精品解析：2022年泰安中考数学全真模拟试题三

2022年山东省泰安中考数学全真模拟题三 一．选择题（共12小题，每小题4分，共48分） 1. 实数，，2，中，绝对值最大的数是（ ） A. B. C. 2 D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 为了了解学生学科作业量，某中学对部分周末学科作业的时间进行抽样调查，结果如下表： 时间（小时） 1 2 3 4 学生人数（人） 3 12 9 6 关于“周末做学科作业时间”这组数据说法错误的是（ ） A. 众数是12 B. 平均数是2.6 C. 中位数是2.5 D. 方差是0.84 6. 定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 7. 如图，点A、B、C、D都在⊙O上，且四边形OABC是平行四边形，则∠D的度数为(    ) A. 45° B. 60° C. 75° D. 不能确定 8. 某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（ ） A. 1000（1+x）2＝3990 B. 1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990 C. 1000（1+2x）＝3990 D. 1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3990 9. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ） A. -5 B. 5 C. -6 D. 6 10. 如图，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部的仰角为55°，看这栋高楼底部的俯角为35°，若热气球与高楼的水平距离为35m，则这栋高楼度大约是（ ）（考数据：sin55°≈，cos55°≈，tan55°≈） A. 74米 B. 80米 C. 84米 D. 98米 11. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与 轴的一个交点为，点 和点 均在直线上．下列结论错误的是（ ） A. B. 不等式得解集为 C. D. 方程有两个不相等的实数根 12. 如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为（　　） A. 5 B. 2﹣2 C. 6 D. 2+2 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 13. 冠状病毒因在显微镜下观察类似王冠而得名，新型冠状病毒的半径约是0.000000045米，将数0.000000045用科学记数法表示为_________． 14. 列方程组解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？如果设甲带钱x，乙带钱为y，则可列方程组：______． 15. 如图，用一个半径为20cm，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计接头损耗，则圆锥的底面半径r为______cm． 16. 如图，在 中，D、E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则_____． 17. 如图，在圆心角为90°的扇形ACB中，半径，以AC为直径作半圆O，过点O作BC的平行线交两弧于点D，E，则图中阴影部分的面积是______． 18. 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，连接AC，过点D作DC1⊥AC于点C1，以C1A，C1D为邻边作矩形AA1DC1，连接A1C1，交AD于点O1，过点D作DC2⊥A1C1于点C2，交AC于点M1，以C2A1，C2D为邻边作矩形A1A2DC2，连接A2C2，交A1D于点O2，过点D作DC3⊥A2C2于点C3，交A1C1于点M2；以C3A2，C3D为邻边作矩形A2A3DC3，连接A3C3，交A2D于点O3，过点D作DC4⊥A3C3于点C4，交A2C2于点M3…若四边形AO1C2M1的面积为S1，四边形A1O2C3M2的面积为S2，四边形A2O3C4M3的面积为S3…四边形An﹣1OnCn＋1Mn的面积为Sn，则Sn＝__________．（结果用含正整数n的式子表示） 三．解答题（共8小题，共78分） 19. 按要求解答各题 （1）计算： ； （2）先化简，再从， ，中选择合适的 值代入求值． 20. 中华文化源远流长，《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）本次调查所得数据的众数是 部；扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为 度； （2）请将条形统计图补充完整； （3）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率． （4）根据上面抽样的情况，估计全校2400名学生中“四大古典名著读完4部”的人数． 21. 如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于点A(n，2)和点B． （1）n＝　 　，k＝　　； （2）点C在y轴正半轴上．∠ACB＝90°，求点C的坐标； （3）点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，直接写出m的取值范围． 22. 某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示． （1）求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）设每月获得的利润为W（元）．这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？ 23. 如图， 为的直径，C为上的中点，，垂足为的延长线交于点E． （1）求证： 是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 24. 已知正方形 ，E，F为平面内两点． [探究建模] （1）如图1，当点E在边 上时，，且B，C，F三点共线，求证：； [类比应用] （2）如图2，当点E在正方形 外部时，，，且E，C，F三点共线，猜想并证明线段，之间的数量关系； [拓展迁移] （3）如图3，当点E在正方形 外部时，，，，且D，F，E三点共线， 与 交于点G．若，，请直接写出 的长． 25. 如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的横坐标为－1，点C的纵坐标为3 （1）求该抛物线的解析式，并写出其对称轴直线； （2）设点P是抛物线对称轴上一点，连接PA，将线段PA绕点P顺时针旋转，点A的对应点为D，若点D恰好落在该抛物线上，求点P的坐标； （3）如图2，连接CB，若点Q是直线BC上方抛物线上一点，点M为y轴上一点，当△QBC面积最大时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年山东省泰安中考数学全真模拟题三 一．选择题（共12小题，每小题4分，共48分） 1. 实数，，2，中，绝对值最大的数是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值和有理数大小比较的性质计算，即可得到答案． 【详解】，， ∵ ∴实数，，2，中，绝对值最大的数是 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值、实数大小比较的知识；解题的关键是熟练掌握实数的性质，从而完成求解． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：对选项A：，零指数幂的底数不能为 ，无意义，故A错误； 对选项B：，运算正确，故B正确； 对选项C：，故C错误； 对选项D：，故D错误． 3. 将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 【详解】从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个看不见的小正方形画为虚线， 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示． 4. 将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质解题． 【详解】∵a∥b ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质．两直线平行，同旁内角互补． 5. 为了了解学生学科作业量，某中学对部分周末学科作业的时间进行抽样调查，结果如下表： 时间（小时） 1 2 3 4 学生人数（人） 3 12 9 6 关于“周末做学科作业时间”这组数据说法错误的是（ ） A. 众数是12 B. 平均数是2.6 C. 中位数是2.5 D. 方差是0.84 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数，平均数，中位数，方差的定义求值判断即可； 【详解】解：调查数据中，作业时间为2小时的人数最多， ∴众数是2； 一共调查了3＋12＋9＋6=30（人），中位数应该是第15人（2小时）和16人（3小时）的平均作业时间， ∴中位数==2.5； 平均数=（1×3＋2×12＋3×9＋4×6）=2.6； 方差=[3×（1－2.6）2＋12×（2－2.6）2＋9×（3－2.6）2＋6×（4－2.6）2]=0.84； 综上所述，选项A说法错误，符合题意， 故选：A； 【点睛】本题考查数据的分析；众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据；中位数就是将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；当一组数据中有数据重复出现时，如在n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（f1＋f2＋…＋fk=n），那么这n个数据的平均数可表示为，这个平均数也叫做加权平均数，其中f1，f2，…，fk分别叫做x1，x2，…，xk的权；在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，通常用s2表示，即；掌握其概念是解题关键． 6. 定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案． 【详解】解：根据定义得： ， 原方程有两个相等的实数根． 故选A． 【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键． 7. 如图，点A、B、C、D都在⊙O上，且四边形OABC是平行四边形，则∠D的度数为(    ) A. 45° B. 60° C. 75° D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】由圆周角定理可得∠D=∠AOC；由平行四边形的性质，得∠ABC=∠AOC；由圆内接四边形的性质，得到∠ABC+∠D=180°，得到答案. 【详解】解:由圆周角定理可得：∠AOC=2∠D； ∵OABC是平行四边形 ∴∠ABC=∠AOC ∵ABCD是圆内接四边形 ∴∠ABC+∠D=180°， ∴2∠D+∠D=180° ∴∠D=60° 故答案为B. 【点睛】本题考查了圆周角定理、平行四边形的性质、圆的内接四边形的知识，考查知识点较多，关键在于对知识的灵活运用. 8. 某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（ ） A. 1000（1+x）2＝3990 B. 1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990 C. 1000（1+2x）＝3990 D. 1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3990 【答案】B 【解析】 【分析】设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1+x）万元，三月份的营业额为100（1+x）2万元，根据该超市第一季度的总营业额是3990万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1+x）万元，三月份的营业额为100（1+x）2万元， 依题意，得1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990． 故选B． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知增长率问题的求解. 9. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ） A. -5 B. 5 C. -6 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图像平移的性质求出平移以后的解析式即可求得m的值． 【详解】解：将一次函数的图象向左平移3个单位后 得到的解析式为：， 化简得：， ∵平移后得到的是正比例函数的图像， ∴， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，根据“左加右减，上加下减”求出平移后的函数解析式是解决本题的关键． 10. 如图，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部的仰角为55°，看这栋高楼底部的俯角为35°，若热气球与高楼的水平距离为35m，则这栋高楼度大约是（ ）（考数据：sin55°≈，cos55°≈，tan55°≈） A. 74米 B. 80米 C. 84米 D. 98米 【答案】A 【解析】 【分析】过点A作AD⊥BC于D，然后分别解直角三角形，求出BD和CD的长即可即可答案． 【详解】解：过点A作AD⊥BC于D， 在Rt△ABD中，∠BAD＝55°，AD＝35m，tan∠BAD＝， ∴BD＝AD•tan∠BAD≈35×＝49（m）， 在Rt△ACD中，∠ACD＝90°﹣∠CAD＝55°，AD＝35m，tan∠ACD＝， ∴CD＝≈＝25（m）， ∴BC＝BD+CD＝49+25＝74（m）， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 11. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与 轴的一个交点为，点和点 均在直线上．下列结论错误的是（ ） A. B. 不等式得解集为 C. D. 方程有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式并数形结合是解题的关键． 由题意知，当 时，，当 时，，即，可判断A的正误；由题意知，不等式得解集为一次函数图象在二次函数图象上方部分所对应的 的取值范围，由图象可知，解集为，可判断B的正误；由图象可知，，对称轴为直线，即，当 时，，则，可判断C的正误；当时，，方程有一个根（或两个相等的实数根），可判断D的正误． 【详解】解：由题意知，当 时，， 当 时，， ∴，A正确，故不符合要求； 由题意知，不等式的解集为一次函数图象在二次函数图象上方部分所对应的 的取值范围， 由图象可知，不等式得解集为，B正确，故不符合要求； 由图象可知，，对称轴为直线， ∴， 当 时，， ∴，C正确，故不符合要求； 当时，，方程有一个根（或两个相等的实数根），D错误，故符合要求； 故选：D． 12. 如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为（　　） A. 5 B. 2﹣2 C. 6 D. 2+2 【答案】B 【解析】 【分析】作CB关于DA的对称点C'B'，以AB中的O为圆心作半圆O，连C′O分别交DA及半圆O于P、F．将PC+PF转化为C′F找到最小值． 【详解】解：如图：取点C关于直线DA的对称点C′．以AB中点O为圆心，OA为半径画半圆． 连接OC′交DA于点P，交半圆O于点F，连接AF．连接BF并延长交DA于点E． 由以上作图可知，AF⊥EB于F． PC+PF＝PC'′+EF＝C'F 由两点之间线段最短可知，此时PC+PF最小． ∵C'B'＝4，OB′＝6 ∴C'O＝， ∴C'F＝， ∴PC+PF的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查线段和的最小值问题，通常思想是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 13. 冠状病毒因在显微镜下观察类似王冠而得名，新型冠状病毒的半径约是0.000000045米，将数0.000000045用科学记数法表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数0.000000045用科学记数法表示为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键． 14. 列方程组解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？如果设甲带钱x，乙带钱为y，则可列方程组：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设甲带钱x，乙带钱为y， 根据题意，得 故答案为：． 15. 如图，用一个半径为20cm，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计接头损耗，则圆锥的底面半径r为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，结合已知条件以及扇形面积公式即可求得答案. 【详解】设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l，圆锥形容器底面半径为r， 则由题意得，由得， 由得， 故答案是：． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥底面圆周长、圆锥侧面展开图扇形的弧长以及扇形的面积公式是解题的关键. 16. 如图，在 中，D、E为边 的三等分点，，H为与的交点．若，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】证明，求出 的长，再证明，求出的长即可. 【详解】解：∵D、E为边 的三等分点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴. 17. 如图，在圆心角为90°的扇形ACB中，半径，以AC为直径作半圆O，过点O作BC的平行线交两弧于点D，E，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接CE，可得AC=CE，由AC是半圆O的直径，可得OA=OC=CE，根据平行线的性质可得∠COE=90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得∠CEO=30°，即可得出∠ACE=60°，利用勾股定理求出OE的长，根据即可得答案． 【详解】如图，连接CE， ∵AC=4，AC、CE为扇形ACB的半径， ∴CE=AC=4， ∵OE//BC，∠ACB=90°， ∴∠COE=180°-90°=90°， ∴∠AOD=90°， ∵AC是半圆O的直径， ∴OA=OC=CE=2， ∴∠CEO=30°，OE==， ∴∠ACE=60°， ∴ =-- =． 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形面积、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握扇形面积公式并正确作出辅助线是解题关键． 18. 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，连接AC，过点D作DC1⊥AC于点C1，以C1A，C1D为邻边作矩形AA1DC1，连接A1C1，交AD于点O1，过点D作DC2⊥A1C1于点C2，交AC于点M1，以C2A1，C2D为邻边作矩形A1A2DC2，连接A2C2，交A1D于点O2，过点D作DC3⊥A2C2于点C3，交A1C1于点M2；以C3A2，C3D为邻边作矩形A2A3DC3，连接A3C3，交A2D于点O3，过点D作DC4⊥A3C3于点C4，交A2C2于点M3…若四边形AO1C2M1的面积为S1，四边形A1O2C3M2的面积为S2，四边形A2O3C4M3的面积为S3…四边形An﹣1OnCn＋1Mn的面积为Sn，则Sn＝__________．（结果用含正整数n的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据四边形ABCD是矩形，可得AC＝，运用面积法可得DC1＝＝，进而得出DCn＝，得出S1＝，……，Sn＝＝×＝． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AD∥BC，AD＝BC＝2，CD＝AB＝1， ∴AC＝＝＝， ∵DC1•AC＝AB•BC， ∴DC1＝＝＝， 同理，DC2＝DC1＝（）2， DC3＝（）3， ……， DCn＝（）n， ∵＝tan∠ACD＝＝2， ∴CC1＝DC1＝， ∵tan∠CAD＝＝＝， ∴A1D＝AC1＝2DC1＝， ∴AM1＝AC1﹣C1M1＝2DC1﹣DC1＝×DC1＝， 同理，A1M2＝×DC2， A2M3＝×DC3， ……， An﹣1Mn＝×DCn， ∵四边形AA1DC1是矩形， ∴O1A＝O1D＝O1A1＝O1C1＝1， 同理∵DC2•A1C1＝A1D•DC1， ∴DC2＝＝＝， 在Rt△DO1C2中，O1C2＝＝＝＝DC2， 同理，O2C3＝DC3， O3C4＝DC4， ……， OnCn＋1＝DCn＋1， ∴ ＝×AM1×DC1﹣×O1C2×DC2 ＝（﹣） ＝ ＝， 同理， ＝×＝， S3＝＝×＝， ……， Sn＝＝×＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形性质，勾股定理，解直角三角形，三角形面积等，解题关键是通过计算找出规律． 三．解答题（共8小题，共78分） 19. 按要求解答各题 （1）计算： ； （2）先化简，再从 ， ， 中选择合适的 值代入求值． 【答案】（1） （2），1 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 因为分式有意义， 所以 所以 时，原式． 20. 中华文化源远流长，《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）本次调查所得数据的众数是 部；扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为 度； （2）请将条形统计图补充完整； （3）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率． （4）根据上面抽样的情况，估计全校2400名学生中“四大古典名著读完4部”的人数． 【答案】（1）1，72 （2）见解析 （3）见解析， （4）480人 【解析】 【分析】（1）先根据调查的总人数，求得2部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众数；根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°，即可得到“4部”所在扇形的圆心角； （2）根据2部对应的人数，即可将条形统计图补充完整； （3）根据列表所得的结果，可判断他们选中同一名著的概率． （4）先算出“四大古典名著读完4部”的人的概率，再用总数去乘以这个概率即可． 【小问1详解】 解：调查的总人数为：10÷25%=40， ∴2部对应的人数为40-2-14-10-8=6， ∴本次调查所得数据的众数是1部， 扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：×360°=72° 故答案为：1，72． 【小问2详解】 解：补全统计图如图所示： 【小问3详解】 解：《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》分别用字母A、B、C、D表示，树状图如下图所示： 一共有16种等可能性，其中他们恰好选中同一名著的可能性有4种， 故他们恰好选中同一名著的概率是， 即他们恰好选中同一名著的概率是． 故答案为：． 【小问4详解】 解：（人）． 答：估计全校2400名学生中“四大古典名著读完4部”有480人． 【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率，以及条形统计图与扇形统计图的知识．解题的关键是知道一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 21. 如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于点A(n，2)和点B． （1）n＝　 　，k＝　　； （2）点C在y轴正半轴上．∠ACB＝90°，求点C的坐标； （3）点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）﹣4，﹣；（2）C(0，2)；（3）m＜﹣2或m＞2 【解析】 【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数解析式求得n，再把求得的A点坐标代入正比例函数解析式求得k； （2）可设点C（0，b），只要求出b的值就行，求值一般的方法是相似和勾股定理，此题用相似，只需证明△ACD∽△CBE即可； （3）在x轴上找到点P1，P2，使AP1⊥P1B，AP2⊥BP2，则点P在P1的左边，在P2的右边就符合要求了． 【详解】解：（1）把A（n，2）代入反比例函数y＝﹣中，得n＝﹣4， ∴ A（﹣4，2）， 把A（﹣4，2）代入正比例函数y＝kx（k≠0）中，得k＝﹣， 故答案为：﹣4；﹣； （2）如图1，过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E， ∵ A（﹣4，2）， ∴ 根据双曲线与正比例函数图象的对称性得B（4，﹣2）， 设C（0，b），则CD＝b﹣2，AD＝4，BE＝4，CE＝b+2， ∵ ∠ACO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠CBE＝90°， ∴ ∠ACO＝∠CBE， ∵ ∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴ △ACD∽△CBE， ∴ ，即， 解得，b＝2，或b＝﹣2（舍）， ∴ C（0，2）； （3）如图2，过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，在x轴上原点的两旁取两点P1，P2，使得OP1＝OP2＝OA＝OB， ∴ ， ∴ P1（﹣2，0），P2（2，0）， ∵ OP1＝OP2＝OA＝OB， ∴ 四边形AP1BP2为矩形， ∴ AP1⊥P1B，AP2⊥BP2， ∵ 点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角， ∴ P点必在P1的左边或P2的右边， ∴ m＜﹣2或m＞2． 【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合题，涉及用待定系数法求解析式、利用相似三角形的判定与性质求点的坐标、借助做辅助线构造矩形求满足条件的参数范围，解答关键是认真审题，分析图象，找到相关信息的关联点，进而推理、计算． 22. 某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示． （1）求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）设每月获得的利润为W（元）．这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y＝﹣10x+1000 （2）销售单价定为70元时，每月的销售利润最大，最大利润是9000元 【解析】 【分析】（1）根据题意用待定系数法求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）根据利润＝单件利润×销量列出函数解析式，根据函数的性质求最值． 【小问1详解】 设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0）， 将（40，600），（80，200）代入得：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+1000； 【小问2详解】 由题意得：W＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000， 配方得：W＝﹣10（x﹣70）2+9000， ∵a＝﹣10＜0， ∴当x＝70时，W有最大值为9000， 答：这种文化衫销售单价定为70元时，每月的销售利润最大，最大利润是9000元． 【点睛】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是列出函数关系式． 23. 如图， 为的直径，C为上的中点，，垂足为的延长线交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵ ， ∴， ∵C为上的中点，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点C在上， ∴是的切线； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定以及圆周角定理和扇形的面积公式． （1）连接，利用半径相等、圆周角定理求得，推出，从而得到，即可证明是的切线； （2）设半径为r，利用勾股定理得到，解得，再计算出，然后根据扇形的面积公式，利用进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接 ，设半径为r， 在中，∵， ∴， 解得， ∴， 则，即点B是斜边 的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 24. 已知正方形 ，E，F为平面内两点． [探究建模] （1）如图1，当点E在边 上时，，且B，C，F三点共线，求证：； [类比应用] （2）如图2，当点E在正方形 外部时，，，且E，C，F三点共线，猜想并证明线段， 之间的数量关系； [拓展迁移] （3）如图3，当点E在正方形 外部时，，，，且D，F，E三点共线， 与 交于点G．若，，请直接写出 的长． 【答案】（1）证明：∵四边形 是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）猜想：，理由如下： ∵四边形 是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）5 【解析】 【分析】（1）证明，可得结论； （2）证明，然后问题可求证； （3）连接 ，取 的中点O，连接．证A、E、C、D四点共圆，得，然后证，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接 ，取 的中点O，连接，如图所示： ∵四边形 是正方形，， ∴， ∵O是 的中点， ∴， ∴A、E、C、D四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 25. 如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的横坐标为－1，点C的纵坐标为3 （1）求该抛物线的解析式，并写出其对称轴直线； （2）设点P是抛物线对称轴上一点，连接PA，将线段PA绕点P顺时针旋转，点A的对应点为D，若点D恰好落在该抛物线上，求点P的坐标； （3）如图2，连接CB，若点Q是直线BC上方抛物线上一点，点M为y轴上一点，当△QBC面积最大时，求的最小值． 【答案】（1），对称轴为直线 ； （2）(1，1)或(1，-2)； （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，即可求出解析式，再利用公式求出对称轴； （2）设对称轴直线交x轴于点E，作于F，根据旋转的性质，证出，再根据①当点P在x轴上方时②当点P在x轴下方时两种情况分类讨论求解即可； （3）过点Q作，交BC于H，表示QH，进而表示出S△QBC，作，过点M作 于N点，过点Q作于K交y轴于点I，QR⊥y于R，判断出最小值为QK，利用三角函数求出IK，进而得出所求． 【小问1详解】 解：由题意可得：点A的坐标为(-1，0)， 点C的坐标为(0，3)， 将A、C坐标代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 其对称轴直线为： ， 即： ； 【小问2详解】 解：设对称轴直线交x轴于点E， 作于F， ， 由旋转的性质可知： ，， ∵∠APE+∠CPF=90°，∠APE+∠PAE=90°， ∴∠PAE=∠CPF，， 又∠AEP=∠PFC=90°， ∴， ∴，， 设点P(1，m)， ①当点P在x轴上方时， 有D(1-m，m+2)， 则：， 整理得， 解得m1=1，m2=-2（舍去）， ② 当点P在x轴下方时， 有D(1-m，-m-2) ， 则：， 整理得， 解得m1=-2，m2=3（舍去）， 综上所述，点P的坐标为(1．1)或(1，-2)； 【小问3详解】 如图，过点Q作，交BC于H， ∵点B(3，0)，C(0，3)， ∴直线， 设点，则点， ∴ ， ∴， ∴当时，△QBC的面积有最大值， ∴Q(，)， 作，过点M作 于N点， 过点Q作于K交y轴于点I， QR⊥y于R， ∵，， ∴， ∴， 易得， ∴最小值为QK， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、旋转的性质、全等三角形的性质与判定、锐角三角函数和等角对等边等知识点，学会作辅助线并能灵活运用以上知识点是做出本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $