2026年江苏省南京市中考数学试题

2026年南京中考数学 【学生回忆版】 一、选择题 1.-2的相反数 A.2 B.-2 c n. 4.一个几何体的三视图如下，则这个几何体是 ) 主视图 左视图 俯视图 A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 5.跳绳成绩，甲组平均96个，乙组平均100个，丙组平均104个，最后全部平均成绩102个，问哪组人数最 多 () A.甲组人数最多B.乙组人数最多 C.丙组人数最多D.三组人数一样多 6.如图，在菱形ABCD中，∠B=54°，现将菱形ABCD饶点B逆时针旋转16°得菱形A'BCD',连接DD', 则∠D'DC=? () A.108° B.109 C.110° D.111° 二、填空题 7.在数轴上表示-2的点与表示3的点之间的距离是 ( 8.比较大小：7.9×100 1.1×101. {1 u Qq6 u .计算- 9 x√2= 14.正方形ABCD中，点O为对称中心，EF过点O且点E在AD上，点F在BC上，BF-3,CF-1, 则EF= E D 15.已知二次函数y=ax2+bx(a<0)过点(-1，m),(L,m+2),则m的取值范围为 16.如图，在△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，以A、B两点为端点作圆弧，使得AB上的所有点都落在 △ABC的边界及内部，则AB所对的圆心角∠AOB的取值范围是 A 0· B 三、解答题 17.化简： {2 u Qg 6 u 18.求证：当n为整数时，(n+2)-(3n+4)能被2整除. 19.己知两直线=+1与y2=-2x+b交于(1,2)， (1)计算k与b的值； (2)若>y2,求x的取值范围. 20.一个袋子里装有红球，白球各一个，摸出其中一个球之后再次放回，然后再摸一次，若两次摸出的球 的颜色不同，我们将其对应的概率记为乃，若一个袋子中装有红球10个，白球20个，摸出其中一个球 之后再次放回，然后再摸一次，若两次摸出的球的颜色不同，我们将其对应的概率记为乃. (1)求的值： (2)比较日与乃的大小. 22.一支竹竿插在水底固定处，第一次露出水平面3尺，第二次露出水平面4尺，己知两次与水平面的夹角 分别是59与62，求竹竿的长度与水底固定处到水平面的距离，（血9”号sm62°~号) 4尺/3尺/ 水平面----一 62°53 水底固定处 {3 u Qg 6 u 23.如图，四边形ABCD和EFCG均为矩形，AD=9m,AB=6m,BG-DF=xm,休闲区的储水量为3Lm'. A 休闲区 E 种菜区 B (1)种菜区的面积为 m,休闲区能接的雨水量为 L.(用含有x的代数式表示) (2)若种菜区每平方米需要L水，休闲区接的水恰好够灌溉种菜区，求x的值. (2026南京中考第24题) 24.已知△ABC,按照以下要求用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明 (I)在AC、BC上各确定一点E、F,使EF∥AB,且EF=AB: (2)在AC、BC上各确定一点G、P,使GP∥AB,且GP-. {4 u Qa 6 u 25.已知：Rt△ABC中，∠C=90°，F、G为AC、BC边上的点，且DF⊥AB,EG⊥AB. 求证：(1)△ADF∽△GEB; (2)∠B=30°，AB=6,DE-2,△ADF∽△GCF,求AD的长 c G B 26、如图，有一座抛物线形拱桥，桥的两端分别为点A、B,顶点为D,点C是AB的中点且AC=CB=1Om, CD=10.拱桥右侧远处有一座山，山顶记为点F,山高为331，已知山顶F到点A的水平距离为 364m. (I)请建立适当的直角坐标系，并求出该抛物线形拱桥的函数表达式. (2)若一人站在拱桥上的点P处，且点P到点A的水平距离为2，人的眼睛位置为点Q,点Q在点P 的正上方，且PQ=1.6m,请判断人眼在点Q处能否直接看到山顶F,并说明理由. (3)下列结论中，正确的是 ①在拱桥的AD段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等： ②在拱桥的BD段有一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等； ③人从点D走到点B的过程中，当人位于点D时，眼睛Q点到山顶F的距离最近： ④人从点D走到点B的过程中，当人位于点B时，眼睛Q点到山顶F的距离最近. F D E {5 u Qg 6 u 27.背景材料：模拟“月食变化 已知圆O的圆心为O(0,0),半径为3，另有一圆M,半径为2.当=0时，圆M的圆心为(4,3)，圆M以 每分钟1个单位长度的速度沿着x轴正方向运动.在运动过程中，将圆M中未被圆O覆盖的部分称为“亮 面”，当亮面再次变为一个完整的圆时，圆停止运动. 示意图如下图所示： 个y 亮面 M(-4,3) -6 -5 (1)判断下面命题是否正确，并说明理由. ①亮面始终为轴对称图形； ②当8时，亮面再次为完整的圆； ③在整个运动过程中，亮面的面积始终不小于圆M面积的号 (2)画出亮面面积S关于运动时间t的大致图像，并简述理由. {6 u Qg 6 u 2026年南京中考数学 【学生回忆版】 1.-2的相反数 ( A.2 B.-2 D.-1 2 【答案】A 相反数的基本概念，送分题. 4.一个几何体的三视图如下，则这个几何体是 ( 主视图 左视图 俯视图 A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 【答案】B 立体图形的认识，送分题， 根据三视图可得立体图形为三棱柱，如下图所示： 5.跳绳成绩，甲组平均96个，乙组平均100个，丙组平均104个，最后全部平均成绩102个，问哪组人数最 多 () A.甲组人数最多B.乙组人数最多C.丙组人数最多D.三组人数一样多 【答案】C 中档题，考查统计中平均数的认识，这题出题者本意应该是不需要通过具体计算，直 接通过对平均数的认识就能判断出来，这三组跳绳的平均个数差值相同，如果每组人 数一样，平均数应该是100个，现在平均成绩是102个，说明平均数大的那组人数多一 些，故答案选C,当然设每组人数算一下也不难： 法一：设甲组人数x人，乙组y人，丙组z人，则96x+100y+104==102(x+y+) 化简得：==3x+y 又，x>0,y>0,=>0 ∴z最大，即丙组人数最多 法二：速算法 因为102是100和104的平均数，96<100<104，如果甲、乙组人数较多则平均成 绩应该小于102，而实际平均成绩是102个，所以甲、乙组人数较多不可能，故 答案选C. {,1uQq151 (2026南京中考第6题) 6.如图，在菱形ABCD中，∠B=54°，现将菱形ABCD绕点B逆时针旋转16°得菱形A'BCD',连接DD', 则∠DDC=? () D' A.108 B.109° C.1109 D.111 【答案】B 选择压轴题，难度适中，本题考查旋转的不变性（旋转前后对应线段相等)以及菱形 的对角线平分它所经过的这组对角（这个性质24年苏科版教材改革之前大题是不能直 接用的，24年改革后可以用了，书上是加粗的黑体字)，当然这个性质即使之前不能 直接用，结合菱形的对称性体会，是个非常有用的性质. 于是，我们得到菱形的性质定理： 形的四边相等，对角线互相垂直，每条对角线都平分一组对角 如围，如果四迪形ABCD是菱形， 昴么AB=BC=CD=DA,AC⊥BD ∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB, ∠DAC=∠BAC,∠BCA=∠DCA. 连接BD、BD',由旋转可得BD=BD',因为旋转角为16°，所以∠DBD'=l6° 在△DBD中，∠BDD1=180°-16=828 2 又，四边形ABCD是菱形，∠B=54° Y. ·∠BDC=∠BDA=ADC=∠ABC =27° 2 2 '.∠D'DC=82°+27°=109° 故答案选B. 二、填空题 7.在数轴上表示-2的点与表示3的点之间的距离是 【答案】5 数轴上两点的距离等于两点所表示数的差的绝对值，送分题 8.比较大小：7.9×100 1.1×104 【答案】< 幂的比较大小，简单题 1.1×101=11×100,.7.9×1040<1.1×101 {,2uQq151 【答案】1 二次根式的化简与计算，送分题 -5-2532k5=1 9 2 14.正方形ABCD中，点O为对称中心，EF过点O且点E在AD上，点F在BC上，BF=3,CF-=1, 则EF= E B 【答案】25 本题主要考察正方形中心对称性，并需结合勾股定理。本题也需要添加辅助线，思路 有作垂直和平移，都很常规，整体难度不大。 法一：连接C,过点E作EG⊥BC,根据中心对称性得：AE=CF=1, .BG=AF=1, ∴.GF=2, 根据勾股定理可得EF=√4？+22=2√5 E 法二：连接AC,过点A作AI∥EF,根据中心对称性得：AE=CF=1, 易证四边形AEI为平行四边形， ..IF=AE=1, ∴.B=2, 根据勾股定理可得1=√4+22=2√5， ∴.EF=2√5 {,3uQq151 15.已知二次函数y=ax2+bx(a<0)过点(-1，m),(1,m+2),则m的取值范围为 【答案】m<-1 常规中档题，见点回代，消元消b,用a表示m,通过a<0,确定m的取值范围. 将点(-l,m),(1,m+2)代入y=ax2+bx(a<0)得 m=a-b① m+2=a+b② ①+②得：m=a-1 .a<0 .∴.m<-1 16.如图，在△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，以A、B两点为端点作圆弧，使得AB上的所有点都落在 △ABC的边界及内部，则AB所对的圆心角∠AOB的取值范围是 【答案】0°<∠AOB≤100° 填空压轴题，难度适中，注意相切的临界位置，结合OA=OB,不难求出∠AOB的取值 范围，同时要注意下下限大于0°不要忘记了， 连接OA、OB,则OA=OB,要使AB上的所有点都落在△ABC的边界及内部，则需要 保证∠OAC≥90°且∠OBC≥90°，因为当∠OAC<90°时，AB会与线段AC有2个交点，这 样圆弧的一部分就跑到三角形外，∠OBC同理. ,∠OAC≥90°，∠OBC≥90°，∠BAC=50°，∠ABC=70° ∴.∠OAB240°，∠OBA≥20° 又.OA=OB .∴.∠OAB=∠OBA240° ∴.∠AOB≤100° 又圆心角∠AOB>0° ∴.0°<∠AOB≤100° 三、解答题 B 17.化简： 2xv 分式计算，常规必考题· 原式=+ 2xy -X- xy (x+y)(x-y) 2 x-v {,4uQq151 18.求证：当n为整数时，(n+2)-(3n+4)能被2整除. 本题考察简单数论问题：奇偶性的证明，首先同学们要化简原式，接下来要对这个式 子进行因式分解，再论述其能被2整除 证明：(n+2)-(3n+4)=+4n+4-3n-4=m+n=n(n+1) ①当n为偶数时，即n能被2整除，.n(n+1)能被2整除. ②当n为奇数时，则n+1能被2整除，∴.n(n+1)能被2整除. 综上，当n为整数时，(n+2)-(3n+4)能被2整除. 19.己知两直线=+1与y2=-2x+b交于(1,2)， (1)计算k与b的值： (2)若1>y2,求x的取值范围. 本题考察一次函数相关问题，第一问涉及基础的代入求值，第二问可利用不等式计算， 也可以利用图像直接求解 k+1=2 「k=1 (1)把(1,2)代入直线表达式，得 -2+b2解得b=4 (2)x+1>-2x+4,解得x>1(也可观察图像直接得到结果) 20.一个袋子里装有红球，白球各一个，摸出其中一个球之后再次放回，然后再摸一次，若两次摸出的球 的颜色不同，我们将其对应的概率记为乃，若一个袋子中装有红球10个，白球20个，摸出其中一个球 之后再次放回，然后再摸一次，若两次摸出的球的颜色不同，我们将其对应的概率记为， (1)求的值： (2)比较与乃的大小. 本题目属于经典的概率问题中的“摸球问题”，注意区分是摸完后放回还是不放回，结 合乘法原理，即可解决. (1)若第一次摸出的是红球，则概率为，放回后，第二次需要摸出的是白球，单 独看概率依然是}，两者相乘，总概率为}，同理若第一次摸出的是白球，第 二次锁出的是红球，总概率也为}两种情况相加，所以月的值为号 (2)在第二个袋了中，若第一次摸出的是红球，则概率为}，放回后，第二次需 要技出的是白球，单独看概率是号，两者相乘，总概率为行，同理若第一次摸 出的是白球，概率是号第二次摸出的是红球，单独看概率是？总概率也为 子两种情况相如。所以乃的植为} 9 故最终结论是>乃· {,5uQq151 22.一支竹竿插在水底固定处，第一次露出水平面3尺，第二次露出水平面4尺，己知两次与水平面的夹角 分别是53与62，求竹竿的长度与水底国定处到水平面的距离，（血53°号血62~号） 4尺/3尺 水平面-----一 62539 水底固定处 这是一道常规的三角函数试题，难度中等，结合所给特殊三角函数数值，寻找出等量 关系即可解出. 如图，过水底固定处做水平面的平行线，并在竹竿两次与水平面的交点处做该平行线 的两条垂线，设竹竿的长度为x尺，根据题意有：(x-4)sim62°=（x-3)sim53°，将所 给三角函数数据带入可得：x=13,水底固定处到水平面的距离即为垂线段长度，带 入可得为8.综上，竹竿的长度为13尺，水底固定处到水平面的距离为8尺. 4尺 3尺 62° 水平面。一。- 53 水底固定处 23.如图，四边形ABCD和EFCG均为矩形，AD=9m,AB=6m,BG-DF=xm,休闲区的储水量为3L/m. A D 休闲区 种菜区 B G C (1)种菜区的面积为 m2,休闲区能接的雨水量为 L.(用含有x的代数式表示) (2)若种菜区每平方米需要L水，休闲区接的水恰好够灌溉种菜区，求x的值. {,6uQq151 这道题是个典型的面积相关的一元二次方程应用题，比较简单。通过割补法表示出休闲 区的面积，即能解决这两问，最后记得根据实际意义对答案进行取舍. ()(x2-15x+54),（-3x2+45x) (2)由已知，6(x2-15x+54)=-3x2+45x 化简得x2-15x+36=0 (x-3)(x-12)=0 解得x1=3,x2=12(舍) ∴.x的值为3 24.己知△ABC，按照以下要求用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明 (1)在AC、BC上各确定一点B、F,使EF∥AB,且EF=AB; (2)在AC、BC上各确定一点G、P,使GP∥AB,且GP-a. 尺规作图作为南京的特色考题，本题要作的尺规作图难度较为平稳，第一问线索明确的 指向了中位线，通过作中垂线得到中点即可；第二问思路较多，无论是通过平移还是构 造全等，都可以得到长度相等的线段，核心在于我们初一就学过的作一个角等于已知角 ,本题应争取拿到全分 (1)如图所示即为所求 (2)法： {,7uQq151 法二： 25.己知：Rt△ABC中，∠C=90°，F、G为AC、BC边上的点，且DF⊥AB,EG⊥AB. 求证：(I)△ADF∽△GEB: (2)∠B=30°，AB=6,DE=2,△ADF∽△GCF,求AD的长， c G F D B 本题考察相似的证明以及特殊三角形三边关系，难度中等；第1问很容易找到两组角相 等，即可得到相似：第2问通过相似，得到特殊角，利用线段之间的关系列出方程即可 ；法二提供了另外一种也是比较简单的思路： (1)证明：，DF⊥AB,EG⊥AB ∴.∠FDA=∠GEB=90 ∴.∠A+∠AFD=90° ,∠C=90° .∴.∠A十∠B=90° .∠AFD-∠B .△ADF∽△GEB (2)法一：，∠B=30°，∠C-90°，AB-6 ..AC=3,BC=33 .∠AFD=∠B=30°，设ADx .AF-2x ∴.CF=3-2x .△ADF∽△GCF .∠CFG=∠AFD=30° ..CG=3-2x ,∠B=30°，∠GEB=90°，EB-4-x 8G=24-x) 3 H .CG+BG-BC=33 :3224-35解得：x为 -十 33 法（二)思路：过F点作阳LEG,则PH=2,FG平分∠CGH,得到FC=FF=2,则AP=1,则AD=1 {,8uQq151 26、如图，有一座抛物线形拱桥，桥的两端分别为点A、B,顶点为D,点C是AB的中点且AC=CB=1Om, CD=10m.拱桥右侧远处有一座山，山顶记为点F,山高为331m,已知山顶F到点A的水平距离为 364m. (1)请建立适当的直角坐标系，并求出该抛物线形拱桥的函数表达式 (2)若一人站在拱桥上的点P处，且点P到点A的水平距离为2，人的眼睛位置为点Q,点Q在点P 的正上方，且PQ=1.6,请判断人眼在点Q处能否直接看到山项F,并说明理由. (3)下列结论中，正确的是 ①在拱桥的AD段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等： ②在拱桥的BD段有一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等； ③人从点D走到点B的过程中，当人位于点D时，眼睛Q点到山顶F的距离最近： ④人从点D走到点B的过程中，当人位于点B时，眼睛Q点到山顶F的距离最近 D E 二次函数图像应用题，不同于前几年考的二次函数含参问题，今年是抛物线拱桥形状 的相关问题，涉及到一次函数与二次函数交点的情况。第一问是让同学们自己建系求 解析式，更注重建模能力考查，弱化了二次函数图像与系数关系的考查：第2小问需 要把视线是否被阻挡转化成一次函数与二次函数是否相交的问题，本问计算量中等， 进一步考查同学们把实际问题转化成数学问题的能力：最后一小问不定项选择对同学 们要求较高，前两个选项需要通过抛物线的平移将拱桥形状转化成人眼所在位置，然 后再转化成一次函数与二次函数交点位置，后两个选项用初中课内知识不容易精确计 算，可以通过特殊点的位置来说明，这题也考查了同学们对图形凹凸性的图感，可以 通过抛物线开口方向感知。 (I)如图，以C为原点，AB方向为x轴，CD方向为y轴，1为单位长度建立平面直角坐 标系， 则A点坐标(-10,0)，B点坐标(10,0)，D点坐标(0,10)， 抛物线形拱桥的对称轴为轴， ,设其函数表达式为y=m2+c,将B点坐标（10,0)， D点坐标(0,10)代入，得： 0=100a+c as、1 ,解得 10. 10=c c=10 ∴该抛物线形拱桥的函数表达式为y=-1x+10: 10 {,9uQq151 F D Q A B 0的横坐标：-10+2=8，代入表达式，y三08+亚 ∴.P坐标为(-8,3.6)， P0=1.6, ∴.Q坐标为(-8,5.2)， ,F到点A的水平距离为364m, .CE=AE-AC=364-10=354, .F点坐标(354,331) 设QF所在直线表达式为y=x+b, 5.2=-8k+b k=0.9 9(-8,5.2),F(354,331)代入可得： 331=354k+6,解得 b=12.4 .QF所在直线：y=0.9x+12.4, 抛物线形拱桥：y=102+10 两式相减：y=(0.9x+12.4)- =0.1x2+0.9x+2.4=0.1(x+4.5)+0.375>0, .直线Q始终在抛物线上方，视线未被阻挡，可以看到山顶； (3)答案：① 对于①②，人眼始终在地面正上方1.6处，在人过拱桥的过程中，人眼所在的位置 始终在抛物线上方1.6m, {,10uQq15 人眼位凰在蛋数y=品-10+16，即y=+16图像上， 过F点，仰角与P看F一样的视线是y=0.9x+12.4, 16,解得 x2+11. x=-8 y=-1 联立方程： y=0.9x+12.4 5.2或 y=11.5 所以另一个仰角一样的眼睛所在位置是(-1,11.5)，是站在AD段上的，故①正确 ,②错误； y D 对于③④ 设在D和B时，人眼所在位置分别为Q1和Q2, 则21坐标(0,11.6)，Q2坐标(10,1.6)， 易行Q1Q2所在直线表达式：y=-x+11.6, Q1Q2与x轴正半轴夹角为135°， F与02水平方向距离364-20=344，竖直方向距离331-1.6=329.4， F吧，与x轴正半轴夹角为a,则tamz=329.4 1,<45°， 344 .∠FQ3Q1=135°->90°，F%>F22,故③错误； O1 D o ④ B E {,11uQq15 关于FO不是最小值， 法一：找特殊点算距离 在抛物线y= 10x2+11.6中，9102段上取一点90y 例如取Q0(5,9.1), 已知Q2坐标（10,1.6)，F坐标(354,331)， 则F9,2=(354-5)2+(331-9.1)2=225420.61, F9,2=(354-10)+(331-1.6)2=226840.36, FQ<FO,,故④错误 y F 01 D 20 02 B E 法二：过Q作FQ垂线，与抛物线Q1Q2段可交一点G(可通过求一次函数得到)， 在抛物线上GQ段上G附近一点G, 则∠FOG与∠FGQ都是锐角， 过F作QG垂线段FH与抛物线交于点Q', 可得FQ<FH<FO', 故④错误 2 B E {,12uQq15 27.背景材料：模拟“月食变化 已知圆O的圆心为O(0,0),半径为3，另有一圆M,半径为2.当0时，圆的圆心为(4,3)，圆M以 每分钟1个单位长度的速度沿着x轴正方向运动.在运动过程中，将圆M中未被圆O覆盖的部分称为“亮 面”，当亮面再次变为一个完整的圆时，圆停止运动. 示意图如下图所示： 亮面 M(-4,3) -6-5 (1)判断下面命题是否正确，并说明理由， ①亮面始终为轴对称图形： ②当8时，亮面再次为完整的圆： 动过程中，亮面的面积始终不小于圆 (2)画出亮面面积S关于运动时间的大致图像，并简述理由. 此题延续了南京中考压轴探究题一贯的风格，出题角度新颖且灵活，侧重学生对知识点 活学活用的考查，核心考点是两个圆的位置关系对面积变化的影响，两圆的位置关系在 校内书本上属于阅读材料，此部分内容在初三的课程中有详细的拓展补充： 此题的关键区分度在于第1问③的判断说理； (2)问图像的起、始点以及最小值点的位置不难判断，但曲线的细节变化趋势判断难度 很大，严谨判断需要运用一定的“微元思想”，对孩子们来说要求很高！ (1)①正确，理由如下：连接OM, ,'O所在直线既是圆M的对称轴，也是圆O的对称轴，且运动过程中该性质不变， ∴.“亮面”是轴对称图形，对称轴是OM所在直线. ②正确，理由如下： M(-4,3) 当圆M再次变成完整的圆时，圆P与圆O外切，利用勾股定理，可以求得M=8, {,13uQq15 .=8-1=8 ③错误，理由如下： 法一：逆向思考，判断亮面面积始终不小于圆M面积的子，即判断暗面，即重 叠部分是否有可能大于园M的；？ M(-4,3) 当圆M运动到轴上时，此时MO最短，重叠面积最大，S圈重叠>S扇aMD cosa= 3cos60= 2 .'cosa cos60 .cosa随a增大而减小 .a>60° ∴.∠CM'D=2a>120 又：8第形 120zr2=1 360 户，即当圆心角-120时，扇形的面积则好是圆M面积的 3 1 .S两重最>S席形cMD> 法二：特例转化 M(-4,3) M D 2 将圆O缩小至圆O',半径为2，此时与圆M与圆O'重叠面积<圆M与圆O重叠面积， {,14uQq15 连接MA,MB,利用半径皆为2，可证△AOM',△MOB皆为等边三角形，所以∠AMB=120° woa>0a>8gag 1.5nnu (2)画出亮面面积S关于运动时间的大致图像，并简述理由. 大致图像如右图： 作图理由： 47 I:起始时0，面积为4π： Ⅱ：当仁4时，重叠面积最大， .此时“亮面”最小 2 由(I)③的证明可知，此时且S衡<亏 且由(1)@分析的示忘图可知：> 又SM=元2=4π 2元<8充<3 8π Ⅲ：当仁8时，恢复圆M为整圆，再次“亮面'最大=4π. 另外，此题画图时还需注意起点、最小值点、终点处的曲线变化需要平滑过渡，并且该图像关于 直线x=4左右对称.（关于该曲线变化趋势更为详细的证明过程，可以在特长生备考圈”的视 频号中观看详细的讲评视频) {,15uQq15 15