第08讲 代数式的值 （暑期衔接 讲义） 2026--2027学年人教版七年级数学上册

第08讲 代数式的值（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 已知字母的值 ，求代数式的值 典型例题二 已知式子的值，求代数式的值 典型例题三 程序流程图与代数式求值 典型例题四 数字类规律探索 典型例题五 图形类规律探索 典型例题六 代数式的新定义计算 典型例题七 代数求值的阅读理解问题 知识点01 代数式的值 1. 代数式的值的定义：根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值. 代数式的值并不是固定的，它会随着代数式中字母取值的变化而变化. 代数式中的字母取值并不是任意的，主要限制条件有：①必须使代数式有意义，如中的a不能取1；②实际问题中的字母取值要符合实际意义，比如小明买了b支铅笔，这里的b只能是0或正整数，不能取小数或者负数. 2. 求代数式的值的步骤 （1）代入：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原； （2）计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·福建福州·期末）若，则的值为（    ） A． B．1 C．－7 D．7 2．（24-25七年级上·广西河池·期末）如果，那么的值为__________． 知识点02 代数式的化简求值 1.求代数式的值时，如果代数式中含有同类项和括号，通常先去括号，合并同类项后再计算. 2.整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）利用整式的加减运算将整式化简； （2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）依据有理数的运算法则进行计算. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·广东广州·期末）已知，，则化简 得（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·陕西西安·期末）“整体思想”是数学解题中一种重要的解题方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，若代数式的值为7，则代数式的值为______． 【典型例题一 已知字母的值 ，求代数式的值】 【例1】（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）已知，则的值为（     ） A．1 B． C．7 D． 【例2】（25-26七年级上·河北唐山·期末）若，则代数式的值为（   ） A． B． C．2 D．6 【例3】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）当时，代数式的值为____________． 【例4】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为明文，对应的密文为，．例如：明文1，2对应的密文是，4，当明文是2，5时，密文应是______，______． 1．（2026·广西玉林·模拟预测）计算 (1)计算：； (2)当，，时，直接代入计算代数式的值． 2．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）某公园的门票价格如下：成人20元，学生10元，满40人可以购买团体票（8折），设一个旅游团共有x人，其中学生有y人． (1)用含x，y的整式表示该旅游团购买团体票应付的门票费． (2)如果该旅游团有46个成人，12个学生，那么他们购买团体票需付的门票费是多少？ 3．（25-26七年级下·江苏南京·期中）把一根长为的绳子剪成两段，并把每一段绳子围成一个正方形．设其中一个正方形的边长为xcm，面积为，另一个正方形的面积为． (1)用含有x的代数式表示：_________，_________； (2)结合情境，观察式子，围绕和提一个问题，并给出解答或解答思路． 【典型例题二 已知式子的值，求代数式的值】 【例1】（25-26七年级上·广东汕头·期中）若m，n互为倒数，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【例2】（25-26七年级上·全国·期末）若 a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【例3】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知：，则________． 【例4】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）已知代数式的值为8，则代数式的值为________． 1．（25-26七年级下·云南昭通·期中）已知，求代数式的值． 2．（24-25七年级上·云南·阶段检测）我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数，，，总满足，则称这个数列为理想数列． (1)若数列，，，，，，是理想数列，则 ， ； (2)若数列，，，，是理想数列，求代数式的值． 3．（25-26七年级下·山西·期中）下面是小明关于“完美积式”的研究性学习报告的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 概念理解： 如果一个多项式可以写成两个一次二项式的乘积，即的形式，其中a、b、c、d均为整数，且，，则称这个多项式为“完美积式”． 例如，，因此是一个“完美积式”． 特例构造： 根据定义，可从整数a、b、c、d入手，构造“完美积式”，思路如下： 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为1的“完美积式”，如； 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为2的“完美积式”，如； 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为6的“完美积式”， 以此类推… 规律剖析： 在特例构造的过程中可以发现，对于“完美积式”：，其系数之间存在特定的关系． 设二次项系数，一次项系数，常数项． 则，且是完全平方数（一个整数的平方）．因此，“完美积式”的判别式一定是完全平方数． 反过来，对于一个二次三项式，如果是完全平方数，且存在整数分解，那么它就可以表示为两个一次二项式的乘积，即为“完美积式”． 根据以上材料，回答下列问题： (1)当，，b、d互为相反数时，请写出一个符合要求的完美积式：______； (2)下列二次三项式中，是“完美积式”的是（   ）； A．　　B．　　C．　　D． (3)若二次三项式是“完美积式”，且k为正整数，则k的所有可能值的和为_____． 【典型例题三 程序流程图与代数式求值】 【例1】（25-26七年级下·重庆·期中）如图是一个运算程序的示意图，若输入的值为，则输出的结果为（     ） A． B．1 C．3 D． 【例2】（24-25七年级上·重庆秀山·期末）如图是一个运算程序的示意图，若第一次输入x的值为9，则第次输出的结果为（   ） A．1 B．3 C．9 D．无法确定 【例3】（25-26七年级上·全国·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入n的值为，则最后输出的结果为_____． 【例4】（24-25七年级上·山东临沂·期末）有一数值转换机如图所示，输入的值是5，第一次输出的结果是16，第二次输出的结果是8，…，则第2024次输出的结果是_____． 1．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图是一个数值运算程序． (1)用含的代数式表示输出的结果；（结果化为最简） (2)当输入的值为时，求输出的值． 2．（2026·江西上饶·模拟预测）按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？ (1)填写表内空格； 输入x 5 4 … 输出答案 … (2)你发现的规律是______，并证明该规律的正确性． 3．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．例如，对于密文“L d ”，如果给一把破译它的“钥匙”，联想英语字母表中字母的顺序：，如果规定a又接在z后面，使26个字母排成圈，并能想到可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有L d →I a ，这样就能把密文“L d ”破译成明文“I a ”，从而解读出密文的意思了． 请你研究以下问题： (1)将26个英文字母a，b，c，…，z依次对应自然数1，2，3，…，26．对于密文“26 2 19 7”，给出密文与明文之间关系如下： 当密文中的数x为奇数时，明文对应的序号为；当密文中的数x为偶数时，明文对应的序号为． 请将密文破译成用英文字母表示的明文． (2)请你和同学利用数学式子来设计一种明文与密文的关系，并互相合作，通过游戏试一试如何进行保密通信． 【典型例题四 数字类规律探索】 【例1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）有这样一组数：、、、、…、第个数是（） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·江苏常州·期中）小丽在学习了“密码中的数学”后，编制了如图的密码规则，这种规则在数字和汉字之间建立了一种对应关系，其中数字为密文，汉字为明文．例如，密文“8，2，17，5，14，，6，12”翻译成明文为“台湾是中国的领土”．现在小丽给出一段密文 “23，25，29，35”，请写出相应的明文（   ） A．我爱学习 B．我爱中华 C．爱我中国 D．我爱祖国 【例3】（2025七年级上·湖南张家界·模拟预测）按规律填数：，，，，________，． 【例4】（25-26七年级上·宁夏固原·期中）仿照下列式子的规律填空： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第202个等式：______． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）找规律 (1)观察：，，，，…… 你发现其中的规律了吗？如何用代数式表示这一规律？ (2)利用（1）中的规律计算． (3)你还能找到哪些类似的规律？试举两例． 2．（26-27七年级·全国·小升初衔接）【阅读材料】计算的值． 解：设，则 ， 得： ，，即 通过阅读，你一定学到了一种解决问题的方法．请用你学到的方法计算：． 3．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）观察下列算式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 请回答下列问题： (1)按照以上规律，，则其中___________，___________； (2)写出第个等式； (3)求． 【典型例题五 数字类规律探索】 【例1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图所示，小明用小棒搭小房子，搭3间用了13根．照这样搭下去，搭n间小房子用了（    ）根小棒． A． B． C． D． 【例2】（2026·重庆·模拟预测）醇类是由碳、氢、氧元素组成的一类有机化合物质，下图是这类物质的分子结构式，其中，，分别代表碳原子、氢原子、氧原子．第①个图中有4个氢原子，第②个图中有6个氢原子，第③个图中有8个氢原子，第④个图中有10个氢原子…按照此规律，第⑨个图中氢原子的个数是（     ） A．14 B．16 C．18 D．20 【例3】（2026·广东佛山·二模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，则第5层小球的个数为__________． 【例4】（2026·宁夏银川·二模）如图，在数学实践课上，小明将五边形区域分割成若干个三角形，他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．则当五边形内有2026个点时，可分得三角形的个数为________． 1．（25-26七年级上·内蒙古兴安·期末）规律探究 观察下列图形，用棋子摆出以下图案： (1)填写下表： 图案编号 棋子个数 (2)照此规律摆下去，摆第10个图案需要多少个棋子？ (3)摆第n个图案需要多少个棋子？（用含n的式子表示） 2．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）观察如图，按要求回答问题（单位：cm） 梯形个数 1 2 3 4 5 … 图形的周长 … (1)观察图形规律并填表； (2)现在给这个图形涂上某种颜料，共花费324元．已知，若这个图形中梯形的高为3cm，cm，求这种颜料每平方厘米多少元？ 3．（25-26七年级上·河南安阳·期中）综合探究 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，图形①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，图形②的面积是图形①面积的一半，图形③的面积是图形②面积的一半……依此类推． (1)根据图1填写下表： 图形 ① ② ③ ④ … ⑦ 面积 … (2)计算：；（请写出计算过程） (3)类比：小华在计算时利用了正方形模型． 设正方形的面积为1，第1次分割（如图2），把正方形的面积四等分，阴影部分的面积为；第2次分割（如图3），把上次分割图中空白部分的面积四等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割（如图4），把上次分割图中空白部分的面积四等分，阴影部分的面积之和为…… ①第n次分割后，空白部分的面积是 ； ②请直接写出的值． 【典型例题六 代数式的新定义计算】 【例1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）定义新运算：，则的值为（   ） A． B．1 C． D．7 【例2】（25-26七年级上·辽宁盘锦·阶段检测）新定义：符号“”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： 运算（一）：， 运算（二）：，， 利用以上规律计算：（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·江西赣州·期中）新定义： 若定义， 则 _______． 【例4】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）对于任意有理数a，b，定义一种新运算“*”：，如，则的值为_______． 1．（25-26七年级上·山西朔州·期中）已知为有理数，定义一种新运算★，满足，试根据这种运算，解答下列各题． (1)求； (2)任意选择两个有理数，分别代替与，并比较和两个运算结果，你发现了什么？ 2．（25-26七年级上·河南洛阳·期中）对于有理数，，定义运算“”，． (1)计算的值． (2)填空：______．（填“>”“=”或“<”） (3)我们知道有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（2）计算的结果，你认为这种运算“”是否满足交换律？请说明理由． 3．（25-26七年级上·福建福州·期中）定义新运算：，（等号右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，．若，则称有理数为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是_______．（请填序号）． ①；②，；③． (2)计算：； (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．请你计算：． 【典型例题七 代数求值的阅读理解问题】 【例1】（24-25七年级上·广西河池·期中）整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【例2】（2025·湖南益阳·模拟预测）阅读：已知对于任意正整数n，都有，求的值．小郭通过思考发现可以这样解答：．若对于任意正整数n，都有．则（ ） A． B． C． D． 【例3】（25-26七年级上·陕西西安·期中）阅读探究：；；；；…根据发现的规律，可得______． 【例4】（24-25七年级上·四川乐山·期末）观察如图，并阅读图形下面的相关文字：像这样，①若10条直线相交，则交点最多的个数是__________．②若n条直线相交，则交点最多的个数是__________． 1．（24-25七年级上·广东珠海·阶段检测）【阅读材料】 观察下列式子：①；②；③；④，根据上面材料回答以下问题： (1)根据阅读材料猜想：式子⑥：（  ）×（  ）； (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并证明你的结论． 2．（24-25七年级上·山东枣庄·期末）阅读材料：“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例如： 若，求的值； 我们将作为一个整体代入，则原式． 请你仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值； (2)若，，求的值． 3．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 多边形分割成三角形的方式 我们知道，由若干条线段围成的封闭图形叫作多边形，在多边形中，三角形是最基本的图形，图1是教材分割多边形的一种方式，图2是三种不同的分割五边形的方式． 图1中的分割方式将四边形、五边形、六边形分割成2个、3个、4个三角形， 图2中的三种分割方式将五边形分别分割成3个、4个、5个三角形． 任务： (1)按照图1的方式分别把图3中的图形分割成若干个三角形，在图3中画出分割方式． (2)按照图2的方式把如图4所示的六边形分割成的三角形个数分别是多少（不必画出图形）． (3)若按照图2的分割方式将n边形分割成的三角形个数分别是多少（用含n的代数式表示）？ 1．（2026·山东聊城·模拟预测）若，，且，则的值等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（25-26七年级上·广东阳江·阶段检测）已知代数式的值是8，则代数式的值为（   ） A．1 B．3 C． D． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2023次输出的结果为（   ） A．1 B．5 C．25 D．625 4．（25-26七年级上·山东烟台·期末）已知：有理数，我们把称为a的差倒数，例如：2的差倒数是的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，那么…的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·四川广安·模拟预测）链状烷烃是一类由碳，氢元素组成的有机化合物，这类物质前四种化合物的分子结构模型如图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子和4个氢原子，化学式为；第2种如图②有2个碳原子和6个氢原子，化学式为；第3种如图③有3个碳原子和8个氢原子，化学式为…按照这一规律，第2026种化合物的化学式为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·四川·期中）代数式的值为7，则代数式的值为______． 7．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图是一个计算程序，当输出值时，则输入值________． 8．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）定义一种新运算：，例如．则的值为________ 9．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则______，______． 10．（26-27七年级·全国·小升初衔接）乐谱中有各种音符，“”是一个八分音符．把音符按照一定规律排列如图所示，号图由个八分音符组成，号图由个八分音符组成，号图由个八分音符组成，，那么第号图由______个八分音符组成，第号图由______个八分音符组成． 11．（2025七年级下·重庆涪陵·模拟预测）已知对于任意的都成立．求： (1)的值； (2)的值． 12．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）公安人员常根据案发现场作案人员留下的脚印推断嫌疑人的身高（单位：）．如果用a表示脚印长度，b表示身高，那么a和b之间的关系近似可表示为． (1)若某人脚印长度为，则他的身高约为多少？ (2)某案件中有两个可疑人员，一人身高为，另一人身高为．已知现场测量的脚印长度为，那么哪个可疑人员作案的可能性更大？ 13．（24-25七年级上·陕西延安·阶段检测）下面给出了如图所示的程序框图，进行计算．    (1)如图1，若输入，求输出结果； (2)若在图1基础上增加一个计算程序“”，如图2，若输入，第一次运算得到，求输出结果． 14．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在边长都为a的正方形中分别排列着一些大小相等的圆． (1)根据图中的规律，第5个正方形中圆的个数是______，第 n个正方形中圆的个数是______； (2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影，将第1个正方形、第2个正方形和第3个正方形中阴影部分的面积分别记作，，，那么______，______，______． 15．（25-26七年级上·河北邢台·期末）在数学中数与形之间也可以互相转化． (1)观察下图所示的图形与等式的关系，并填空： 结合图形，我们可以发现：________． (2) 根据（1）中结论，计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 代数式的值（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 已知字母的值 ，求代数式的值 典型例题二 已知式子的值，求代数式的值 典型例题三 程序流程图与代数式求值 典型例题四 数字类规律探索 典型例题五 图形类规律探索 典型例题六 代数式的新定义计算 典型例题七 代数求值的阅读理解问题 知识点01 代数式的值 1. 代数式的值的定义：根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值. 代数式的值并不是固定的，它会随着代数式中字母取值的变化而变化. 代数式中的字母取值并不是任意的，主要限制条件有：①必须使代数式有意义，如中的a不能取1；②实际问题中的字母取值要符合实际意义，比如小明买了b支铅笔，这里的b只能是0或正整数，不能取小数或者负数. 2. 求代数式的值的步骤 （1）代入：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原； （2）计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·福建福州·期末）若，则的值为（    ） A． B．1 C．－7 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值，直接将已知的字母值代入代数式，按有理数混合运算顺序计算即可得出结果． 【详解】解：将代入中， ． 故选：A． 2．（24-25七年级上·广西河池·期末）如果，那么的值为__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 知识点02 代数式的化简求值 1.求代数式的值时，如果代数式中含有同类项和括号，通常先去括号，合并同类项后再计算. 2.整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）利用整式的加减运算将整式化简； （2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）依据有理数的运算法则进行计算. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·广东广州·期末）已知，，则化简 得（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，熟练掌握整体代入法是解题的关键．由，可得且，代入原式化简即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴且， ∴ ． 故选：D． 2．（24-25七年级上·陕西西安·期末）“整体思想”是数学解题中一种重要的解题方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，若代数式的值为7，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，根据已知条件得，将代数式化为，即可求解；能用整体代换法求解是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ； 故答案为：． 【典型例题一 已知字母的值 ，求代数式的值】 【例1】（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）已知，则的值为（     ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】直接将a，b的值代入代数式，再计算求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴． 【例2】（25-26七年级上·河北唐山·期末）若，则代数式的值为（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，利用平方数与绝对值的非负性求出m、n的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵任何数的平方是非负数，任何数的绝对值是非负数， ∴，， 又∵， ∴，， 解得，， 将，代入代数式中： 原式 ． 【例3】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）当时，代数式的值为____________． 【答案】 【分析】将代入代数式，再按照含乘方有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解∶ 将代入 ，得 ． 【例4】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为明文，对应的密文为，．例如：明文1，2对应的密文是，4，当明文是2，5时，密文应是______，______． 【答案】 9 【分析】根据给定的加密规则，将明文的值代入对应密文计算即可． 【详解】解：由题意得，明文，，将，代入加密规则得： 第一个密文：， 第二个密文：． 1．（2026·广西玉林·模拟预测）计算 (1)计算：； (2)当，，时，直接代入计算代数式的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）当，，时， ． 2．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）某公园的门票价格如下：成人20元，学生10元，满40人可以购买团体票（8折），设一个旅游团共有x人，其中学生有y人． (1)用含x，y的整式表示该旅游团购买团体票应付的门票费． (2)如果该旅游团有46个成人，12个学生，那么他们购买团体票需付的门票费是多少？ 【答案】(1)元 (2)他们购买团体票需付的门票费是832元 【分析】（1）根据（学生总门票费+成人总门票费）得出代数式； （2）代入相关数据求解，即可得出答案． 【详解】（1）解：成人门票费为元，学生门票费为元， 所以旅游团应付的总费用为元； （2）解：旅游团有46个成人，12个学生， 所以（元）． 答：他们购买团体票需付的门票费是832元． 3．（25-26七年级下·江苏南京·期中）把一根长为的绳子剪成两段，并把每一段绳子围成一个正方形．设其中一个正方形的边长为xcm，面积为，另一个正方形的面积为． (1)用含有x的代数式表示：_________，_________； (2)结合情境，观察式子，围绕和提一个问题，并给出解答或解答思路． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据正方形的面积公式，先由已知边长表示出一个正方形的面积；再利用绳子总长和正方形周长公式，求出另一个正方形的边长，进而表示出它的面积． （2）围绕和提出求代数式值的问题，将的具体值代入和的表达式中，计算出对应的面积值． 【详解】（1）解：， 另一段绳子的长度：，另一个正方形的边长：， ∴； （2）解：示例问题：当时，求的值． ∵，， ∴当时， ． 【典型例题二 已知式子的值，求代数式的值】 【例1】（25-26七年级上·广东汕头·期中）若m，n互为倒数，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】解：∵， 互为倒数， ∴， ∴． 【例2】（25-26七年级上·全国·期末）若 a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了相反数和倒数的性质，以及简单的代数运算，掌握基本概念是解题关键， 根据定义得到 和 ，然后代入表达式计算即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数， ∴ ， ∵c，d互为倒数， ∴ ， ∴． 故选C． 【例3】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知：，则________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了代数式求值，熟练掌握整体代入法是解题关键； 先将所求代数式变形为，再代入，即可求值． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：3． 【例4】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）已知代数式的值为8，则代数式的值为________． 【答案】 8 【分析】本题考查了代数式，根据已知条件求出的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解： 将代入得： 原式． 1．（25-26七年级下·云南昭通·期中）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先把条件式变形为，再把要求的代数式整理为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：， ， ． 2．（24-25七年级上·云南·阶段检测）我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数，，，总满足，则称这个数列为理想数列． (1)若数列，，，，，，是理想数列，则 ， ； (2)若数列，，，，是理想数列，求代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据理想数列的定义计算出、的值即可； （2）根据理想数列的定义可知，再利用整体代入法求出代数式的值． 【详解】（1）解：由题意可知，， 又， 相邻的三个数，，符合规律， ； （2）解：数列，，，，是理想数列， ， 即， ． 3．（25-26七年级下·山西·期中）下面是小明关于“完美积式”的研究性学习报告的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 概念理解： 如果一个多项式可以写成两个一次二项式的乘积，即的形式，其中a、b、c、d均为整数，且，，则称这个多项式为“完美积式”． 例如，，因此是一个“完美积式”． 特例构造： 根据定义，可从整数a、b、c、d入手，构造“完美积式”，思路如下： 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为1的“完美积式”，如； 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为2的“完美积式”，如； 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为6的“完美积式”， 以此类推… 规律剖析： 在特例构造的过程中可以发现，对于“完美积式”：，其系数之间存在特定的关系． 设二次项系数，一次项系数，常数项． 则，且是完全平方数（一个整数的平方）．因此，“完美积式”的判别式一定是完全平方数． 反过来，对于一个二次三项式，如果是完全平方数，且存在整数分解，那么它就可以表示为两个一次二项式的乘积，即为“完美积式”． 根据以上材料，回答下列问题： (1)当，，b、d互为相反数时，请写出一个符合要求的完美积式：______； (2)下列二次三项式中，是“完美积式”的是（   ）； A．　　B．　　C．　　D． (3)若二次三项式是“完美积式”，且k为正整数，则k的所有可能值的和为_____． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)B (3) 【分析】（1）根据题意不妨取即可； （2）根据“完美积式”的判定为一个整数的平方，逐项判断即可； （3）根据题意可知要为一个整数的平方，再列举即可． 【详解】（1）解：，，b、d互为相反数, ，即， 则“完美积式”式为， 不妨取，则“完美积式”为； （2）解：对于A，，不是一个整数的平方，故A不符合； 对于B，，故B正确； 对于C，，不是一个整数的平方，故C不符合题意； 对于D，，故D不符合题意； （3）解：， 要为一个整数的平方，且k为正整数， ，解得（负值已舍去）， ，解得（负值已舍去）， ，解得（负值已舍去）， 故k的所有可能值的和为． 【典型例题三 程序流程图与代数式求值】 【例1】（25-26七年级下·重庆·期中）如图是一个运算程序的示意图，若输入的值为，则输出的结果为（     ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】把代入运算程序中，计算可得，根据，那么需再次代入得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴需把再次代入，可得， ∵， ∴输出的结果为． 【例2】（24-25七年级上·重庆秀山·期末）如图是一个运算程序的示意图，若第一次输入x的值为9，则第次输出的结果为（   ） A．1 B．3 C．9 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查代数式求值，有理数的混合运算及规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．根据题意将x的值代入计算，然后总结规律即可． 【详解】解：若第一次输入x的值为9， 则第1次输出的结果为； 第2次输出的结果为； 第3次输出的结果为； 第4次输出的结果为； 第5次输出的结果为； 第6次输出的结果为； …， ∵， ∴第次输出的结果为9， 故选：C． 【例3】（25-26七年级上·全国·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入n的值为，则最后输出的结果为_____． 【答案】42 【分析】本题考查了代数式的求值与程序运算，解题的关键是按照程序逐步计算，直到结果满足输出条件． 按照程序，将输入的值代入计算，若结果不大于15，则将该结果作为新的值再次代入计算，直到结果大于15时输出． 【详解】解：当开始输入时： 计算， 因为，所以继续计算； 将代入： 计算， 因为，所以继续计算； 将代入： 计算， 因为，所以输出结果为42． 故答案为：42． 【例4】（24-25七年级上·山东临沂·期末）有一数值转换机如图所示，输入的值是5，第一次输出的结果是16，第二次输出的结果是8，…，则第2024次输出的结果是_____． 【答案】1 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，数字类规律探究，根据流程图，求出前几次的运算结果，找到规律，进而求出第2024次输出的结果即可． 【详解】解：第一次输出的结果是16， 第二次输出的结果是8， 第三次输出的结果是， 第四次输出的结果是， 第五次输出的结果是， 第六次输出的结果是， 第七次输出的结果是， 从第三次开始，输出结果以为一个循环， ∵， ∴第2024次输出的结果是1； 故答案为：1． 1．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图是一个数值运算程序． (1)用含的代数式表示输出的结果；（结果化为最简） (2)当输入的值为时，求输出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值： （1）根据流程图，列出代数式即可； （2）把代入（1）中的代数式进行求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：当时，． 2．（2026·江西上饶·模拟预测）按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？ (1)填写表内空格； 输入x 5 4 … 输出答案 … (2)你发现的规律是______，并证明该规律的正确性． 【答案】(1) 输入x 5 4 … 输出答案 0 0 0 0 … (2)输入的x为任何数结果都为0． 证明：∵， ∴无论x取任何值，结果都为0，即结果与字母x的取值无关． 【分析】（1）把各数值代入程序中计算出结果即可，特别要注意运算顺序； （2）由前几项都为0可得出规律：输入任何数结果都为0．然后根据程序写出关于x的方程式，求得此方程式的值为0，所以无论x取任何值，结果都为0． 【详解】（1）略 （2）略 3．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．例如，对于密文“L d ”，如果给一把破译它的“钥匙”，联想英语字母表中字母的顺序：，如果规定a又接在z后面，使26个字母排成圈，并能想到可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有L d →I a ，这样就能把密文“L d ”破译成明文“I a ”，从而解读出密文的意思了． 请你研究以下问题： (1)将26个英文字母a，b，c，…，z依次对应自然数1，2，3，…，26．对于密文“26 2 19 7”，给出密文与明文之间关系如下： 当密文中的数x为奇数时，明文对应的序号为；当密文中的数x为偶数时，明文对应的序号为． 请将密文破译成用英文字母表示的明文． (2)请你和同学利用数学式子来设计一种明文与密文的关系，并互相合作，通过游戏试一试如何进行保密通信． 【答案】(1)m a t h (2)见解析 【分析】本题考查了数字规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先充分理解题意，再找出每个数字对应的明文序号，最后用英文字母表示的明文，即可作答； （2）先充分理解题意，利用数学式子来设计一种明文与密文的关系，即可作答． 【详解】（1）解：将26个英文字母a，b，c，…，z依次对应自然数1，2，3，…，26．如下表： 根据：当密文中的数x为奇数时，明文对应的序号为；当密文中的数x为偶数时，明文对应的序号为. 密文“26 2 19 7”对应的序号分别是“13 1 20 8”，这组序号对应的英文字母是“m a t h”. （2）当数据中明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号为，当数据中明码对应的序号x为偶数时，密码对应的序号为，按照此规定，将明码“”译成密码为（　　 ）. 明码h对应数字8，是偶数，密码为数字对应的字母r， 明码o对应数字15，是奇数，密码为数字对应的字母i， 明码p对应数字16，是偶数，密码为数字对应的字母v， 明码e对应数字5，是奇数，密码为数字对应的字母d， 所以将明码“”译成密码为“”. 【典型例题四 数字类规律探索】 【例1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）有这样一组数：、、、、…、第个数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】第一个数是，是，第二个数是，即…，则观察选项，可得第个数是多少。 【详解】第一个数： 第二个数： 第三个数： 第四个数： …… 第n个数：. 【例2】（24-25七年级上·江苏常州·期中）小丽在学习了“密码中的数学”后，编制了如图的密码规则，这种规则在数字和汉字之间建立了一种对应关系，其中数字为密文，汉字为明文．例如，密文“8，2，17，5，14，，6，12”翻译成明文为“台湾是中国的领土”．现在小丽给出一段密文 “23，25，29，35”，请写出相应的明文（   ） A．我爱学习 B．我爱中华 C．爱我中国 D．我爱祖国 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，发现数字和汉字的对应关系是解题的关键． 根据图示和实例找到对应数字所对应的汉字即可解答． 【详解】解：由题意得，密文“23，25，29，35”翻译成明文为我爱中华． 故选B． 【例3】（2025七年级上·湖南张家界·模拟预测）按规律填数：，，，，________，． 【答案】 【分析】分别观察已知数的分子和分母，总结数字的变化规律，再根据规律计算出待填的数． 【详解】解：观察已知数：第1个数：， 第2个数：， 第3个数：， 第4个数：， 可得规律：第个数为， ∵待填数为第个数， 将代入，得． 【例4】（25-26七年级上·宁夏固原·期中）仿照下列式子的规律填空： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第202个等式：______． 【答案】 【分析】观察已知等式，归纳总结得到第n个等式的一般规律，再将代入规律计算即可得到结果． 【详解】观察给出的等式：第1个等式：，可写为． 第2个等式：，可写为． 第3个等式：，可写为 ．．．． 归纳规律可得，第个等式为：． 当时，． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）找规律 (1)观察：，，，，…… 你发现其中的规律了吗？如何用代数式表示这一规律？ (2)利用（1）中的规律计算． (3)你还能找到哪些类似的规律？试举两例． 【答案】(1) （为非负整数） (2) (3) 示例：，（答案不唯一，符合规律即可） 【分析】（1）根据个例题的计算过程找到规律，用含的代数式表示出规律即可； （2）根据（1）中的规律计算即可； （3）通过观察可知相乘的两个数的个位数相加为，其他数位上的数字相同，根据规律写出两个符合规律的算式． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 根据规律可得：（为非负整数）； （2）解：根据规律可得： ； （3）解：， （答案不唯一）． 2．（26-27七年级·全国·小升初衔接）【阅读材料】计算的值． 解：设，则 ， 得： ，，即 通过阅读，你一定学到了一种解决问题的方法．请用你学到的方法计算：． 【答案】 【详解】解：设， 则： 所以 ． 3．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）观察下列算式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 请回答下列问题： (1)按照以上规律，，则其中___________，___________； (2)写出第个等式； (3)求． 【答案】(1)7，13 (2) (3) 【分析】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． （1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式，总结出其规律即可； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：按照以上规律，， ∴，， 故答案为：7，13； （2）解：按照以上规律，； （3）解： ． 【典型例题五 数字类规律探索】 【例1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图所示，小明用小棒搭小房子，搭3间用了13根．照这样搭下去，搭n间小房子用了（    ）根小棒． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形可以发现，每增加1间小房子增加4根小棒，搭1间小房子用根小棒，搭2间小房子用根小棒，搭3间小房子用根小棒……；搭n间小房子用根小棒． 【详解】解：搭1间小房子用根小棒， 搭2间小房子用根小棒， 搭3间小房子用根小棒……； 则搭n间小房子用根小棒． 【例2】（2026·重庆·模拟预测）醇类是由碳、氢、氧元素组成的一类有机化合物质，下图是这类物质的分子结构式，其中，，分别代表碳原子、氢原子、氧原子．第①个图中有4个氢原子，第②个图中有6个氢原子，第③个图中有8个氢原子，第④个图中有10个氢原子…按照此规律，第⑨个图中氢原子的个数是（     ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【分析】观察图形中氢原子个数的变化规律，归纳出第个图形中氢原子个数的公式，将代入计算即可． 【详解】解：第①个图中有个氢原子， ； 第②个图中有个氢原子，； 第③个图中有个氢原子，； 第④个图中有个氢原子， 第个图中氢原子的个数为 ， ∴当时，氢原子的个数为． 【例3】（2026·广东佛山·二模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，则第5层小球的个数为__________． 【答案】 15 【分析】根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的个数与层数的关系，得到第层球的个数为，代入计算即可． 【详解】解：由题意可知，第1层有1个球，第2层有3个球，即有， 第3层有6个球，即有，， 则第层有个球， 当时，第5层小球的个数为 ． 【例4】（2026·宁夏银川·二模）如图，在数学实践课上，小明将五边形区域分割成若干个三角形，他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．则当五边形内有2026个点时，可分得三角形的个数为________． 【答案】4055 【分析】根据所给图形，依次求出图形中三角形的个数，发现规律当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为个，即可解决问题． 【详解】解：当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为：； 当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为：； 当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为：； ， 所以当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为个， 所以当五边形内有2026个点时，可分得的三角形的个数为． 1．（25-26七年级上·内蒙古兴安·期末）规律探究 观察下列图形，用棋子摆出以下图案： (1)填写下表： 图案编号 棋子个数 (2)照此规律摆下去，摆第10个图案需要多少个棋子？ (3)摆第n个图案需要多少个棋子？（用含n的式子表示） 【答案】(1) (2)个 (3) 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据前几图形的棋子数，找到规律，即可求解． （2）根据（1）的规律，即可求解； （3）根据（1）的规律，写出第n个图案需要多少个棋子． 【详解】（1）解：图案的棋子数为． 规律：第个：， 第个：， 第个：， 第个：． 图案编号 棋子个数 （2）解：第个图案棋子数(个) （3）解：第个图案棋子数 2．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）观察如图，按要求回答问题（单位：cm） 梯形个数 1 2 3 4 5 … 图形的周长 … (1)观察图形规律并填表； (2)现在给这个图形涂上某种颜料，共花费324元．已知，若这个图形中梯形的高为3cm，cm，求这种颜料每平方厘米多少元？ 【答案】(1)，， (2)6元 【分析】本题主要考查规律探索，利用数形结合，根据已知图形得出规律是解题的关键． （1）根据已知图形，从1个梯形开始，逐步找到规律，填表即可； （2）先求出一个梯形的面积，再当，时，求出图形的总面积，再根据总费用求出每平方厘米颜料多少元即可． 【详解】（1）解：根据图形可知：1个梯形周长为， 2个梯形周长为， 3个梯形周长为， 4个梯形周长为， 5个梯形周长为， … n个梯形周长为， 故答案为：，，； （2）∵一个梯形的面积为， 当，时，（cm2）， ∵共花费324元， ∴， 答：这种颜料每平方厘米6元． 3．（25-26七年级上·河南安阳·期中）综合探究 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，图形①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，图形②的面积是图形①面积的一半，图形③的面积是图形②面积的一半……依此类推． (1)根据图1填写下表： 图形 ① ② ③ ④ … ⑦ 面积 … (2)计算：；（请写出计算过程） (3)类比：小华在计算时利用了正方形模型． 设正方形的面积为1，第1次分割（如图2），把正方形的面积四等分，阴影部分的面积为；第2次分割（如图3），把上次分割图中空白部分的面积四等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割（如图4），把上次分割图中空白部分的面积四等分，阴影部分的面积之和为…… ①第n次分割后，空白部分的面积是 ； ②请直接写出的值． 【答案】(1)；． (2) (3)①；② 【分析】本题考查了有理数的乘方、图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据图1分别求出部分①⑦的面积，再根据阴影部分的面积等于部分⑥的面积的一半即可得； （2）将转化为，再去括号，计算即可得； （3）①根据第次分割后，空白部分的面积归纳类推出一般规律，由此即可得； ②分别计算图形中阴影部分的面积以及空白部分的面积，得出第n次分割后，阴影部分的面积和为，空白部分的面积是，由此可得答案． 【详解】（1）解：由图1可知，①的面积为， ②的面积为， ③的面积为， ④的面积为， ⑤的面积为， ⑥的面积为， ⑦的面积为， 故答案为：；． （2）解： ． （3）解：由图2可知，第1次分割后，空白部分的面积为， 第2次分割后，空白部分的面积为， 第3次分割后，空白部分的面积为， 归纳类推得：第次分割后，空白部分的面积是， 故答案为：． ②根据第n次分割阴影部分的面积和为，则空白部分的面积为：， ∴ 两边同时除以3，得： 【典型例题六 代数式的新定义计算】 【例1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）定义新运算：，则的值为（   ） A． B．1 C． D．7 【答案】C 【分析】按照题目给出的运算规则，代入对应数值计算即可得到结果． 【详解】解：∵新运算规则为， ∴求时，对应，， 代入计算得： ， ∴结果为． 【例2】（25-26七年级上·辽宁盘锦·阶段检测）新定义：符号“”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： 运算（一）：， 运算（二）：，， 利用以上规律计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查新定义运算，数字类规律探索，理解题中的新定义运算法则是解决问题的关键． 根据题中所给的两个运算，总结出规律：，其中为整数；，其中为非零的整数，代值求解即可得到答案． 【详解】解：运算（一）：， ，其中为整数； 运算（二）：，， ，其中为非零的整数； ∴， 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·江西赣州·期中）新定义： 若定义， 则 _______． 【答案】 【分析】本题考查新定义下的运算，有理数的四则运算，掌握知识点是解题的关键． 根据新定义下的运算，有理数的四则运算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【例4】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）对于任意有理数a，b，定义一种新运算“*”：，如，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，涉及有理数的乘法、减法和加法运算，根据给定的运算规则，代入数值进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·山西朔州·期中）已知为有理数，定义一种新运算★，满足，试根据这种运算，解答下列各题． (1)求； (2)任意选择两个有理数，分别代替与，并比较和两个运算结果，你发现了什么？ 【答案】(1) (2)和的运算结果相同 【分析】本题考查了新定义运算． （1）通过直接代入公式计算即可； （2）通过具体例子和代数推导比较运算结果，进而得出结论即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：令， ， ， ∵， ∴． 即和的运算结果相同． 2．（25-26七年级上·河南洛阳·期中）对于有理数，，定义运算“”，． (1)计算的值． (2)填空：______．（填“>”“=”或“<”） (3)我们知道有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（2）计算的结果，你认为这种运算“”是否满足交换律？请说明理由． 【答案】(1) (2)= (3)运算“”满足交换律 ，见解析 【分析】本题考查定义新运算，代入求值，列代数式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）令代入计算即可； （2）令和分别代入计算并进行比较； （3）根据新运算的定义分别写出和进行证明即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解： ； ； ∴． 故答案为：=； （3）解：这种运算“”满足交换律，理由如下： ∵，， ∴． 故运算“”满足交换律． 3．（25-26七年级上·福建福州·期中）定义新运算：，（等号右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，．若，则称有理数为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是_______．（请填序号）． ①；②，；③． (2)计算：； (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．请你计算：． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查新定义运算，理解新定义运算：，是解决问题的关键． （1）根据新定义运算：，，由“隔一数对”定义直接求解即可得到答案； （2）根据新定义运算：，，代值求解即可得到答案； （3）根据新定义运算：，进而裂项相消求和即可得到答案． 【详解】（1）解：①当时， 则，， ，即有理数为“隔一数对”； ②当，时， 则，， ，即有理数，为“隔一数对”； ③当时， 则，， ，即有理数不是“隔一数对”； 故答案为：①②； （2）解： ； （3）解： ． 【典型例题七 代数求值的阅读理解问题】 【例1】（24-25七年级上·广西河池·期中）整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及代数式的值，解题的关键是理解题意；由题意易得，然后代入求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故选D． 【例2】（2025·湖南益阳·模拟预测）阅读：已知对于任意正整数n，都有，求的值．小郭通过思考发现可以这样解答：．若对于任意正整数n，都有．则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了规律探索问题，有理数的混合运算，结合已知条件总结出规律是解题的关键． 根据已知条件，求得当时，，将其整理后可得，则，然后将原式变形后利用裂项法计算即可． 【详解】解：对于任意正整数n，都有， 当时， ， ， 原式 ． 故选：D ． 【例3】（25-26七年级上·陕西西安·期中）阅读探究：；；；；…根据发现的规律，可得______． 【答案】1185 【分析】本题主要考查了数字规律探索，通过观察给定的等式，发现从1到n的平方和公式为 ，所求式子为从到的和，可转化为从1到15的平方和减去从1到5的平方和，代入公式计算即可． 【详解】解：∵； ； ； ； … ∴， ∴， ， ∴． 故答案为：1185． 【例4】（24-25七年级上·四川乐山·期末）观察如图，并阅读图形下面的相关文字：像这样，①若10条直线相交，则交点最多的个数是__________．②若n条直线相交，则交点最多的个数是__________． 【答案】 45 【分析】当n条直线都两两相交，且交点不重合时，交点的个数最多，则每条直线都要与其他条直线有1个交点，而两条直线之间的交点只算1个，据此结合图形的规律可得答案． 【详解】解：2条直线相交最多有个交点， 3条直线相交最多有个交点， 4条直线相交最多有个交点， ……， 以此类推，可知n条直线相交，最多有个交点， ∴10条直线相交最多有个交点． 1．（24-25七年级上·广东珠海·阶段检测）【阅读材料】 观察下列式子：①；②；③；④，根据上面材料回答以下问题： (1)根据阅读材料猜想：式子⑥：（  ）×（  ）； (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并证明你的结论． 【答案】(1)7，8； (2)，证明见解析． 【分析】本题考查了用代数式表示算式的变化规律以及有理数的混合运算，找出等式的规律是解题的关键． （1）根据题目中的式子即可得到答案； （2）根据题干中的式子总结规律，再通过计算证明等式的左边等于右边即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：7，8； （2）解：由题意可得规律为，证明如下， ∵， ， ∴． 2．（24-25七年级上·山东枣庄·期末）阅读材料：“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例如： 若，求的值； 我们将作为一个整体代入，则原式． 请你仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)2 (2)28 【分析】本题主要考查运用整体代入法求代数式的值： （1）把变形为，再整体代入求值即可； （2）把变形为，再整体代入求值即可 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ． 3．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 多边形分割成三角形的方式 我们知道，由若干条线段围成的封闭图形叫作多边形，在多边形中，三角形是最基本的图形，图1是教材分割多边形的一种方式，图2是三种不同的分割五边形的方式． 图1中的分割方式将四边形、五边形、六边形分割成2个、3个、4个三角形， 图2中的三种分割方式将五边形分别分割成3个、4个、5个三角形． 任务： (1)按照图1的方式分别把图3中的图形分割成若干个三角形，在图3中画出分割方式． (2)按照图2的方式把如图4所示的六边形分割成的三角形个数分别是多少（不必画出图形）． (3)若按照图2的分割方式将n边形分割成的三角形个数分别是多少（用含n的代数式表示）？ 【答案】(1)画图见解析 (2)个，个，个； (3)个，个，个． 【分析】本题考查的是图形类的规律探究； （1）根据从1个顶点出发画出分割线即可画出图形； （2）根据从1个顶点出发，多边形的边上取异与顶点的1个点出发，多边形的内部任意1点出发画出分割线，从而可得答案； （3）根据（2）中的信息总结归纳即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，分割线如下： （2）解：如图，分割线如下： ∴按照图4所示，六边形被分割成的三角形个数分别是个，个，个． （3）解：由（2）归纳总结可得： 按照图2的分割方式将n边形分割成的三角形个数分别是： 个，个，个． 1．（2026·山东聊城·模拟预测）若，，且，则的值等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题先根据绝对值的定义得到的所有可能取值，再根据判断同号，分情况计算即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴与同号， 分两种情况讨论： ①当，时，， ②当，时，， ∴的值等于或． 2．（25-26七年级上·广东阳江·阶段检测）已知代数式的值是8，则代数式的值为（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．由已知条件 可得，进而求的值，通过整体代换计算． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴ ． 故选：B． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2023次输出的结果为（   ） A．1 B．5 C．25 D．625 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化规律，求代数式的值，能根据求出的结果得出规律是解决此题的关键．依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 依此类推，以5，1循环， ， 所以输出的结果是5． 故选：B． 4．（25-26七年级上·山东烟台·期末）已知：有理数，我们把称为a的差倒数，例如：2的差倒数是的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，那么…的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字的变化规律．先根据差倒数的定义求出数列前几项，找出循环周期，再结合周期计算总乘积． 【详解】解： ∴数列以，，为周期循环，周期为3， ∵每个周期内三个数的乘积为， 又∵，即2026个数包含675个完整周期，余下1个数，该数为 ∴总乘积为 故选A 5．（2026·四川广安·模拟预测）链状烷烃是一类由碳，氢元素组成的有机化合物，这类物质前四种化合物的分子结构模型如图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子和4个氢原子，化学式为；第2种如图②有2个碳原子和6个氢原子，化学式为；第3种如图③有3个碳原子和8个氢原子，化学式为…按照这一规律，第2026种化合物的化学式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意易得第n种有n个碳原子和个氢原子，化学式为，然后问题可求解． 【详解】解：∵第1种如图①有1个碳原子和个氢原子，化学式为； 第2种如图②有2个碳原子和个氢原子，化学式为； 第3种如图③有3个碳原子和个氢原子，化学式为； ……； ∴第n种有n个碳原子和个氢原子，化学式为， ∴第2026种化合物的化学式为． 6．（25-26七年级上·四川·期中）代数式的值为7，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】由已知条件可得的值，将所求代数式变形后，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ， ． 7．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图是一个计算程序，当输出值时，则输入值________． 【答案】或 【分析】本题考查了利用平方根解方程和利用程序图求代数式的值，熟练掌握求代数式的值是解题的关键； 利用计算程序得到，当时，，然后利用平方根求出即可． 【详解】解：根据题意得， 当时，， 所以， 解得或． 故答案为：或 8．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）定义一种新运算：，例如．则的值为________ 【答案】 【分析】根据题目给出的新运算规则，代入对应数值，按照有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解：由题意得，， 将，代入， 得 ． 9．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则______，______． 【答案】 【分析】通过观察数列中相邻两项的差，发现后一项比前一项依次增加，从而得出等于从加到的和，利用求和公式即可求解． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ， ， 所以． 当时， ． 10．（26-27七年级·全国·小升初衔接）乐谱中有各种音符，“”是一个八分音符．把音符按照一定规律排列如图所示，号图由个八分音符组成，号图由个八分音符组成，号图由个八分音符组成，，那么第号图由______个八分音符组成，第号图由______个八分音符组成． 【答案】 / 【分析】根据题意号图八分音符有（个），号图八分音符有（个），号图八分音符有（个），，则第号图八分音符有（个），然后当时代入即可求解． 【详解】解：号图八分音符有（个）， 号图八分音符有（个）， 号图八分音符有（个）， ， 所以第号图八分音符有（个）， 当时，第号图八分音符有（个）， 故第号图由个八分音符组成，第号图由个八分音符组成． 11．（2025七年级下·重庆涪陵·模拟预测）已知对于任意的都成立．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式求值，解题关键是利用特殊值代入法，通过给赋予合适的值，快速求出多项式各项系数的值，无需展开高次多项式. （1）要求常数项，只需令，此时等式右边仅剩下常数项，直接代入左边即可计算； （2）要求，可先令求出所有系数和，再结合（1）的结果变形求解. 【详解】（1）解：令，代入， 可得，，即； （2）解：令，代入， 可得，即， 又，则：， 因此：. 12．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）公安人员常根据案发现场作案人员留下的脚印推断嫌疑人的身高（单位：）．如果用a表示脚印长度，b表示身高，那么a和b之间的关系近似可表示为． (1)若某人脚印长度为，则他的身高约为多少？ (2)某案件中有两个可疑人员，一人身高为，另一人身高为．已知现场测量的脚印长度为，那么哪个可疑人员作案的可能性更大？ 【答案】(1)； (2)身高为的可疑人员作案的可能性更大． 【分析】本题考查了代数式求值． （1）将代入计算即可； （2）将代入计算，进而判断更接近哪个可疑人员的身高即可． 【详解】（1）解：当时，， 即他的身高约； （2）解：当时，， ∵，，， ∴身高为的可疑人员作案的可能性更大． 13．（24-25七年级上·陕西延安·阶段检测）下面给出了如图所示的程序框图，进行计算．    (1)如图1，若输入，求输出结果； (2)若在图1基础上增加一个计算程序“”，如图2，若输入，第一次运算得到，求输出结果． 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）按照图示流程进行代入计算即可； （2）先根据第一次运算得到求出的值，再按照图示流程进行代入计算即可． 【详解】（1）由题意可得：， 因为， 所以输出结果是； （2）由题意可得：， 故， 因为，所以需要进行第二次运算： ， 因为， 所以输出结果是24 【点睛】本题考查了代数式代入求值，这类题目读懂题意是关键． 14．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在边长都为a的正方形中分别排列着一些大小相等的圆． (1)根据图中的规律，第5个正方形中圆的个数是______，第 n个正方形中圆的个数是______； (2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影，将第1个正方形、第2个正方形和第3个正方形中阴影部分的面积分别记作，，，那么______，______，______． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及列代数式，能根据题意发现圆的个数及面积的变化规律是解题的关键． （1）根据题意，依次求出图形中圆的个数，发现规律即可解决问题； （2）根据题意，分别求出图形中除去圆部分的面积即可． 【详解】（1）解：由题意知， 第1个正方形中圆的个数为； 第2个正方形中圆的个数为； 第3个正方形中圆的个数为； …， 所以第n个正方形中圆的个数为 当时， 第5个正方形中圆的个数为 故答案为：25，； （2）解：由题意知， 第1个图形中除去圆的部分的面积为：； 第2个图形中除去圆的部分的面积为：； 第3个图形中除去圆的部分的面积为：； 所以 故答案为：，， 15．（25-26七年级上·河北邢台·期末）在数学中数与形之间也可以互相转化． (1)观察下图所示的图形与等式的关系，并填空： 结合图形，我们可以发现：________． (2)根据（1）中结论，计算：． 【答案】(1) (2)9600 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意可知，从1开始的连续的正奇数的和等于奇数个数的平方，据此可得答案； （2）所求式子可变形为，据此根据（1）的规律求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ……， 以此类推可知，； （2）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $