第6章《平行四边形》单元综合测试卷 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 《平行四边形》单元综合测试卷，通过选择、填空、解答题（10/6/8题，30/18/72分）覆盖性质、判定、中位线等核心知识，注重几何直观与推理能力，适配单元复习，发展抽象能力与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|折叠问题、多方案判定（如第2题甲/乙/丙方案）、格点四边形|结合动态图形，考查空间观念| |填空题|6/18|对角线性质（第11题）、坐标与平行四边形（第13题）、面积计算|融入代数几何综合，培养数据意识| |解答题|8/72|证明（第17题）、作图（第19题）、分层探究（第23题三问）|设置“问题初探-类比分析-学以致用”梯度，发展推理意识与创新应用|

第6章《平行四边形》单元综合测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分) 1.如图，将口ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，若∠1=∠2=38，则∠D= B A.123 B.124 C.125° D.126° 2.如图，在△ABC中，M,N分别是边AB,AC上的点，延长MN至点P,连接PC, ∠P+∠BCP=180,要使四边形MBCP为平行四边形，甲、乙、丙三位同学给出三种不同的 方案： 甲：添加BM=PC; 乙：添加BM‖PC: 丙：添加MP=BC. 则正确的方案() A.只有甲、乙才对 B.只有乙、丙才对 C.只有甲、丙才对 D.甲、乙、丙都对 3.如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O,∠ABC的平分线交AD于点 F,E为BF的中点，若BC=a'CD=b,a>b,则EO的长可以表示为（) E C A.a-b 2 C.b-1。 D.a-ib 4.如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为() A.4 B.5 C.6 D.7 5.如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ADC的平分线与边AB相交于点P,过点O 作平行于DC的直线交PD于点E,若BC=6,EO=2,则CD的长为() D B A.8 B.9 C.10 D.12 6.如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和中线，CG⊥AD于点F,交AB于点G,连接 EF·若EF=1'AC=6,则AB=（） G F ED A.6 B.8 C.9 D.10 7.如图，在口ABCD中，点E是CD中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F,点G在边 AB上，且AG=3BG,连接CC'若△CEF的面积为2，则四边形AGCE的面积为(） F D E GB A.5 B.5.5 C.6 D.6.5 8.如图，我们称四个顶点都恰好在格点的四边形为格点四边形，A,B为4×4的正方形网格 中的两个格点，在此图中以A,B为顶点的格点四边形是平行四边形的个数是(). ◆B A.10 B.11 C.12 D.13 9.如图1，在四边形ABCD中，DC‖AB,∠ABC=90°，AB=24cm,BC=63cm.点P从 点A出发，以2Cm/s的速度沿折线A一D一C→B运动，点Q从点B出发向点A运动.当一点停 止时，另外一点随之停止.设点P运动时间为ts,△APQ的面积为Scm2,S与t的函数关系如 图2所示.则当P在DC上时且PQ⊥DB时，t的值等于() S D 54w3 OB 6 15t 图1 图2 A.6+V3 B.18-6V3 C.9 D.12 10.如图，在△ABC中，AB=5,AC=12,BC=13,△ABD,△ACE,△BCF都是等边三角 形，下列结论中：①AB⊥AC;②∠DFE=150°；③四边形ADFE是平行四边形；④ S四边形ADFE=15: 正确的个数是() E D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分) 11.如图，点E为口ABCD的对角线AC上一点，AC=5,CE=1,连接DE并延长至点F,使得 EF=DE,连接BF,则BF为 D B 2.如图，在ABCD中，M是BC的中点，且AM=5,BD=12,AD=,则口ABCD的面积 为 D 13.在平面直角坐标系中，已知以A,B,C,D四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中 A0,0小B2,0C3,1则点D的坐标为 14.如图，在口ABCD中，BE平分∠ABC,CF⊥BE,连接AE,G是AB的中点，连接GF, 若AE=6,则GF= G 15.如图，将△ABC沿直线AD方向平移到△乙的位置，D点在BC上，则△ABC的面积S1和 两阴影部分面积之和S2的比值为 E D B 16.如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G-3,0,B-2,0,HC与GB关于y轴对称， ∠GAH=60,PQ分别是AG、AH上的动点，则BP+PQ+QC的最小值是一， 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17.(6分)如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD于E,过点 C作CF⊥BD于点F: (1)求证：AE=CF: (2)若AB⊥AC,AC=6,BD=10,求BE的长度. 18.(6分)如图，点E、F分别为线段AB、CD上的点，且AE=DF,AB‖CD,连接 EC、BF,分别交AD于点G、连接BG,CH,∠AGE=∠DHP· B (1)证明：AG=DH: (2)证明：四边形BGCH为平行四边形. 19.(8分)如图正方形网格中有格点线段AB及格点C,仅用无刻度的直尺借助网格按下列 要求作图： 、 B (1)过点C画AB的平行线CD; (2)过点B画CD的垂线BE. 20.(8分)在△ABC中，AB=AC,∠B=a0°<Q<45°，D,E分别是BC,AC的中点.M是 线段BD上的动点（不与B,D重合），连接DE,EM,将线段EM绕点E顺时针旋转2C得到线 段EN,连接AN. A E B M D B M D 图1 图2 (1)如图1，求证：AN=DM: (2)如图2，连接MN交AB于点F,当MF=NF时，用等式表示线段FB与FA的数量关系，并证 明 21.(10分)平行四边形ABCD中，点O是对角线BD中点，点E在边BC上，EO的延长线与 边AD交于点F,连接BF、DE,如图1. R 图1 图2 (1)求证：四边形BEDF是平行四边形； (2)在(1)中，若DE=DC,∠CBD=45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G HR,如图2 ①当CD=6,CE=4时，求BE的长. ②探究BH与AF的数量关系，直接写出答案. 22.(10分)在平行四边形ABCD中，点E在平行四边形ABCD内，连接EC,ED,EB, △ECD是等腰直角三角形，∠ECD=90,其中EB=EC: 图 图2 图3 (1)如图1，求∠DAE的度数； (2)如图2，在BC上取点F使得AB=AF,求证：V2AE+BF=AD: (3)如图3，在2问的条件下，若B、E、D在同一直线上，当AE=V2时，求平行四边形ABCD 的面积. 23.(12分)【问题初探】 (1)在数学活动课上，李老师给出如下问题： 如图1，在四边形ABCD中，∠A+∠ABC=90°，AD=10,BC=8,点PQ分别为AB、CD的 中点，求PQ的长. 有两名同学思考良久之后，给出如下的解题思路： 如图2，小鹏同学思考的时候，发现有“两个中点P、Q”,于是想到了老师讲过的“中位线 的构造技巧”的这个解题经验，建立图2的辅助线，连接BD,取BD的中点H,连接PH,QH, 再通过“中位线的性质”将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决； 如图3，小亮同学思考的时候，发现题中有“∠A+∠ABC=90°”，于是就想把这两个角合 到一起，于是就利用“中线倍长的构造技巧”的这个解题经验，建立图3的辅助线，连接DP 并延长DP,使PH=DP,再连接CH,BH,再通过“倍长中线”后的性质，将已知线段转移 到同一个三角形中把问题解决； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程. B B B 图1 图2 图3 【类比分析】 (2)李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明线段的关系转化为我们熟悉的角的 关系去理解；为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答： 如图4，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为△ABC内一点，连接BD,DC,延长DC到点E, 使CE=CD,连接AE使AE⊥BD,探究AB,BD,AE之间的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 (3)如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D为AB中点，点E在线段BD上（点 E不与点B,点D重合)，连接CE,过点A作AF⊥CE,连接FD.若AF=8,CF=3,请求出 FD的长. E D E B 图4 图5 24.(12分)如图，在等边三角形ABC中，点D在边BC上（与点B,C不重合），CD的垂直 平分线交BA的延长线于点E,交边AC于点M, A M B D (备用图) (1)当点D为BC中点时，连接AD,MD,求证四边形ADME是平行四边形； (2)探究线段AE与BD的数量关系，并说明理由； (3)若AE·AB=3,求四边形ADME的面积. 参考容案 一、选择题 1.A 解：由折叠知∠ACE=∠2=38°，∠E=∠B, ∴.∠BCE=∠2+∠ACE=76°， ,四边形ABCD是平行四边形， .AB CD,∠B=∠D, ∴.∠EAB=∠1=38°，∠E=∠B=∠D, 在四边形ABCE中，∠EAB+∠BCE+∠B+∠E=360 ∴.2∠D+38°+76°=360°， ∴.∠D=123°， 故选：A. 2.B 解：.∠P+∠BCP=180, ∴.MPBC' 甲：添加BM=PC后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形MBCP为平行四边形； 乙：添加BM‖PC后，满足两组对边平行，能证明四边形MBCP为平行四边形； 丙：添加MP=BC后，满足一组对边平行且相等，能证明四边形MBCP为平行四边形； 综上可知，只有乙、丙才对， 故选B. 3.B 解：，四边形ABCD为平行四边形， .∴，AD‖BC,AD=BC=a,AB=CD=b,OB=OD, .BF平分∠ABC, .∠ABF=∠CBF, .AD‖BC, ∴∠CBF=∠AFB, ∴.∠ABF=∠AFB, ∴.AF=AB=b, ∴.DF=AD-AF=a-b, ,E为BF的中点，OB=OD, .OE为△BDF的中位线， .0E=1DF=a-1b, 21 2 2 故选：B. 4.C 解：：ABCDEF是由六个全等的正三角形拼成的， ∴.ABCDEF是正六边形， ∴.AD,BE,CF是正六边形的对角线， 可得OA=OE=AF=EF, .∴四边形AOEF是平行四边形， 同理：四边形DEFO,四边形ABCO,四边形BCDO,四边形CDEO,四边形FABO都是平行四 边形，共6个， 故选C. 5.C 解：如图，过点P作PFOB交射线OE于点F, 四边形ABCD是平行四边形， ∴.CD‖AB,AD=BC=6,DO=OB .∴.∠APD=∠CDP' :DP平分∠ADC, .∴.∠ADP=∠CDP .∴.∠ADP=∠APD' ∴.AP=AD=6, .OE CD, ..OE BP, ∴四边形OBPF为平行四边形， ∴.PB=OF,PF=OB, ∴.PF=OD, .PF OB, ∴.∠PFO=∠DOF,∠FPE=∠ODE, .△PEF≌△DEO ASA, .EF=OE=2,即BP=OF=4, .AB=AP+BP=10. ∴.CD=10. 故选：C 6.B 解：.AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD, .CG⊥AD, ∴.∠AFG=∠AFC, 又AF=AF, ∴.△AGF≌△ACF ASA, ∴.FG=FC,AG=AC=6, .AE是△ABC的中线， .'BE=CE, .EF是△CBG的中位线， ∴.BG=2EF=2, .AB=AG+BG=6+2=8, 故选：B. 7.A 解：如图所示，连接AC, D E G B ,在口ABCD中，点E是CD中点， .DE=CE,AD BC. .∠DAE=∠CFE, 又，∠AED=∠FEC, .∴△ADE≌△CFE AAS, ∴.S△ADE=SACr=2,AD=CF, ,S△ABc=S△ADE=2,S△ABc=SAADC=SAADE+S△AEc=2+2=4, .AG=3BG. ·AG=3 AB 4 SAACC=SAA=3 .S四边形AGCE=S△AEc+S△AGC=2+3=5, 故选：A. 8.D 解：如下图：由勾股定理和网格特征可得下列顶点四边形的两组对边分别相等， .都是平行四边形， 故选：D. 9.D 解：根据图2可得t=6时P运动到点D,当t=15时，点P运动到点C, .AD=2×6=12,CD=15-6×2=18 过点D作DE⊥AB于点E,如图 D OB 图1 ,在四边形ABCD中，DC‖AB,∠ABC=90°，AB=24, ∴.∠C=∠ABC=∠BED=90°， ∴.四边形BCDE是矩形， .DE=BC=63,BE=CD=18, ∴.AE=AB-BE=24-18=6, 在Rt△CBD中，BD=VCD2+BC2=V6V3+182=12V3' BD2+AD2=123}+12=576'AB=242=576 ..AB=BD2+AD2 ∴.△ABD是直角三角形，且∠ADB=90° 当t=6时，S=543 如图， D(P) C O B 设Q的运动速度为vcm/s,则AQ=AB-BQ=24-6v 六×4AQ×DE=540 即号×24-6×693=5483 解得：v=1, ∴.BQ=t, 当P在DC上时且PQ⊥DB时，如图所示， D .:AD⊥BD .PQ‖AD 又DPAQ ∴.四边形ADPQ是平行四边形 ∴.AQ=DP,即AB-BQ=2t-AD ∴.24-t=2t-12 解得：t=12 故选：D. 10.C 解：：AB=5,AC=12,BC=13, .AB2+AC2=52+12=169=132=BC2, 、△ABC是直角三角形，且∠BAC=90, .AB1AC,故①正确； ·△ABD'△ACE'△BCF都是等边三角形， ∴.∠ABD=∠FBC=∠ACE=∠BAD=∠CAE=60,AB=BD=AD,BF=BC=CF, AC=AE=CE' ∴.∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA·∠ACB+∠ACF=∠FCE+∠ACF, 即∠DBF=∠ABC,∠ACB=∠FCE, 在△DBF与△ABC中， BD=AB ∠DBF=∠ABC, BF=BC ∴.△DBF≌△ABCSAS' .∴.AC=DF, ·AC=AE .DF=AE' 同理可证：△EFC≌△ABC, ∴.AB=EF, .AB=AD' ∴.AD=EF, :.四边形ADF距是平行四边形，故③正确； .∠DFE=∠DAE=360°-∠BAD-∠BAC-∠CAE=3600-900-60°-60=150，故②正 确； 过A作AG⊥DF于G,则∠AGD=90°， G E :四边形ADFE是平行四边形， ∴.∠FDA=180°-∠DFE=180°-150°=30°， AG-AD-7B-号， ·S8岁整AP=DFAG时12x号=30，故④箱误 :正确的有3个， 故选：C. 二、填空题 11.3 解：连接BD交AC于O, D B ,四边形ABCD是平行四边形， 0D=0B,0c=号4 21 DE=EF, .OE是△DBF的中位线， ..OE=-BF, CE=1, 0E=0C-EC=3 .BF=3 故答案为：3. 12.40 解：过点D作DF‖AM交BC的延长线于点F,如图， 则∠AMB=∠F, ,四边形ABCD是平行四边形， ..CD AB,AB=CD,AD=BC,AD BC. ∴.∠ABM=∠DCF,四边形ADFM是平行四边形， .△ABM≌△DCF AAS, ..BM=CF,AM=DF, :M是BC的中点，AD=25=BC, 3 ∴BM=CM=BC, BM=CM=CF=13 , ∴.BF=13, .AM=5, ∴.DF=AM=5, 在三角形BDF中，BD2+DF2=12+52=13=BF2, ∴.三角形BDF是直角三角形，且∠BDF=90°， D M 过点D作DG⊥BF于点G, 5ar号8D-Dr=DG, DG=60 3 ,△ABM≌△DCF, ·ABCD的面积=口ADFM的面积=AD-DG-25x60=40. 313 故答案为：40. 13.5,1或1,1或-1，-1 解：在平面直角坐标系中，已知A0,0,B2,0,C3,1,可作图如下： 3 2 D 1 2D O 5-4-3-2-2B345衣 2 -3 -5 ,四边形ABCD是平行四边形， 当ABCD,AB=CD=2, ∴在C点的基础上向左和向右平移两个单位即可得到D1和D2 .D15,1:D21,1: 当BC‖AD时，点C向下平移1个单位向左平移1个单位可得到点B, ∴.在A点的基础上向下平移1个单位并向左平移1个单位可得到点D,-1,-1: 故答案为：5,1或1,1或-1，-1. 14.3 解：在平行四边形ABCD中，AB‖CD, .∠ABE=∠BEC. .BE平分∠ABC, ∴∠ABE=∠CBE, .∠CBE=∠BEC, ∴.CB=CE CF⊥BE, ∴.BF=EF G是AB的中点， ∴GF是△ABE的中位线， GF-ZAE, AE=6, .GF=3. 故答案为：3. 15.1 解：，将△ABC沿直线AD方向平移到△的位置， ∴.BC=EF,BC‖EF' 四边形BCFE为平行四边形， :△C与BCFE同底等高， .S=1i …SxE2 S△ABC=1, ·2 S1二1 ·S2 故答案为：1. 16.7 解：作B点关于AG的对称点B,作C点关于AH的对称点C,连接BG,CH,BC,BC交 AG、AH于点RQ,过B作BD1x轴于D,过点C作CE⊥X轴于E. 则∠BDG=∠CEH=90°，BG=BG,CH=CH,BP=BP,CQ=CQ. y B:s P A DG B OCH龙x :HC与GB关于y轴对称， ∴.AG=AH. .∠GAH=60, ∴△AGH为等边三角形. .∠AGH=∠AHG=60°， .G-3,0B-2,0 .∴.OG=OH=3GB=CH=1 .∴.GH=6'BG=CH=1 .∠BGP=∠BGP=60°， ∴.∠BGD=180°-∠BGP-∠BGP=60°. 同理，∠CHE=60°. ∴.∠BGD=∠CHE. ∴.△BGD≌△C HE AAS. .'.B D=CE, ∴BC‖x轴. ,∠BGP=∠CHE=60°， ∴.PGCH. 四边形PGHC是平行四边形. ∴.PC=GH=6. BC‖x轴. ∴∠BPG=∠PGB=60°，∠PBG=∠BGD=60°， △BGP是等边三角形. ∴.BP=BG=1. ..BC=BP+PC=7. .BP+PQ+CQ=B P+PQ+C Q=BC, .BP+PQ+CQ的最小值是7. 故答案为：7 三、解答题 17.（1)证明：口ABCD, .AB=CD,AB‖CD, ∴.∠ABE=∠CDF ,AE⊥BD,CF⊥BD ∴.∠AEB=∠CFD=90°， .△AEB≌△CFD|AAS, ..AE=CF; (2)解：在口ABCD中，AC=6,BD=10, ∴A0=1AC=3,B0=1BD=5 AB⊥AC .AB=VB02-A02=4 .AE⊥BD AB-AO-TBO-AE. 2 ∴AE=4×3=12 55 ..BE=AB2-AE2-16 18.(1)证明：：AB|CD, ∴.∠A=∠D 在△AGE和△DFH中， ∠A=∠D ∠AGE=∠DHF, AE=DF ∴.△AGE≌△DHF AAS ∴.AG=DH (2)证明：：∠AGE=∠CGD,∠DHF=∠BHA,∠AGE=∠DHF, ∴.∠BHA=∠CGD ∴.BH‖GC' .AG=DH' .AG+GH-DH+GHAH=DG 在△ABH和△DCG中， ∠A=∠D AH=DG ∠BHA=∠CGD ..△ABH≌△DCGASA' .∴.BH=CG' 又BH‖GC, 所以四边形BGCH为平行四边形. 19.(1)解：取格点D连接CD即可， (2)解：取格点E连接BE即为所求. B 20.(1)证明：D,E分别是BC,AC的中点， ∴AE=EC=2AC,DE=3AB. ,AB=AC,∠B=0, ∴DE=AC=AE=EC,∠C=∠B=a, ∴.∠EDC=∠C=a, ∴.∠DEA=∠EDC+∠C=2a, ,线段EM绕点E顺时针旋转2a得到线段EN, ∴.∠MEN=2a,ME=NE. ∴.∠DEM=∠DEA-∠MEA=2a-∠MEA,∠AEN=∠MEN-∠MAE=2a-∠MEA, ∴.∠DEM=∠AEN. DE=AE 在△MDE和△NAE中， ∠DEM=∠AEN, ME=NE .△MDE≌△NAE SAS. ∴.MD=AN; (2)解：B=3FA,理由如下： 如图，过点M作MG‖AN交AB于点G,连接GD, G M 则∠MGF=∠NAF. ∠MGF=∠NAF, 在△GFM和△AFN中. ∠GFM=∠AFN, MF=NF. .∴△GFM≌△AFN AAS. ∴.MG=AN,GF=AF 1AG· .MD=AN, ∴.MG=MD .∠MGD=∠MDG. .∠EDC=a. ∴.∠MDE=180°-∠EDC=180°-a. .△MDE≌△NAE, ∴.∠NAE=∠MDE=180°-&. 又∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-2a, ∴.∠MGF=∠NAF=360°-∠BAC-∠NAE=3a. ∴.∠BMG=∠MGF-∠B=2a, ∴.∠MDG=∠MGD=a=∠C. GD‖AC. DE‖AG, ∴四边形GDEA为平行四边形. .'.AG=DE=1AB AF-GF-AG, ..AF=1AB. 4 ∴.FB=3FA. 21.(1)证明：，平行四边形ABCD中，点O是对角线BD中点， ∴.AD‖BC,BO=DO, ∴∠ADB=∠CBD,且∠DOF=∠BOE,BO=DO, .△BOE≌△DOF ASA, .DF=BE,且DF‖BE, .四边形BEDF是平行四边形； (2)解：①如图2，过点D作DN⊥EC于点N, 图2 .DE=DC=6,DN⊥EC, ∴.EN=CN=2, ∴.DN=VDC2-CN2=V62-22=4V2, .∠DBC=45°，DN⊥BC, ∴.∠DBC=∠BDN=45°， .DN=BN=42, ∴.BE=BN-EN=4V2-2; ②AF=V2BH, 理由如下：如图，过点H作HM⊥BC于点M, F R 图2 .DN⊥EC,CG⊥DE, ∴.∠CEG+∠ECG=90°，∠DEN+∠EDN=90°， .∠EDN=∠ECG, DE=DC,DN⊥EC, ∴∠EDN=∠CDN,EC=2CN, ∴.∠ECG=∠CDN, .∠DHC=∠DBC+∠BCH=45°+∠BCH, ∠CDB=∠BDN+∠CDN=45°+∠CDN' ∴.∠CDB=∠DHC ∴.CD=CH,且∠HMC=∠DNC=90°，∠ECG=∠CDN, .△HMC≌△CND AAS, ∴.HM=CN, HM⊥BC,∠DBC=45°， .∠BHM=∠DBC=45°， ..BM=HM, ∴.BH=V2HM, .AD=BC,DF=BE. ∴.AF=EC=2CN, .AF=2HM=2BH. 22.(1)解：设∠ECB=x, .EB=EC. ∴.∠EBC=∠ECB=X, ,△ECD为等腰直角三角形， ∴.∠ECD=90°，∠CED=∠CDE=45°， ∴∠BCD=90°+X,EC=CD, ∴.EB=CD=AB. .四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠ADC=∠ABC=180°-∠BCD=180°-|90°+x=90°-X, .∠ABE=90°-X-x=90°-2x, ∵AB=EB, ∠BAE=180°-∠ABE_1806-|90°-2X=45+X, 2 2 ,∠BAD=∠BCD=90°+X, ∴.∠DAE=∠BAD-∠BAE=|90+x-45+x=45°： (2)证明：如图，在AD上截取DG=BF,连接EG,CG: G 0 图2 AD=BC' AD-DG=BC-BF,即AG=CF: AD BC :.四边形AFCG是平行四边形， .AF CG'AF=CG' ∴.∠GCB=∠AFB' .AB=AF' .∴.AB=GC’∠ABC=∠AFB? .∴.∠GCB=∠ABC' 'BE=CE' .∴.∠EBC=∠ECB' :∠ABC-∠EBC=∠GCB-∠ECB:即∠ABE=∠GCE, .△ABE≌△GCE SAS, ∴.AE=EG, .∴.∠GAE=∠AGE=45o ∴△AEG是等腰直角三角形， .∴.AG=2AE AD=CF+BF=AG+BF' ∴.V2AE+BF=AD (3)解：过点E作PQ⊥AD交于点P,交BC于点Q,过点B作BH⊥AE交AE于点H,AF交 BD于点K, E 图3 .∠CED=45°， .∠BEC=135°， ∴.∠EBC=∠ECB=22.5°， ∴.∠ABF=∠AFB=67.5°， 即∠BAF=45°， .∠ABF=∠ADC,∠CBD=∠ADB, .∠ABK=∠EDC=45°， 即∠AKB=90°设AK=BK=x, ∴，AB=BE=V2x, .KE=V2-1x, 在Rt△AKE中，AK2+KE2=AE2, :AE=2, X+2-1x2=2解得X=2+2 2 ×BI×AE=×AK×BE, SAABE=2 :BH=AK×BE=X·2X=X=2+2 AE 2, .BH⊥AE,AB=EB, .∠EBH=∠ABH=22.5°， ∴.∠EBQ=∠EBH, 又.EQ⊥BC, .∠BQE=∠BHE=90°， 又BE=BE, .∴△BHE≌△BQEAAS, 0=1=号AB-2, ，BQ=8明=2+2 21 ∴BC=2BQ=2+V2, ..AE=2, PE=1, PQ-PE+QE-1+2 SeAD=PQ×BC=2+2×1+ 2 =3+2V2· 2 23.(1)解：小鹏的做法：连接BD,取BD的中点H,连接PH,QH, DOC P B B B 图1 图2 图3 :点PQ分别为ABCD的中点， .PH AD,PH-AD-5,HQ BC.HQ-BC=4. ∴.∠BPH=∠A'∠DHQ=∠DBC' .∴.∠PHD=∠BPH+∠ABD=∠A+∠ABD' ∠PHQ=∠A+∠ABD+∠DHQ=∠A+∠ABC=90, ∴.PQ=VPH2+QH=V41 小亮的做法：连接DP并延长，使PH=DP,再连接CH,BH, :点PQ分别为ABCD的中点， .∴.AP=BP,∠APD=∠BPH' ∴.△APD≌△BPH SAS' .∴.∠A=∠HBP, ,∠A+∠ABC=90, ∴.∠PBH+∠ABC=∠HBC=90°， .CH=BC2+BH2=241' :点RQ分别为DH、CD的中点， ·PQ=CH=4: (2)解：AB2=AE2+BD,理由如下： 如图，延长AC到T,使得CT=AC,连接DT,BT, E D B ,EC=DC,∠ACE=∠TCD' .∴.△ACE≌△TCD|SAS: .∴.AE=DT,∠EAC=∠DTC, ∴.AE‖DT, .AE⊥BD' .BD⊥DT, ∴.∠TDB=90, .BT2=DT2+BD2=AE2+BD2, .:∠ACB=90°，AC=CT BC是AT的垂直平分线， ∴.BT=BA' .'AB=AE2+BD2: (3)解：如图，延长D到T,使得DT=DF,连接BT,延长CE交BT于点J, D EB 点D为AB中点， ∴.AD=BD, ,DF=DT,∠ADF=∠BDT, ∴.△ADF≌△BDT SAS: ∴.AF=BT=8,∠FAD=∠TBD' ∴.AF‖BT ,AF⊥CJ CJ⊥BT ∴.∠AFC=∠CJB=∠ACB=90, .'∠ACF+∠BCJ=90,∠BCJ+∠CBJ=90°， .∴.∠ACF=∠CBJ' .AC=BC' ∴.△AFC≌△CJBAAS .'CF=BJ=3,AF=CJ=8 .∴.JT=BT-BJ=8-3=5,FJ=CJ-CF=8-3=5, .FJ=JT' .∠FJT=90 △FJT是等腰直角三角形， ∴.FT=V2FJ=5V2' DE=IFT=52 2 2 24.(1)解：.△ABC是等边三角形，D是BC的中点， ∴.AD⊥BC,∠B=∠C=60· :EM垂直平分CD, ∴.MD=MC,EM⊥BC ∴AD∥EM'△MDC是等边三角形. .∴.∠MDC=60°· ∴.∠MDC=∠B ∴.BE‖DM· :.四边形ADME是平行四边形. 答图1 (2)解：AE=BD」 理由如下：如答图2，设CD的垂直平分线交CD于点F E M 答图2 由(1)可知△MDC是等边三角形， MC=DC,∠FMC=号∠DMC=30. .∴.∠AME=∠FMC=30o· .EF⊥CD'∠B=60, ∴.∠E=30° .∴.∠AME=∠E .∴.AE=AM :△ABC是等边三角形， .∴.AC=BC AC-MC=BC-DC,即AM=BD: ∴.AE=BD (3)解：如答图3，过点D作DG1AB,垂足为G则BG=号BD,DG=3BD. E 答图3 由(1)得DM‖AB, AE-DG,DMDG. .S四边形ADME=S△AEM+S△AMD, =号AEDG+DM:DG -DG(AE+DM) -DG(AM+MC) DG·AC Γ2 =1DG·AB 2 13 -22 BD·AB 要A 2 .3