精品解析：2026年河南郸城县汲水初级中学等学校九年级中招模拟数学试卷

2026年九年级中招模拟练习（五） 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上，答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 马年春晚，机器人表演的节目《武》刷屏海内外．若人形机器人向前进行次空翻记作，则人形机器人向后进行 次空翻记作（） A. B. C. D. 2. 榫卯（sǔnmǎo），是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，利用榫卯加固物件，体现出中国古老的文化和智慧．如图是其中一种榫，其左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 计算的结果等于（ ） A. x B. C. D. 6. 如图1是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图2是其示意图．已知调整前、后的灯杆 ，调整前臂杆之间的夹角，调整后臂杆之间的夹角，则调整前后同一臂杆变化的角度（    ）． A. B. C. D. 7. 以 为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边 重合．点为斜边 上一点，作射线 交于点 ，如果点 所对应的读数为，那么（ ） A. B. C. D. 8. “石头、剪子、布”的游戏规则是“石头胜剪子，剪子胜布，布胜石头”．甲、乙两人做这种游戏，随机出手一次，则甲不输的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形中，，点 在延长线上，，若，，那么的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 10. 如图①是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变．随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，下列说法不正确的是（ ） A. 当该容器的体积V为时，氧气的密度为 B. 该容器内氧气的密度是关于体积V的反比例函数 C. 标准大气压下，该容器的体积约为 D. 该容器内氧气的质量为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个使在实数范围内有意义的 的值：______． 12. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差，要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学竞赛，应该选择_____． 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 97 97 98 98 方差 3.6 6.7 3.6 5.2 13. 已知点，在二次函数的图象上，比较______．（填或 ）． 14. 如图所示的扇形 中，，过点 作， 交 于点 ，若，则阴影部分的面积为 _____． 15. 定义：在四边形中，若有一个内角为直角，且从该直角顶点引出的对角线，将其对角分成的两个角中恰有一个角为直角，则称这样的四边形为“壁合四边形”．如图，在“壁合四边形 ”中，，， 为线段 上一动点，且，连接 ，将沿 翻折，得到，连接 ，若，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. “冰雪为卷，和谐为轴”2026年2月6日，第25届冬奥会在意大利米兰隆重召开，恰逢丙午马年春节，同学们利用春节假期时间，观看了多场冬奥会比赛，为中国选手加油鼓劲，为了传递奥运精神，某校安排七年级同学制作题为“筑梦冰雪，相约冬奥”的小报，学校开学后将收集到的“冬奥小报”进行打分评比，并随机抽取了部分学生的“冬奥小报”评比成绩进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： ①该校七年级部分学生“冬奥小报”评比成绩的频数分布表和扇形统计图： 组别 分组（分） 频数 A 5 B C 12 D 15 E 8 ②C组的数据为70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79． 根据以上信息，解答下列问题： （1）共抽取了 名七年级学生，其中 的值为 ． （2）在扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数是 ；随机抽取的这部分学生成绩的中位数是 分． （3）该校要对成绩在E组的学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请估计该校3000名学生中获得一等奖的学生人数． 18. 在平面直角坐标系中，将一块含有 角的直角三角板如图放置，直角顶点 的坐标为，顶点 的坐标为，顶点 恰好落在第一象限的双曲线上． （1）确定反比例函数的关系式； （2）现将直角三角板沿 轴正方向平移，当顶点 恰好落在该双曲线上时停止运动，求此时点 的对应点的坐标． 19. 如图，在 中，，以 为直径的交 边于点D． （1）求证： （2）请用无刻度的直尺和圆规作出 的中点E，连接（保留作图痕迹，不写作法）． （3）证明（2）中得到的四边形是平行四边形． 20. 近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． （1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ （2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 21. 如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离 的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽 ，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 22. 如图 ，某农场需要用喷水装置灌溉果树．装置的喷头固定在一根竖直立柱顶端，如图 ，以喷头正下方的地面为原点，竖直向上为轴的正方向，水平方向为 轴，建立平面直角坐标系，已知喷头喷出的水流轨迹为抛物线，水流的最高处 距离原点的水平距离为，最大竖直高度为，喷头 所在位置的竖直高度为． （1）请直接写出水流最高处 的坐标：____________． （2）求喷出水流的竖直高度（ ）与距离原点的水平距离 （ ）之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） （3）为了适配不同高度的果树，工人可以调节喷头的竖直高度，调节的过程中，水流的抛物线轨迹形状和对称轴保持不变．要求水流落地点距离原点的最远水平距离不超过，求喷头高度 的最大值． 23. 折纸之术，源远流长，古称“折矩 ”“叠方 ”，其中暗含几何之理．今鹿鸣数学兴趣小组取一四边形，沿某线翻折，进行探究活动： 【探究一】如图 1，在矩形 中，点 M，点 N 分别是边 的中点，连接 ，点 P 为边 上的一点，将 沿 翻折得到，恰好使得点 C 的对称点 E 落在 上． 已知，．①直接写出的长度；②求的值． 【探究二】在正方形中，点 N 是边的中点，将沿着直线翻折得到，点 B 的对称点落在点 F 处，连接，与 交于点 P，已知正方形的边长是 20，请在图 2 中补全图形，并求的长． 【探究三】如图 3，在菱形 中，，，点 M 为边上的一个动点，连接，将沿着直线翻折得到，点 D 的对称点为点 N．直线 与直线相交于点 G，直线与直线 相交于点 H．作 于点 P，已知 ，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级中招模拟练习（五） 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上，答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 马年春晚，机器人表演的节目《武》刷屏海内外．若人形机器人向前进行次空翻记作，则人形机器人向后进行 次空翻记作（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正负数的意义，用正负数可以表示一对相反意义的量，已知一个方向记为正，相反方向就记为负，直接得出结论即可． 【详解】解：∵向前进行次空翻记作，即规定向前为正方向，向后与向前是相反意义的量， ∴向后进行 次空翻记作． 2. 榫卯（sǔnmǎo），是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，利用榫卯加固物件，体现出中国古老的文化和智慧．如图是其中一种榫，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据简单组合体的三视图，理解视图的意义及虚实线的画法即可得出结果． 【详解】观察几何体可知，该物体左侧面为完整的矩形，右侧下部切去了一部分， ∵左视图是从物体的左面看得到的图形， ∴其外轮廓为左侧面的矩形， 又∵右侧下部的切口棱线被左侧实体遮挡，不可见， ∴该棱线在左视图中应画为虚线， ∵切口棱线为水平方向， ∴左视图为矩形且中间有一条水平虚线，C符合选项． 3. 是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中， 为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，6710亿， 故选：B 4. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】利用根的判别式的值与0的大小关系即可判断根的情况． 【详解】解：对于方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 5. 计算的结果等于（ ） A. x B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】原式． 6. 如图1是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图2是其示意图．已知调整前、后的灯杆 ，调整前臂杆之间的夹角，调整后臂杆之间的夹角，则调整前后同一臂杆变化的角度（    ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：如图，设与 的交点为 ， ∵，， ∴， ∵是的外角， ∴． 7. 以 为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边 重合．点 为斜边 上一点，作射线 交于点，如果点所对应的读数为，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据题意可得：，然后根据圆周角定理可得：，再利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵ ∴点C在 上， 由题意得：， ， ， 故选：A． 8. “石头、剪子、布”的游戏规则是“石头胜剪子，剪子胜布，布胜石头”．甲、乙两人做这种游戏，随机出手一次，则甲不输的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，甲不输的情况数是 种， ∴一次游戏中甲不输的概率是：． 故选：A． 9. 如图，四边形中，，点在延长线上，，若，，那么的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到∠ABD=∠BDC，推出△AEB∽△BDC，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵AB∥DC， ∴∠ABD=∠BDC， ∵∠ABD=∠CEA， ∴∠AEB=∠BDC， ∴∠EAB=180°-∠AEB-∠ABE，∠CBD=180°-∠ABD-∠ABE， ∴∠EAB=∠CBD， ∴△AEB∽△BDC， ∴ ， ∵3AE=2BD，BE=1， ∴CD=， 故选：A． 【点睛】此题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，证得△AEB∽△BDC是解题的关键． 10. 如图①是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变．随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，下列说法不正确的是（ ） A. 当该容器的体积V为时，氧气的密度为 B. 该容器内氧气的密度是关于体积V的反比例函数 C. 标准大气压下，该容器的体积约为 D. 该容器内氧气的质量为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先求出反比例函数解析式，然后对各选项分析即可． 【详解】解：∵，且容器内氧气的质量一定， ∴该容器内氧气的密度是关于体积V的反比例函数，故B正确，不符合题意； 由图象可知，当时，， ∴，故D正确，不符合题意； ∴， 当时，，故A正确，不符合题意； 当时，，故C不正确，符合题意； 故选C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个使在实数范围内有意义的 的值：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式有意义得到，然后解不等式，取恰当的值即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴，解得， ∴ 的值为（答案不唯一）． 12. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差，要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学竞赛，应该选择_____． 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 97 97 98 98 方差 3.6 6.7 3.6 5.2 【答案】丙 【解析】 【分析】方差是反映一组数据波动大小的量，方差越大，数据的离散程度越差，稳定性越差，方差越小，数据的离散程度越小，稳定性越好，要选出成绩好且发挥稳定的同学，只需选出平均数较大且方差较小的同学即可． 【详解】解：比较四名同学的平均数可得，， 因此丙和丁的平均成绩更高，成绩更好， 比较丙和丁的方差可得，， 因此丙的方差更小，发挥更稳定， 所以要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学竞赛，应该选择丙． 13. 已知点，在二次函数的图象上，比较______．（填或 ）． 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式可得开口方向和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越大，求出两点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点，在二次函数的图象上，且， ∴． 14. 如图所示的扇形 中，，过点 作， 交 于点 ，若，则阴影部分的面积为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不规则面积的计算，扇形面积的计算，解直角三角形，用扇形的面积减去三角形的面积即可求解，掌握扇形的面积公式和解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 15. 定义：在四边形中，若有一个内角为直角，且从该直角顶点引出的对角线，将其对角分成的两个角中恰有一个角为直角，则称这样的四边形为“壁合四边形”．如图，在“壁合四边形 ”中，，， 为线段 上一动点，且，连接 ，将沿 翻折，得到，连接 ，若，则的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】过点 作于点 ，可得，四边形为正方形，再分点 的对应点 在 的上方和下方两种情况，利用相似三角形的判定和性质解答即可求解． 【详解】解：如图，过点 作于点 ， ∵，， ∴， ∴， ，， ∵， ， ， ， ， ， ， 在 和中， ， ， ， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴ ， ∴四边形为正方形， ∴，， 连接，当点 的对应点 在的上方时， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ， ， ， ∵， ∴； 如图，当点 的对应点 在 的下方时， 同理可得：，； 综上所述， 的长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】本题考查了含负整数指数幂、零指数幂的运算，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）分别计算有理数的乘方，负整数指数幂、零指数幂，绝对值，再进行加减计算； （2）分别计算完全平方公式和平方差公式，再去括号，合并同类项即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. “冰雪为卷，和谐为轴”2026年2月6日，第25届冬奥会在意大利米兰隆重召开，恰逢丙午马年春节，同学们利用春节假期时间，观看了多场冬奥会比赛，为中国选手加油鼓劲，为了传递奥运精神，某校安排七年级同学制作题为“筑梦冰雪，相约冬奥”的小报，学校开学后将收集到的“冬奥小报”进行打分评比，并随机抽取了部分学生的“冬奥小报”评比成绩进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： ①该校七年级部分学生“冬奥小报”评比成绩的频数分布表和扇形统计图： 组别 分组（分） 频数 A 5 B C 12 D 15 E 8 ②C组的数据为70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79． 根据以上信息，解答下列问题： （1）共抽取了 名七年级学生，其中 的值为 ． （2）在扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数是 ；随机抽取的这部分学生成绩的中位数是 分． （3）该校要对成绩在E组的学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请估计该校3000名学生中获得一等奖的学生人数． 【答案】（1）50；10 （2）；77 （3）96人 【解析】 【分析】（1）利用D组的学生人数除以D组的学生人数所占的百分比求得抽取的学生总人数，再用抽取的学生总人数减去其它组的人数即可求得a的值； （2）利用360度乘以A组的学生人数所占的百分比，即可求得对应的圆心角；根据中位数的定义，可确定中位数为成绩从小到大排列的第25和26的成绩的平均数，然后根据各组人数和C组的数据即可求得中位数； （3）先利用样本估计总体在E组的学生人数，再根据一、二等奖的人数比例计算即可． 【小问1详解】 解：抽取学生总人数（人）； a的值为； 【小问2详解】 解：A组所在扇形的圆心角度数为； ∵抽取的学生总人数为50人，即中位数为成绩从小到大排列的第25和26的成绩的平均数， ∴这部分学生成绩的中位数是（分）； 【小问3详解】 解：该校3000名学生中成绩在E组的学生人数为（人）， 则获得一等奖的学生人数为（人）． 答：估计该校3000名学生中获得一等奖的学生人数为96人． 18. 在平面直角坐标系中，将一块含有 角的直角三角板如图放置，直角顶点 的坐标为，顶点 的坐标为，顶点 恰好落在第一象限的双曲线上． （1）确定反比例函数的关系式； （2）现将直角三角板沿 轴正方向平移，当顶点 恰好落在该双曲线上时停止运动，求此时点 的对应点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征．正确的作出辅助线是关键． （1）过点B作轴于点D，证明，可得，可求出点C的坐标，即可求解； （2）先求出时，可得此时点A移动了个单位长度，即C也移动了个单位长度，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点B作轴于点D， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵点 的坐标为，顶点 的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴设反比例函数的式为， 将代入得：， ∴反比例函数的关系式为； 【小问2详解】 解：把代入，得， 解得：， 当顶点A恰好落在该双曲线上时， 此时点A移动了个单位长度， ∴C也移动了个单位长度， ∵点 的坐标为， ∴点C的对应点的坐标为． 19. 如图，在 中，，以 为直径的 交边于点D． （1）求证： （2）请用无刻度的直尺和圆规作出 的中点E，连接（保留作图痕迹，不写作法）． （3）证明（2）中得到的四边形是平行四边形． 【答案】（1） 解：连接 ， 是 的直径， ， ， ， ； （2） 如图，点E即为所求，连接； （3） 解：∵点O是 的中点，点E是 的中点， 是 的中位线， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）连接 ，由圆周角定理得出，再由等腰三角形的性质即可证明； （2）利用尺规作图，作 的垂直平分线，与 的交于点E，连接即可； （3）由已知得是 的中位线，根据中位线的性质得，进而可推出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，尺规作图，中位线定理，平行四边形的判定． 20. 近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． （1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ （2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】（1）修建一个 种光伏车棚需投资3万元，修建一个 种光伏车棚需投资2万元 （2）修建 种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设修建一个 种光伏车棚需投资 万元，修建一个 种光伏车棚需投资万元，根据修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元列出方程组，解方程组即可； （2）设修建 种光伏车棚个，则修建 种光伏车棚个，修建 种和 种光伏车棚共投资万元，先根据修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，列出不等式，求出m的范围，然后W关于m的关系式，根据一次函数的性质求出结果即可． 【小问1详解】 解：设修建一个 种光伏车棚需投资 万元，修建一个 种光伏车棚需投资万元，根据题意，得， 解得 答：修建一个 种光伏车棚需投资3万元，修建一个 种光伏车棚需投资2万元． 【小问2详解】 解：设修建 种光伏车棚个，则修建 种光伏车棚个，修建 种和 种光伏车棚共投资万元，根据题意，得， 解得， ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，此时（万元）， 答：修建 种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元． 21. 如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离 的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽 ，延长交的延长线于点 ，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 【答案】（1）酒精灯与铁架台的水平距离 的长度为 （2）线段的长度为 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）过点作于点 ，根据题意可得，，利用三角函数可得（），易得，即可获得答案； （2）过点 作于点H，于点 ，过点 作于点 ，利用三角函数可解得，的值，再证明为等腰直角三角形，并解得，然后由求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点 ，如下图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离 的长度为； 【小问2详解】 解：如图，过点 作于点H，于点 ，过点 作于点 ， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：线段的长度为． 22. 如图，某农场需要用喷水装置灌溉果树．装置的喷头固定在一根竖直立柱顶端，如图 ，以喷头正下方的地面为原点，竖直向上为轴的正方向，水平方向为 轴，建立平面直角坐标系，已知喷头喷出的水流轨迹为抛物线，水流的最高处 距离原点的水平距离为，最大竖直高度为，喷头 所在位置的竖直高度为． （1）请直接写出水流最高处 的坐标：____________． （2）求喷出水流的竖直高度（ ）与距离原点的水平距离 （ ）之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） （3）为了适配不同高度的果树，工人可以调节喷头的竖直高度，调节的过程中，水流的抛物线轨迹形状和对称轴保持不变．要求水流落地点距离原点的最远水平距离不超过，求喷头高度 的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意正确的列出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意得点 的横坐标为，纵坐标为，即可求解； （2）依据题意，设抛物线的解析式为，由点 的坐标为，求出 的值，进而求得抛物线的解析式； （3）设设调整后的抛物线的函数解析式为，根据水流离喷水池中心 的最远水平距离不超过，求出调整后的抛物线的函数解析式，进而求出喷头高度 的最大值． 【小问1详解】 解：以喷头正下方的地面为原点，竖直向上为轴的正方向，水平方向为 轴，建立平面直角坐标系，水流的最高处 距离原点的水平距离为，最大竖直高度为， 水流最高处 的坐标． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由（1）可得，顶点 的坐标为， 设抛物线的函数解析式为． 由题意得，点 的坐标为，代入中得： ，解得， 抛物线的函数解析式为． 【小问3详解】 解：调节的过程中，水流的抛物线轨迹形状和对称轴保持不变， 可设调整后的抛物线的函数解析式为， 由题意得，当 最大时，点 的坐标为， ，解得， ． 将 代入，得， 喷头高度 的最大值为． 23. 折纸之术，源远流长，古称“折矩 ”“叠方 ”，其中暗含几何之理．今鹿鸣数学兴趣小组取一四边形，沿某线翻折，进行探究活动： 【探究一】如图 1，在矩形 中，点 M，点 N 分别是边 的中点，连接 ，点 P 为边 上的一点，将 沿 翻折得到，恰好使得点 C 的对称点 E 落在 上． 已知，．①直接写出的长度；②求的值． 【探究二】在正方形中，点 N 是边的中点，将沿着直线翻折得到，点 B 的对称点落在点 F 处，连接，与 交于点 P，已知正方形的边长是 20，请在图 2 中补全图形，并求的长． 【探究三】如图 3，在菱形 中，，，点 M 为边上的一个动点，连接，将沿着直线翻折得到，点 D 的对称点为点 N．直线 与直线相交于点 G，直线与直线 相交于点 H．作 于点 P，已知 ，请直接写出的值． 【答案】【探究一】① ；②【探究二】【探究三】的值为或 【解析】 【分析】【探究一】①利用勾股定理求出的长，再利用翻折得出，进而即可得解；②连，利用勾股定理得到，求出，进而即可得解； 【探究二】延长交 于点 ，连 ，由得出，由勾股定理得出，由得，进而即可得解； 【探究三】分当 点在之间和当 点在之间时两种情况讨论即可得解． 【详解】【探究一】解：①∵点 N 是边  的中点，， ∴， ∵在矩形 中，， ∴，，， ∴， ∵将 沿  翻折得到，恰好使得点 C 的对称点 E 落在  上． ∴， ∴； ②如图，连， ∵将 沿  翻折得到，恰好使得点 C 的对称点 E 落在  上， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【探究二】解：如图，延长交 于点 ，连 ， ∵正方形的边长是 20，点 N 是边的中点， ∴，， ∵将沿着直线翻折得到，点 B 的对称点落在点 F 处， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【探究三】解：∵在菱形 中，，， ∴，，， ∴都为等边三角形， ∴， ∵ 于点 P， ∴， 当 点在之间时，设 交 于点 ，如图， ∵ ， ∴， ∵将沿着直线翻折得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当 点在之间时，如图， ∵ ， ∴， ∵将沿着直线翻折得到， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $