精品解析：江苏省镇江中学,镇江市第一中学,大港中学、南京市第十三中学等校2025-2026学年高一下学期4月阶段检测数学试题

高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3、考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 . 2. 在中，若，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合余弦定理即可求解． 【详解】由余弦定理可得 ，故． 3. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因是线段上的靠近A的三等分点，则. 4. 函数的最大值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】， 所以函数的最大值是5. 5. 平面向量，满足，，，记在上的投影向量，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】设向量，的夹角为，， 所以在上的投影向量为，所以. 6. 在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】在中，由，有，所以. 又，故，所以. 7. 若，则三角形的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理角化边题设条件即可求解. 【详解】若，则由余弦定理得， 整理得，即， 所以三角形的形状为直角三角形. 故选：A 8. 在中，，若为的外心，设，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设的中点为，连接，则，结合条件，利用向量的数量积的运算律可得，，进而可得，利用基本不等式可求的最大值． 【详解】设所对的边为， 取的中点为，连接，则， 故，同理，而， 则， 即，也即①， 又， 即，也即②， 由①②解得，则， ，当且仅当，即时取等号， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 使函数为奇函数的的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简，再结合正弦型函数的奇偶性求出即可. 【详解】， 若为奇函数，则，得， 当时，；当时，；则BD正确； 而，均位于内，故AC错误. 故选：BD 10. （多选）已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 存在，使得 C. 的最小正周期为 D. 的最大值为3 【答案】AC 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义，通过与的关系来判断；是否存在，使得，需分析和的取值范围，结合非负性判断；求最小正周期，先验证与是否相等，再判断是否存在更小的正周期满足；求函数最大值，可利用绝对值的性质，结合三角函数的有界性，或通过分类讨论去掉绝对值转化为普通三角函数求最值. 【详解】对于A，，其定义域为， 又， 为偶函数，故A正确. 对于B，，，， 当且仅当且同时成立时，； ，不存在使得且能同时成立， 即不存在，使得，故B错误. 对于C，, 是函数的一个周期； 假设存在，使得恒成立. 令，则，即. ①当时，，，则，得； ，， 整理得，解得或； 当时，得，不符合题意，舍去； 当时，得； 但当时，; 不存在，使得恒成立. ②当时，； ③当时，，，则，得； ，， 整理得，解得或； 当时，得，不符合题意，舍去； 当时，得； 但当时，； 不存在，使得恒成立. 综上所述，不存在，使得恒成立. 的最小正周期为，故C正确. 对于D，函数的最小正周期为， 当时，，其中，； 此时，的最大值为； 当时，，其中，； 此时，的最大值为； 的最大值为，故D错误. 11. 在中，角的对边分别为，，记边上的中线分别为，，，角的平分线分别为，，.下列关于的叙述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合题意与三角形性质得到，分别代入等式判断A，B，利用勾股定理与直角三角形性质求出中线长度，再利用作差法比较大小判断C，利用正弦定理求出，利用直角三角形性质求出与，最后利用作差法比较大小判断D即可. 【详解】由题意得，设， 则，而， 得到，解得，可得， 对于A，由已知得，，， ，，， 此时，， 得到，故A正确， 对于B，由已知得，，， 此时满足，故B正确， 对于C，如图，作出符合题意的图形，由题意得， 且记边上的中点分别为， 由题意得，，由直角三角形性质得， 由勾股定理得，，， 则，，， 可得， 则，得到，即， 而，可得， 则，即，得到，故C正确， 对于D，如图，作出符合题意的图形， 由题意得，，则， 由两角和的正弦公式得， 在中，由正弦定理得，解得， 在中，此时，， 由直角三角形性质得，解得 ， 因为，所以 ， 则 ， 而，， 可得，，而， 因为， ，所以，则， 得到 ，即 ，可得 ， 则，即 ，解得，与不符，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ___________． 【答案】1 【解析】 【分析】运用正弦的和角公式即可求解. 【详解】. 13. 设函数．若对任意实数，当时，的值域为，则正整数的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的最小正周期小于等于可求正整数的最小值. 【详解】， 因为对任意实数，当时，的值域为， 故的最小正周期小于等于，故即， 故正整数的最小值为. 14. 已知两个平面向量，满足，，且（其中表示不超过实数x的最大整数），则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量模长和数量积的取整条件，得到数量积的范围，再结合向量模长公式，将模长转化为关于的函数，即可得解. 【详解】由可知，又，， 所以， 而，所以的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求的值； （2）已知，，是第三象限角，求的值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正切公式计算即得； （2）利用同角三角函数分别求出的正余弦的值，再代入和角的余弦公式计算即得. 【详解】（1） . （2）因，则； 又因，是第三象限角，则. 故. 16. 在中，角，，所对的边分别为，已知，． （1）求的值； （2）若，求边上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解即可. （2）利用三角形面积公式，利用等积法求解即可． 【小问1详解】 在中，，， 由余弦定理得， 得到，故. 【小问2详解】 由（1）可知，因为，所以，， 设边上的高为h，则，可得， 故边上的高为． 17. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若是第二象限角，，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将看作一个整体，根据整体代入法求解单调递增区间即可. （2）利用两角和的正余弦公式和二倍角公式将原式化为单角的三角函数，得到，接下来分和两种情况求值即可. 【小问1详解】 令， 解得，即， 故的单调递增区间为. 【小问2详解】 由题设得，又， 则， 所以， 化简得， 因为是第二象限角，所以，，可得， 若，可得，化简得， 解得，而，则； 若，则，解得. 故的值为或. 18. 中国古典园林中的套方棂格窗，凭借对称匀整的方格嵌套结构，既满足实用的采光需求，又蕴含独特的美学价值，堪称中式营造的经典符号.某园林花窗的核心棂格结构，可简化为如右图所示的几何模型：四边形ABCD，PQRS与TKLM均为正方形，其中T，K，L，M分别是正方形PQRS各边上的点，而P，Q，R，S则是正方形ABCD各边上的点.正方形ABCD的边长为1m，设，. （1）当，时，求正方形TKLM的边长； （2）求正方形TKLM面积S的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意列方程组解三角形可得； （2）由辅助角公式，二倍角的余弦公式以及诱导公式和基本不等式的性质计算可得. 【小问1详解】 由正方形的对称性可知， 可得， 因为正方形ABCD的边长为1m，设，， 在中，，， 因为，，所以， 同理 代入数值可得 【小问2详解】 因为， 所以， 所以正方形TKLM面积 因为，， 所以， 由基本不等式的性质可得当且仅当时，分母取得最大值4，此时面积的最小值为. 19. （1）平面内一组不共线的向量，，对任意点，有.求证：三点共线的充要条件是； （2）如图，在平行四边形中，，，.动点在以点为圆心且与相切的圆上.若，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据共线向量基本定理结合充要条件的概念证明即可. （2）将求转化为点积，利用圆的半径为定值，将动点问题转化为三角函数范围问题即可得解. 【详解】（1）必要性证明， 因为三点共线，设， 则有，整理得， 又，所以，因此，故必要性得证； 充分性证明， 因为，，即， 所以，即， 所以，又与有公共点， 所以三点共线，故充分性得证. 综上，三点共线的充要条件是. （2）根据题意，四边形是平行四边形，，，， 所以在中，有， 所以，所以是直角三角形，则， 即，故圆与相切于点，所以为圆的半径，且. 又，所以， 则， 又，所以， 又，所以， 而点在圆上运动，所以，则，所以， 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3、考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 在中，若，，，则（　　） A. B. C. D. 3. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的最大值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 平面向量，满足，，，记在上的投影向量，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 7. 若，则三角形的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形 8. 在中，，若为的外心，设，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 使函数为奇函数的的值可以是（ ） A. B. C. D. 10. （多选）已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 存在，使得 C. 的最小正周期为 D. 的最大值为3 11. 在中，角的对边分别为，，记边上的中线分别为，，，角的平分线分别为，，.下列关于的叙述正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ___________． 13. 设函数．若对任意实数，当时，的值域为，则正整数的最小值为___________． 14. 已知两个平面向量，满足，，且（其中表示不超过实数x的最大整数），则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求的值； （2）已知，，是第三象限角，求的值． 16. 在中，角，，所对的边分别为，已知，． （1）求的值； （2）若，求边上的高． 17. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若是第二象限角，，求的值． 18. 中国古典园林中的套方棂格窗，凭借对称匀整的方格嵌套结构，既满足实用的采光需求，又蕴含独特的美学价值，堪称中式营造的经典符号.某园林花窗的核心棂格结构，可简化为如右图所示的几何模型：四边形ABCD，PQRS与TKLM均为正方形，其中T，K，L，M分别是正方形PQRS各边上的点，而P，Q，R，S则是正方形ABCD各边上的点.正方形ABCD的边长为1m，设，. （1）当，时，求正方形TKLM的边长； （2）求正方形TKLM面积S的最小值. 19. （1）平面内一组不共线的向量，，对任意点，有.求证：三点共线的充要条件是； （2）如图，在平行四边形中，，，.动点在以点为圆心且与相切的圆上.若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $