第六章《变量之间的关系》单元综合测试卷 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦变量关系，通过生活与科学情境考查抽象能力、模型意识，适配初中数学第六章单元复习的综合测评。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|常量与变量（第1题）、函数关系建立（第7题）|结合齿轮转动（第2题）、老花镜度数（第6题）等生活实例| |填空题|6/18|函数图像应用（第11题）、实际问题关系式（第14题）|通过蓄水池放水（第13题）、白纸粘合（第14题）考查变量关系| |解答题|8/72|函数建模（第24题）、图表分析（第18题）|设计高铁出行（第23题）、练习本购买优惠（第24题）等综合情境，体现模型意识与数据分析能力|

第六章《变量之间的关系》单元综合测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．圆周长公式中，下列说法错误的是（    ） A．C、、r是变量，2是常量 B．C、r是变量，是常量 C．r是自变量，C是因变量 D．当自变量时，因变量 2．某齿轮每分钟转120转，如果n表示总转数，t表示转动时间（分钟），那么n与t的关系，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．食用油的沸点一般都在以上，下表所示的是在加热食用油的过程中，五次测量食用油温度的情况： 时间 油温 则下列说法不正确的是（    ） A．时间与油温是变量 B．没有加热时，油的温度是 C．持续加热到时，预计油的温度是 D．随着加热时间的增加，油温会持续升高 4．小颖站在离家不远的公交车站等车，下列各图中能够最好地刻画等车这段时间小颖离家距离与时间关系的是（　　） A． B． C． D． 5．某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系．可选择的比较好的方法是（    ） A．列表法 B．图象法 C．关系式法 D．以上三种方法均可 6．小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 100 200 250 300 400 镜片与光斑的距离/m 1 下列说法错误的是（    ） A．在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离 B．当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为 C．老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小 D．老花镜的度数每升高50度，镜片与光斑的距离减小0.1 7．汨罗是“中国循环经济试点城市”，某再生资源企业处理废铝，进价为每吨万元，售价为每吨万元，每天可处理20吨．若每吨降价万元，每天可多处理5吨，设每吨降价万元，每天获利万元，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 8．某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（   ） A． B． C． D． 9．甲、乙两人沿同一条笔直的公路相向而行，甲从A地前往B地，乙从B地前往A地．甲先出发3分钟后乙才出发，当甲行驶到6分钟时发现重要物品忘带，立刻以原速的掉头返回A地、拿到物品后以提速后的速度继续前往B地，二人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法不正确的是（   ） A．乙的速度为 B．两人第一次相遇的时间是分钟 C．B点的坐标为 D．甲最终到达B地的时间是分钟 10．某市出租车的收费标准如表∶ 里程数 收费元 以下(含) 8.00 以上每增加 1.80 则收费y(元)与出租车行驶里程数之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．已知自变量与因变量y的关系如图所示，当从1变化到4时，y的值增加了___________． 12．某辆汽车油箱中原有汽油40升，汽车每行驶50千米耗油4升，写出耗油量y与汽车行驶路程x之间的关系式______． 13.一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表： 放水时间 1 2 3 4 … 水池中水量 48 46 44 42 … 则放水时，水池中有水______． 14．如图，将长为、宽相等的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，设m张白纸粘合后的总长度为，n与m的关系式为______． 15．如图1，在长方形中，动点P从点B出发，沿运动，至点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，y与x的关系如图2所示，则当时，对应的x的值是______． 16．已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是__________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）已知一个长方形的长是，宽是，周长是，面积是． (1)长方形的周长与长之间的关系式是什么？ (2)长方形的面积与长之间的关系式是什么？ 18．（6分）周末张华与李明相约，两人分别骑自行车与摩托车从家到寺口子游玩．如图，与分别表示它们与家距离s（千米）与时间t（小时）的关系，则： (1)摩托车每小时走_____千米，自行车每小时走______千米； (2)摩托车出发后多少小时，他们相距20千米？ 19．（8分）为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔测量一次香可燃烧部分的长度，数据如下： 燃烧时间 1 2 3 4 5 … 香可燃烧部分的长度 … (1)该表格反映了两个变量之间的关系，写出自变量，因变量． (2)写出这根香可燃烧部分的长度与燃烧时间的关系式． (3)求这根香可燃烧的时间． 20．（8分）1个月～6个月的婴儿生长发育得非常快，他们的体重（单位：g）和月龄（单位：月）间的关系可以用表示，其中（单位：g）是婴儿出生时的体重．假设一个婴儿出生时的体重为4000g． (1)请用表格表示，在1个月～6个月内，这个婴儿的体重与月龄之间的关系． (2)请指出关系式中的常量和变量． 21．（10分）“天宫课堂”开讲后，引发了学生了解科学知识的新热潮．七年级班数学兴趣小组的同学通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 20 25 声音在空气中的传播速度/（） 340 346 (1)在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？ (2)在这个变化过程中，声音在空气中的传播速度随气温的增大而怎样变化？气温每升高，声音在空气中的传播速度就提高多少？ (3)当气温为时，声音在空气中的传播速度为多少？ 22．（10分）如图所示，梯形上底的长是，下底长，高． (1)梯形面积与上底长之间的关系式是什么？ (2)当每增加时，如何变化？ (3)当时，等于什么？此时表示的是什么？ (4)当的值为多少时，梯形的面积为？ 23．（12分）党的十八大以来，文山路网建设进展迅速.实现了县县通等级公路和州府通高速公路的目标．小明和爸爸为了体验高铁出行，假期间爸爸带小明从家驾车到普者黑火车站乘高铁前往昆明，他们离家的距离（）与出发时间（）之间的关系如图所示． (1)小明家离普者黑火车站 ； (2)从图中可以看出，小明和爸爸在普者黑火车站取票、检票、候车共用了 ； (3)高铁平均速度为，请你计算出普者黑火车站到昆明需要多少时间？ 24．（12分）小明用的练习本可在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的7折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的8.5折卖．设购买练习本数量为x本，甲商店收费为元，乙商店收费为元．（） (1)分别求出，与x之间的关系式； (2)当甲、乙两个商店的收费相同时，所买练习本为多少本？ (3)当购买的数量为22本时，应选择哪个商店更优惠？请说明理由． 参考答案 一、选择题 1．A 解：根据常量与变量的定义，在圆周长公式中，是固定不变的常数，属于常量，不是变量，2也是常量，和是变化的量，是变量；故A选项的说法是错误的，符合题意； 是固定不变的常量，、可以发生变化是变量，故B选项说法正确，不符合题意； 随的变化而变化，且是自变量，是因变量，故C选项说法正确，不符合题意； 将代入公式，得，故D选项说法正确，不符合题意． 2．B 解：因为齿轮每分钟转120转，n表示总转数，t表示转动时间（单位：分钟）， 所以总转数=每分钟转数×转动时间， 即． 3．D 解：、由从表格数据可知，时间和油温都在变化，原选项正确，不符合题意； 、当时，，原选项正确，不符合题意； 、因为温度变化率恒定，每秒升高，即每秒升高， 所以当时，，原选项正确，不符合题意； 、由与食用油的沸点一般都在以上，温度达到沸点后不再升高，原选项错误，符合题意； 故选：． 4．A 解：因为小颖站在离家不远的公共车站等车， 所以这段时间离家距离不随时间的变化而变化， 故选：A． 5．B 解：某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系，可选择的比较好的方法是图象法，有利于判断体温的变化情况， 故选B 6．D 解：A、由题意可知，在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离，故选项不符合题意； B、由表格数据可知，当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为，故选项不符合题意； C、由表格数据可知，老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小，故选项不符合题意； D、由表格数据可知，老花镜的度数从度升高到度时，镜片与光斑的距离减小了，每度减小了，说法错误，故选项符合题意； 故选：D． 7．D 解：因为每吨降价x万元， 所以售价为万元， 因为进价为万元， 所以每吨利润为万元， 因为每吨降价万元，每天可多处理5吨， 所以每吨降价x万元，每天可多处理吨， 所以每天处理吨数为吨， 所以． 故选：D． 8．A 解：因为容器上宽下窄， 所以水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低， 只有A选项符合题意． 9．D 解：A.由线段水平可得，甲乙相距的路程不变， 所以甲返回的速度和乙的速度相等，即乙的速度为甲先前速度的倍， 假设甲先前的速度为，则乙的速度为， 根据题意得， 解得， 所以乙的速度为， 所以该选项正确，不符合题意； B.由A.得，甲先前的速度为，前6分钟甲走的路程为， 甲返回地需要的时间为， 所以甲重新从地出发与乙相遇所需时间为， 甲乙相遇总共所用时间为， 所以该选项正确，不符合题意； C.线段为甲单独先走3分钟所形成的图象， 此时，甲乙相距的路程为， 所以B点的坐标为， 所以该选项正确，不符合题意； D. 甲最终到达B地的时间是， 所以该选项错误，符合题意； 故选：D． 10．D 解：由题意得，所付车费为：， 即． 故选：D． 二、填空题 11．6 解：当时，； 当时，； 当从1变化到4时，的值增加了6， 故答案为：6． 12． 解：由题意得， 则， 解得：， 所以 故答案为：． 13．36 解：由题意可知，蓄水池原有水，放水速度为， 所以当放水时间为时，水池中水量为： ． 故答案为：36． 14． 解：由题意可得：m张白纸粘合后的总长度为， 故答案为：． 15．或 解：由图可知，当时，此时点运动到点，即，此时， 即， 解得：， 因为四边形是长方形， 所以，； 由图可知，当时，点在或上， 当点在时，则 此时， 解得：； 当点在时，则， 此时， 解得：； 故答案为：或． 16．①②③④ 解：当点在上运动时，逐渐增大，由图乙可知，在段运动时对应时间为0到4秒， ， 即图甲中的长为，故①说法正确； 当点运动到点时，为直角三角形， ， ， 即图乙中是，故②说法正确； 由图可知：，， 又，， ，， 则图甲的面积， 故③说法正确； 图乙中代表点从所需的全部时间， ， 秒， 故④说法正确； 正确说法的序号是①②③④． 故答案为：①②③④． 三、解答题 17．（1）解：，即 （2）解： 18．（1）解：根据图象可知，表示物体运动的速度小于表示物体运动的速度， 所以表示自行车运动的路程与时间关系，表示摩托车运动的路程和时间的关系， 所以摩托车每小时走：（千米）， 自行车每小时走：（千米）． （2）解：设摩托车出发后t小时，他们相距20千米； ①相遇前：， 解得； ②相遇后：， 解得：； ③摩托车到达终点后，， 解得：； 综上，摩托车出发后或或小时，他们相距20千米． 19．（1）解：由题意得：自变量是燃烧时间，因变量是香可燃烧部分的长度； （2）解：由表格数据可知：燃烧时间每增加，这根香可燃烧部分的长度减少， 所以当时，这根香的长度为：； 所以这根香燃尽所需的时间为：； 所以； （3）解：由（2）可得：这根香可燃烧的时间为； 20．（1）解：在个月～个月内，这个婴儿的体重与月龄之间的关系如下表所示： 月龄/月 1 2 3 4 5 6 体重 4700 5400 6100 6800 7500 8200 （2）解：与之间的关系式是， 常量是和，变量是与． 21．（1）解：自变量是主动变化的量，本题中气温的变化引起声音传播速度的变化， 因此自变量是气温； 因变量是随自变量变化而变化的量， 因此因变量是声音在空气中的传播速度． （2）观察表格数据： 气温每升高(如从到)，声音传播速度增加， 同理，其他温度区间(如到)均满足每升高速度增加， 因此，声音在空气中的传播速度随气温的增大而增大； 气温每升高，声音传播速度提高． （3）设气温为，声音传播速度为，根据规律可得： 代入： ， 当气温为时，声音在空气中的传播速度为． 22．（1）解：由题意得：； （2）解：当时，， 当时，， 因为， 所以当x每增加时，y增加； （3）解：当时，，此时表示的是的面积； （4）解：把代入到得： 解得： 所以时，梯形的面积为． 23．（1）解：由图可知：当时，， 小明家离普者黑火车站； （2）解：由图可知：当时，， ， 小明和爸爸在普者黑火车站取票、检票、候车共用了； （3）解：从家驾车到普者黑火车站路程为，离家的总路程为， 则坐高铁的路程为 普者黑火车站到昆明需要 的时间为， 答：普者黑火车站到昆明需要． 24．（1）解：由题意，得：， ； （2）解：根据题意得， 即， 解得， 答：当甲、乙两个商店的收费相同时，所买练习本为20本． （3）解：应选择甲商店更优惠，理由如下： 买22本练习本， 甲商店的费用为元， 乙商店的费用为元． 因为， 所以应选择甲商店更优惠． 学科网（北京）股份有限公司 $