第5讲 二次函数区间最值问题-【中考宝典】2026年数学总复习（广东专用版）

第二部分 专题突破 第5讲二次函数区间最值问题 二次函数区间最值问题解题示意图： 画草图 确定对称轴位置 对称轴在区间左侧 对称轴在区间内 对称轴在区间右侧 按端，点求最值 结合顶点和端点求最值 按端点求最值 一、自变量为全体实数时，二次函数y=ax2+bx+c的最值探究 国方法解读 ★1.若自变量为全体实数 a的符号 草图 二次函数最值 b x--2a 函数有最小值，无最大值 a>0 4ac-b2 ymin 4a 函数有最大值，无最小值 a<0 ymat= ac-b2 Aa g例题精讲 例1二次函数y=x2-4x-3的最小值为 例2已知抛物线y=ax2-4x+5在对称轴右侧呈上升趋势，其中a2=1. （1)求抛物线的对称轴； (2)二次函数y=ax2-4x+5有最大值还是最小值？请求出这个最值. 241 了新课标中考宝典·数学（广东专用版） 写举一反三 1.二次函数y=-(x-h)2-3的最大值是 2.在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+m2-3(m为常数)的图象经过(0,6)，且对称轴在y轴 左侧，则下列关于该二次函数的说法正确的是 ( A.最大值为-3.75 B.最大值为3.75 C.最小值为3.75 D.最小值为-3.75 二自变最取值范国为网≤n且≤名≤始+始)）时，二次适致了=a4ce的最值探究 (方法解读 a的符号 草图 二次函数最大值 二次函数最小值 x=一2a a>0 当x=n时，函数有最大值 当x= 时，质数有致小值 a<0 当x= 时，函数有最大值 当x=n时，函数有最小值 2a n x--2a 注意：这里一定要注意比较点(m,0),（n,0)与直线x= 的水平距离，距离较远的点，才是最值，点， b 一定要结合实际情况 国例题精讲 例3已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(0，-3)，(1，-4)，对称轴为直线x=m. (1)直接写出b= ,C= ,m=; (2)当-4≤x≤2时，求二次函数的最值. 写举一反三 3.已知二次函数y=-x2+6x-5. (1)该二次函数图象的顶点坐标为 (2)当1≤x≤4时，函数的最大值为 ,最小值为 242 第二部分 专题突破 三、若m≤x≤n,且- 名九时，次函数y=a成+bxc的最值桥 国方法解读 a的符号 草图 二次函数最大值 二次函数最小值 yA 品 a>0 当x=m时，函数有最大值 当x=n时，函数有最小值 Om n a<0 当x=n时，函数有最大值 当x=m时，函数有最小值 x--2a g例题精讲 例4当-2≤x≤1时，二次函数y=-(x-3)2+m2+1有最大值4，求实数m的值. 闻举一反三 4.已知实数a,b满足b-a=1且b≤2，则代数式a2-4b+11的最小值是 四、若m≤x≤n,且2a≤m时，二次函数)=ar+bx+c的最值探究 写方法解读 a的符号 草图 二次函数最大值 二次函数最小值 b x=-2n y a>0 当x=n时，函数有最大值 当x=m时，函数有最小值 0 im n a<0 当x=m时，函数有最大值 当x=n时，函数有最小值 0 m n x=- 2a 243 了新课标中考宝典·数学（广东专用版〉 写例题精讲 例5当2.5≤x≤5时，二次函数y=-(x-1)2+2的最大值为 g举一反三 5.在平面直角坐标系xOy中，点P(-2,5)在二次函数y=ax2+bx+5(a≠0)的图象上，记该二次函数图 象的对称轴为直线x=m. (1)求m的值； (2)若点Q(3m,2)在二次函数y=ax2+bx-3的图象上，当0≤x≤3时，求该二次函数的最大值与最 小值 五、定轴动区间或者动轴定区间时，二次函数y=ax+bx+c的最值探究 图方法解读 抛物线的对称轴或自变量取值范围不确定时，需讨论对称轴与自变量取值范围的位置关系.通常分为 三种情况讨论： 1.对称轴在自变量取值范围左侧； 2.对称轴在自变量取值范围右侧； 3.对称轴在自变量取值范围内，且此种情况有时仍需要进一步讨论取值范围的左右端点与对称轴距 离的大小关系 g例题精讲 例6已知二次函数y=-(x-h)2+5(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3时，其对应的函数值y 的最大值为-4，则h的值为 国举一反三 6若当-4≤≤2时，二次函数y=72-mx+1(m>0)的最小值为0，则m 7.已知二次函数y=-x+2mx-3(m>0)在自变量x的值满足-1≤x≤3时，其对应的函数值y的最大值 为1，则m的值为 244新课标中考宝典数学（广东专用版） ∴当4=2时，即点D的坐标为(2，)时，四边形0CDB 的面积有最大值12. 3.解：(1)抛物线y=x2十bx十c的顶点坐标为(3，一4)， ∴y=(x-3)2-4=x2-6x十5，.b=-6,c=5; (2)点P的横坐标为5+4④或5=√④ 2 2 第5讲二次函数区间最值问题 例题精讲 例1一7 例2解：(1)，已知抛物线y=ax2一4x十5在对称轴右侧 呈上升趋势，.抛物线开口向上，∴.a>0. 又a2=1,.a=1,.抛物线的解析式为y=x2-4x十 5,则抛物线的对称辅为直线2=-弓-2： (2)a>0,.二次函数有最小值，当x=2时，y=x2 -4x+5=1, 即二次函数y=ax2一4x+5有最小值，这个最小值 为1. 例3解：(1)-2(2)一31 (2),抛物线y=x2十bx十c开口向上，对称轴为直线 x=1,且|-4-1|>|2-1|， ∴.在-4≤x≤0内，当x=-4时，ymx=16十8-3= 21,当x=0时，ymn=-3. 例4解：二次函数y=一(x一3)2十m2十1的对称轴是直线 x=3.a=-1<0, ∴.当x<3时，y随x的增大而增大，由题意，得当x=1 时，二次函数y=-(x一3)2十m2十1有最大值4， 则-(1-3)2十m2十1=4，解得m1=√7，m2=-√7， 例5- 例6一2或6 举一反三 1.-32.C3.(1)(3,4)(2)404.4 5.解：(1)：点P(-2,5)在二次函数y=ax2+bx十5(a≠ 0)的图象上， .4a-2b十5=5，解得b=2a,∴.二次函数的解析式为y= a.x2+2ax+5, “对称轴为直线x=-2=-1,m=-1, 2a (2),m=一1，∴.点Q(3m,2)的坐标为(-3,2). 点Q(-3,2)在y=ax2+bx-3的图象上，b=2a, 5 10 9a-6a-3=2,解得a=3…b=2a=g,抛物线的 解折式为)=号+号-8=号+1)-兰 3 .抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=一1，当x> 一1时，y随着x的增大而增大. 0≤x≤3，.当x=0时，函数有最小值，最小值为一3， 当x=3时，函数有最大值，最大值为号3十1)-4 3 =22, .二次函数的最大值为22，最小值为一3. 6.√27.2 第6讲抛物线与线段交点问题 例题精讲 例14或-1例2m=3或-1<m≤-号 例3解：A(3,0),B(0,3),.可求得线段AB的解析式 为y=-x十3(0≤x≤3) 通 过 联 立/y=-x+3, B y=ax2+(2-a)x, 3 解得1， a 0 y1=2, =3+3, 答图1 a 因此抛物线与线段AB的其中一个交点为定点P(1,2). 抛物线经过定点(0,0)，且与 线段AB有一个定交点(1,2)， B ∴若抛物线开口向上，则其与线 段AB只能有一个公共点，如答 图1，不符合题意， 0 ∴抛物线开口只能向下，有如答 A 图2所示的两种情形， 答图2 此时另一公共点的横坐标要落在0<x≤3内，且x≠1， 有0<-3≤3且-3≠1， a a 解得a≤-1且a≠-3. .a的取值范围是a≤-1且a≠-3. 举一反三 1.k≤-1 2.证明：依题意得a=1,b=一2k,c=一4， .△=(-2k)2-4×1×(-4)=4k2+16. k2≥0，.4k2≥0，.4k2+16>0, 抛物线与x轴总有两个交点.又抛物线开口向上， .抛物线y=x2一2kx一4(k为常数)的顶点恒在x轴 下方. 2 3.a≥5或a≤-6 4.解：(1)当x=0时，y=-6,点A的坐标为(0，-6). 由题意，得抛物线的对称轴为直线x=3. :抛物线的对称轴与x轴交于点B, .点B的坐标为(3,0)； (2)a=一1时，二次函数为y=-x2+6x一6=一(x-3)2十3， ∴二次函数的图象开口方向向下，最大值为3. ①t≤x≤t十1<3时，对应的最高点为(t+1,一1)， .-1=-(t+1-3)2+3, 解得t1=0,t2=4(不合题意，舍去)； ②3<t≤x≤t十1时，对应的最高点为(t,一1). .-1=-(t-3)2十3， 解得t1=1(不合题意，舍去)，t2=5. 综上，t的值为0或5； (3a=号或a>}或a<-品 2 5.解：(1)把m=0代入y=x2-(m+1)x十2m+3,得y= x2-x十3， 当x=2时，y=22-2+3=5≠4， .点(2,4)不在该抛物线上； (2)y=x-(m+10z+2m+3-(-m士）+2m+3 _(m+1)2 4， .抛物线y=x2一(m十1)x十2m十3的顶点坐标 为(02m+8-a中2少 4 令y-2m+3-a-m-30+5. 4