第09讲 整式 （暑期衔接 讲义） 2026--2027学年人教版七年级数学上册

第09讲 整式（3大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 单项式的判断 典型例题二 单项式的系数、次数 典型例题三 多项式的判断 典型例题四 多项式的项、项数或次数 典型例题五 整式的判断 典型例题六 写出满足某些特征的单项式 典型例题七 多项式的系数、指数中字母求值 典型例题八 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 典型例题九 单项式规律题 知识点01 单项式 1.单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. （1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算； （2）分母中含有字母的的式子不是单项式. 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）下列代数式中，全是单项式的一组是（　　） A．，，a B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的定义，根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子，或单独的一个数或字母．分别检查各选项中的代数式是否符合定义． 【详解】解：∵单项式是数或字母的积，或单独的数或字母； 选项A中，含有减法，不是单项式； 选项B中，是常数与字母的积，为单项式；是单项式；是单项式； 选项C中，分母有字母，是分式，不是单项式； 选项D中，含有加法，不是单项式； ∴全是单项式的一组是B． 故选B 2．（25-26七年级上·河南开封·期末）若单项式的次数是，单项式的系数是，则的值为_____． 【答案】8 【分析】本题主要考查了单项式的次数和系数，先根据单项式次数的定义求出，根据单项式系数的定义求出，再代入计算即可 【详解】解：单项式中，的指数为2，的指数为1，故次数； 单项式的系数为，故； 则， 故答案为：8． 知识点02 多项式 1.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式. 3.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出； （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·广东广州·期中）在下列式子中：、、、、、，多项式有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的定义，根据多项式的定义（几个单项式的和），判断每个式子是否为多项式即可 【详解】解：多项式是几个单项式的和， 是单项式，不是多项式；分母含变量，不是整式，不是多项式；是两个单项式的和，是多项式；2是单项式，不是多项式；是两个单项式的和（分母5是常数），是多项式； 是两个单项式的和（是常数），是多项式， 多项式有3个， 故选：B 2．（25-26七年级上·辽宁·期末）多项式的次数是______． 【答案】4 【分析】多项式的次数由最高次项的次数决定，计算各项次数后比较即可． 本题考查了多项式的概念，多项式是几个单项式的和，单项式的个数是多项式的项数，最高次项的次数是多项式的次数，熟练掌握多项式的概念是解题的关键． 【详解】解：多项式简化后为 ， ∴的次数为 3，的次数为 ，的次数为 2， ∴最高次数为 4； 故答案为 ：4． 知识点03 整式 整式：单项式与多项式统称为整式. 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·全国·阶段检测）下列各式中，属于整式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了整式的概念，整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中分母不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．判断整式时，式子中含有等号和分母中含有字母的式子一定不是整式．选项A、C、D的分母均含有字母，不符合整式定义；选项B为多项式，属于整式． 【详解】解：A：分母为x，含字母，不属于整式； B：无分母，为多项式，属于整式； C：分母为，含字母，不属于整式； D：分母为，含字母，不属于整式． 故选：B． 2．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）下列式子：，，，，，．其中整式有______个． 【答案】4 【分析】整式为单项式和多项式的统称，是代数式的一部分，代数式可以包含加，减，乘，除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母．根据整式的定义进行判断即可． 【详解】解：下列式子：，，，，，， 整式有，，，， 共计4个． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了整式的定义，解题的关键在于能够理解并熟练掌握整式的定义． 【典型例题一 单项式的判断】 【例1】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义，解题思路为根据单项式定义逐个判断题干中的整式，统计单项式个数即可得到答案，单项式定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，几个单项式的和为多项式． 【详解】解：∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵，是两个单项式的差，属于多项式，不是单项式 ∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵是单独的一个字母，是单项式 ∵是单项式和单项式的和，属于多项式，不是单项式 综上，单项式共有个，因此选C． 【例2】（2025七年级上·全国·专题练习）下列代数式：①；②；③6；④．其中单项式有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式的定义，由数字或字母的积组成的代数式是单项式，单独的数字或字母也是单项式． 根据单项式的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：① 是多项式，不是单项式；② 是单项式；③ 是单独的数字，是单项式；④ 是多项式，不是单项式． 综上，单项式有②和③，共2个． 故选C． 【例3】（24-25七年级上·江西上饶·期中）下列代数式中：a ， ， ， ， 0 ，单项式有________个． 【答案】3 【分析】本题考查单项式的定义“数字和字母的乘积的形式为单项式，单个数字和字母，也是单项式”．熟练掌握单项式的定义，再逐项判断即可解答，这也是解题关键． 【详解】解：单项式有a ，   ， 0 ，共3个． 故答案为：3． 【例4】（24-25七年级上·全国·课前预习）数字与字母的乘积的代数式叫____________．单独一个数或一个字母也是单项式．单项式中的_______叫做单项式的_______；一个单项式中，所有字母的______叫做这个单项式的______． 【答案】 单项式 数字因数 系数 指数和 次数 【解析】略 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各式哪些是单项式?为什么? ，，，，． 【答案】单项式有：，，，见解析 【分析】本题考查单项式的定义，掌握单项式的定义“单项式是数与字母的乘积（不含加减法或分母含字母）”是解题的关键．根据单项式的定义判定即可． 【详解】解：单项式是数与字母的乘积（不含加减法或分母含字母）． 含有加法运算，是多项式；的分母中含有字母，是分式，所以它们都不是单项式 ，，，，中，单项式有，，，都是数与字母的乘积，符合单项式的定义． 2．（24-25七年级下·全国·暑假作业）观察下列式子，它们都有哪些共同点？ 【答案】都是单项式 【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式的定义进行解答即可． 【详解】解：通过观察可发现以上式子都为单项式， 故它们的共同点为都是单项式． 3．（24-25七年级上·河南安阳·阶段检测）下列式子中： ； ；2023； ；；；； (1)哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中．    (2)多项式中哪个次数最高？并写出该多项式的项． 【答案】(1)单项式：； 2023； ；；；多项式：；； (2)；项：和 【分析】根据单项式定义，多项式的定义，单项式系数，单项式的次数，多项式的次数概念进行解答即可． 【详解】（1）解：单项式：， 2023， ，，； 多项式：，   ，  ； （2）多项式的次数最高，该式的项为和． 【点睛】本题考查了多项式、单项式有关概念，熟知相关概念是解本题的关键． 【典型例题二 单项式的系数、次数】 【例1】（25-26七年级上·河北保定·期末）单项式的次数是（ ） A．5 B．1 C．7 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了单项式次数的定义．确定单项式的次数时，找准单项式中每一个字母的指数，是确定单项式的次数的关键．注意指数是1时，不要忽略．根据单项式次数的定义来求解．单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：根据单项式定义得：的次数为： 故选：D 【例2】（25-26七年级上·四川眉山·期中）单项式的系数和次数分别为（   ） A．，6 B．，3 C．，5 D．，3 【答案】A 【分析】本题考查单项式的系数与次数的定义，根据定义分别计算出结果即可． 【详解】解：∵单项式的系数是单项式中的数字因数，需要包含符号， 对于单项式，它的数字因数是， ∴该单项式的系数为； ∵单项式的次数是单项式中所有字母的指数和， 该单项式中的指数为，的指数为，的指数为， 次数为， 因此该单项式的系数是，次数是． 【例3】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）的系数为_____________． 【答案】 【分析】找出单项式中的数字因数即可得到结果，注是常数，不属于字母因数. 【详解】解：的系数为. 【例4】（25-26七年级上·广东广州·期末）若单项式的系数是m，它的次数是n，则______． 【答案】 【分析】此题主要考查了单项式的系数和次数，代数式求值，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数， 根据单项式的系数和次数的定义确定m和n的值，再计算m的n次方即可求解． 【详解】解：∵单项式的系数是m，它的次数是n， ∴，， ∴． 故答案为：． 1．（2025七年级上·北京·专题练习）指出单项式的系数和次数． 【答案】系数是，次数是5 【分析】本题考查了单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和． 【详解】解：单项式的系数为，次数是． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）判断下列各代数式是不是单项式，如果不是，请说明理由；如果是，请指出它的系数与次数： (1)； (2)． 【答案】(1)不是单项式，理由见解析 (2)是单项式，它的系数是，次数是3 【分析】本题考查的是单项式，熟知数或字母的积组成的式子叫做单项式；单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解答此题的关键． （1）根据单项式的定义进行解答即可； （2）根据单项式的定义，单项式系数及次数的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：不是单项式，因为代数式中出现了加法运算． （2）解：是单项式，它的系数是，次数是3． 3．（25-26七年级上·湖北黄石·期中）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”，例如：与是“强同类项”． (1)给出下列四个单项式：①，②，③，④．其中与是“强同类项”的是______（填写序号）； (2)若与是“强同类项”，求m的值． 【答案】(1)①④ (2)或或5． 【分析】本题考查新定义，绝对值，单项式和同类项，理解新定义是解题的关键． （1）根据“强同类项”的概念判断即可； （2）根据“强同类项”的概念即可确定m的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴①与是“强同类项”， ∵， ∴②与不是“强同类项”， ∵， ∴③与是不“强同类项”， ∵，， ∴④与是“强同类项”， ∴①④与是“强同类项”， 故答案为：①④； （2）解：∵与是“强同类项”， ∴，，， ∴，，5． 【典型例题三 多项式的判断】 【例1】（25-26七年级上·广西南宁·期中）下列属于多项式的是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】本题考查了多项式．根据多项式的定义，几个单项式的和组成的式子是多项式，进行分析，得出选项A、B、C均为单项式，只有选项D属于多项式，即可作答． 解：A、是单项式，不是多项式，故该选项不符合题意； B、是单项式，不是多项式，故该选项不符合题意； C、0是单项式，不是多项式，故该选项不符合题意； D、是多项式，故该选项符合题意； 故选：D 【例2】（25-26七年级上·全国·周测）有下列式子：．其中多项式共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．注意不要与单项式、分式的定义相混淆．数字与字母的乘积叫做单项式，单独的一个数或字母也叫单项式．单项式一定不含有加减运算，而多项式含有加减运算，多项式的分母中一定不含字母． 根据多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式进行作答． 【详解】解：多项式有：，共个． 故选：B. 【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）可以看作几个单项式的________的代数式叫作多项式． 【答案】和 【分析】本题考查多项式的概念，熟知多项式概念即可解题． 【详解】解：根据多项式的概念可知：可以看作几个单项式的和的代数式叫作多项式． 故答案为：和． 【例4】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）在式子中，多项式的个数是__________个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了多项式的定义，根据多项式的定义：“几个单项式的和的形式”，进行判断即可． 【详解】解：在式子中，多项式有，共2个； 故答案为：2． 1．（24-25七年级上·广东茂名·阶段检测）若多项式M＝（y﹣2）x+2y﹣2与字母x的取值无关，求y的值？ 【答案】y＝2 【分析】根据多项式M与字母x的取值无关即可直接得出y-2＝0，解出y即可． 【详解】∵多项式M与字母x的取值无关， ∴y-2＝0， 解得：y＝2． 【点睛】本题考查与多项式有关的概念．根据题意理解y-2＝0的意义是解题关键． 2．（25-26七年级上·江西上饶·期中）把下列代数式分别填在相应的大括号内． ，，，，，，． (1)单项式：{______…}． (2)二次三项式：{______…}． (3)整式：{______…}． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)，，，，，． 【分析】本题考查了整式的分类． （1）根据单项式的定义作答即可； （2）根据二次三项式的定义作答即可； （3）根据整式的定义作答即可． 【详解】（1）解：单项式：{，，…}． 故答案为：，，； （2）解：二次三项式：{，…}． 故答案为：，； （3）解：整式：{，，，，，…}． 故答案为：，，，，，． 3．（24-25七年级上·北京西城·期中）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“7倍系数多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“7倍系数和”． 例如：多项式的系数和为，所以多项式是“7倍系数多项式”，它的“7倍系数和”为28． 请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“7倍系数多项式”的是 ；（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x、y的“7倍系数多项式”（其中m，n均为整数），则多项式也是关于x、y的“7倍系数多项式”吗?若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1)①③ (2)是，理由见详解 【分析】本题考查了多项式的新定义， （1）分别算一下这三个多项式各系数之和是否为7的整数陪，即可求出答案； （2）根据题意可知，是7的整数倍，推出，根据要求推一下是否是7的整数倍即可． 【详解】（1）解：（1）①因为，是整式，所以这个多项式是“7倍系数多项式”； ②因为，不是整数，所以这个多项式不是“7倍系数多项式”； ③因为，2是整数，所以这个多项式不是“7倍系数多项式； 故答案选：①③； （2）是，理由如下： 多项式是关于，的“7倍系数多项式”， 是7的整数倍， 设为整数，且， 则， 多项式的系数之和为：， ， ， 为7的倍数，即为7的倍数， 当多项式是关于，的“7倍系数多项式”，多项式也是关于，的“7倍系数多项式”． 【典型例题四 多项式的项、项数或次数】 【例1】（浙江省部分校2026年初中学业水平考试数学）对于多项式，这个多项式的次数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：多项式中，最高次项为，次数为， 故这个多项式的次数是3. 【例2】（2026·云南德宏·一模）一组按规律排列的多项式：，，，，…，第个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式的规律探索，观察每个多项式中b的指数变化，总结规律即可得到第n个多项式． 【详解】解：观察给出的多项式： 第1个多项式：，b的指数为， 第2个多项式：，b的指数为， 第3个多项式：，b的指数为， 第4个多项式：，b的指数为， 且每个多项式的第一项始终为，第二项始终为的幂次， ∴可得第个多项式中，b的指数为， 即第个多项式为． 【例3】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）整式是________次________项式． 【答案】 三 三 【分析】根据多项式中单项式的个数为项数，最高次项的次数为多项式的次数分析求解即可． 【详解】解：整式包含三个单项式，分别为，，，其中的次数为，的次数为，的次数为，可得最高次项的次数为，项数为，因此该整式是三次三项式． 【例4】（2026·四川达州·模拟预测）中国古代数学家李冶的《测圆海镜》是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，《测圆海镜》是高次幂在上，低次幂在下，如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的二次项系数为________． 【答案】3780 【分析】根据图1示例可知，天元式从上到下依次为高次幂到低次幂，标有“元”的为一次项，故图2中最上方一行表示二次项系数，结合算筹记数规则（个位纵、十位横、百位纵、千位横）解读数值即可． 【详解】解：根据题意，天元式中高次幂在上，低次幂在下， 图1中第一行表示二次项系数，第二行（标有“元”）表示一次项系数，第三行表示常数项， 图2中第一行表示二次项系数，观察图2第一行算筹，从左到右依次为千位、百位、十位、个位， 千位为横式，表示，百位为纵式，表示，十位为横式（参考图1中千位的表示），表示，个位为，表示，该多项式的二次项系数为． 1．（25-26七年级上·河南安阳·期中）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)求m，n的值； (2)请写出多项式的各项，并求出各项的系数和． 【答案】(1)， (2)各项分别为，，，1，系数和为 【分析】此题考查了整式次数与系数概念的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识． （1）根据多项式与单项式次数的定义进行求解； （2）根据多项式的定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 所以． 因为单项式的次数与多项式的次数相同， 所以． 所以． （2）解：多项式为， 它的项分别为，，，1． 系数和为． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，这是一个正方体和一个长方体的组合体． (1)请用代数式表示这个组合体的体积． (2)这个代数式是多项式还是单项式?如果是多项式，请写出它是几次几项式． 【答案】(1) (2)是多项式，是三次二项式 【分析】题目主要考查列代数式，正方体和长方体的体积计算，多项式的定义，理解题意，根据图形列出代数式是解题关键． （1）根据图形列出代数式即可； （2）根据多项式的定义判断即可． 【详解】（1）解：上面正方体的体积为：，下面长方体的体积为：， ∴这个组合体的体积为：； （2）这个代数式是多项式，次数为3次，有两项， ∴是三次二项式． 3．（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）甲和乙一起制作了六张卡片．两人规定：做出一张单项式卡片给甲加1分，做出一张多项式卡片给乙加1分．如图是他们做的卡片． (1)甲得了___________分； (2)请找出单项式和多项式，分别写在下面的框里； (3) 上面的多项式中，次数最高的是___________次． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)4 【分析】本题考查单项式和多项式定义，多项式的次数，掌握相关知识是解决问题的关键．单项式是只有字母与数字的乘积的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也叫单项式；几个单项式的和是多项式，多项式中次数最高项的次数就为多项式的次数． （1）一共有3个单项式，故甲得3分； （2）根据单项式和多项式的定义找出单项式和多项式即可； （3）根据多项式次数的定义计算每个多项式的次数并且比较即可 【详解】（1）解：单项式有， ∴甲得3分． 故答案为：3； （2） 解： （3）解：是3次多项式； 是1次多项式； 是4次多项式； 故多项式中次数最高是4次． 故答案为：4． 【典型例题五 整式的判断】 【例1】（24-25七年级上·湖南湘西·期末）下列各式中，不属于整式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的识别，熟练掌握整式的定义是解题的关键．根据整式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A：为整式，故A不符合题意； B：为整式，故B不符合题意； C：为分式，故C符合题意； D：为整式，故D不符合题意； 故选：C． 【例2】（25-26七年级上·广东揭阳·期末）代数式，，，，中，是整式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的定义，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，而整式是单项式和多项式的统称，据此可得答案． 【详解】解：代数式，，，，中，整式有，，，，共4个， 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）在式子中，整式共有_______个． 【答案】4 【分析】本题考查整式的概念，根据单项式和多项式统称整式逐个判断即可． 【详解】解：在式子中，，，，是整式，共4个， 故答案为：4． 【例4】（24-25七年级·浙江杭州·期末）已知代数式：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 其中属于单项式的有_____________；（填序号） 属于多项式的有________________；（填序号） 属于整式的有_______________．（填序号） 【答案】 ①②⑥⑨ ③⑤ ①②③⑤⑥⑨ 【分析】根据单项式，多项式和整式的定义将所给的代数式分类． 【详解】解：单项式有：，，，； 多项式有：，； 整式有：，，，，，． 故答案是：①②⑥⑨，③⑤，①②③⑤⑥⑨． 【点睛】本题考查单项式，多项式和整式的定义，解题的关键是掌握单项式，多项式和整式的分类 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）把下列式子按单项式，多项式，整式，二项式进行分类：（只写序号） ①；②；③；④；⑤0； ⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 【答案】单项式：④⑤；多项式：①③⑥⑩；整式：①③④⑤⑥⑩；二项式：③⑥⑩． 【分析】单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式。 多项式：若干个单项式的代数和组成的式子。 多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。 不含字母的项叫做常数；整式：单项式和多项式统称为整式。二项式是只有两项的多项式，即两个单项式的和． 【详解】解：单项式：，0 多项式：，，， 整式：，，，0，， 二项式：，， ，，是分式；是不等式，都不属于整式； 故答案为：单项式：④⑤；多项式：①③⑥⑩；整式：①③④⑤⑥⑩；二项式：③⑥⑩． 【点睛】本题考查整式、单项式、多项式、二项式的概念，解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念，紧扣概念作出判断． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）请把下列整式分类填入下表，并完成表格． ，，，，，，，． 单项式 系数 次数 多项式 次数 项数 常数项 【答案】见详解 【分析】本题考查整式的分类，需要识别每个整式是单项式还是多项式，区分单项式和多项式．单项式是由数字与字母的积组成的代数式，单独一个数字或字母也是单项式；多项式是几个单项式的和．对于单项式，系数是数字因数（包括符号），次数是所有字母的指数之和． 对于多项式，次数是最高次项的次数，项数是组成多项式的单项式的个数，常数项是不含字母的项，对此一一区分并填写即可． 【详解】解：表格填写如下： 单项式 系数 次数 多项式 次数 项数 常数项 1 1 2 1 5 2 2 3 0 3 2 2 0 0 2 3 3．（24-25七年级上·全国·单元复习）根据题意列出代数式，并指出是不是整式，如果是整式，指明是多项式还是单项式． (1)已知正方形的边长为，若边长增加，则面积增加多少？ (2)七年级（2）班有x名女生，男生比女生多5名，则全班共有多少名学生？ (3)钢笔每支a元，圆珠笔每支b元，小明买了三支钢笔和一支圆珠笔，共花多少钱？如果他拿一张100元面值的人民币购买，售货员应找回多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查列代数式，整式定义，判断单项式，多项式等． （1）先求出则之前面积，再求出增加后面积，再作减法即可列出代数式，继而再判断整式； （2）先表示出男生人数，再和女生的人数相加即可，继而再判断整式； （3）先表示出三支钢笔钱数，再加上一支圆珠笔钱数，再用100元减去花掉的钱即为结果，继而再判断整式． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为， ∴面积为：， ∵边长增加， ∴增加后面积为：， ∴面积增加：， ∴是整式也是多项式； （2）解：∵七年级（2）班有x名女生，男生比女生多5名， ∴男生人数：名， ∴全班共有名学生， ∴是整式也是多项式； （3）解：∵钢笔每支a元，圆珠笔每支b元，小明买了三支钢笔和一支圆珠笔， ∴三支钢笔花费的钱：， ∴小明共花元，售货员应找回元， ∴是整式也是多项式，是整式也是多项式． 【典型例题六 写出满足某些特征的单项式】 【例1】（25-26七年级上·河南周口·期末）一个单项式的次数是，系数是，这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】单项式的系数是其数字因数，次数是所有字母的指数和． 【详解】解：A选项：系数为2，次数为，不符合要求； B选项：系数为3，次数为2，不符合要求； C选项：系数为，次数为，符合要求； D选项：系数为，次数为1，不符合要求． 【例2】（24-25七年级上·广东广州·阶段检测）系数为－且只含有 x、y 的三次单项式（不需要包含每个字母），可以写出(   )  ． A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】C 【分析】根据单项式的概念求解． 【详解】这样的单项式为：xy2，x2y，，，共4个． 故选C． 【点睛】本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 【例3】（25-26七年级上·全国·期中）写出一个只含一个字母，且系数为2，次数为3的单项式是 ________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是单项式的定义，根据单项式系数、次数的定义写出结论即可． 【详解】解：只含一个字母，且系数为2，次数为3的单项式是， 故答案为：（答案不唯一）． 【例4】（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）请写出一个只含有、两个字母，系数是，次数是5的单项式________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式定义：数与字母的积叫单项式，根据题意，结合单项式定义即可得到答案，熟记单项式定义是解决问题的关键． 【详解】解：由单项式定义可得，该单项式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 1．（24-25七年级上·内蒙古锡林郭勒·期中）符合下列条件的单项式有几个? 请你一一写出来. ①系数为；②所含字母为m，n；③次数为5. 【答案】m4n，m3n2，m2n3，mn4． 【分析】根据题意结合单项式的次数、系数定义得出符合题意的答案． 【详解】由题意可得：符合条件的单项式有：m4n，m3n2，m2n3，mn4． 【点睛】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数的确定方法是解题关键． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）若（，为非负整数）是含有字母和的五次单项式，请写出符合条件的所有单项式． 【答案】，，， 【分析】根据单项式的次数为五，可得到，再分别写出符合要求的单项式即可． 【详解】是含有字母和的五次单项式， ，，， ，或，或，或，， 符合条件的单项式有：，，，． 【点睛】本题考查了单项式的次数概念，熟练掌握单项式的相关概念是解答本题的关键． 3．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）观察下列单项式：． (1)请你写出第个，第个单项式． (2)第个单项式的系数是多少？ (3)第个单项式的次数是多少？ (4)根据上面的归纳，请写出第个单项式． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】不难看出系数部分为的指数为以开始的自然数，的指数都是，据此可解答； 结合可解答； 结合可解答； 结合可解答． 【详解】（1）， ， ， 第个单项式为：， 第个单项式为：； （2）由可得：第个单项式的系数是：； （3）由可得：第个单项式的次数是：； （4）由可得：第个单项式为：． 【点睛】本题主要考查数字的变化类规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在的规律． 【典型例题七 多项式的系数、指数中字母求值】 【例1】（25-26七年级上·江苏常州·期中）已知是关于的一次多项式，则等于（   ） A．2 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式，根据一次多项式的定义，多项式最高次项为一次，因此 项的系数必须为零。 【详解】解：∵ 多项式 是关于的一次多项式， ∴ 项的系数 ， ∴ ， 故选B. 【例2】（24-25七年级上·河南周口·阶段检测）如果多项式是关于x的二次二项式，那么a,b的值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了多项式的定义，多项式的项的定义及次数的定义，由此多余的项的系数应为0，据此解答． 【详解】∵多项式是关于x的二次二项式， ∴ 得 故选C． 【例3】（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）如果是一个三次四项式，那么________ ． 【答案】2 【分析】本题考查多项式的项数和次数．根据多项式的项数：单项式的个数，次数：最高次项的次数，列式计算即可． 【详解】解：的次数为，的次数为，的次数为2，是常数项， 由是一个三次四项式， 得：， 解得：． 故答案为：2． 【例4】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）多项式是关于的三次四项式，且二次项系数是，求______． 【答案】 【分析】本题考查多项式的知识，解题的关键是掌握多项式的定义，根据题意，则，求出，，即可． 【详解】∵是关于的三次四项式，二次项系数是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）已知式子． (1)若它是关于x的一次式，求a的值并写出常数项； (2)若它是关于x的三次二项式，求a的值并写出次数最高的项． 【答案】(1)，常数项为 (2)，最高次项为 【分析】此题主要考查了多项式的定义． （1）直接利用多项式的次数与项数的确定方法进而得出答案； （2）直接利用多项式的次数与项数的确定方法进而得出答案． 【详解】（1）解：是关于的一次式， ， 解得， ； （2）解：关于的三次二项式 ， 解得， 最高次项为：． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知是六次四项式，且的次数与它相同． (1)求、的值； (2)请写出多项式的各项，并求出各项的系数和． 【答案】(1)， (2)多项式的各项为：，，，；各项的系数和为 【分析】（1）用多项式的次数，单项式的次数分别列方程求解即可； （2）由（1）得到的值，代入计算得到该多项式的各项及各项系数，再把系数求和即可． 【详解】（1）解：是六次四项式， ， 解得， 的次数也是六次， ， ， ，； （2）解：该多项式为， 多项式的各项为：，，，， 各项的系数和为：． 【点睛】本题考查了多项式的次数和系数的概念，单项式的次数的概念，一元一次方程的应用，理解基础概念是解题关键． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）已知一个整式为． (1)若该整式是关于x的一次式，求a的值，并写出此时的一次式； (2)若该整式是二次二项式，求a的值，并写出此时的二次二项式； (3)若该整式是二次式，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】(1）由整式为一次式，得到二次项系数为求出的值，即可确定出一次式； (2）由整式为二次二项式，得到常数项为求出的值，即可确定出二次二项式； (3）由整式为二次式，得到二次项系数不为，求出的范围即可． 【详解】（1）解：因为该整式是关于x的一次式， 所以， 所以， 此时的一次式为． （2）解：因为该整式是二次二项式， 所以且， 所以， 此时的二次二项式为． （3）解：因为该整式是二次式， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了多项式，弄清题意是解题的关键． 【典型例题八 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例1】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多项式，熟练掌握多项式的降幂书写是解题的关键；按x的降幂排列时，应根据x的指数从高到低排列各项，不改变项的符号，进而问题可求解． 【详解】解：多项式按的降幂排列正确的是， 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·福建泉州·期末）把多项式按a的降幂排列，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式的降幂排列．根据要求进行排列即可． 【详解】解：把多项式按a的降幂排列为：， 故选：B． 【例3】（25-26七年级上·广东广州·期中）将整式按字母降幂排列为_______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的降幂排序，解题关键是熟知降幂排序的定义． 按照字母的指数从高到低重新排列多项式即可解答． 【详解】原多项式为．各项中的指数分别为：中的指数是3，中的指数是2，中的指数是1，中的指数是0．按的指数降幂排列，顺序为指数3、2、1、0， 因此排列为． 故答案为：． 【例4】（25-26七年级上·广东广州·期末）将多项式按照字母的降幂排列，结果为_______． 【答案】 【分析】确定各项中字母的次数，按的次数从大到小排列即可． 【详解】解：多项式各项中字母的次数分别为，，，， ∴按字母的降幂排列为：． 1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知关于x、y的整式中不含三次项，求a、b的值，并将整式按y的升幂排列． 【答案】，， 【分析】本题考查多项式的项的定义，升幂排列的定义，排列多项式各项时，要保持其原有的符号．根据多项式的定义，升幂排列的定义，解答即可． 【详解】解：原式 ， ∵原式不含三次项， ∴，， ∴，， ∴原式 2．（24-25七年级上·吉林白城·阶段检测）已知多项式是五次四项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求、的值； (2)把这个多项式按的降幂排列． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了多项式，多项式的升幂排列或降幂排列，熟练掌握几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数是解题的关键． （1）根据多项式的项数和次数的定义，可得，再由单项式的次数与该多项式的次数相同，可得； （2）按x的指数从大到小排列即可． 【详解】（1）解：∵多项式是五次四项式， ∴， 解得：， ∵单项式的次数与该多项式的次数相同， ∴，即， 解得：； （2）解：由（1）得该多项式为， ∴把这个多项式按的降幂排列为． 3．（24-25七年级上·河南新乡·期中）（1）已知代数式， 将代数式按y的降幂排列： ． （2）已知关于x，y的代数式为五次单项式，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先分清多项式的各项，然后按多项式降幂排列的定义排列； （2）根据多项式次数及项数的定义，可得a、b的值，再代入即可求解． 【详解】解：（1）已知代数式， 将代数式按的降幂排列：； 故答案为：； （2）因为是关于x、y的五次单项式， 所以，， ， 又因为， 所以，， ． 【点睛】本题考查了单项式和多项式的相关定义．解题时，要注意：我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 【典型例题九 单项式规律题】 【例1】（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）有一列按规律排列的代数式：，则第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别观察代数式的符号、系数的分母、x的指数的变化规律，综合推导第n个代数式的表达式. 【详解】∵观察符号：第1个为正，第2个为负，第3个为正……，符号规律为 ∵观察系数的分母：第1个是，第2个是，第3个是……，分母规律为，分子均为1，故系数为 ∵观察x的指数：第1个是，第2个是，第3个是……，指数规律为； ∴第n个代数式是. 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·云南红河·期末）观察下列关于的代数式，探究其规律：，按照上述规律，第10个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，这一列数的系数（不包括符号）是从1开始的连续的奇数，其中奇数项符号为负，偶数项符号为正，指数是从1开始的连续的正整数，据此可得答案． 【详解】解：第1个单项式为， 第2个单项式为， 第3个单项式为， 第4个单项式为， ……， 以此类推可知，这一列数的系数（不包括符号）是从1开始的连续的奇数，其中奇数项符号为负，偶数项符号为正，指数是从1开始的连续的正整数， ∴第10个代数式是， 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·福建福州·期中）观察下列单项式：x，，，，，…按此规律，可以得到第2024个单项式是______． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字因数和字母的指数的变化特点，写出相应的单项式． 根据题目中的单项式可以发现数字因数和字母的指数的变化特点，即可写出第n个单项式，从而可以写出第2024个单项式． 【详解】解：∵一列单项式：x，，，，，… ∴第n个单项式为：， 当时，这个单项式是． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·安徽亳州·阶段检测）观察下列单项式：x，，…，按此规律，可以得到第2024个单项式是_______，第n项是_______（n是正整数）． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式规律题；根据题意总结出单项式规律即可求出结果． 【详解】解：由题意知：奇数项为正数，偶数项为负数，且系数值以1，3，5，7，9．．．排列， 按此规律，第n项是； ∴第2024个单项式是， 故答案为：，． 1．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）观察下列单项式的规律：x，，，，，…，解答下列问题； (1)归纳猜想：（每空只能填写一个式子）第10个单项式为______，第n个单项式为______． (2)实践应用：第2024个单项式为______，第2025个单项式为______． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及单项式，能根据所给单项式发现其系数及次数的变化规律是解题的关键． （1）观察所给单项式的系数及次数，发现规律即可解决问题； （2）根据(1)中发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）解∶观察所给单项式可知， 单项式的系数依次为∶1，，4，，16，…， 所以第n个单项式的系数为∶ ， 单项式的次数依次为∶1，2，3，4，5，……， 所以第n个单项式的次数为∶n， 所以第n个单项式可表示为∶ ， 当时， 第10个单项式为， 故答案为∶，； （2）解∶由(1)知， 当时， 第2024个单项式为∶； 当时， 第2025个单项式为∶ 故答案为∶，． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 【答案】(1)， (2) (3) (4)， 【分析】本题主要考查了单项式规律题，单项式的系数、次数，写出满足某些特征的单项式等知识点，通过观察所给单项式发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）通过对这组单项式的系数进行观察并总结规律，即可得出答案； （2）通过对这组单项式的次数进行观察并总结规律，即可得出答案； （3）根据（1）、（2）的归纳，即可得出答案； （4）根据（3）的猜想，直接写出第个、第个单项式即可． 【详解】（1）解：这组单项式的系数分别为：，，，，，，，， 可以发现，其符号规律是正负交替，即：， 其绝对值规律是，，，，，即：， 故答案为：，； （2）解：这组单项式的次数分别为：，，，，，，，，， 其规律是：从开始的连续自然数，即：， 故答案为：； （3）解：根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是：， 故答案为：； （4）解：根据猜想，可以写出第个、第个单项式，它们分别是： ， ， 故答案为：，． 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）有一串代数式：，，，，…，，，…，求： (1)观察特点，用自己的语言叙述这串代数式的规律． (2)写出第2009个代数式． (3)写出第n个、第个代数式． 【答案】(1)这组单项式的系数和次数都是1开始的连续的整数，且系数第奇数个为负，第偶数个为正 (2) (3) 【分析】本题考查代数式． （1）根据各个单项式的系数及其正负号、次数，用语言叙述它们的规律即可； （2）根据这串代数式的规律解答即可； （3）根据这串代数式的规律解答即可． 【详解】（1）这组代数式的规律是：这组单项式的系数和次数都是1开始的连续的整数，且系数第奇数个为负，第偶数个为正． （2）根据这串代数式的规律，第2009个代数式是； （3）第n个代数式是，第个代数式是． 1．（25-26七年级上·安徽芜湖·阶段检测）下列结论错误的个数是（    ） ①是单项式；②多项式的常数项是5；③的系数是；④的次数为4． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查单项式、多项式的定义，以及系数、常数项和次数的概念. 需要根据定义逐一判断每个结论的正确性， 掌握单项式和多项式的定义是关键，注意系数包括常数，如π，常数项是数值项，次数是所有字母指数的和. 【详解】∵ 单项式是只包含数字与字母乘积的代数式，而①中含有加法运算，∴ ①不是单项式，结论错误. ∵ 多项式的常数项是不含字母的项，②中多项式为，常数项是，∴ 结论错误. ∵ 单项式的系数是数字因数，③中的系数应为，不是，∴ 结论错误. ∵ 单项式的次数是字母指数之和，④中，次数为，∴ 结论正确. ∴ 错误结论有3个， 故选C 2．（25-26七年级下·重庆江北·期中）下列各式：，，，，，，，中，是单项式的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据单项式定义逐个判断即可，注意是常数不是字母，分母含字母的式子不是单项式，多项式不属于单项式． 【详解】解：根据单项式的定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式， ∵ 是数与字母的积，∴是单项式； ∵ 分母含有字母，∴不是单项式； ∵ 展开后为，是两个单项式的和，属于多项式，∴不是单项式； ∵ 是常数，是常数与字母的积，∴是单项式； ∵ 整理后为，是两个单项式的和，属于多项式，∴不是单项式； ∵ 分母含有字母，∴不是单项式； ∵ 是常数，是单独的常数，∴是单项式； ∵ 是单独的常数，∴是单项式； 综上，符合要求的单项式共有个． 3．（24-25七年级上·山西长治·期末）多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了将多项式按某个字母降幂排列，熟练掌握多项式的项与次数的定义“多项式中每一个单项式称为该多项式的项（带符号）；次数最高的项的次数即为该多项式的次数”是解题关键．求出多项式的每一项中字母的次数，由此即可得． 【详解】解：在多项式中，中字母的次数是2，中字母的次数是0，中字母的次数是1，中字母的次数是4， 则这个多项式按字母的降幂排列为， 故选：C． 4．（25-26七年级上·云南曲靖·学业考试模拟）一组多项式的规律如下：，按此规律，第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将多项式拆分为a的系数、a的次数、b的系数三部分，分别找出对应规律再合并，即可得到第n个多项式． 【详解】解：推导a的系数的规律： ∵时系数为，时系数为，时系数为，时系数为 ∴第n个多项式a的系数为， 推导a的次数的规律： ∵时a的次数为，时a的次数为，时a的次数为，时a的次数为 ∴第n个多项式中a的次数为， 推导b的系数： ∵时b的系数为，时b的系数为，时b的系数为，时b的系数为， ∴n为奇数时b的系数为，n为偶数时b的系数为， 即第n个多项式中b的系数为， 综上可知，第个多项式是． 5．（24-25七年级上·重庆·期中）关于x的三次三项式（其中a、b、c、d均为常数），关于x的二次三项式（e、f均为非零常数），下列说法正确的个数是（　　） ①当是关于x的三次三项式时，则； ②当中不含x3时，则； ③当时，；当时，，则，； ④； ⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】计算，令常数项为0可判断①；计算，令x3项系数为0可判断②；由当时，；当时，列出方程组可解得e和f的值，从而判断③；用特殊值法可求出d和的值，可判断④和⑤． 【详解】解：＝ ＝， ∵是关于x的三次三项式，， ∴， 解得，故①正确； ＝， ∵中不含， ∴， ∴，故②正确； ∵时，；当时，， ∴， 解得，，故③正确； 在中，令得： ， ∴，故④正确； 在中，令得： ， ∵， ∴，故⑤正确， ∴正确的有①②③④⑤，共5个， 故选：D． 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式运算相关法则． 6．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）单项式 的系数是________，次数是________． 【答案】 4 【分析】单项式中数字因数叫单项式的系数，所有字母的指数的和称为单项式的次数．的系数是，次数是4． 【详解】解：单项式的系数是：，次数是：． 7．（24-25七年级上·云南德宏·期末）写出系数为，含有字母，的三次单项式________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式的定义，由数或字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，单项式中数字因数叫做单项式的系数（当系数为1或时，1可以省略不写）．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：系数为，含有字母，的三次单项式： 故答案为：（答案不唯一） 8．（25-26七年级上·重庆·期中）若关于x的多项式是三次三项式，则n的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的次数与项数的定义，解题的关键是根据三次三项式的定义确定次数和项数的条件． 根据“三次三项式”的定义，先由次数为3得求的可能值，再由项数为3得，最终确定的值． 【详解】解：由题意，多项式为三次三项式，则最高次项指数满足， 解得 ，即 或 ． 当 时，系数 ，第一项为零， 多项式变为 ，是二项式，不符合题意； 当 时，系数 ，指数 ， 多项式为 ，是三次三项式，符合题意． 故 ． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·山东济宁·期中）已知关于x的多项式不含项和项，则当时，这个多项式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式中不含某项的条件，求多项式的值；由多项式中不含某项的条件可得，求出、的值，化简出多项式，再代入求值即可；理解“多项式中不含某一项就是使得这一项的系数为零”是解题的关键． 【详解】解：多项式不含项和项， ， 解得：， 原多项式为， 当时， 原式 ； 故答案：． 10．（24-25七年级上·福建南平·期中）观察下列单项式，探究其规律：，，，，，，…，按照上述规律，第2024个单项式是______，第n个单项式______． 【答案】 【分析】本题考查了规律型数字的变化类、单项式，解决本题的关键是观察单项式后找到规律． 根据题目中的单项式，可以发现单项式的系数是从1开始的一些连续的奇数，且符号是奇负偶正，字母的指数幂是从1开始的一些连续的整数，从而可以写出第n个单项式，然后即可得到第2024个单项式． 【详解】解：观察关于x的单项式可知： … 发现规律： 第n个单项式为：， 所以第2024个单项式是：． 故答案为：，． 11．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）代数式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． (1)请把上述代数式的序号分别填在相应的圆圈内： (2)其中次数最高的多项式是______次多项式； (3)其中次数最高的单项式的次数是______，系数是______． 【答案】(1)见解析 (2)二 (3)4， 【分析】此题主要考查了多项式以及单项式的相关定义，正确把握相关定义是解题关键． （1）直接利用多项式以及单项式定义分析即可； （2）直接利用多项式的次数的定义分析得出答案； （3）直接利用单项式的次数与系数的定义分析即可． 【详解】（1）解：根据多项式以及单项式定义可得： （2）解：多项式的次数为：2， 多项式的次数为：1， 多项式的次数为：1， 故次数最高的多项式是二次多项式； （3）解：单项式的次数为1次，系数为， 单项式的次数为0次，系数为， 单项式的次数为4次，系数为， 故次数最高的单项式的次数是4，系数为． 12．（2025·北京海淀·模拟预测）（1）关于x，y的多项式是七次四项式，求m和n的值； （2）关于x，y的多项式不含三次项，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查多项式的相关概念，包括多项式的次数、项数以及不含特定项的条件，解决此类问题的关键是理解多项式中每一项的次数，并根据题目给出的条件建立方程． （1）多项式为七次四项式，这意味着多项式中次数最高的项的次数是7，且多项式有四项，由此可得出的次数是，的次数是3，的次数是5，的次数是2，的次数是0，由多项式的次数是7可得 ，得出m的值，同时为保证多项式是四项式可得，得出n的值即可； （2）根据题意，多项式中含有三次项有和，为了使多项式不含三次项，需满足：，，由此可得a和b的值，进而求得的值． 【详解】解：（1）根据题意可得：， 解得． （2）根据题意可得：， 解得， ∴． 13．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）已知关于x、y的多项式是五次四项式（m，n为有理数），且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求m，n的值； (2)将这个多项式按x的降幂排列． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查整式的项与次数． （1）根据多项式的项数和次数的定义，可得，再由单项式的次数与该多项式的次数相同，可得，求解即可； （2）按x的指数从大到小排列即可． 【详解】（1）解：∵多项式是五次四项式，单项式的次数与该多项式的次数相同， ∴，， 解得：，． （2）由（1）可知，这个多项式为， 将这个多项式按x的降幂排列为． 14．（24-25七年级上·全国·课后作业）观察下列单项式：，，，，，，，，写出第个单项式，为了解决这个问题，特提供下面的解题思路． (1)这组单项式的系数依次为多少，系数的绝对值的规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)请你根据上面的归纳猜想出第个单项式． (4)请你根据猜想，写出第2023个，第2024个单项式． 【答案】(1)这组单项式的系数依次为，3，，7，，，，；系数的绝对值的规律是从1开始的连续奇数，第个单项式的系数的绝对值可表示为 (2)次数的规律是从1开始的连续自然数，第个单项式的次数表示为 (3)第个单项式是 (4)第2023个单项式是，第2024个单项式是 【分析】（1）观察题目中的单项式，写出几个单项式的系数，发现系数的绝对值的规律是从1开始的连续奇数，用含的代数式表示第个单项式的系数的绝对值即可； （2）观察题目中的单项式，发现次数的规律是从1开始的连续自然数，用表示第个单项式的次数即可； （3）根据（1）、（2）发现的规律，用含的代数式表示第个单项式即可； （4）根据（3）中的表示第个单项式的代数式，写出第2023个，第2024个单项式即可． 【详解】（1）这组单项式的系数依次为，3，，7，，，，；系数为奇数且奇次单项式的系数为负数，故单项式的系数的符号是，系数的绝对值的规律是； （2）这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数，第个单项式的次数表示为； （3）根据（1）、（2）发现的规律，第个单项式是； （4）根据（3）中的第个单项式是， 当时，代入写出第2023个单项式是， 当时，代入写出第2024个单项式是． 【点睛】本题考查了单项式的书写、单项式的系数和次数，观察题目中的单项式发现规律是解题的关键． 15．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知－5xmy3＋104xm－4xy2是关于x，y的六次多项式，求m的值，并写出该多项式．下面是李明同学给出的解法： 解：由原多项式知，第一项的次数为m＋3，第二项的次数为4＋m，第三项的次数为3，于是可知此多项式最高次数为4＋m.　　① 又因为这个多项式是六次多项式，所以有4＋m＝6，　　② 所以m＝2.　　③ 于是原多项式为－5x2y3＋104x2－4xy2.　　④ 李明同学的解答正确吗？若不对，请指出错在哪一步，并给出正确解法． 【答案】不正确，错在第①步．正确解法见解析. 【分析】根据常数的次数不是单项式的次数进而得出m的值． 【详解】不正确，错在第①步， 正确解法：由原多项式知，第一项的次数为m＋3，第二项的次数为m，第三项的次数为3， 所以最高次数为m＋3， 又因为这个多项式是六次多项式， 所以m＋3＝6，即m＝3 于是原多项式为－5x3y3＋104x3－4xy2. 【点睛】本题考查了多项式的次数，正确把握多项式的次数的定义是解题关键．注意常数的次数不是单项式的次数. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 整式（3大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 单项式的判断 典型例题二 单项式的系数、次数 典型例题三 多项式的判断 典型例题四 多项式的项、项数或次数 典型例题五 整式的判断 典型例题六 写出满足某些特征的单项式 典型例题七 多项式的系数、指数中字母求值 典型例题八 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 典型例题九 单项式规律题 知识点01 单项式 1.单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. （1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算； （2）分母中含有字母的的式子不是单项式. 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）下列代数式中，全是单项式的一组是（　　） A．，，a B．，， C．，， D．，， 2．（25-26七年级上·河南开封·期末）若单项式的次数是，单项式的系数是，则的值为_____． 知识点02 多项式 1.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式. 3.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出； （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·广东广州·期中）在下列式子中：、、、、、，多项式有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26七年级上·辽宁·期末）多项式的次数是______． 知识点03 整式 整式：单项式与多项式统称为整式. 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·全国·阶段检测）下列各式中，属于整式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）下列式子：，，，，，．其中整式有______个． 【典型例题一 单项式的判断】 【例1】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（2025七年级上·全国·专题练习）下列代数式：①；②；③6；④．其中单项式有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例3】（24-25七年级上·江西上饶·期中）下列代数式中：a ， ， ， ， 0 ，单项式有________个． 【例4】（24-25七年级上·全国·课前预习）数字与字母的乘积的代数式叫____________．单独一个数或一个字母也是单项式．单项式中的_______叫做单项式的_______；一个单项式中，所有字母的______叫做这个单项式的______． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各式哪些是单项式?为什么? ，，，，． 2．（24-25七年级下·全国·暑假作业）观察下列式子，它们都有哪些共同点？ 3．（24-25七年级上·河南安阳·阶段检测）下列式子中： ； ；2023； ；；；； (1)哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中．    (2)多项式中哪个次数最高？并写出该多项式的项． 【典型例题二 单项式的系数、次数】 【例1】（25-26七年级上·河北保定·期末）单项式的次数是（ ） A．5 B．1 C．7 D．2 【例2】（25-26七年级上·四川眉山·期中）单项式的系数和次数分别为（   ） A．，6 B．，3 C．，5 D．，3 【例3】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）的系数为_____________． 【例4】（25-26七年级上·广东广州·期末）若单项式的系数是m，它的次数是n，则______． 1．（2025七年级上·北京·专题练习）指出单项式的系数和次数． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）判断下列各代数式是不是单项式，如果不是，请说明理由；如果是，请指出它的系数与次数： (1)； (2)． 3．（25-26七年级上·湖北黄石·期中）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”，例如：与是“强同类项”． (1)给出下列四个单项式：①，②，③，④．其中与是“强同类项”的是______（填写序号）； (2)若与是“强同类项”，求m的值． 【典型例题三 多项式的判断】 【例1】（25-26七年级上·广西南宁·期中）下列属于多项式的是（   ） A． B． C．0 D． 【例2】（25-26七年级上·全国·周测）有下列式子：．其中多项式共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）可以看作几个单项式的________的代数式叫作多项式． 【例4】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）在式子中，多项式的个数是__________个． 1．（24-25七年级上·广东茂名·阶段检测）若多项式M＝（y﹣2）x+2y﹣2与字母x的取值无关，求y的值？ 2．（25-26七年级上·江西上饶·期中）把下列代数式分别填在相应的大括号内． ，，，，，，． (1)单项式：{______…}． (2)二次三项式：{______…}． (3)整式：{______…}． 3．（24-25七年级上·北京西城·期中）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“7倍系数多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“7倍系数和”． 例如：多项式的系数和为，所以多项式是“7倍系数多项式”，它的“7倍系数和”为28． 请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“7倍系数多项式”的是 ；（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x、y的“7倍系数多项式”（其中m，n均为整数），则多项式也是关于x、y的“7倍系数多项式”吗?若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【典型例题四 多项式的项、项数或次数】 【例1】（浙江省部分校2026年初中学业水平考试数学）对于多项式，这个多项式的次数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】（2026·云南德宏·一模）一组按规律排列的多项式：，，，，…，第个多项式是（   ） A． B． C． D． 【例3】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）整式是________次________项式． 【例4】（2026·四川达州·模拟预测）中国古代数学家李冶的《测圆海镜》是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，《测圆海镜》是高次幂在上，低次幂在下，如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的二次项系数为________． 1．（25-26七年级上·河南安阳·期中）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)求m，n的值； (2)请写出多项式的各项，并求出各项的系数和． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，这是一个正方体和一个长方体的组合体． (1)请用代数式表示这个组合体的体积． (2)这个代数式是多项式还是单项式?如果是多项式，请写出它是几次几项式． 3．（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）甲和乙一起制作了六张卡片．两人规定：做出一张单项式卡片给甲加1分，做出一张多项式卡片给乙加1分．如图是他们做的卡片． (1)甲得了___________分； (2)请找出单项式和多项式，分别写在下面的框里； (3) 上面的多项式中，次数最高的是___________次． 【典型例题五 整式的判断】 【例1】（24-25七年级上·湖南湘西·期末）下列各式中，不属于整式的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·广东揭阳·期末）代数式，，，，中，是整式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）在式子中，整式共有_______个． 【例4】（24-25七年级·浙江杭州·期末）已知代数式：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 其中属于单项式的有_____________；（填序号） 属于多项式的有________________；（填序号） 属于整式的有_______________．（填序号） 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）把下列式子按单项式，多项式，整式，二项式进行分类：（只写序号） ①；②；③；④；⑤0； ⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）请把下列整式分类填入下表，并完成表格． ，，，，，，，． 单项式 系数 次数 多项式 次数 项数 常数项 3．（24-25七年级上·全国·单元复习）根据题意列出代数式，并指出是不是整式，如果是整式，指明是多项式还是单项式． (1)已知正方形的边长为，若边长增加，则面积增加多少？ (2)七年级（2）班有x名女生，男生比女生多5名，则全班共有多少名学生？ (3)钢笔每支a元，圆珠笔每支b元，小明买了三支钢笔和一支圆珠笔，共花多少钱？如果他拿一张100元面值的人民币购买，售货员应找回多少元？ 【典型例题六 写出满足某些特征的单项式】 【例1】（25-26七年级上·河南周口·期末）一个单项式的次数是，系数是，这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·广东广州·阶段检测）系数为－且只含有 x、y 的三次单项式（不需要包含每个字母），可以写出(   )  ． A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【例3】（25-26七年级上·全国·期中）写出一个只含一个字母，且系数为2，次数为3的单项式是 ________． 【例4】（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）请写出一个只含有、两个字母，系数是，次数是5的单项式________． 1．（24-25七年级上·内蒙古锡林郭勒·期中）符合下列条件的单项式有几个? 请你一一写出来. ①系数为；②所含字母为m，n；③次数为5. 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）若（，为非负整数）是含有字母和的五次单项式，请写出符合条件的所有单项式． 3．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）观察下列单项式：． (1)请你写出第个，第个单项式． (2)第个单项式的系数是多少？ (3)第个单项式的次数是多少？ (4)根据上面的归纳，请写出第个单项式． 【典型例题七 多项式的系数、指数中字母求值】 【例1】（25-26七年级上·江苏常州·期中）已知是关于的一次多项式，则等于（   ） A．2 B． C． D．0 【例2】（24-25七年级上·河南周口·阶段检测）如果多项式是关于x的二次二项式，那么a,b的值可能是（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）如果是一个三次四项式，那么________ ． 【例4】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）多项式是关于的三次四项式，且二次项系数是，求______． 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）已知式子． (1)若它是关于x的一次式，求a的值并写出常数项； (2)若它是关于x的三次二项式，求a的值并写出次数最高的项． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知是六次四项式，且的次数与它相同． (1)求、的值； (2)请写出多项式的各项，并求出各项的系数和． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）已知一个整式为． (1)若该整式是关于x的一次式，求a的值，并写出此时的一次式； (2)若该整式是二次二项式，求a的值，并写出此时的二次二项式； (3)若该整式是二次式，求a的取值范围． 【典型例题八 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例1】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·福建泉州·期末）把多项式按a的降幂排列，正确的是（　　） A． B． C． D． 【例3】（25-26七年级上·广东广州·期中）将整式按字母降幂排列为_______． 【例4】（25-26七年级上·广东广州·期末）将多项式按照字母的降幂排列，结果为_______． 1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知关于x、y的整式中不含三次项，求a、b的值，并将整式按y的升幂排列． 2．（24-25七年级上·吉林白城·阶段检测）已知多项式是五次四项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求、的值； (2)把这个多项式按的降幂排列． 3．（24-25七年级上·河南新乡·期中）（1）已知代数式， 将代数式按y的降幂排列： ． （2）已知关于x，y的代数式为五次单项式，求的值． 【典型例题九 单项式规律题】 【例1】（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）有一列按规律排列的代数式：，则第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·云南红河·期末）观察下列关于的代数式，探究其规律：，按照上述规律，第10个代数式是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·福建福州·期中）观察下列单项式：x，，，，，…按此规律，可以得到第2024个单项式是______． 【例4】（24-25七年级上·安徽亳州·阶段检测）观察下列单项式：x，，…，按此规律，可以得到第2024个单项式是_______，第n项是_______（n是正整数）． 1．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）观察下列单项式的规律：x，，，，，…，解答下列问题； (1)归纳猜想：（每空只能填写一个式子）第10个单项式为______，第n个单项式为______． (2)实践应用：第2024个单项式为______，第2025个单项式为______． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）有一串代数式：，，，，…，，，…，求： (1)观察特点，用自己的语言叙述这串代数式的规律． (2)写出第2009个代数式． (3)写出第n个、第个代数式． 1．（25-26七年级上·安徽芜湖·阶段检测）下列结论错误的个数是（    ） ①是单项式；②多项式的常数项是5；③的系数是；④的次数为4． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级下·重庆江北·期中）下列各式：，，，，，，，中，是单项式的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（24-25七年级上·山西长治·期末）多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·云南曲靖·学业考试模拟）一组多项式的规律如下：，按此规律，第个多项式是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·重庆·期中）关于x的三次三项式（其中a、b、c、d均为常数），关于x的二次三项式（e、f均为非零常数），下列说法正确的个数是（　　） ①当是关于x的三次三项式时，则； ②当中不含x3时，则； ③当时，；当时，，则，； ④； ⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 6．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）单项式 的系数是________，次数是________． 7．（24-25七年级上·云南德宏·期末）写出系数为，含有字母，的三次单项式________． 8．（25-26七年级上·重庆·期中）若关于x的多项式是三次三项式，则n的值为________． 9．（24-25七年级上·山东济宁·期中）已知关于x的多项式不含项和项，则当时，这个多项式的值为______． 10．（24-25七年级上·福建南平·期中）观察下列单项式，探究其规律：，，，，，，…，按照上述规律，第2024个单项式是______，第n个单项式______． 11．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）代数式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． (1)请把上述代数式的序号分别填在相应的圆圈内： (2)其中次数最高的多项式是______次多项式； (3)其中次数最高的单项式的次数是______，系数是______． 12．（2025·北京海淀·模拟预测）（1）关于x，y的多项式是七次四项式，求m和n的值； （2）关于x，y的多项式不含三次项，求的值． 13．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）已知关于x、y的多项式是五次四项式（m，n为有理数），且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求m，n的值； (2)将这个多项式按x的降幂排列． 14．（24-25七年级上·全国·课后作业）观察下列单项式：，，，，，，，，写出第个单项式，为了解决这个问题，特提供下面的解题思路． (1)这组单项式的系数依次为多少，系数的绝对值的规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)请你根据上面的归纳猜想出第个单项式． (4)请你根据猜想，写出第2023个，第2024个单项式． 15．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知－5xmy3＋104xm－4xy2是关于x，y的六次多项式，求m的值，并写出该多项式．下面是李明同学给出的解法： 解：由原多项式知，第一项的次数为m＋3，第二项的次数为4＋m，第三项的次数为3，于是可知此多项式最高次数为4＋m.　　① 又因为这个多项式是六次多项式，所以有4＋m＝6，　　② 所以m＝2.　　③ 于是原多项式为－5x2y3＋104x2－4xy2.　　④ 李明同学的解答正确吗？若不对，请指出错在哪一步，并给出正确解法． 学科网（北京）股份有限公司 $