精品解析：河南周口市郸城县吴台镇第二初级中学等校2026年 中考模拟试卷 九年级数学

2026年河南省中考模拟试卷九年级数学 1．本试卷共7页，三大题，23小题，满分120分，考试时间110分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置． 3．所有答案均写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个正确答案．） 1. 下列各数中比1大的数是（ ） A. 2 B. 0 C. -1 D. -3 2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 圆锥 B. 长方体 C. 圆柱 D. 三棱柱 3. 物理学中光的传播速度约为某恒星发出的光到达地球需要4.2年，一年按秒计算，该恒星与地球的距离用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，直线a∥b∥c，直角三角板的直角顶点落在直线上，若，则等于( ) A. B. C. D. 6. 已知三个实数，，满足，，， 则下列结论一定正确的是( ) A. ， B. ， C. D. 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 8. 某校开展垃圾分类知识竞赛，随机抽取10名学生的得分：85，92，90，88，92，95，85，92，90，86，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 92，89 B. 92，90 C. 90，92 D. 85，90 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O在原点处，顶点A在y轴上，已知点B坐标为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 为助力乡村振兴，河南某乡村合作社售卖铁棍山药，已知山药进价为15元/斤，销售单价x （元/斤）与月销售量y （斤）满足一次函数关系：， 若合作社每月销售山药获利3000元，并让顾客得到最大优惠，则销售单价为（ ） A. 20元 B. 25元 C. 30元 D. 35元 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11. 化简：_____ ． 12. 不等式组 的解集为 ． 13. 定义新运算：，例如：☆，则_____． 14. 如图，扇形是某湿地公园扇形绿化区域示意图，，，则阴影部分的面积为_____． 15. 如图，在中，，，，点是的中点，点在边上，将沿翻折，使点落在点处，当时，________． 三、解答题(本大题共8小题，共75分) 16. 先化简，再求值:，其中． 17. 河南省某校为调查初中学生对本省非物质文化遗产项目的了解情况，选取“叶雕、剪纸、罗山皮影、淮阳泥泥狗、麦秆画”五项展示类项目，从全校学生中随机抽取部分学生进行了调查，要求每位同学必须且只能选择一个自己最熟悉的非物质文化遗产项目，下面是根据调查结果将数据进行整理后绘制出的不完整的统计图． （1）本次调查中共抽取了______名学生； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，“叶雕”所对应的扇形的圆心角是______； （4）若该学校有2000人，请你估计该学校最熟悉“剪纸”的学生有多少人? 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点与点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）根据图象，当，时，求x的取值范围． （3）求的面积． 19. 我国古代数学名著《九章算术》中有记载“仰高测距”问题，传承中华数学文化．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树的 A 点处测得古树顶端 D 的仰角为，然后向古树底端 C 步行米到达点 B 处，测得古树顶端 D 的仰角为，且点A，B，C在同一直线上．求古树的高度．（已知：，，结果保留整数） 20. 如图，为的直径，C是上一点，过点C作的切线交的延长线于点D，连接． （1）求证：； （2）当时，①求； ②若平分，交于点F，，求半径． 21. 某文具店计划购进河南文创笔记本和中性笔两种商品，已知购进2本笔记本和3支中性笔共需32元；购进3本笔记本和5支中性笔共需50元． （1）求每本笔记本和每支中性笔的进价； （2）该店计划购进两种商品共200件，其中笔记本数量不少于中性笔数量的 中性笔每支售价8元，笔记本每本售价15元，设购进笔记本x本，总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出最大利润； （3）在（2）的条件下，在进货资金不超过1800元的前提下，直接写出最大利润． 22. 抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）过点O垂直于的直线与抛物线交于点M，求点M的坐标； （3）点P在抛物线的对称轴上，点Q在抛物线上，是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 问题情境：如图，在中，，D为射线上一点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，且连接． 初步探究： （1）如图①，猜想与的数量关系，并说明理由； （2）深入探究：如图②，当点D在的延长线上时，将绕点D逆时针旋转α得到，且连接，猜想四边形的形状，并说明理由； （3）连接，在旋转过程中，若请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南省中考模拟试卷九年级数学 1．本试卷共7页，三大题，23小题，满分120分，考试时间110分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置． 3．所有答案均写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个正确答案．） 1. 下列各数中比1大的数是（ ） A. 2 B. 0 C. -1 D. -3 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小可得题目选项中的各数中比1大的数是2，故选A. 考点：有理数的大小比较. 2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 圆锥 B. 长方体 C. 圆柱 D. 三棱柱 【答案】A 【解析】 【详解】解：圆锥的主视图和左视图为三角形，俯视图为圆，符合题意． 3. 物理学中光的传播速度约为某恒星发出的光到达地球需要4.2年，一年按秒计算，该恒星与地球的距离用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出某恒星发出的光到达地球需要的秒数，再用秒数乘以速度即可． 【详解】解：， ． 4. 下列运算中，正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方的定义是解题的关键． 根据有理数的乘方的定义和运算法则计算，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A．，此选项错误； B．，此选项错误； C．，此选项错误； D．，此选项正确； 故选：D． 5. 如图，直线a∥b∥c，直角三角板的直角顶点落在直线上，若，则等于( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据求出的度数，再由余角的性质得出的度数，根据即可得出结论． 【详解】解：，， ． ， ． ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．掌握平行线的性质是解题的关键． 6. 已知三个实数，，满足，，， 则下列结论一定正确的是( ) A. ， B. ， C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴异号，同号，则A不正确 ∴异号， ∵， ∴，则，则B，C不正确 故选：D． 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根．通过计算判别式的值来判断根的情况． 【详解】解：∵一元二次方程的判别式， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 8. 某校开展垃圾分类知识竞赛，随机抽取10名学生的得分：85，92，90，88，92，95，85，92，90，86，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 92，89 B. 92，90 C. 90，92 D. 85，90 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义作答即可． 【详解】解：将10名学生的得分从小到大排序得：85，85，86，88，90，90，92，92，92，95， 可知众数为92，中位数为． 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O在原点处，顶点A在y轴上，已知点B坐标为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，关键是由勾股定理列出关于的方程． 过作轴于，延长交轴于，判定四边形是矩形，得到，，由点坐标，得到，，令，由勾股定理得到，求出，得到，推出，即可得到点的坐标． 【详解】解：过作轴于，延长交轴于， 轴， 四边形是菱形， ，， ， 四边形是矩形， ，， 点坐标为， ，， 令， ， ， ， ， ， ， ， ， 则点的坐标为． 故选：B． 10. 为助力乡村振兴，河南某乡村合作社售卖铁棍山药，已知山药进价为15元/斤，销售单价x （元/斤）与月销售量y （斤）满足一次函数关系：， 若合作社每月销售山药获利3000元，并让顾客得到最大优惠，则销售单价为（ ） A. 20元 B. 25元 C. 30元 D. 35元 【答案】B 【解析】 【分析】利用“总利润=每斤利润×销售量”列方程求解，结合让顾客得到最大优惠取合适的解即可． 【详解】解：∵每斤利润为元，月销售量， ∴， 展开整理得：， 因式分解得：， 解得， ∵销售需给顾客优惠，选择更低的销售单价， ∴销售单价为25元． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11. 化简：_____ ． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的概念，根据定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：4． 12. 不等式组 的解集为 ． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解，即可得出不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键． 13. 定义新运算：，例如：☆，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 14. 如图，扇形是某湿地公园扇形绿化区域示意图，，，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形和三角形的面积公式，计算即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， 在扇形中，，， ， ，， 是等边三角形，即， ， ，则， ， 阴影部分的面积为． 15. 如图，在中，，，，点是的中点，点在边上，将沿翻折，使点落在点处，当时，________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况进行讨论：①当A'在AC上方时，由折叠可得∠AED＝∠A'ED，当A'E⊥AC时，∠AED＝∠A'ED＝45°，再过D作DF⊥AC于F，过B作BG⊥A'E于G，则△DEF是等腰直角三角形，再根据DF∥BC，D是AB的中点，BC=6，求得，最后根据等腰Rt△A'BG可得；②当A'在AC下方时，也是作辅助线构造等腰直角三角形和矩形，利用勾股定理进行计算求解． 【详解】解：①如图所示，A'在AC上方， ∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝10， 由折叠可得∠AED＝∠A'ED， 当A'E⊥AC时，∠AED＝∠A'ED＝45°， 如图，过D作DF⊥AC于F，过B作BG⊥A'E于G，则△DEF是等腰直角三角形， ∵DF∥BC，D是AB的中点，AC＝8,BC＝6， ∴AF＝CF＝AC=4，DF＝BC＝3， ∴EF＝3，CE＝， ∴矩形BCEG中，BG＝CE＝1，BC＝EG＝6， ∵AE＝， ∴A'E＝7， ∴A'G＝，即A'G＝BG， ∴在等腰Rt△A'BG中，A'B＝． ②如图所示，A'在AC的下方，过D作DF⊥AC于F，过A'作A'G⊥BC于G， 由折叠可得∠AED＝∠A'ED， 当A'E⊥AC时，∠AED＝∠A'ED＝135°，∠A'EF＝90°，故∠DEF＝45°，即△DEF是等腰直角三角形， ∴DF＝EF＝BC＝3， 又∵AF＝AC＝4， ∴AE＝1，EC＝A'G， ∵A'E＝AE＝1， ∴CG＝1，BG＝BC+CG＝7，即A'G=BG， ∴在等腰Rt△A'BG中，A'B＝， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，三角形中位线定理以及勾股定理的综合应用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等． 三、解答题(本大题共8小题，共75分) 16. 先化简，再求值:，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则进行化简，最后代入，分母有理化即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 17. 河南省某校为调查初中学生对本省非物质文化遗产项目的了解情况，选取“叶雕、剪纸、罗山皮影、淮阳泥泥狗、麦秆画”五项展示类项目，从全校学生中随机抽取部分学生进行了调查，要求每位同学必须且只能选择一个自己最熟悉的非物质文化遗产项目，下面是根据调查结果将数据进行整理后绘制出的不完整的统计图． （1）本次调查中共抽取了______名学生； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，“叶雕”所对应的扇形的圆心角是______； （4）若该学校有2000人，请你估计该学校最熟悉“剪纸”的学生有多少人? 【答案】（1） （2） 补全条形统计图，如图所示； （3） （4）约有人 【解析】 【分析】（1）样本容量等于“麦秆画”的人数除以其人数所占比，即可求解； （2）先计算出“罗山皮影”的人数，再画出图形即可； （3）根据“叶雕”所对应的扇形的圆心角等于其人数所占比，计算即可； （4）根据用样本估计总体，计算即可． 【小问1详解】 解：（名）， 则本次调查中共抽取了名学生； 【小问2详解】 解：熟悉“罗山皮影”的人数为（名）； 【小问3详解】 解：“叶雕”所对应的扇形的圆心角是； 【小问4详解】 解：（名）， 答：该学校最熟悉“剪纸”的学生约有人． 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点与点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）根据图象，当，时，求x的取值范围． （3）求的面积． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2） （3）的面积是6 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，即可求解； （2）根据图象可知，在和两个交点之间，一次函数图象在反比例函数图象的上方，即可求解； （3）先求出点，再求和，计算即可． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象过点， ，解得， 反比例函数的解析式为， 点在的图象上， ，则， 一次函数的图象过点和点， ， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：一次函数与反比例函数的交点为和，由图象可知，在两个交点之间，一次函数图象在反比例函数图象的上方， 当时，x的取值范围为； 【小问3详解】 解：当时，，则点， ，， ，， 则． 19. 我国古代数学名著《九章算术》中有记载“仰高测距”问题，传承中华数学文化．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树的 A 点处测得古树顶端 D 的仰角为，然后向古树底端 C 步行米到达点 B 处，测得古树顶端 D 的仰角为，且点A，B，C在同一直线上．求古树的高度．（已知：，，结果保留整数） 【答案】古树的高度为米 【解析】 【分析】设米，根据题意可得米，米，再根据的正切值，列方程，求解即可． 【详解】解：由题意可知，米，，，， 则是等腰直角三角形，因此， 设米，则米，米， 在中：，即， 则，解得， 答：古树的高度约为米． 20. 如图，为的直径，C是上一点，过点C作的切线交的延长线于点D，连接． （1）求证：； （2）当时，①求； ②若平分，交于点F，，求半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是切线， ∴． ∴． ∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）①；②半径为 【解析】 【分析】（1）根据切线和直角三角形两锐角互余的性质，得；根据圆周角的性质，得，根据圆的对称性和等腰三角形的性质分析，即可得到答案； （2）①设，，根据勾股定理和相似三角形的性质，得，结合三角函数的性质分析，即可得到答案； ②根据平行线、角平分线的性质，通过证明，得，结合勾股定理的性质计算，即可完成求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴设， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴． 在中，． ②过点C作交的延长线于点M， ∴． ∵平分 ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴ ∵，． ∴ ∴半径为． 【点睛】本题考查了相似三角形、三角函数、角平分线、平行线、勾股定理、圆、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形、三角函数、切线、圆周角、勾股定理的性质，从而完成求解． 21. 某文具店计划购进河南文创笔记本和中性笔两种商品，已知购进2本笔记本和3支中性笔共需32元；购进3本笔记本和5支中性笔共需50元． （1）求每本笔记本和每支中性笔的进价； （2）该店计划购进两种商品共200件，其中笔记本数量不少于中性笔数量的 中性笔每支售价8元，笔记本每本售价15元，设购进笔记本x本，总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出最大利润； （3）在（2）的条件下，在进货资金不超过1800元的前提下，直接写出最大利润． 【答案】（1）笔记本10元/本，中性笔4元/支 （2）， 最大利润1000元 （3）最大利润966元 【解析】 【分析】（1）设每本笔记本的进价为a元，每支中性笔的进价为b元，根据“购进2本笔记本和3支中性笔共需32元；购进3本笔记本和5支中性笔共需50元”可列二元一次方程组，求解即可； （2）已知购进笔记本本，则中性笔数量为支，根据题意得，根据笔记本数量不少于中性笔数量的可得，故可得，为整数，由一次函数的性质可得结论； （3）已知购进笔记本本，则中性笔数量为支，根据题意得，解不等式即可得到结论． 【小问1详解】 解：设每本笔记本的进价为a元，每支中性笔的进价为b元，根据题意得： ， 解得， 答：每本笔记本的进价为10元，每支中性笔的进价为4元； 【小问2详解】 解：已知购进笔记本本，则中性笔数量为支，根据题意得： ， ∵笔记本数量不少于中性笔数量的， ∴， 解得：， ∴，为整数， ∵是一次函数，且， ∴函数值随的增大而增大， ∴当时，取最大值，最大值为（元）； 【小问3详解】 解：由（2）可知，，根据题意得：， 解得：， 又由（2）知，，故， ∵为整数， ∴的最大值为166， ∵，w随x的增大而增大， ∴的最大值为（元）． 22. 抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）过点O垂直于的直线与抛物线交于点M，求点M的坐标； （3）点P在抛物线的对称轴上，点Q在抛物线上，是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）M的坐标为或； （3）存在，点Q坐标为或或 【解析】 【分析】（1）将A、B两点坐标代入即可求出b、c的值，从而写出函数表达式； （2）由题意知：，是等腰直角三角形，则过点O垂直于的直线为，设代入解析式中求出x即可找到M坐标； （3）分是平行四边形边以及是平行四边形对角线两种情况讨论，结合平行四边形性质以及坐标特点即可求出Q点坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于、两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式：； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴过点O垂直于的直线为，设， ∴， 解得：， ∴M的坐标为或； 【小问3详解】 解：存在，点Q坐标为或或．理由如下： 抛物线的对称轴x， ∴点P的横坐标为， 分情况讨论： ①当是平行四边形边时，由于， 设，则， 解得：a或， 当a时，b， 当a时，b， 故Q或； ②当是平行四边形对角线时， ∵，， ∴的中点坐标为， 设，则， 解得：， 当时，， ∴Q， 综上所述，点Q坐标为或或． 【点睛】本题属于二次函数综合大题，考查待定系数法求解析式，二次函数图象性质，交点坐标以及平行四边形存在性等知识，解决本题的关键是分是平行四边形边以及是平行四边形对角线两类情况讨论． 23. 问题情境：如图，在中，，D为射线上一点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，且连接． 初步探究： （1）如图①，猜想与的数量关系，并说明理由； （2）深入探究：如图②，当点D在的延长线上时，将绕点D逆时针旋转α得到，且连接，猜想四边形的形状，并说明理由； （3）连接，在旋转过程中，若请直接写出线段的长． 【答案】（1）， 理由如下： 由旋转的性质，得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） 四边形为平行四边形， 同理得： ， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质，得， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形 （3）线段的长为或 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到，证明，即可证明； （2）根据得到，进而得到，根据等边对等角得到，证明，由旋转的性质得到，进而得到，即可得到四边形为平行四边形； （3）过点A作于点M，根据等腰三角形三线合一得到，根据勾股定理求出，分当点D在的延长线上时，当点D在线段上时两种情况讨论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点A作于点M． 则 ． ①当点D在的延长线上时，此时 又 ， 解得 ②如图，当点D在线段上时，此时 同理①得 即 解得 综上所述，线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $