江苏南京市励志高级中学创新班2025-2026学年高一下学期6月月考数学复习卷

**基本信息** 南京市励志高级中学创新班六月数学月调卷，以排列组合、概率统计、二项式定理为核心，通过二十四节气文化、森林植被考察等情境，考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力，适配创新班学生综合素养提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|二项式系数、线性回归、概率分布|第3题结合残差分析，强化数据验证思维| |多选题|3/18|回归方程、独立性检验、二项式性质|第9题辨析相关系数与决定系数，深化统计概念理解| |填空题|3/15|杨辉三角、二项式定理、二项分布|第13题关联杨辉三角历史，渗透数学文化| |解答题|5/77|概率分布列、排列分组、相关性分析|第18题以萌宠机器人为载体，融合相关系数计算与条件概率，体现数学建模应用|

南京市励志高级中学创新班 六月月调数学月调复习卷 （时间:120分钟 满分:150分） 命题人：蒋恒峰 一、单选题（本大题共 8 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.） 1．若的展开式中各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（   ） A． B． C．15 D．60 2．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，统计出小李某月1号到5号每天打篮球时间（单位：h）与当天投篮命中率的成对数据满足的关系式：，，．若与满足线性回归方程，则回归系数（    ）（参考公式：） A．0.04 B．0.03 C．0.02 D．0.01 3．已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（     ） x 2 3 4 5 y 4 7 8 13 A．经验回归直线必过点 B． C．当时，预测值 D．当时，样本点对应的残差为0.2 4．已知下列三个命题：其中真命题的序号是（   ） ①数据的第60百分位数为3； ②若随机变量服从二项分布，则； ③若随机变量服从正态分布，且，则. A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 5．设，随机变量的分布列为 当随机变量的方差取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 6．掷一枚均匀的骰子2次，记出现的点数分别为a，b，令，则的数学期望＝（　　） A． B． C． D． 7．某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．24 B．48 C．144 D．240 8．森林植被是主要由树木组成的植物群落，常见的典型类型包括：常绿阔叶林（以云南西双版纳为代表）、落叶阔叶林（以华北地区为代表）和针叶林（以大兴安岭为代表）．某地理研究团队计划派5个研究小组对这三种典型森林植被的3个代表地区进行考察，要求每个研究小组只分配到一个地区，每个地区至少分配1个研究小组，则不同的分配方案共有（    ） A．300种 B．240种 C．150种 D．120种 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9．下列说法正确的是（    ） A．相关变量的线性回归方程为，若样本点中心为，则 B．若所有样本点都在经验回归方程上，则变量间的相关系数是． C．在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小 D．甲､乙两个模型的决定系数分别约为0.95和0.7，则模型甲的拟合效果更好 10．下列说法正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．若事件A和B相互独立，则 C．已知变量x，y具有线性相关关系，且线性回归方程是，若，，则 D．已知，，，的平均数为，方差为2，则，，，，的方差为 11．已知，则下列描述正确的是（   ） A．偶数项的二项式系数和为128 B．除以5所得的余数是1 C． D． 3、 填空题（本大题共 3小题,每小题 5 分.把答案填在答题卡上的相应位置.） 12．已知，则______． 13．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个11阶杨辉三角. 11阶杨辉三角 （1）第20行中从左到右的第4个数为________； （2）若第行中从左到右第7个数与第9个数的比为，则的值为________. 14．现有3名学生参加某高校的面试，面试要求用汉语或英语中的一种语言回答问题，各学生用何种语言回答问题相互独立，每名学生被要求用英语回答问题的概率均为，则这3名学生中至少有2人用英语回答问题的概率为______________；记用英语回答问题的学生人数为，则X的数学期望______________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．其中第15题13分，第16~17题15分，第18~19题17分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．某研发系统内在初始时刻有一个可分裂粒子，在第1分钟末这个粒子分裂成两个新粒子，共有三种分裂情况：产生两个可分裂粒子，其概率为；产生一个可分裂粒子与一个不可分裂粒子，其概率为；产生两个不可分裂粒子，其概率为. 新产生的每个可分裂粒子在1分钟末又会按照上述分裂情况分裂成两个新粒子，不可分裂粒子在1分钟末被移出系统.称系统中没有可分裂粒子时能量达到峰值. (1)求第2分钟末时能量首次达到峰值的概率； (2)记初始时刻后2分钟末时的可分裂粒子个数为，求的分布列和数学期望. 16．已知名男大学生和名女大学生； (1)这名学生站一排，名女生相邻，共有多少种排法？ (2)将这名学生分成组，每组人数分别为人、人和人，共有多少种分法？ (3)现从6名大学生中选4名学生分配到，，三所学校支教，要求①男大学生选3名，女大学生选1名；②每所学校至少安排一名学生；③女生不能安排在校，共有多少种安排方法？ （注：以上各问结果全部用数字作答） 17．已知的展开式的二项式系数和为. (1)求的值； (2)求展开式中的含有的项； (3)求展开式中系数的绝对值最大的项. 18．某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人，它结合了人工智能、语音识别、互动娱乐和教育等内容，且云端内容可以持续更新，旨在通过趣味性和互动性帮助孩子学习和发展.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎，为了更好的服务广大家长，该公司对萌宠机器人的某个性能指数与孩子的喜爱程度进行统计调查，得到如下数据表： 5 6 7 8 9 0.55 0.50 0.60 0.65 0.70 (1)请根据上表提供的数据，通过计算变量的相关系数，回答是否可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强（当时，与相关性很强）； (2)机器人的交互性很强，孩子可以通过输入语音给机器人发布执行指令.机器人执行命令的正确率为，出错率为.当机器人正确执行命令时，使用者满意的概率为；当机器人执行出错时，使用者满意的概率为.如果使用者对某次命令执行结果表示不满意，求机器人实际正确执行命令的概率是多少？ (3)该公司科技人员小李想挑战萌宠机器人，他和机器人比赛答题，他们每人答4个题，若小李答对题数不小于3，则挑战成功.已知小李答对前两道题的概率均为，答对后两道题的概率均为.假设每次答题相互独立，且互不影响，当时，求小李挑战成功的概率的最大值. 参考公式：相关系数. 19．甲、乙两医院到某医科大学实施“小小医生计划”，即通过对毕业生进行笔试，面试，模拟诊断这3项程序后直接签约一批毕业生，已知3项程序分别由3个部门独立依次考核，且互不影响，当3项程序全部通过即可签约．假设该校口腔医学系170名毕业生参加甲医院的“小小医生计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核后放弃签约的现象）． 性别 参加考核但未能签约的人数 参加考核并能签约的人数 合计 男生 58 27 85 女生 42 43 85 合计 100 70 170 (1)判断是否有的把握认为这170名毕业生参加甲医院的“小小医生计划”能否签约与性别有关； (2)该校口腔医学系准备从专业成绩排名前5名的毕业生中随机挑选2人去参加乙医院的考核，求专业排名第一的小华同学被选中的概率． 参考公式与临界值表：，． 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D A B D C C ABD ACD 题号 11 答案 AB 1．D 【分析】首先根据二项式系数和求，再代入通项公式求常数项. 【详解】由条件可知，则， 通项公式，， 令，得，所以常数项为. 故选：D 2．D 【分析】根据回归系数公式，代入数据求出结果即可. 【详解】已知，则，， 则， 故选：D. 3．D 【详解】对于A，因为，， 所以经验回归直线必过点，A错误； 对于B，因为经验回归直线的方程为，且该直线过点， 所以，解得，B错误； 对于C，将代入经验回归方程得，C错误； 对于D，当时，实际值，预测值， 所以残差为，D正确． 4．A 【详解】命题①：因为，所以这6个数据的第60百分位数是第4个，为3，故①正确； 命题②：若随机变量服从二项分布，则，故②正确； 命题③：因为，且，则，所以，所以，故③错误. 所以A选项正确. 5．B 【分析】根据期望公式求出，再将其代入方差公式得到关于的函数，最后通过求函数的最小值来确定的值. 【详解】根据期望公式可得： 根据方差公式 则对称轴， 所以当时，方差取得最小值 故选：B. 6．D 【分析】列举基本事件，即可求解概率，进而由期望公式求解. 【详解】掷一枚均匀的骰子2次，共出现36个基本事件， 其中较小点数为1点的情况有：，共11种； 其中较小点数为2点的情况有：，共9种； 较小点数为3点的情况有：，共7种； 较小点数为4点的情况有：，共5种； 较小点数为5点的情况有：，共3种； 较小点数为6点的情况有：，共1种； 故 7．C 【分析】利用捆绑法和插空法，结合排列知识进行求解. 【详解】将“立春”和“春分”两块展板捆绑成一个整体，有种放置方法， 捆绑后的“立春”和“春分”整体与“雨水”，“谷雨”进行全排列，共有种方法， 再将“清明”和“惊蛰”进行插空，4个空选择2个，共有种方法， 综上，共有种放置方式. 故选：C 8．C 【详解】5个小组分配到3个地区，每个地区至少有1个小组，可分为两种情况： ①各地区小组数分别为1，1，3： 先将5个小组分为三组，再分配到3个地区，方法数为种； ②各地区小组数分别为2，2，1： 先将5个小组分为三组，再分配到3个地区，方法数为种； 因此所求方案共有种方法． 9．ABD 【分析】将样本中心点的坐标代入回归直线方程，求得，可判定A正确；根据相关系数的定义，可判定B正确；根据独立性检验的定义，可判定C错误；根据相关系数绝对值越大，拟合效果越好，可判定D正确. 【详解】对于A选项，将样本中心点代入回归方程为， 可得，解得，所以A正确； 对于B选项，若所有样本点都在经验回归方程上，则变量间的相关系数是，所以B正确； 对于C选项，在独立性检验中，随机变量的观测值越大，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小，所以C错误； 对于D选项，根据决定系数的含义知：决定系数越大，模型拟合效果越好， 由，所以模型甲的拟合效果更好，所以D正确. 10．ACD 【分析】据二项分布的方差判断A，根据独立事件与互斥事件判断B，根据线性回归方程过样本中心点判断C，根据方差定义计算判断D. 【详解】由二项分布知，当时，则，故A正确； 因为事件A和B相互独立，所以可能同时发生，即不一定是互斥事件，所以不一定成立，故B错误； 因为满足线性回归方程，所以，解得，故C正确； 因为，，，的平均数为，方差为2，所以， 即， 而，，，，的平均值为， 所以方差为，故D正确. 11．AB 【分析】根据奇数项和偶数项的二项式系数的关系判断A的真假；利用二项式定理探索余数问题判断B的真假；利用赋值法判断C的真假；利用导数的运算，结合赋值法可判断D的真假. 【详解】对A：根据二项式系数的性质可得，所有项的二项式系数和为，并且奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，均为，故A正确； 对B：因为，所以除以5所得的余数是1.故B正确； 对C：因为，，，，均为正数，，，，均为负数，令，则： ， 再令得：，所以，故C错误； 对D：因为， 令得：； 令得：. 所以，故D错误. 故选：AB 12． 【详解】， 令时，即得. 13． 1140 15 【分析】（1）根据杨辉三角数字规律可得第20行中从左到右的第4个数为， （2）列出等式可得，解得. 【详解】（1）易知第行的数从左到右分别为， 所以第20行中从左到右的第4个数为， （2）由，得，解得或（舍去）， 即的值为15. 故答案为：（1）1140；（2）15 14． 【分析】先结合题意得到，再利用二项分布概率公式求解第一空，利用二项分布期望公式求解第二空即可. 【详解】由题意得每名学生被要求用英语回答问题的概率均为， 则用汉语回答的概率为，可得， 由二项分布概率公式得， ， 则至少有2人用英语回答问题的概率为， 由二项分布期望公式得. 15．(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式求解即可. （2）判断出的取值，根据独立事件的乘法公式及全概率公式求出对应的概率，即可得到分布列，进而求出数学期望. 【详解】（1）设第2分钟末时能量首次达到峰值的概率为. 第2分钟末时能量首次达到峰值可分为两种情况： 第1分钟末产生一个可分裂粒子与一个不可分裂粒子，第2分钟末该可分裂粒子产生两个不可分裂粒子； 第1分钟末产生两个可分裂粒子，第2分钟末分别产生两个不可分裂粒子. ，， 所以. （2）显然的取值可以是0，1，2，3，4， ， ， ， ，， 0 1 2 3 4 于是. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）相邻问题用捆绑法； （2）依题意只需从名学生选出人作为一组，另外人各自一组，利用组合数公式计算可得； （3）分①校安排一名男老师，②校安排两名男老师两种情况讨论，首先安排好校的老师，再利用先选人、再分组、最后分配的方法计算可得. 【详解】（1）依题意首先将名女生看作一个整体与名男生全排列，有种排法， 其中名女生又有种排法， 综上可得一共有种排法. （2）将这名学生分成组，每组人数分别为人、人和人， 只需从名学生选出人作为一组，另外人各自一组即可， 故有种分法. （3）分两种情况： ①校安排一名男生，则有种不同安排方法； ②校安排两名男生，则有种不同安排方法； 综上可得一共有种不同安排方法. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二项式系数和公式，结合已知二项式系数和为64，直接解方程求出参数的值. （2）先写出二项展开式的通项公式并化简幂次，令的指数等于3求出，再将代入通项公式，计算得出含的项. （3）沿用通项公式，取系数的绝对值构造相邻两项的大小不等式组，约去阶乘化简不等式，求出的取值范围，再根据为自然数确定取值，最后代入通项求出系数绝对值最大的项. 【详解】（1）二项式系数和为，由题意得，解得. （2）展开式通项为. 令，得. 故含的项为. （3）由（2）可得展开式通项为. 设第项系数的绝对值最大，则第项系数的绝对值为. 列不等式组，即. 化简得，解得，又，故. 系数绝对值最大的项为. 18．(1)，可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强 (2) (3) 【分析】（1）利用公式求出即可判断； （2）根据全概率公式及条件概率公式求解即可； （3）根据题意表示出小李挑战成功的概率为，再结合基本不等式及二次函数的知识求解即可. 【详解】（1）由表知，， ， ， ， ， 则， 由此可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强． （2）设事件为机器人执行命令正确”，事件为“机器人执行命令错误”， 事件为“使用者不满意”， 则，， ，， 则， 所以. （3）当小李答对题数为3时，概率为： ， 当小李答对题数为4时，概率为：， 所以小李挑战成功的概率为：， 由，，， 则，当且仅当时等号成立， 所以，由二次函数的知识可知， 当时，小李挑战成功的概率最大，最大为. 19．(1)有的把握认为这170名毕业生参加甲医院的“小小医生计划”能否签约与性别有关. (2) 【分析】（1）依据列联表中的数据代入，求出后参考临界值表即可得到结果. （2）列出所有的基本事件，再由古典概型的概率公式即可求出结果. 【详解】（1）因为， 所以有的把握认为这170名毕业生参加甲医院的“小小医生计划”能否签约与性别有关. （2）分别记专业成绩排名前5名的毕业生依次为,则从这5人中随机选取2人的基本事件有： 共10个， 其中选出的这2人中包含专业成绩排名第一的基本事件有共4个， 故所求概率为 答案第1页,共2页 试卷第1页,共2页 学科网（北京）股份有限公司 $