山东泰安市泰山区2025-2026学年高二下学期数学期末考试押题模拟卷

**基本信息** 聚焦高二数学核心知识，以函数、概率统计为重点，通过汽车模型、人工智能课程等真实情境设计问题，强化数学思维与数据意识，适配期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|集合运算、函数奇偶性与切线、排列组合|结合散点图分析考查数学眼光| |多选题|3题18分|二项式系数、函数零点|多选项设计区分逻辑推理能力| |填空题|3题15分|分段函数求值、二项式定理|小切口考查运算准确性| |解答题|5题77分|概率统计（汽车模型）、独立性检验（人工智能课程）、导数综合|真实情境问题（如第18题课程评分）体现数据观念，导数题（第19题）强化逻辑推理与证明|

山东省泰安市泰山区2026年高二下学期期末考试押题模拟卷 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）集合,,则（　　） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知，则函数的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）某单位劳动节共有五天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从A、B、C、D、E、F、G七人中选择五人值班，每名员工最多值班一天，已知A不在第一天值班，B不在第五天值班，则值班安排共有（   ） A．1740种 B．1760种 C．1800种 D．1860种 5．（本题5分）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）对某种动物的三项指标，，进行调查研究.现有这种动物若干只，设每只动物的这三项指标为.若与的散点图如图1和图2所示，那么关于的散点图最合理的为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）函数对任意、总有，当时，，，则下列命题中正确的个数是（    ） ①是偶函数； ②是上的减函数； ③在上的最小值为； ④若，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 8．（本题5分）下列说法错误的是（    ） A．已知的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的系数为108 B．袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中2个红球､3个白球，现从袋中不放回地连续取球两次，每次取1个球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为 C．若随机变量，则 D．若随机变量，则 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）下列四个命题中为真命题的是（   ） A．已知，且，则 B．二项式的展开式中的常数项是45 C．若随机变量A，B满足：，，则A，B相互独立 D．从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为 11．（本题6分）已知函数（为常数），则下列结论正确的是（    ） A．当时，无极值点 B．当时，恒成立 C．若有3个零点，则取值范围为 D．当时，有唯一零点，则 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）设，则______. 13．（本题5分）在的展开式中含项的系数为，则展开式中二项式系数最大的是第_______项． 14．（本题5分）已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则______. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 16．（本题15分）已知函数是偶函数，是奇函数，且． (1)求和的解析式； (2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围； 17．（本题15分）下表为某汽车模型公司共有个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 7 米色内饰 3 5 (1)若小明从这些模型中随机抽一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B为取到的模型是米色内饰，求，，并据此判断事件A，B是否相互独立． (2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中抽两个汽车模型．现做出如下假设： 假设1．抽取的情况有三种可能，外观和内饰均同色、外观和内饰均异色、外观和内饰恰有一种同色； 假设2．一等奖为元，二等奖为元，三等奖为元； 假设3．按抽到的结果的概率大小，概率越小，奖金越高． 请你帮该公司判断哪种情况分别为一、二、三等奖．设奖金为X，写出X的分布列，并求X的期望． 18．（本题17分）2025年，教育部推广“人工智能线上课程”试点应用．某中学随机抽取100名学生（男生与女生的人数之比为）对该线上课程进行评分（满分100分）．规定：评分不低于80分视为满意．其得分情况的频率分布直方图如图所示，已知评分不低于70分的频率为0.85．    (1)估计100名学生对人工智能线上课程评分的平均值；（每组数据用该组的区间中点值为代表） (2)结合频率分布直方图，请完成以下列联表，并回答能否有的把握认为对“人工智能线上课程是否满意与性别有关”．      性别态度      满意 不满意 合计 男生 女生 10 合计 100 ，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 19．（本题17分）已知函数 (1)设函数，不等式对任意的恒成立，求的取值范围． (2)若有两个极值点. （i）求的取值范围； （ii）求证：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市泰山区2026年高二下学期期末考试押题模拟卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C D A A B B ACD ABC 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】解出集合的对数不等式，再利用交集运算即可. 【详解】由题可得：，所以，解得， 所以，所以. 故选：A. 2．B 【分析】由题可得当时，，然后由点斜式可得切线方程. 【详解】因为奇函数，当时，， 则当时，， 从而，则曲线在点处的切线方程是： 即. 故选：B 3．C 【分析】令、、，结合导数研究的单调性及值域判断可能的图象，即可得答案. 【详解】当时，且，则， 所以上 ，递增；上 ，递减，且， 所以A图象可能； 当时，且，则， 所以上，递减，上 ，递增，上 ，递减， 所以B图象可能； 当时，且，则， 所以上，递增，上 ，递减，上 ，递减， 又时，而时， 所以D图象可能； 综上，排除A、B、D. 故选：C 4．D 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理，结合排列、组合计数问题列式计算即得. 【详解】若A、B不值班，值班安排有种； 若A、B只有一人不值班，值班安排有种； 若A、B都值班，值班安排有种， 所以值班安排共有1860种. 故选：D. 5．A 【分析】由题知，对变量进行分情况讨论，把恒成立问题转化为函数最值性问题，利用导数处理函数最值即可解得的取值范围. 【详解】，， ①时，成立，； ②时，，令，， 所以在单调递减，在单调递减，在单调递增， 所以时，，则， 又在单调递增，所以得解为； ③时，，又在单调递减，此时， 所以； 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 6．A 【分析】利用排除法，分析可知指标，满足负相关，结合图象指标的范围分析判断即可. 【详解】因为指标，满足正相关，指标，满足负相关， 可知指标，满足负相关，故C错误； 且，可知BD错误； 故选：A. 7．B 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断①；利用函数单调性的定义可判断②；利用函数单调性可知在上的最小值为，利用赋值法求出的值，可判断③；将所求不等式变形为，结合函数的单调性解此不等式，可判断④. 【详解】对于①，取，则，解得， 令，则，即，且函数的定义域是， 所以函数是奇函数，故①错误； 对于②，令、，且，则， 因为当时，，所以， 则，即， 函数是上的减函数，故②正确； 对于③，因为函数是上的减函数， 所以函数在上的最小值为， 又， ，故， 在上的最小值为，故③错误； 对于④，，即， 因为函数是上的减函数，所以，解得， 所以实数的取值范围为，故④正确， 故选：B. 8．B 【分析】A由系数和得，再由二项式定理求对应项系数；B由条件概率公式求概率；C利用正态分布的对称性求概率；D由二项分布的方差公式及方差的性质求方差. 【详解】对于选项A：令，则， ，， 的系数为，A正确； 对于选项B：设“第一次取得红球”为事件 ，“第二次取得白球”为事件， ，则，B错误； 对于选项C：由题意，，C正确； 对于选项D：，D正确. 9．ACD 【分析】利用赋值法求二项展开式的系数即可. 【详解】对于A，令，，故A正确； 对于B，令，，故B错误； 对于C，令，， 结合，所以，故C正确； 对于D，令，，故D正确； 故选：ACD. 10．ABC 【分析】利用二项分布期望公式计算判断A；利用二项式定理求出常数项判断B；利用相互独立事件的定义判断C；求出概率判断D. 【详解】对于A，依题意，，解得，A正确； 对于B，的展开式中的常数项为，B正确； 对于C，由，得， 即，A，B相互独立，C正确； 对于D，取得2件次品的概率为，D错误. 故选：ABC 11．ACD 【分析】对于AB：将和代入，判断函数单调性，利用单调性求极值最值即可求解；对于C：将问题转化为，构造函数，利用导数求单调性和极值，然后画图求解；对于D：利用零点存在定理求解. 【详解】对于A：当时，，求导可得， 令，求导可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，，所以在上单调递增， 所以无极值点，所以A正确； 对于B：当时，， 求导可得， 令，求导可得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，所以，所以在上单调递增， 又，故B错误； 对于C：令， 当时，显然，则， 记，则， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又，当和时，， 函数的图象如下： 所以若有3个零点，则的范围为， 则的范围为，故C正确； 对于D：当时，，求导可得， 令，求导可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，，所以在上单调递增， 又，， 由零点存在定理可得有唯一零点，且，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 12．1 【分析】根据分段函数的解析式，从内到外运算求解即可． 【详解】由题意，， 则． 故答案为：1． 13． 【分析】写出二项展开式通项，令的指数为，结合题干条件可得出关于参数的方程组，解出的值，结合二项式系数的性质可得结果. 【详解】根据二项式定理可知的展开式的通项为 ． 由已知可得，解得， 根据二项式定理的性质可知，该展开式共有7项，则二项式系数最大的是第项． 14． 【分析】根据题设在上取得最小值，讨论、、，应用分类讨论及导数研究函数的最值确定参数即可. 【详解】由在上恒成立，即在上取得最小值， 对于，图象开口向上且对称轴为， 若，即时，， 在上单调递减， 在上单调递增， 此时，故，则最小值， 而在上单调递增，故， 综上，满足题设； 若，即时，在上， 在上，则，即单调递增，所以， 综上，满足题设； 若，即时，最小值在上取得， 由于，在上，即单调递减， 在上，即单调递增， 所以最小值在处取得，此时，与前提矛盾； 综上，. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据题设有在上取得最小值，结合二次函数的性质、导数研究函数的最小值得到关于参数a的方程为关键. 15．(1) (2)或 【分析】（1）时，根据题意可解集合，然后根据集合的交并补运算即可； （2）由，可得，讨论参数和的情况，根据列出不等式，再解不等式即可. 【详解】（1）,， 所以或， 当时，， 所以. （2）由，则， 当时，，满足要求； 当时，，； 由，则， 综上，的取值范围是或. 16．(1) (2) 【分析】（1）利用函数的奇偶性，列出方程组，即可求得答案； （2）分离参数，可得在区间上恒成立，继而构造函数，将问题转化为求解函数最值问题，即可求得答案. 【详解】（1）因为函数是偶函数，是奇函数，且， 故，即， 故可得，解得， 即. （2）由，可得， 结合题意可知在区间上恒成立； 由于均为R上单调递减函数，故在区间上单调递减， 故， 故在区间上恒成立； 设，则， 由于在上单调递增，故在上单调递减， 则在上单调递增， 故， 故实数的取值范围为. 17．(1)，，A，B不相互独立； (2)一等奖：外观和内饰均异色；二等奖：外观和内饰均同色；三等奖：外观和内饰恰有1个同色，分布列见解析；期望为． 【分析】（1）根据古典概型的概率计算，结合条件概率的公式与独立事件的判断方法即可得； （2）典概型的概率计算与组合数的计算，可求得三种情况的概率，再得分布列及数学期望． 【详解】（1）因为汽车模型总共有个，即，事件A包含共个汽车模型，即， 且每个汽车模型被抽到的可能性相等，根据古典概率模型得，. 又因为事件B包含共个汽车模型，即. 又因为事件包含3个汽车模型，即，， 由条件概率公式得， 所以，故事件A，B不相互独立． （2）①当抽取的2辆汽车模型的外观和内饰均同色时，则在4款汽车模型中每款中抽2辆， 共有种结果，所以概率为. ②当抽取的2辆汽车模型的外观和内饰均异色， 则只能从红色外观棕色内饰抽的汽车模型抽取1辆且从蓝色外观米色内饰的汽车模型抽1辆， 或者红色外观米色内饰的汽车模型中抽取1辆且从蓝色外观棕色内饰的汽车模型中抽取1辆，共有， 所以概率为. ③当抽取的2辆汽车模型的外观和内饰恰有1个同色，则有以下四种情况： 2辆汽车模型的外观均为红色且内饰颜色不同的有种， 2辆汽车模型的外观均为蓝色且内饰颜色不同的有种， 2辆汽车模型的内饰均为棕色且外观颜色不同的有， 2辆汽车模型的内饰均为米色且外观颜色不同的有， 所以概率为. ∵，∴一等奖：外观和内饰均异色； 二等奖：外观和内饰均同色，三等奖：外观和内饰恰有1个同色． ∴，，， 其分布列为 X P ∴． 18．(1)80 (2)列联表见解析，有的把握认为对“人工智能线上课程是否满意与性别有关” 【分析】（1）结合频率分布直方图，根据评分不低于70分的频率为0.85即可列式求出a，b；再根据平均数的求解即可求解； （2）完成列联表，求出与表格中数据对比即可判断． 【详解】（1）由已知得，解得， 又，解得， 评分的平均值为． （2）不满意的学生人数为人， 完成列联表如下表：      态度性别 满意 不满意 合计 男生 25 35 60 女生 30 10 40 合计 55 45 100 则， 有的把握认为对“人工智能线上课程是否满意与性别有关”． 19．(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）代入然后求导，对，讨论判断； （2）（i）法一：等价转化方程有两个不同的变号根等价有两个不同的根，然后构建函数研究性质即可；法二：直接求导，然后利用二阶导，求出最小值判断即可；（ii）构建函数，然后求导可判断，然后构建函数，可知，最后可得结果. 【详解】（1）由，得，， 当时，，，在上单调递增， 所以，不等式恒成立；            当时，，当时，， 所以在上单调递减，，与已知不等式矛盾. 故； （2）（i）法一：由（），求导得， 由题意得方程有两个不同的变号根， 即：有两个不同的根， 设，则， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增，所以， 又时，；时，，所以.        法二：由，求导可得，令， 由题意得函数存在两个不同的变号零点，则， 令，解得，当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增，所以， 当，即时，不合题意； 当时，由， 令，求导可得， 当时，，则在上单调递增， 所以，则， 由，则当时，函数存在两个不同的变号零点， 可得，解得. （ii）证明：由（i）知：为方程的两个不等的实根，不妨设， 令， 求导可得，由，当且仅当时取等号，则， 所以函数在上单调递增，由，则当时，可得， 由，且在上单调递减， 则，可得； 由当时，，则函数在上单调递减， 由，则，所以， 要证，只需证，由， 则令，求导可得，令， 则，所以函数在上单调递增，， 则当时，，即， 所以函数在上单调递增，又， 则当时，， 所以不等式在上恒成立，可得。 综上所述，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $