精品解析：山东高密市第一中学卓越部2025-2026学年高二5月检测数学试题

卓越高二5月检测数学试题 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 3. 一个袋子中有个红球和个白球，这些小球除颜色外没有其他差异从中不放回地抽取个球，每次只取个设事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，则概率是（ ） A. B. C. D. 4. 《莱因德纸草书》（）是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目，请给出答案：把个面包分给个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数，函数的值域为，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数有且仅有两个零点，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二､多项选择题：本大题共3小题.每小题6分，共18分. 9. 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的定义域为，为的导函数，满足且，则以下结论正确的是（ ） A. B. 过原点且与相切的直线方程为 C. 不等式的解集是 D. 若恰有两个整数解，则k的取值范围是 11. 在质量检测中，常用“尾概率”来度量某项指标偏离期望值的可能性大小．某质检部门拟对件产品逐件进行质量检测，假设每件产品检测达标的概率均为，且各件产品检测结果互不影响，记n件产品中检测达标的件数为X，其相应的“尾概率”，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 对于任意， 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某人工智能博览会有4个不同的场馆，甲、乙两人各自从中随机选择2个去参观，记这4个场馆中被参观的场馆个数为，则的数学期望为____________． 13. 已知关于的方程组恰有一组解，其中为自然常数（），则的值为__________． 14. 甲､乙两人进行抽卡游戏：每一局游戏中，将编号分别为的张卡片的背面朝上并搅匀，甲先从中随机抽取张卡片，乙再从剩下的卡片中随机抽取张卡片.记为甲抽取的张卡片中较大编号者的编号，为乙抽取的卡片的编号，当时，称该局为“默契局”，则一局游戏成为“默契局”的概率为__________；游戏规定：出现“默契局”时，乙得分，甲得分，否则乙得分，甲得分，则三局游戏后甲､乙两人得分之和的数学期望__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设，函数． （1）若函数有大于零的极值点，求实数a的取值范围； （2）若函数在其定义域上不是单调函数，求实数a的取值范围． 16. 某学校组织了网络安全知识竞赛，有A，两类问题，每位参加比赛的同学回答2次，每次回答一个问题，若回答错误，则下一个问题从另一类中随机抽取一个回答；若回答正确，则继续从该类中随机抽取一个回答．A类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为0.7，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． （1）若且小明先回答类问题，记为小明累计得分，求的分布列； （2）若小明先回答A类问题，当为何值时累计得分的期望最大？ 17. 已知数列的前n项和为，，是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前2n项和． 18. 已知函数． （1）设函数，求的最小值； （2）对任意，都有，求k的取值范围； （3）对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求m的取值范围． 19. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元，某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，作比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件A=“学生报名参加答题活动”，B=“学生为男生”，据统计 （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？ 性别 男生 女生 合计 报名参加答题活动 未报名参加答题活动 合计 100 （2）网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定；每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第道题答完，本轮答题结束．已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为 ①求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望； ②假设甲同学每轮答题对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分．记甲答题累计得分为的概率为，求的最大值． 参考公式与数据： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 卓越高二5月检测数学试题 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊值说明充分性不成立，根据单调性得到，即可说明必要性成立，从而得解. 【详解】当，满足，但是，显然是递减数列，故充分性不成立， 当是递增数列，则， 若，则单调递减，显然不恒成立， 所以，所以必要性成立， 所以“”是“是递增数列”的必要不充分条件. 故选：B 2. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【详解】因为随机变量X服从正态分布，所以， 由正态分布的对称性得 ，故B正确. 3. 一个袋子中有个红球和个白球，这些小球除颜色外没有其他差异从中不放回地抽取个球，每次只取个设事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，则概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求出和，进而由条件概率公式计算可得答案． 【详解】解：根据题意，事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”， 则，， 则． 故选：A． 4. 《莱因德纸草书》（）是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目，请给出答案：把个面包分给个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据总和及题目条件列方程组求解即可. 【详解】设人所得面包数为递增等差数列，首项（即最小的一份）为所求，公差. 因为份总和为，由等差数列前项和公式， ​化简得 ①， 较大的三份为后三项​，较小的两份为前两项​， 由题意， 代入通项公式展开得， 化简得②， 把②代入①得，即，解得. 因此最小的一份为​. 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将的大小比较转化为比较，构造函数，即比较，求导分析函数的单调性可得结果. 【详解】依题意，，，， 令，，则，所以当时，， 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，所以，即，即. 6. 将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列与的项找到它们公共项的规律，即得数列的各项的规律，确定其通项公式，再用裂项求和的方法即可求得答案. 【详解】数列是以1为首项的奇数列，即， 数列是以1为首项，公差为3的奇偶交错的等差数列，即， 故数列与的公共项所构成的新数列为，即首项为，公差为的等差数列，即， . 故选：A. 7. 已知实数，函数的值域为，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的值域可得 ，令 ，，利用导数判断的单调性，利用单调性解不等式. 【详解】因为在内单调递增，则 ， 可知函数在内的值域为； 又因为在内单调递增，则 ， 可知函数在内的值域为； 由题意可知： ，即 ， 令 ，，则， 因为， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 又因为，且， 则不等式的解集为，所以实数a的取值范围为. 8. 若函数有且仅有两个零点，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求出函数的极大值和极小值，再由函数有极大值为0或极小值为0求出的函数关系，换元并利用导数求出最小值即可. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当时，恒成立，函数在R上单调递增，最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得或， 令，则函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值， 而当时，，当时，， 由函数有且仅有两个零点，得，即，或，即， 则，令，则，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以的最小值为. 二､多项选择题：本大题共3小题.每小题6分，共18分. 9. 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，由题意得：，，正确； 对于B，，，错误; 对于C，，正确； 对于D，，错误. 10. 已知函数的定义域为，为的导函数，满足且，则以下结论正确的是（ ） A. B. 过原点且与相切的直线方程为 C. 不等式的解集是 D. 若恰有两个整数解，则k的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对条件同时乘得出导函数，得出，由得出判断A即可；根据过一点求切线方程即可判断B；对求导，利用单调性求解即可判断C； 根据，要使恰有2个整数解，，计算即可判断D. 【详解】A选项，由，， 可得，即， 故，为常数，由，可得， 故，，故A正确： B选项，设切点为，，设切线斜率为，则， 所以切线方程为，即， 因为切线过原点，所以， 解得，，所以，切线方程为.故B正确； C选项，， 故当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为， 又，时，，时，， 且时，，时，； 当时，，当时，， 的解集是，故C错误； D选项，因为，所以要使恰有2个整数解， 则整数解为2和3，所以，即，化简得； 故实数k的取值范围是，故D正确. 11. 在质量检测中，常用“尾概率”来度量某项指标偏离期望值的可能性大小．某质检部门拟对件产品逐件进行质量检测，假设每件产品检测达标的概率均为，且各件产品检测结果互不影响，记n件产品中检测达标的件数为X，其相应的“尾概率”，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 对于任意， 【答案】ACD 【解析】 【分析】明确，，，尾概率，再逐一分析各选项． 【详解】选项A，若，则 ，，，， ：， ，等号成立； ：，，等号成立； ：，而，故恒成立，A正确. 选项B，若，取反例：，则，取. ， ， 此时 ，原不等式并非恒成立，B错误； 选项C，若，则： ，故事件包含于 ，因此 ，故事件 包含于 ，因此， 相加得：，C正确. 选项D，利用切比雪夫不等式：对任意，有， 对于二项分布，，， 因此：对任意，，D正确． 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某人工智能博览会有4个不同的场馆，甲、乙两人各自从中随机选择2个去参观，记这4个场馆中被参观的场馆个数为，则的数学期望为____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定的所有可能取值，分别计算取每个值的概率，再将的取值与对应概率代入公式计算即可. 【详解】为被参观的场馆个数，可能取值为， 甲乙各选个场馆，总的选法为种， （两人选的场馆完全相同）：共种，故， （两人恰好有1个共同场馆）：甲选2个后，乙从甲的2个中选1个、从甲未选的2个中选1个，共种，故， （两人选的场馆完全不同）：共种，故， . 13. 已知关于的方程组恰有一组解，其中为自然常数（），则的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意得与圆相切于点，根据导数的几何意义，可得曲线在点处切线的斜率，根据斜率公式，求出切点与圆心连线的斜率，由题意，整理计算，代入求解，可得的值，即可得答案． 【详解】由题意得与圆相切于点， ，则曲线在点处切线的斜率， 切点与圆心连线的斜率， 由题意得，即， 又，所以， 又，则， 令，所以，解得或（舍）， 所以，解得， 则，所以． 14. 甲､乙两人进行抽卡游戏：每一局游戏中，将编号分别为的张卡片的背面朝上并搅匀，甲先从中随机抽取张卡片，乙再从剩下的卡片中随机抽取张卡片.记为甲抽取的张卡片中较大编号者的编号，为乙抽取的卡片的编号，当时，称该局为“默契局”，则一局游戏成为“默契局”的概率为__________；游戏规定：出现“默契局”时，乙得分，甲得分，否则乙得分，甲得分，则三局游戏后甲､乙两人得分之和的数学期望__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①根据的可能取值分类讨论即可，②先考虑单局游戏得分之和的数学期望，再根据每局游戏是相互独立的，从而计算结果. 【详解】①甲先从张卡片中随机抽取张，有种组合，乙从剩下的张中随机抽取张，有种组合， 因此一局游戏中甲乙抽卡的所有可能结果总数为种， 甲抽取张卡片中较大编号为，乙抽取张卡片编号为，“默契局”的条件是， 由题意可知，的可能取值是， 当时，甲抽到的卡片只能是，此时需满足，则乙只能抽到，情况数为种； 当时，甲抽到的卡片可以是或，此时需满足，则乙可以抽到或，情况数为种； 当时，甲抽到的卡片可以是或或，此时需满足，则乙可以抽到或或，情况数为种； 当时，甲抽到的卡片可以是或或或，此时需满足，则乙可以抽到或或，情况数为种； 当时，甲抽到的卡片可以是或或或或，此时需满足，则乙可以抽到或，情况数为种； 当时，甲抽到的卡片可以是或或或或或，此时需满足，则乙只能抽到，情况数为种； 当时，甲抽到的卡片可以是或或或或或或，此时需满足，没有满足条件的，情况数为种； 因此，“默契局”的总情况数为种，一局游戏成为“默契局”的概率为. ②设单局游戏中甲乙得分之和为，则 如果是“默契局”：乙得分，甲得分，此时，概率为； 如果不是“默契局”：乙得分，甲得分，此时，概率为； 则单局得分之和的期望为， 由于三局游戏是相互独立的，总得分之和是三局得分之和的累加，根据数学期望的线性性质，有. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设，函数． （1）若函数有大于零的极值点，求实数a的取值范围； （2）若函数在其定义域上不是单调函数，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求导函数的零点，再根据极值点为正数，解不等式求解； （2）首先求函数的导数，求函数为单调函数时得到取值范围，再求其补集. 【小问1详解】 ，当时，恒成立，函数单调递增，不存在极值点， 当时，，为一次增函数，也不存在极值点， 若函数有大于零的极值点，则， 令，得， 则，得，解得； 【小问2详解】 ，， ，若函数是单调函数， 则或恒成立， 即或，则或， 所以在其定义域上不是单调函数，则. 16. 某学校组织了网络安全知识竞赛，有A，两类问题，每位参加比赛的同学回答2次，每次回答一个问题，若回答错误，则下一个问题从另一类中随机抽取一个回答；若回答正确，则继续从该类中随机抽取一个回答．A类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为0.7，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． （1）若且小明先回答类问题，记为小明累计得分，求的分布列； （2）若小明先回答A类问题，当为何值时累计得分的期望最大？ 【答案】（1）分布列见解析； （2）当时累计得分的期望最大. 【解析】 【分析】（1）由题设写出随机变量的取值并求出相应取值的概率即可得解； （2）先求出累计得分的期望表达式，再根据函数性质求最大值. 【小问1详解】 由题可得， 且，，，， 所以的分布列为 X 0 10 30 60 P 【小问2详解】 设累计得分为Y，则, 且，，，， 所以累计得分的期望为 ， 因为，， 所以当时，累计得分的期望最大为. 17. 已知数列的前n项和为，，是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前2n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式得，再利用即可求解； （2）先利用分组求和，再利用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 由是公差为的等差数列，且， 所以，所以， 当时，，解得， 当时，由得，所以， 即，所以， 所以数列为常数列，所以，即， 当时，， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 所以 ， 令①， 所以②， 由①②有：， 所以， 所以. 18. 已知函数． （1）设函数，求的最小值； （2）对任意，都有，求k的取值范围； （3）对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）可知，，求导，利用导数分析单调性和最值； （2）参变分离可得，，令，，利用导数分析的单调性和最值，即可得结果； （3）参变分离可得对任意，与在内有且仅有1个交点，可知在内单调递增，求导，结合（1）中结论分析求解. 【小问1详解】 由题意可知：，，则， 可知在内单调递增，且， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以在内的最小值为. 【小问2详解】 若，，可得， 原题意等价于在内恒成立， 令，，则， 令，，则， 由（1）可知：在内单调递增，则， 可得，可知在内单调递增， 则，可得，可知在内单调递增， 则，可得， 所以实数k的取值范围为. 【小问3详解】 令，，则， 原题意等价于对任意，与在内有且仅有1个交点， 则在内的值域为，且为单调函数， 且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于； 可知在内单调递增， 则在内恒成立， 可得，即在内恒成立， 因为， 由（1）可知：当时，，即； 当时，，即； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 可得，即， 所以实数m的取值范围为. 19. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元，某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，作比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件A=“学生报名参加答题活动”，B=“学生为男生”，据统计 （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？ 性别 男生 女生 合计 报名参加答题活动 未报名参加答题活动 合计 100 （2）网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定；每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第道题答完，本轮答题结束．已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为 ①求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望； ②假设甲同学每轮答题对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分．记甲答题累计得分为的概率为，求的最大值． 参考公式与数据： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）填表见解析；该校学生报名参加答题活动与性别有关联 （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）根据题设，结合条件概率的定义求出数据，进而完成2×2列联表，再计算出的值判断即可； （2）①首先列出的概率表达式，然后用数学期望公式将它的数学期望表达式列出来，进行化简和错位相减从而得到数学期望； ②根据题意可得时，，然后通过构造可得数列是首项为，公比为的等比数列，求出，然后可求其最大值. 【小问1详解】 根据已知条件得，报名人数为，未报名参加答题活动的人数为55人， 报名参加答题活动的男生人数为人，报名的女生为15人， 设男生人数合计为人，则 列联表如下： 性别 男生 女生 合计 报名参加答题活动 30 15 45 未报名参加答题活动 20 35 55 合计 50 50 100 假设该校报名参加答题活动与性别没关联． 计算 比较临界值，因为9.09>7.879，所以拒绝假设（即不成立）， 即该校学生报名参加答题活动与性别有关联． 【小问2详解】 ①由题意得 ① ② ①－②得： ②依题意甲同学每轮答题得1分的概率为，得2分的概率为， 甲同学答题得n分即得后得1分下一轮得或得后下一轮得2分， ， 而， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． ， 显然当n-1为奇数时，有最大值；此时是递减涵数， 故的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $