第9讲 比值类的最值与定值问题-【中考宝典】2026年数学总复习（广东专用版）

新课标中考宝典数学（广东专用版） 当x2-2x-3=0时，解得x1=3,x2=-1,当x=3 时，y=4,当x=一1时，y=0.故无论k取什么值抛物 线都会经过定点(3,4)，（一1,0）. P是非坐标轴上的点，.P(3,4)； (3)如答图，过点A作AE⊥x 轴于点E,过点B作BF⊥x 轴于点F, .∠AEO=∠OFB=90°， ∴.∠AOE+∠EAO=90°. .OA⊥OB,.∠AOB=90°， EO .∠AOE+∠BOF=90°，. ∠EAO=∠FOB, 答图 .△EAO∽△FOB ÷5-8即 6=6,∴ab(ab+1)=0. 由题意可知ab≠0，.ab+1=0. 设直线AB的解析式为y=kx十m, (ak十m_6,又由题意知a一b≠0，心=a十6， m=-ab=1, .直线AB的解析式为y=(a+b)x十1，则直线AB 经过定点(0,1). 例2证明：由题意知抛物线的顶点坐标为(，4一2n),令x =n,y=4-2n, 消去参数n,可得y=一2x十4， .该抛物线的顶点均在直线y=一2x十4上. 举一反三 1.解：，y=(k+3)x+(k-1)=k(x+1)+3x一1， .令x十1=0，则x=-1,∴y=-4,.P(-1,-4) 2.解：(1)：抛物线y=ax2-2anx十an2+n十3=a(x-n) +(n+3),∴.P(n,n+3) 令n=x,n+3=y, .y=x十3，即直线l的解析式为y=x十3； (2)令y=0,即ax2-2anx+an2+n+3=0, ∴.(-2an)2-4a×(an2+n+3)=-4a(n+3)=0. a是任意非零实数，∴n十3=0，∴.n=一3， ',若抛物线与x轴有唯一的公共点，此时n的值为一3； (3)由(1)知，P(n,n十3).，点P在x轴上，n十3=0， .n=-3,∴.抛物线y=a(x十3)2， :直线1的解析式为y=工十3，联立P=a(x+3》”,得 (y=x+3, Q(3+1,1)】 aa 过点Q作y轴的平行线，交x轴于点B,∴BQ= 过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点A, ax+3=2x=-3t日A(-3-,2）】 a ..AQ= -3+日-(3-)= .40 BQ a 第9讲 比值类的最值与定值问题 例题精讲 1 1.解：1)：抛物线y=-2x2十+bx+c(a≠0)与x轴交于 点A(-1,0),B(3,0), ×(-1)2-b+c=0, 1 1b=1, 解得〈 3 2X3+36+c=0, c=2 ∴抛物线的解析式为y=- x2+x+3 1 2a-8 .顶点D的坐标为(1,2)； (20号 ②如答图，作MP∥y轴，AQ∥y轴，分别交直线BC于点 P和点Q,则MP∥AQ, 深福 根据同高不同底，得 =MN·S,_MP =AN'·S2AQ 1 把x=0代入y=一2 +红+，得y-8 3 c0) 答图 设直线BC的解析式为y-c十，把B(3,0)代人，得十 3 1 =0,解得飞=一2， 直线C的解析试为一子计号把工-1代入y 7+,得y-20(-1,2AQ=2 设M(a,-名m+m+）,则P(m,-名m+）, 1 ,3 3 2 ”-0,0<m<8当m=多时，有最大值 9 4 举一反三 1廓探宽-：E-, (2)DF=√2AE, 证明如下：，BD是正方形ABCD的对角线， ∠ABD=45°，BD=√2AB. EF⊥AB,.∠BEF=90°，∴.∠BFE=∠ABD=45°， ∴.BE=EF, BF BD BF-BE,BE AB =E,由旋转知，∠ABE =∠DBF, .△ABEn△DBF,AE-AB 、DFBD 2,∴DF=2AE. 探究二：四边形ABCD为矩形， .AD=BC=√2AB,.BD= √3AB. EF⊥AB,.EF∥AD, ∴.△BEFC∽△BAD, 器部距 =3. 答图 如答图，△EBF绕点B顺时针旋转a(0°<a<90°)得到 △EBF', ∴.∠ABE'=∠DBF',BE'=BE,BF'=BF, =3, .△ABE'p△DBF DE'BD 8E盼-原，即DF-5AE8S-9 第10讲抛物线与平移、翻折、旋转 例题精讲 例1解：(1)，抛物线C1:y=-x2十2ax十3a(a≠0)经过 点A(-1,0), ∴.一1一2a十3a=0,解得a=1,即抛物线C1:y=一x2十 2x十3，.C(0,3),令一x2+2x十3=0，解得x1=一1，x2 =3,即B(3,0),设直线BC的解析式为y=x十3， ∴.3k十3=0，解得k=一1， .直线BC的解析式为y=一x十3； (2)①抛物线C1:y=-x2+2x十3=-(x-1)2十4， .其对称轴l为直线x=1,把x=1代入y=一x十3， 得y=一1十3=2，即点P(1,2),.抛物线C2的解析 式为y=-(x一1)2+2； ②.点P(m,n)在抛物线C1上，∴.n=一m2十2n十3. 点P(m,n)为抛物线C的顶点，抛物线C的解析 式为y=-(x-m)2+n=-x2十2mx-2m2+2m+3, ∴.点M的坐标为(0，一2m2+2m十3). 把x=m代人y=-x+3,得y=一m十3， .Q(m,-m+3). ,点P为直线BC上方抛物线C1上任意一点，∴.0< m<3. .PQ=yp-ya=(-m2+2m+3)-(-m+3)=-m2+3m. .CM=-2m2+2m+3-3=-2m2+2m, ∴.分以下3种情况： 0 答图1 答图2 当m=1时，点M与点C重合，PQ=2CM不成立；当 0<m<1时，如答图1，点M在点C的上方，CM=yM -yc=-2m2+2m,PQ=2CM,-m2+3m=2 (-2m2+2m),解得m1=0(舍去)，m:=3; 当1<m<3时，如答图2，点M在点C的下方，CM= yc-yM =2m2-2m,PQ=2CM,-m2+3m= 2(2m2-2m), 7 解得m=0(舍去)，m4=5’ m的值为了或好 .7 举一反三 1.解：(1)对于抛物线T1:y=x2一x十k,其中a=1,b=一1， c=k, 抛物线T1是准黄金抛物线，根据定义2b2十ac=0,将a =1,b=-1,c=k,代入可得2×（一1）2+1×k=0,即2十 k=0,解得=一2，.抛物线T1的函数解析式为 y=x2-x-2.令y=0,即x2-x-2=0,解得x1=2,x2 =-1,.A(-1,0),B(2,0); 参考苔宋 (2)①是②存在.如答图1，易知图象 w的对称轴为直线x= 当CN∥OB且点P在线段OB上时， △OBCp△NCM,此时N与C关于直 0 1 线x=2对称， 答图1 点N的横坐标为1，P(1,0); 如答图2，当CN∥OB,且点P在线段 OB延长线上时，△OBC∽△NCM,又 由(1)知C(0,2), .此时点N的纵坐标为2. 由x2-x-2=2,解得x,=1+7 B 2 1-7(舍)， 答图2 x2= 2 ·点N的横坐标为+7 2 亚o: 如答图3，当∠NCM=90°时，△OBC∽ △CNM,易知直线BC的解析式为y= -x+2. ∴此时直线CN的解析式为y=x十2， 联立方程组p=x十2， 答图3 y=x2-x-2, 解得x1=1+√5，x2=1一√5（舍）， ∴点N的横坐标为1十√5，.P(1十5,0). 综上所述，点P的坐标为(1,0)或 (+亚.o)1+5o 2.解：(1)①2(0,3) （1)②由表格可知，抛物线C1的解析式为y=(x一1)(x一 3)=x2-4x十3， 把(2，m)代入y=x2-4x+3,得4-4×2十3=m,解得 m=-1; (2)①y=-(x十2)2+7(x≤0) ②，直线y=kx+n经过点M(0,3), ∴.n=3,即直线为y=x十3， 当过点M的直线y=kx十n与C,有且仅有一个交点时， 令x2一4x+3=kx十3，即x2-(4十k)x=0, ∴.△=「-(4十k)72一4X1×0=0,解得k=一4. 当过点M的直线y=kx十n与C?有且仅有一个交点时， 令-(x十2)2+7=kx十3，即x2+(4十k)x=0, ∴.△=(4+k)2一4×1X0=0,解得k=一4. 又：当k<一4时，直线y=kx十n无限靠近y轴，与图象 S有且仅有一个交点， 故图象S与过点M的直线y=kx十n有且仅有一个交点 时，k的取值范围是k≤一4. 专题十五综合与实践（含5小讲）》 第1讲真题中的综合与实践 例题精讲 例1解：(1)能. 理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为n°，根据题意，得 n,7=7元，解得n=180, 180 ',将圆形滤纸按题图中步骤对折，将其中一层撑开，围 成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁； (2)设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为rcm,高为 h cm,第二部分 专题突破 第9讲 比值类的最值与定值问题 例1 方法解读 解决比值类最值与定值问题的关键是“转化”，将比值转化为熟悉的线段比、函数关系或几何量，再利 用合相似三角形、二次函数、三角函数等知识，结合变量范围确定其最值（或定值）.辅助线构造（如平 行线、相似、垂线等)和函数建模是核心技巧 例题精讲 例1（2025·齐齐哈尔·三模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=之+6c+c(a≠0)与x锁交于点A(-1,0),6(3,0),点D是数物线 顶点 (1)求抛物线的解析式并直接写出点D的坐标； (2)若M是第一象限内抛物线上的任意一点. ①过点M作ME小轴，过点D作DEk轴，则ME DE2 ②连接4M,交BC于点N,连接BM,记△BN的面积为S,△ABN的面积为S,求之的最大值 253 了新课标中考宝典·数学（广东专用版〉 写举一反三 1.(2023·无锡·模拟预测)【问题提出】已知矩形ABCD,点E为AB上的一点，EF⊥AB,交BD于点F.将 △EBF绕点B顺时针旋转ax(0°<a<90)得到△EBF',则AE与DF'有怎样的数量关系？ 图1 图2 图3 【问题探究】 探究一：如图1，已知正方形ABCD,点E为AB上的一点，EF⊥AB,交BD于点F. DF (1)直接写出A的值； (2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE,DF,猜想DF与AE的数量关系，并 证明你的结论； 探究二：如图3，已知矩形ABCD,点E为AB上的一点，EF⊥AB交BD于点F. 名 ,将△EBF绕点B顺时针旋转aα(0°<<90)得到△E'BF'(E,F的对应点分别为点E', 下)，连接4，D,则0的值是否随者u的变化而变化？若变化，请说明变化情祝：若不变，清求 AE' 出Dr的值 254