2026年中考数学二轮复习最值系列_“阿氏圆”学案

该初中数学中考复习学案聚焦“阿氏圆”最值问题构建核心考点体系，以“将军饮马”问题复习为基础，衔接模型识别、解法归纳及分层应用，通过问题驱动引导学生自主梳理“对称转化-相似构造-化折为直”的思维路径，形成系统性知识网络。 亮点在于“问题链引导”与“分层实践”设计，开篇将军饮马复习题实现自测诊断，阿氏圆解法步骤归纳培养推理意识，“固本强基”“通变致用”分层练习发展几何直观与模型意识。学生可通过典型例题解析自主总结方法，教师能依据练习反馈实施精准教学，有效提升复习效率。

最值系列——“阿氏圆”学习学案班级：_______ 姓名:___________ 0.复习：将军饮马问题 在平面直角坐标系中，A (1,2) ，B (5,1)，点P是x轴上一个动点，连接PA，PB。则PA+PB最小值为 ; 此时，点P的位置在哪里？ “将军饮马”问题方法归纳： 求“河流”同侧两条线段和最小值： （1）将所求线段 对称 到“河流线”的 两侧 ；（“河流线”指动点所在的线） （2）化折为直，利用的原理有： ①两定点之间线段最短；②垂线段最短 ； （3）求最短线段长：常用方法有 将所求线段放进Rt△中，使用勾股定理、三角函数；或相似、面积法。 一、巡径得法 1.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，☉C的半径为2 , P为圆上一动点，连接AP、BP,则AP+ 的最小值为_____ 【解析】连接CP，在CB上取一点Q，使得，∴，CQ=1; ∵，∴，且∠QCP=∠PCB，∴△QCP∽△PCB； ∴，∴PQ = PB ∴AP+ =AP+PQ≥AQ，AQ= ∴最小值 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=4，以点C为圆心，3为半径作☉C，分别交AC、BC于点D、E两点，点P是☉C上一个动点，则的最小值_________。 【解析】连接CP，在CA上取一点Q，使得，∴，CQ=1; ∵，∴，且∠QCP=∠PCA，∴△QCP∽△PCA； ∴，∴PQ = PA ∴ PB=PQ+PB≥BQ，BQ= ∴最小值 【“阿氏圆”模型识别】 求形如的最值问题，且动点的轨迹为 圆 ； 【“阿氏圆”问题解法】 ①定“取点”位置的原则：保证转化后，求和的两条线段位于_“河流线”两侧_，这里的“河流线”是动点P所在的轨迹圆； ②由“k”出发，如图在CB上取一点Q，使得成立； 由此，构造“子母型”的相似，转化kPB= PQ ，这里的相似比为 ； ②化折为直：使用两定点之间线段最短来找最小线段长； ③求最值线段长，常用方法:勾股定理、三角函数、面积法、相似 二、固本强基 3.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5于x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一个交点为B。若P点是半径为2的☉B上一个动点，连接PC、PA，则PC+ PA最小值为__________. 【解析】由直线y=-5x+5可求C(0,5), A(1,0). 由此可求抛物线解析式为，可求B(5,0) 在AB上取点Q，使得，∴，BQ=1; ∵，∴，且∠QBP=∠PBA，∴△QBP∽△PBA； ∴，∴PQ = PA ∴ PC=PC+PQ ≥ CQ，CQ= ∴最小值 3. 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为弧AB上一动点，则 PC+PD的最小值为 __________． 【解析】连接OC,OP,DQ在OC上取点Q，使得，∴，OQ= ; ∵，∴，且∠QOP=∠POC，∴△QOP∽△POC； ∴，∴PQ = PC ∴ PC=PQ ≥ DQ， 过点Q作QE⊥AB于E,作QF⊥BD于F, DQ= Rt△OCA中，可求OC=,∵OQ=，所以Q为OC中点 易证QE∥AC，∴E为OA中点，OE=，QE= AC= ； 易证矩形BEQF,∴BF=QE= ，QF=BE=1+ = ，DF=BD-BF=2－ = ∴DQ=，∴最小值 三、通变致用 5.如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，点C在OA上，且OC＝2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为 　 　 ． 【解析】延长OB至点N，使得，∴，ON=12。 连接MN,CN,易求OC=4。 ∵，∴，且∠MOD=∠NOM，∴△MOD∽△NOM； ∴，∴MN = DM ∴ CM+2DM=CM+MN ≥ CN， CN=，最小值为 6.如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠B＝60°，圆B的半径为4，点P是圆B上的一个动点，则PDPC的最大值为 　 　 ． 【解析】 连接PB,在BC上取点Q，使得 ∴. 连接PQ,DQ ∵，∴，且∠PBQ=∠CBP，∴△PBQ∽△CBP； ∴，∴PQ= PC ∴PDPC=PDPQ ≤ DQ， 过点D作DE⊥BC延长线于E,Rt△DEC中，∠DCB=∠ABC=60°，CD=8 ∴CE=4，DE=4，QE=BC+CE-BQ=8+4-2=10 Rt△DQE中，DQ=，最小值为 学科网（北京）股份有限公司 $