ①当，即时，，故，所以在单调递增． ②当，即当时，有两个实根，， 注意到，（1）且对称轴，故，， 所以当或时，，，单调递增； 当时，，，单调递减． 综上所述，当时，在单调递增； 当时，在和上单调递增， 在上单调递减． （2）有两个极值点，且，为的极大值点 由（1）知，，又， 设 单调递增， 即 【点睛】关键点点睛：本题考查导数研究函数的单调性和证明不等式，解决本题的关键点是利用，将代入解析式化简，利用导数判断单调性和最值，证得命题成立，考查学生分类讨论思想和计算能力，属于中档题． 17. 为丰富学生的课余生活，某地举办了2025年数学文化知识挑战赛，举办方从中随机抽取了100名学生的成绩，并进行统计整理，现将成绩（满分100分）划分为四个分数段：，，，．已知，各分数段人数的频数统计如下表： 分数段 频数 10 30 m n （1）求m，n的值； （2）按成绩进行分层，采用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，设抽到的4人中成绩在内的人数为X，求X的分布列与期望； （3）由以往比赛成绩的数据分析可知，学生成绩．已知今年该地共有20000名学生参加比赛，估计成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频数总和为样本总数的性质来求解和的值. （2）先根据分层随机抽样的特征，确定抽取的10人中，成绩在内的人数，再确定的取值，通过组合数公式计算每个取值的概率，进而得到分布列和期望. （3）先求出和，再利用正态分布的性质和参考数据计算成绩在内的概率，最后根据总人数估计该区间内的学生人数. 【小问1详解】 已知抽取的学生总数为100名，即各分数段频数之和为100，可得到方程，化简得. 又因为，解得，. 【小问2详解】 计算分层抽样后成绩在内的人数：成绩在内的频数为人.从100人中抽取10人， 根据分层抽样的特征，抽取的10人中成绩在内的人数为人，那么成绩不在内的人数为人. 表示抽到的人中成绩在内的人数，所以的可能取值为，，，，. 计算取各个值的概率： . . . . . 列出的分布列： 可得. 【小问3详解】 已知，则，. ，. . 今年该地共20000名学生参加比赛，所以成绩在内的学生人数约为人. 18. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）函数． （ⅰ）当时，讨论函数在区间上的零点个数； （ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）递增区间，递减区间. （2）（i）当时，函数在上无零点；当时，函数在上有且仅有一个零点. （ii）. 【解析】 【分析】（1）求导，判断导数正负，得解； （2）（ⅰ）求出函数的解析式，求导判断单调性结合零点存在性定理求解；（ii）由题可得，令，设函数，，求导讨论判断函数单调性，求解. 【小问1详解】 当时，，则，， 令，则， 所以在上单调递减，又， 所以当时，，当时，， 即当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 （ⅰ）由题可得， 令，则， 当时，在上恒成立，所以在上单调递减， 又，， 当时，，此时函数在上无零点； 当时，，此时函数在上有且仅有一个零点. （ii）当时，可化为，即， 令，设函数，， 则， 当，即时，函数在上单调递增， 所以，即且不恒为零， 所以函数在上单调递增，所以， 即不等式在上恒成立； 当，即时，在上，函数单调递减， 故，即， 所以函数在区间上单调递减， 故存在使得，不合题意； 综上，实数的取值范围为. 19. 将连续正整数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数．例如：当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． （1）求； （2）当时，求的表达式； （3）令为这个数中数字9的个数，为这个数中数字0的个数，，，求当时的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意，其中数字0有12个，即可得概率； （2）考虑，依次计算得结果； （3）考虑，，三种情况，得的解析式，进而有，再求概率的最值； 【小问1详解】 当时，有，即这个数字共有195个数字， 其中数字0的个数有12个，所以恰好取得0的概率； 【小问2详解】 当，这个数由n个1位数组成，； 当，这个数由9个一位数，个两位数组成，； 当，这个数由9个一位数，个两位数，个三位数组成，； 当，这个数由9个一位数，个两位数，个三位数，个四位数组成，； 综上，. 【小问3详解】 当时，； 当时，； 当时，， 所以， 同理， 所以，则， 当，则， 当，， 当，， 当，， 由关于单调递增， 当，最大值为， 又，所以时最大值为. 【点睛】关键点点睛：函数的解析式，概率的计算，最值问题，（2）要考虑四种情况，依次计算；（3）考虑，，三种情况，得到的解析式，得到是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 卓越高二6月检测数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设随机变量，若，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 2. 在一组数据1，2，4，5，8中插入一个数后，该组数据的方差为，则的下列取值中，使得最小的是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3. 下列结论中正确的是（ ） A. 数据1，3，4，5，7，9，11，16的第三四分位数为9 B. 多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案个数可能有16个 C. 已知关于的经验回归方程为，则样本点的残差为22 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 4. 已知定义在R上的可导函数满足，不等式的解集为，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 A. 12种 B. 18种 C. 36种 D. 54种 6. 若一组样本数据的平均数为2，方差为4，则数据，的平均数和方差分别为（ ） A. B. C. D. 7. 若数列的前项积，则的最大值与最小值的和为（ ） A. B. C. 2 D. 3 8. 利用“”可得到许多与n（且）有关的结论①，②，③，④，则结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、多选题 9. 有3台车床加工同一型号零件，第1台次品率为6%，第2，3台次品率为5%，加工的零件混在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件分别占总数的25%，30%，45%，记事件“任取一个零件为次品”，事件“零件为第台车床加工”（，2，3），则（ ） A. B. C. D. 10. 若，则（ ） A. B. C. D. | 11. 已知是定义在R上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. D. 三、填空题 12. 的展开式的常数项是________（用数字作答） 13. 已知随机变量，的五组观测数据如下表： 1 2 3 4 5 由表中数据通过模型得到经验回归方程为，则实数的值为______． 14. 已知为常数，函数，若关于的方程有且只有四个不同的解，则实数的取值所构成的集合为______． 四、解答题 15. 设，，已知 （1）求实数的值； （2）求的值； （3）求的值. 16. 已知函数(其中常数). （1）讨论的单调性； （2）若有两个极值点，且，求证：. 17. 为丰富学生的课余生活，某地举办了2025年数学文化知识挑战赛，举办方从中随机抽取了100名学生的成绩，并进行统计整理，现将成绩（满分100分）划分为四个分数段：，，，．已知，各分数段人数的频数统计如下表： 分数段 频数 10 30 m n （1）求m，n的值； （2）按成绩进行分层，采用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，设抽到的4人中成绩在内的人数为X，求X的分布列与期望； （3）由以往比赛成绩的数据分析可知，学生成绩．已知今年该地共有20000名学生参加比赛，估计成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 18. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）函数． （ⅰ）当时，讨论函数在区间上的零点个数； （ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 19. 将连续正整数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数．例如：当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． （1）求； （2）当时，求的表达式； （3）令为这个数中数字9的个数，为这个数中数字0的个数，，，求当时的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $