第一章 因式分解讲义 2025-2026学年湘教版数学八年级上册

本讲义系统梳理因式分解核心知识点，从基础的提公因式法（含公因式三要素、分解步骤）到应用公式法（平方差、完全平方等公式），再到分组分解法和十字相乘法，构建层次递进的学习支架，覆盖从基础到进阶的分解方法。 特色在于融合数学核心素养培养，通过公因式三要素分析提升抽象能力（数学眼光），结合三角形形状判断例题发展推理意识（数学思维），例题与变式练习助力学生用规范步骤表达分解过程（数学语言）。课中辅助分层教学，课后便于学生巩固练习，弥补知识盲点。

因式分解讲义 重点知识 一、提公因式法. 1 .公因式：一个多项式中各项都含有的相同的因式,叫做这个多项式的公因式. 2 .提公因式法：把一个多项式中的公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 3. 总结： （1）方法规律：一个多项式各项的公因式必须由三部分组成：①各项整数系数的最大公约数；②各项相同的字母；③相同因式的指数取最小次数. （2）解题方法：①用提公因式法分解因式后，剩下因式不能再有公因式；②公因式提出后，剩下的因式的求法：用公因式去除多项式各项，所得商即为另一个因式. （3）方法技巧：①用提公因式法分解因式的一般步骤：.确定公因式；.把公因式提到括号外面后，用原多项式除以公因式所得商作为另一个因式. ②为了检验分解因式的结果是否正确，可以用整式乘法运算来检验. 例1 分解因式： （1） ； （2）； （3） ； （4）. 变式练习1 分解因式：（1）；（2）； （3） 重点知识 二、应用公式法: 1.分解依据：由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式. 2.主要公式： （1）平方差公式： （2）完全平方公式: （3）立方和、立方差公式: （4）补充：欧拉公式： 特别地：当时，有 例2 分解因式： （1） ； （2）. 变式练习2 分解因式： . 例3 已知是的三条边，且满足，试判断的形状. 变式练习3 若是三角形的三条边，求证：. 例4 已知：，求的值. 变式练习4 （1）若，求的值； （2）已知：，求的值. 重点知识 三、分组分解法 要把多项式分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式，把它后两项分成一组，并提出公因式，从而得到,又可以提出公因式，从而得到 例5 分解因式 （1）； （2）； （3）. 变式练习5 分解因式：（1）= ； （2）= ；（3）= . 例6 已知： 变式练习6 重点知识 四、十字相乘法 1.利用十字相乘法分解因式的实质：逆用竖式乘法法则． 2.十字相乘法的一般规律是：对于二次项系数为1的二次三项式，如果能把常数项分解成两个因数的积，并且为一次项系数，那么它就可以运用公式： 例7 把下列各式分解因式： （1） ； （2）； （3） 变式练习7 把下列各式分解因式： （1）； （2）； （3） 例8 把下列各式分解因式： （1）；（2）；（3） ． 变式练习8 把下列各式分解因式： （1） ； （2）； （3） ； （4）； （5） ； （6）． （7）； （8）； （9）； （10）. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $