第04讲 有理数的加法与减法 （暑期衔接课堂）2026年暑假人教版七年级数学上册衔接讲义

第04讲 有理数的加法与减法（4大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 有理数的加法运算 典型例题二 有理数加法中的符号问题 典型例题三 有理数加法运算律 典型例题四 有理数的减法运算 典型例题五 有理数加减混合运算 典型例题六 有理数加减中的简便运算 典型例题七 省略加法和括号的形式 典型例题八 有理数加法在生活中的应用 典型例题九 有理数减法的实际应用 典型例题十 有理数加减混合运算的应用 知识点01 有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 【即时训练】 1．（2026·江苏无锡·二模）计算的结果是（  ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【详解】解：∵与互为相反数，根据有理数加法法则，互为相反数的两个数的和为， ∴． 2．（25-26七年级上·山西太原·期末）计算的结果是__________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数加法法则：异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，据此即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点02 运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法交换律和加法结合律 【答案】D 【分析】本题考查了加法的交换律和结合律，根据加法的运算律结合题意判断即可得解． 【详解】解：是应用了加法交换律和加法结合律， 故选：D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）加法交换律：_________． 例：_________； （2）加法结合律：_________． 例：[______+_____]． 【答案】 【分析】（1）由有理数的加法交换律即可以得解； （2）由有理数的加法结合律即可得解． 【详解】（1）； ． 故答案为：． （2）； ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法的交换律和结合律等知识点，解题时要熟练掌握运算律并准确计算是关键． 知识点03 有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·浙江台州·期末）有理数减法运算可以转化为加法运算．对的运算进行转化，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数减法法则的应用，减去一个数等于加上这个数的相反数，据此可得答案． 【详解】解：∵有理数减法法则为：减去一个数，等于加上这个数的相反数． ∴． 故选：A． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）若，则“□”表示的数是________． 【答案】5 【分析】本题考查了有理数的减法，解决本题的关键是熟练掌握有理数的减法法则，由可得，再计算得出结果． 【详解】解：因为， 所以． 故答案为：5． 知识点04 有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）已知，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握去括号法则与分数的通分运算是解题的关键．分别计算、、的数值，再比较三者的关系． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∵ ，， ∴ 故选：C． 2．（25-26七年级上·山东济南·期末）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． 已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，则___________． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加减运算， 根据题意原式可化为，中间项相互抵消，只剩首项和末项，进而求解即可． 【详解】解：由题意，对于连续非零整数，有． ∴ ． 故答案为：． 【典型例题一 有理数的加法运算】 【例1】（2026·天津西青·一模）计算的结果等于（   ） A．5 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】解： 【例2】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）综合实践活动中，善思小组研究了二进制数的加法运算法则，如下表所示，根据二进制数的加法运算法则，计算的结果为（   ） 加数 加数 和 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是二进制加法运算，解题关键是正确理解题意． 需依据给定的加法法则，对齐数位从右往左逐位计算，遵循满进的规则进行计算． 【详解】解：二进制加法法则为：，，，（满进）， 将两个数对齐数位后从右往左逐位相加： 第位：， 第位：， 第位：，本位记，向第位进， 第位：， 第位：， ． 故选：． 【例3】（25-26七年级上·上湖北武汉·期末）计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，将带分数和小数转换为分数形式，然后根据有理数的加法运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【例4】（25-26七年级上·重庆·期中）定义一种新运算：，则的结果为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义下的有理数的加减运算，解题的关键是掌握新定义运算法则． 根据新运算的定义，比较x和y的大小关系，选择对应的运算规则． 【详解】解：因为， 所以使用规则， 代入，得， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法运算． （1）根据有理数的加法运算法则计算即可； （2）根据有理数的加法运算法则计算即可； （3）根据有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3） ． 2．（2025七年级上·江苏泰州·模拟预测）文字“附、中、欢、迎 、你”表示各不相同的一个数字（数字是的整数）． (1)请写出符合下列要求的两个算式； 附 中 欢 迎 + 你 迎 你 (2)在（1）的情况下求“迎+你”的最大值． 【答案】(1)， (2)11 【分析】本题考查了有理数的应用． （1）由竖式可知“附、中、欢、迎”对应的数相加为10的倍数，进而列式即可； （2）根据“迎”为1，2中的一个，取“你”为9，求出最大值即可 【详解】（1）由竖式可知“附、中、欢、迎”对应的数相加为10的倍数， 当“附、中、欢、迎”为6、7、8、9时，， 可知“迎”为1，2，3中的一个，但“迎”为3时与“附、中、欢、迎”为6、7、8、9冲突 ∴“迎”为1，2中的一个， 则符合要求的两个算式可为； （2）由（1）可知“迎”为1，2中的一个，则“你”最大值可取9， 当“迎”为2时，则“附、中、欢”之和为，可取5，6，7 则“迎”为2，“你”为9成立， 此时“迎+你”的值为11． 3．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）古埃及与我国一样拥有着悠久恒远的古老文明．在古埃及为解决一碗食物分给多个人的生活问题，古埃及人发明了“埃及分数”，如写作，写作，符号中的“碗”代表分子1，“竖线”代表分母．但同时由于书写的方式，使得古埃及人对于分子不为1的分数难以表达．如需写作＋，即．现在请你帮助古埃及人用多个分数相加的方式表示出以下分数（括号内均填入不同的正整数）． (1)； (2)小明在探究时发现，可以尝试选择分母的因数对原来的分子进行拆分，再利用分数的基本性质化简后即可得到所需分数．如：． 根据以上方法，请尝试表示： ①（填写两组不同答案） ②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据可得答案； （2）根据和解答；②根据解答． 【详解】（1）解：； （2）解：①，， 则； ②， 则． 【典型例题二 有理数加法中的符号问题】 【例1】（24-25七年级上·新疆伊犁·期中）如果的值是负数，则a与b的值 （     ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定是一个正数，一个负数 D．至少有一个是负数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法，根据理数的加法的法则判断即可． 【详解】解：的值是负数， a与b的值中至少有一个是负数． 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·四川内江·阶段检测）为了计算简便，把写成省略加号的和的形式，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据去括号法则化简，再判断即可． 【详解】原式=． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了去括号法则，即括号前是“+”，去掉后，括号内不变号，括号前是“－”，去掉后，括号内变号． 【例3】（2025·江苏盐城·二模）计算（＋2）＋（－3）其结果是____． 【答案】－1 【分析】绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，依此即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加法，解题的关键是在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． 【例4】（24-25七年级上·全国·课后作业）有理数的加法法则： （1）做有理数加法时，先确定__________，再确定________．即： ①同号两数相加，取________的符号，并把________相加； ②绝对值不相等的异号两数相加，取_________的符号，并用________减去__________． （2）互为相反数的两数相加得_______；一个数与_____相加，仍得___________． 【答案】 符号 绝对值 相同 绝对值 绝对值较大的数 较大的绝对值 较小的绝对值 0 0 这个数 【解析】略 1．（2025七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)-10 (2)-10 【分析】（1）先去括号，再添括号，将正数和负数分开计算，再作减法即可； （2）将小数部分相同的或能凑整的放在一起计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算．计算含小数的式子时，可先观察，可将小数部分相同或能凑整的放在一起计算，这样能简化计算过程，避免出错．括号前是“＋”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“−”，去括号后，括号里的各项都改变符号．添括号时，若括号前是“＋”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“−”，添括号后，括号里的各项都改变符号． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)，； (2)，． (3)___________． 【答案】(1)，5，， (2)，1，， (3)0 【分析】根据有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加的零． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ； （3）解：． 【点睛】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题关键． 3．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段检测）定义一种新运算“※”，观察下面算式的规律，并解答相关问题． ， ． ， ． ， ． (1)由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值 ；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的 ． (2)计算：① ； ②． （提示：对于新运算“”，如有括号，先做括号内的运算，括号使用法则与有理数运算相同） 【答案】(1)相加；绝对值 (2)①11；② 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的加法，理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）观察算式的规律，归纳新定义的运算法则即可解答； （2）①根据（1）中的运算法则计算即可；②根据（1）中的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的绝对值． 故答案为：相加；绝对值． （2）解：①∵5和6同号，， ∴， 故答案为：11； ②由（1）得，， ∵和4异号，， ∴， 即． 【典型例题三 有理数加法运算律】 【例1】（2025七年级上·全国·专题练习）下列算式中，没有运用加法交换律的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查加法交换律，熟记加法交换律的定义逐项判断是解决问题的关键． 【详解】解：A、B、D三个选项中的运算运用了加法交换律，C选项中的运算没有运用加法交换律， 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·黑龙江·单元测试）小磊在解题时，将式子先变成，再计算结果，则小磊运用了（   ） A．加法交换律 B．加法交换律和加法结合律 C．加法结合律 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法运算律，根据加法交换律和加法结合律即可求解，熟练掌握加法交换律和加法结合律是解题的关键． 【详解】解：将式子先变成，再计算结果，则小磊运用了加法交换律和加法结合律， 故选：． 【例3】（24-25七年级上·全国·课堂例题）计算的结果是______________． 【答案】 【分析】根据加法的结合律计算，即可作答． 【详解】 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算，掌握加法的结合律，是解答本题的关键． 【例4】（24-25七年级上·全国·课后作业）在下面的计算过程后面填上运用的运算律． 计算：． 解：原式（________） （________）． 【答案】 加法交换律 加法结合律 【分析】根据有理数的加减混合运算及运算律即可求解． 【详解】解： 原式（加法交换律） （加法结合律）， 故答案为：加法交换律，加法结合律． 【点睛】本题主要考查有理数的加减混合运算，运算律的运用，掌握以上知识是解题的关键． 1．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)18 (2) (3) (4)7 【分析】本题主要考查了有理数的加法，熟记运算法则是解答本题的关键． （1）能凑整的两数先相加，然后再进行运算； （2）能凑整的两数先相加，然后再进行运算； （3）同分母两数先相加，然后再进行运算； （4）能凑整的两数先相加，然后再进行运算； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 2．（25-26七年级上·北京·单元复习）阅读下列内容，并完成相关问题． 小明定义了一种新的运算，取名为※（加乘）运算．按这种运算进行运算的算式举例如下： ；； ；； ；． 问题： (1)请归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时，________．特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，________． (2)计算：．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请任选一个运算律，判断它在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得此数的绝对值； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，正确理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据所给示例，进行总结即可； （2）根据总结的运算法则进行计算即可； （3）结合加法交换和结合律，根据运算法则举例计算，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知：两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，都得此数的绝对值； （2）解：； （3）解：选择交换律，交换律仍然适用， 例如：，， 所以， 故交换律仍然适用； 选择结合律，结合律不适用， 举例：，， ∴， 所以结合律不适用． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下列内容，并完成相关问题： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时， ． 特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算， ． (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？ 请分别给出你的判断，并举例验证．（每个运算律举一个例子即可） 【答案】(1)同号得正、异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值 (2) (3)交换律仍然适用，结合律不适用，理由见解析 【分析】本题考查了新定义，有理数的加法运算，加法运算法，正确理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据所给示例，进行总结即可； （2）根据总结的运算法则进行计算即可； （3）可选择加法交换律，根据运算法则举例计算，即可得出结论． 【详解】（1）解：同号得正、异号得负，并把绝对值相加； 都得这个数的绝对值． （2）解；原式； （3）解：交换律仍然适用， 例如：， 所以， 故交换律仍然适用． 结合律不适用， 举例：， ， 所以结合律不适用． 【典型例题四 有理数的减法运算】 【例1】（2026七年级上·江西新余·专题练习）计算：（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 【例2】（25-26七年级上·福建福州·期中）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为（   ） A． B． C．3.8 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，有理数的减法，利用数轴上两点间的距离列式计算即可． 【详解】解：刻度尺上表示对应数轴上的数为：． 故选：B． 【例3】（25-26七年级上·北京通州·期末）如果用符号表示两数中的较大者，用符号表示两数中的较小者，那么的值为________；的值为________． 【答案】 2 【分析】本题主要考查有理数比较大小，有理数的加减运算，根据新运算定义，表示a与b中的较大者，表示a与b中的较小者，通过比较有理数大小并计算得出结果． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 故答案为：①；②． 【例4】 （25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）对于任意有理数，规定一种新运算：，则的值为___________ 【答案】2 【分析】根据新运算的定义，先比较 a 和 b 的大小，再选择相应的运算规则进行计算． 本题考查了有理数的大小比较，混合运算，新定义，熟练掌握定义和运算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 ，且， 故使用规则 ， 故， 故答案为：2． 1．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）如图是一个正方体的表面展开图，在原正方体中，相对的两个面上的数字之和为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了正方体的展开特征，有理数的加减运算，准确判断出正方体展开图中相对的两个面是解题的关键；根据正方体表面的展开图，在原正方体中，与相对的面是6，与相对的面是，与相对的面是．由相对的两个面上的数字之和为，从而可求得x、y、z的值，最后可求得结果． 【详解】解：由展开图可知与相对的面是6，与相对的面是，与相对的面是． 因为在原正方体中，相对的两个面上的数字之和为， 所以， 所以． 2．（25-26七年级上·广东河源·期中）彤彤在计算时，由于粗心，她误将看成了，从而得到的结果为． (1)请你求出所表示的数； (2)请求出此题的正确答案． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的加减法运算； （1）根据有理数的加法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数的减法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵； ∴， ∴所表示的数是． （2）解：∵所表示的数是． ∴； ∴此题的正确答案是． 3．（25-26七年级上·山西忻州·期中）阅读下面的解题过程并解决问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） … (1)上面的计算过程中，第一步变形的依据是_____________； (2)为了计算简便，第二步应用的运算律是_____________；（用符号表示） (3)上面的计算过程，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_____________； (4)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)有理数减法法则 (2) (3)二；写成了 (4) 【分析】（1）根据“减法变加法（减一个数等于加它的相反数）”确定第一步的变形依据； （2）第二步调整数的位置，对应加法交换律； （3）检查步骤中符号是否正确，发现第二步，将误写为； （4）先通过加法交换律调整数的顺序，再用结合律分组计算（小数与小数结合、分数与分数结合），最终得出结果． 【详解】（1）解：有理数的减法法则（减去一个数等于加上这个数的相反数）． （2）解：加法交换律：； （3）解：从第二步开始出错，错误原因是：将误写为，符号处理错误； （4）解： ． 【典型例题五 有理数加减混合运算】 【例1】（2025·河北石家庄·二模）式子有下面两种读法： 读法一：负2、负1、正6与负9的和．    读法二：负2减1加6减9． 则关于这两种读法，下列说法正确的是（    ） A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都不正确 D．两种读法都正确 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是明确有理数的加减混合运算的读法．据此解答即可． 【详解】解：对于式子， 可读作：负，负，正与负的和；也可读作：负减加减， ∴两种读法都正确． 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·广东中山·阶段检测）按如图所示的程序运算（完成一个方框内的运算后 把结果输入下一个方框继续进行运算），若输入的值为，则输出的结果是（    ） A．4 B．9 C．15 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了程序图运算． 将代入程序图进行运算，当结果时输出即可． 【详解】解：把代入程序中得：， 把代入程序中得：， 把代入程序中得：， 则输出结果为． 故选：A． 【例3】（25-26七年级上·上湖北武汉·期中）计算：____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数加减法运算，理解运算法则是解答关键. 先将减法转化为加法，统一为分数形式，然后通分计算求解. 【详解】解： = . 故答案为：. 【例4】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，乐乐将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，则的值为_______． 【答案】1 【分析】此题考查了有理数的加减运算能力，关键是能利用九宫格进行有理数加减运算．由可知，每行、每列、每条对角线上的三个数字之和为3，则可求得a、b、c的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，， 解得，，，， ∴． 故答案为：1． 1．（2025七年级上·山东·专题练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题关键是掌握有理数的加减混合运算． （1）先写成省略加号的和式，再计算； （2）先写成省略加号的和式，再计算； （3）先写成省略加号的和式，再化为同分母的分数，然后计算即可； （4）先写成省略加号的和式，再化为同分母的分数，然后计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 2．（25-26七年级上·山东德州·期中）请观察下列算式，找出规律并填空： ，，则 (1)第10个算式是： ； (2)第n个算式为： ； (3)根据以上规律解答下题：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了找规律，分数的简便运算，正确运算是解题的关键． （1）根据给定的规律直接写出即可； （2）根据给定的规律直接写出即可； （3）根据规律将每一项拆成两个分数的差，然后相加即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）， ， ， ． 3．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）错题是最好的素材，识错和辨错能有效的检测我们的知识漏洞，纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养．仔细阅读嘉木同学进行有理数混合运算的过程并完成相应任务． 计算： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 任务：第一步将原式的减法转化为加法的依据是___________； 运算从第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________； 任务：请你写出正确的解答过程． 【答案】 任务1：有理数的减法运算法则 三，将误算为 任务2：正确的解答过程见解析． 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，有理数加法运算律． 任务1：第一步将原式的减法转化为加法的依据是有理数减法的运算法则；根据运算法则逐步检查，即可求解； 任务2：按照运算法则，结合有理数加法运算律，写出正确的解答过程即可． 【详解】解：任务1：第一步将原式的减法转化为加法的依据是有理数的减法运算法则， 故答案为：有理数的减法运算法则． ， ∴运算从第三步开始出现错误，这一步错误的原因是将误算为， 故答案为：三，将误算为． 解：任务2： ． 【典型例题六 有理数加减中的简便运算】 【例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算时运算律用得恰当的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数加法的交换律与结合律：同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数． 【详解】解：. 故选：B ． 【例2】（24-25七年级上·全国·单元复习）下面的计算运用的运算律是（　　） ． A．加法交换律 B．加法结合律 C．先用加法交换律，再用加法结合律 D．先用加法结合律，再用加法交换律 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的简便运算，掌握分数和分数相加，小数和小数相加，先交换加数的位置，再结合是关键． 【详解】解：观察所给式子的计算过程可得： ，运用了加法交换律， ，运用了加法结合律， 故选C． 【例3】（24-25七年级上·广东江门·期中）计算：___________． 【答案】 【分析】根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【例4】（24-25七年级上·辽宁抚顺·阶段检测）计算∶1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12……+2013+2014-2015-2016+2017+2018-2019-2020=______． 【答案】 【分析】通过观察算式可得从第二个数开始，每4个数的和为0，根据找到的规律求解即可． 【详解】解：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12……+2013+2014-2015-2016+2017+2018-2019-2020 故答案为：-2020． 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是正确分析式子中的运算规律． 1．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)； (2) 【答案】(1)21 (2)5055 【分析】（1）把代分数的整数部分和分数部分拆开，利用加法交换律和结合律，把整数部分与分数部分分别相加； （2）把带分数的整数部分和分数部分拆开，利用加法交换律和结合律，把整数部分与分数部分分别相加，计算分数部分的和时，利用公式“（首项末项）项数”进行简便计算． 【详解】（1）解：方法： ； 方法2： ； （2）解： ． 2．（25-26七年级上·陕西延安·期中）阅读下面的文字，并回答问题： 对进行计算，我们可以用下面的方法：．这种方法称为分离带分数法． 请你运用上面的方法，计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)2021 【分析】本题考查了分数的简便运算． （1）将每个带分数分为整数部分和分数部分，分别计算后再合并； （2）将每个带分数分为整数部分和分数部分，分别计算后再合并． 【详解】（1）解： （2）解： ． 3．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．根据（1）的拆项法即可解答本题． 【详解】解： ． 【典型例题七 省略加法和括号的形式】 【例1】（25-26七年级上·福建厦门·期末）把写成省略括号和加号的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，去括号时，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：把写成省略加号和的形式为， 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、， A错误； B、， B正确； C、， C错误； D、， D错误． 【例3】（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）把写成省略加号的和的形式______． 【答案】 【分析】本题考查多重符号的数或式子的化简；按照正号可以省略，负负得正的方法即可将多重符号的数或式子化简即可． 【详解】解：把写成省略加号的和的形式为：． 故答案为：． 【例4】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）计算时，可以利用减法法则将加减混合运算统一为加法运算，为书写简单，可以省略算式中的括号和加号，把它写为________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据有理数加减混合运算去括号法则：“括号前面是号，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同，括号前面是号，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反”即可求解， 【详解】解：计算时，可以利用减法法则将加减混合运算统一为加法运算，为书写简单，可以省略算式中的括号和加号，把它写为， 故答案为： 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）把写成省略加号的和的形式，并把它读出来． 【答案】；读作“、负、负、、负1的和”，也可读作“减减加减1” 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据有理数加减混合运算中，先把加减法统一成加法后，再写成省略加号和括号的和的形式，再用两种方式读出即可． 【详解】解： 读作“、负、负、、负1的和”，也可读作“减减加减1”． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4) (5)4 (6) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，有理数的加法的运算律，熟练掌握上述法则与运算律是解题的关键． （1）写成省略加号和括号的和的形式，同号两数先相加，再进行运算； （2）写成省略加号和括号的和的形式，同号两数先相加，再进行运算； （3）写成省略加号和括号的和的形式，分母相同的两数先相加，再进行运算； （4）写成省略加号和括号的和的形式，能凑整两数先相加，再进行运算； （5）写成省略加号和括号的和的形式，分母相同的两数先相加，再进行运算； （6）写成省略加号和括号的和的形式，能凑整两数先相加，再进行运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 3．（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）平顶山某初中数学小组学完进度章节后，对一道试题展开了讨论，请你仔细阅读并完成任务． 试题：计算：． 小明：对于这道试题我采用直接运算方法，从左到右先写成省略括号和加号的形式，之后…… 小亮：对于这类计算，我发现了一种拆项法．以这道试题为例： 原式               …… 小明：这种方法很有趣，值得推荐． …… 任务： (1)请你帮助小明把原式写成省略括号和加号的形式 ； (2)题干中横线上空缺的计算结果是 ； (3)按小亮的方法计算：． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】本题考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键： （1）根据加法法则，省略掉括号即可； （2）根据有理数的加法法则进行计算即可； （3）将带分数化为整数和真分数的和的形式，利用交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ； 故答案为：0； （3）原式 ． 【典型例题八 有理数加法在生活中的应用】 【例1】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）下列问题情境，不能用加法算式表示的是（   ） A．数轴上表示与10的两个点之间的距离 B．某日最低气温为，温差为，求该日的最高气温 C．用10元纸币购买2元文具后找回的零钱 D．水位先下降，再上升后的水位变化情况 【答案】A 【分析】根据问题情境依次列出每个问题的算式即可得出正确答案． 本题考查正负数的意义，以及有理数加法的实际应用．根据问题情境，正确的列出算式，是解题的关键． 【详解】A.数轴上表示 与 的两个点之间的距离为，不能用加法算式表示，符合题意； B. 某日最低气温为，温差为，该日最高气温可以表示为，不符合题意； C. 用10元纸币购买2元文具后找回的零钱可以表示为，不符合题意； D. 水位先下降，再上升后的水位变化情况可以表示为，不符合题意； 故选：A． 【例2】（25-26七年级上·湖南娄底·期中）手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元）王老师当天微信收支的最终结果是（    ） 微信红包-来自王某某： 某平台商户：－ 扫二维码付给某店： A．收入元 B．支出元 C．收入元 D．支出元 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的实际应用以及有理数加法运算，关键是读懂题意，熟练掌握运算法则； 根据题意，将当日微信账单的各项收支相加并计算结果，再根据“正数表示收入，负数表示支出”即可获得答案． 【详解】解：， 即：王老师当天微信收支的最终结果是：支出元． 故选：B． 【例3】（25-26七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）某天早晨的气温是，中午上升了，则中午的气温是______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了有理数的加法的应用，根据题意可得算式，再计算即可. 【详解】解：. 所以中午的气温是. 故答案为：2. 【例4】（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期中）某股民上周五买进某公司的股票，每股18元，下表为本周内该股票的涨跌情况，则本周五收盘时，该股票每股价格是__________元 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（与前一天相比） 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数的实际意义及有理数加法运算的应用，解题的关键是理解正数和负数所代表的实际意义．根据正负数的意义，列式计算即可． 【详解】解：， 元， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某仓库周一到周五的货物进出记录如下（表示进库，表示出库，单位：吨）： (1)周二结束时，仓库货物比原来多了还是少了？多（少）多少吨？ (2)周五结束时，仓库共有货物吨，求仓库原有的货物吨数． 【答案】(1) 多了，多吨 (2) 吨 【分析】（）将周一和周二的货物变化量相加，根据结果的正负判断货物比原来多了吨； （）先算出周一到周五的总变化量，再用周五结束时的货物总量减去总变化量，得到原有货物吨数． 【详解】（1）解：∵进出记录按顺序，周一为吨，周二为吨， ∴周二结束的总变化量： 结果为正， 说明货物比原来多了，多吨； （2）解：周一到周五五天的总变化量： 说明周五结束时，货物比原来一共多了吨， ∵周五结束共有货物吨， ∴原有货物为：吨． 2．（25-26七年级上·广东中山·期末）一只机器狗从起点出发，在一条南北走向的直线道路上来回跑动，规定从起点出发向南跑动记为正数，向北跑动记为负数．该机器狗跑动的各段情况依次为：，，，，，，，（单位：米）． (1)求该机器狗跑动的总路程； (2)请问该机器狗最终处于起点的什么位置？ 【答案】(1)机器狗跑动的总路程是550米 (2)机器狗最终的位置位于起点的北方10米处 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法混合运算，绝对值，掌握相应的运算法则是关键． （1）求出各段路程的绝对值，再求出它们的和，即可作答； （2）理解题意，求出各段路程的和，即可作答． 【详解】（1）解： （米） 答：机器狗跑动的总路程是550米． （2）解： （米） 答：机器狗最终的位置位于起点的北方10米处． 3．（25-26七年级上·重庆·期中）2025年国庆期间，重庆某特色文创街区推出系列消费活动，吸引了大量游客．据统计，活动首日（10月1日）该街区的消费收入为280万元．在接下来的七天中，每天的消费收入变化（单位：万元）如下表所示（正数表示比前一天增加的金额，负数表示比前一天减少的金额）． 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 收入变化 (1)10月5日的消费收入是_____万元； (2)这7天中，哪一天消费收入最多？哪一天消费收入最少？各自是多少万元？ (3)根据上述数据，求出这7天重庆该特色文创街区的消费总收入为多少万元？ 【答案】(1)352 (2)消费收入最多的是10月4日，为358万元；消费收入最少的是10月7日，为313万元。 (3)2350 【分析】本题考查了有理数加法的应用，正确理解题意并列式计算是解题的关键． （1）10月1日的消费收入再加上2日至5日的消费收入变化量即可； （2）分别求出这7天中每一天的消费收入，即可求得答案； （3）将每一天的消费收入求和即可． 【详解】（1）解：（万元）， 所以10月5日的消费收入是352万元． 故答案为：352． （2）解：（万元）， （万元）， （万元）， （万元）， （万元）， （万元）， （万元）， ， 所以消费收入最多的是10月4日，为358万元，消费收入最少的是10月7日，为313万元； （3）解：（万元）， 答：这7天重庆该特色文创街区的消费总收入为2350万元． 【典型例题九 有理数减法的实际应用】 【例1】（2026·四川成都·一模）甲醇和甲醚都是有机物，在一个标准大气压下，甲醇和甲醚的凝固点分别约为和，则比（   ） A．低 B．高 C．低 D．高 【答案】B 【分析】本题考查有理数减法的实际应用，求一个温度比另一个温度高多少，用减法计算，利用有理数减法法则和负数比较大小的规则即可得到结果． 【详解】计算与的温差，列式得：， ∵ 减去一个数等于加上这个数的相反数， ∴ . 又∵ 负数比较大小时，绝对值更大的负数更小， 可得 ， ∴ 比 高 ． 【例2】（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）“冬至不端饺子碗，冻掉耳朵没人管”．冬至是一个很重要的节气，这一天北方地区太阳高度角达到一年中的最小值，2025年冬至达拉特旗的气温，西北风3级，空气质量优．达拉特旗这天的最高气温与最低气温的温差是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的减法运算，熟练掌握有理数减法法则（减去一个数等于加上这个数的相反数）是解题的关键． 根据温差的定义，用最高气温减去最低气温，再利用有理数的减法法则进行计算． 【详解】解：最高气温为，最低气温为， 温差 故选：B． 【例3】（25-26七年级上·全国·期末）我国地域辽阔，南北温差大．某日同一时刻杭州、海南的气温分别为，则此时这两地的温差为__________. 【答案】24 【分析】本题考查了有理数减法的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 温差是两气温之差的绝对值，即海南气温减去杭州气温． 【详解】解：根据题意，杭州气温为，海南气温为， 则温差为（）． 故答案为：． 【例4】（25-26七年级上·山西太原·期中）我国西藏地区的地形以高原为主，海拔最低的湖是巴松措，也叫措高湖，其湖面海拔约为；而新疆地区的地形以盆地为主，海拔最低的湖是吐鲁番的艾丁湖，其湖面海拔约为．这两湖湖面的高度差是________． 【答案】3634 【分析】本题考查了有理数的减法的应用，解题的关键是根据题意正确的列算式计算．根据高度差列算式求解即可． 【详解】解：两湖湖面高度差． 故答案为：3634． 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）某学习小组学生的平均身高是，方方记录了部分数据如下表． 姓名 A B C D E 身高 162 160 与平均身高的差值 (1)将上表补充完整； (2)最高与最矮的学生分别是谁？他俩身高相差多少？ 【答案】(1)见解析 (2)学生B最高，学生D最矮，他俩身高相差 【分析】本题考查正负数的应用，有理数运算的实际应用，正确的列出算式是解题的关键： （1）根据身高减去平均身高等于差值，列出算式，进行计算，补全表格即可； （2）根据表格进行判断，计算即可． 【详解】（1）解：；；；； 补全表格如下： 姓名 A B C D E 身高 162 173 160 158 168 与平均身高的差值 （2）由（1）可知，学生B最高，学生D最矮，他俩身高相差． 2．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥圆圆好帅一周的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“＋”，低于50单的部分记为“－”， 下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） －3 ＋4 －5 ＋14 －8 ＋6 ＋12 (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多多少单？ (2)求该外卖小哥这一周一共送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪60元，再加上每送一单能获得3元的酬劳，请计算外卖小哥这一周的收入． 【答案】(1)单 (2)单 (3)元 【分析】本题考查正负数的意义和有理数的混合运算，准确计算是解题的关键． （1）通过比较送餐量的增减值找出最多和最少的一天，并求差； （2）以每天50单为基准，加上总增减值得到总送餐量； （3）计算底薪和送餐酬劳的总和； 【详解】（1）送餐量最多的一天为周四，增减值为，实际送餐量为（单）； 送餐量最少的一天为周五，增减值为，实际送餐量为（单）； （单）． 这一周送餐量最多的一天比最少的一天多单． （2）总增减值为（单），基准送餐量为（单）， 总送餐量为单）； 答：该外卖小哥这一周一共送餐单． （3）底薪收入为（元），送餐酬劳为（元）， 总收入为（元）； 答：外卖小哥这一周的收入为元． 3．（25-26七年级上·北京·阶段检测）钟表中蕴含着有趣的数学运算，例如，现在是10时，4小时以后是几时？虽然，但在表盘上看到的是2时，如果用符号“”表示钟表上的加法，则． 若问3时之前5小时是几时，就得到钟表上的减法概念，用符号“”表示钟表上的减法，（注：此处用0时代替12时）根据上述材料解决下列问题： (1)___________，4__________； (2)在有理数运算中，相加得0的两个数互为相反数，如果在钟表运算中沿用这个概念，那么在小于24的数中，8的相反数有_________________； (3)已知巴黎时间的日出时间比北京时间晚六个小时，飞行时间为11个小时，则北京时间9日晚11时出发，到达巴黎时是巴黎几日几时？请用式子表示出运算过程． 【答案】(1)5；5 (2)4和16 (3)到达巴黎时是巴黎10日凌晨4时 【分析】本题主要考查了新定义，有理数加减法的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据所给的定义计算求解即可； （2）钟表上的数字12代表0时，根据钟表上的加法计算法则求出与8的和为0的数即可得到答案； （3）用北京出发的时间减去巴黎比北京晚的时间可得北京出发时巴黎当地的时间，再加上飞行时间即可得到答案． 【详解】（1） 解：由题意得，，4； （2）解：∵， ∴在小于24的数中，8的相反数有4和16； （3）解：小时，小时， 答：到达巴黎时是巴黎10日凌晨4时． 【典型例题十 有理数加减混合运算的应用】 【例1】 （25-26七年级上·北京房山·期中）某日凌晨的气温是℃，到中午上升了9℃，到午夜又下降了10℃，求午夜的气温是多少．下列算式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正负的应用，有理数的加减混合运算的应用， 根据温度变化，上升用加法，下降用减法，直接列出算式． 【详解】解：∵凌晨气温为，中午上升， ∴中午气温为； ∵午夜又下降， ∴午夜气温为． 故选：C． 【例2】（25-26七年级上·山西运城·期中）下表为小宣的妈妈从星期一到星期日测量血压时收缩压的变化情况，已知小宣的妈妈上周日的收缩压为（“+”表示血压比前一天上升，“-”表示血压比前一天下降）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 血压变化/mmHg +10 -15 +3 +8 -4 -6 +1 小宣的妈妈在本周收缩压最低的是（   ） A．星期二 B．星期三 C．星期六 D．星期日 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数在实际生活中的应用以及有理数的加减法运算．根据每天相对于前一天的收缩压变化，从上周日收缩压出发，依次计算本周每天的收缩压值，然后比较大小，找出最小值所在的日子即可求解． 【详解】设上周日收缩压为， 星期一变化， 星期一收缩压； 星期二变化， 星期二收缩压； 星期三变化， 星期三收缩压； 星期四变化， 星期四收缩压； 星期五变化， 星期五收缩压； 星期六变化， 星期六收缩压； 星期日变化， 星期日收缩压； 比较各天收缩压：， 最低收缩压在星期二， 故选：． 【例3】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）对有理数、规定一种新运算“”：，则 ____． 【答案】 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，关键是掌握新定义的运算方法．根据所得公式把，代入进行计算即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【例4】（25-26七年级上·山西晋中·阶段检测）某市客运管理部门对“十一”国庆假期七天客流变化量进行了不完全统计，数据如下表（“+”表示客流量比前一天增加，“−”表示客流量比前一天减少）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 变化/万人 若9月30日的客流量为万人，则10月6日的客流量为_____万人． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算的实际应用． 把9月30日的客流量为万人与这6天的人数变化情况相加即可求解． 【详解】解：（万人）， 10月6日的客流量为万人． 故答案为：． 1．（25-26七年级·全国·暑假作业）做数学游戏，其乐无穷，游戏规则：①每人每次抽取张卡片，如果抽到方块卡片，那么加上卡片上的数字，如果抽到阴影卡片，那么减去卡片的数字；②比较两人所抽张卡片上的计算结果，结果大的为胜者．小明抽到图中的张卡片，小丽抽到图中张卡片，你知道本次游戏的获胜者是谁吗？请说明理由． 【答案】小明获胜，理由如下： 小明的得分：， 小丽的得分：， ， 小明获胜． 【分析】根据规则分别计算出小明和小丽的计算结果，通过比较得到获胜者． 【详解】略． 2．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）某出租车驾驶员从公司出发，在东西方向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：） 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油0.1升，那么在这过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费8元，超过的部分按每千米加1.6元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？ 【答案】(1)接完第5批客人后，该驾驶员在公司的东边6千米处 (2)在这个过程中共耗油2升 (3)在这个过程中该驾驶员共收到车费49.6元 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，正负数的意义，解题的关键是熟练运用正负数的意义，掌握有理数加法及乘法运算法则． （1）根据有理数加法运算法则，结合正负数的意义即可求出答案； （2）先求出所行驶路程总和，然后再求耗油量； （3）根据题意分别求每批客人的运费，从而求解． 【详解】（1）解： 答：接完第5批客人后，该驾驶员在公司的东边6千米处； （2）（升） 答：在这个过程中共耗油2升； （3）只有第1，3，5批客人超出， （元）， 答：在这个过程中该驾驶员共收到车费49.6元． 3．（25-26七年级上·广东·期中）随着数字经济蓬勃发展，直播销售为许多特色产品打开了新市场．某南山荔枝种植户聘请专业主播鹏鹏为自家果园直播带货，下表是主播鹏鹏在荔枝季某周的销售情况（以每日50千克为标准，超额记为正，不足记为负，单位：千克）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准销售量的差值 根据以上内容回答下列问题： (1)鹏鹏在这一周的星期五到星期日，共卖出荔枝__________千克；销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售__________千克； (2)双方约定薪酬制度如下：每日完成50千克的基础销售任务，主播可获得500元的基础日薪．若超额完成任务，则超过部分每千克另奖20元；若未完成任务，则少卖的部分每千克扣30元．试求在这一周鹏鹏的总薪酬是多少元？ 【答案】(1)169 ；17 (2)3860 【分析】本题考查了正负数的实际应用与有理数的混合运算，解题的关键是根据题意准确计算每天的销量及薪酬构成． （1）先根据正负数求出星期五到星期日每天的实际销量，求和得到总销量；再找出每天的销量，计算最多与最少的差值． （2）分别计算基础日薪、超额奖励和未完成扣罚，再将三者结合求出总薪酬． 【详解】（1）解： 星期五到星期日的总销量∶ 星期五（千克） 星期六（千克） 星期日（千克） 总销量（千克） 销量最多与最少的差值∶ 星期一（千克） 星期二（千克） 星期三（千克） 星期四（千克） 销量最多的是星期六62 千克，最少的是星期三45 千克， 差值（千克） 故答案为：169；17； （2）解： 基础日薪一周7天，每天基础日薪500元，共（元）． 超额的天数及超额量∶ 星期一，奖励（元） 星期四，奖励（元） 星期六，奖励（元） 星期日，奖励（元） 超额总奖励（元） 未完成的天数及未完成量∶ 星期二，扣罚（元） 星期三，扣罚（元） 星期五，扣罚（元） 扣罚总额（元） 总薪酬（元） 总薪酬为3860元． 1．（24-25七年级·江苏盐城·阶段检测）把写成省略加号的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察所给的式子，要写成省略加号的形式，即是将式子中的括号去掉即可． 【详解】解：根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，得， ． 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握去括号的法则：括号前是正号，去括号时，括号里面的各项都不改变符号；括号前是负号，去括号时，括号里面的各项都要改变符号是解题的关键． 2．（25-26七年级上·浙江金华·期中）有A、B两个整数，A为77，B的各数位数字之和为12，的和最小为（    ） A．116 B．125 C．134 D．170 【答案】A 【分析】本题主要考查了整数的数位与大小的关系，B的各数位数字之和为12，则B至少是两位数，要使和最小，那么B只能是两位数，那么B的十位数字要最小，即B的个位数字要最大，据此确定B的值即可得到答案． 【详解】解：∵ B的各数位数字之和为12， ∴ B至少为两位数． ∵要是的和最小，且A为77， ∴当B最小时，的和最小， ∴B为两位数， ∵要满足B最小， ∴B的十位数字要最小， ∵B的各数位数字之和为12， ∴B的个位数字要最大，即为9， ∴B的十位数字为3，即B为39， ∴的和最小为， 故选：A． 3．（25-26七年级上·广东广州·期中）如图，方格中的任一行、任一列以及对角线上的数字之和相等，那么的值为（   ） A．13 B．10 C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加减法，由第一行可得每一行的和为39，继而可求出方格中心位置的空格里面的数及下面的数，即能得出的值．求出下面的空格里面的数是关键． 【详解】解：由题意，得每一行（列或对角线）的和为， ∴方格中心位置的空格里面的数为， 则下面的空格里面的数为， ∴的值为：， 故选：C． 4．（25-26七年级上·福建南平·阶段检测）下面是小梦做的一道计算题的解题过程，和代表的计算依据分别是（    ） 解： ． A．有理数减法法则、加法结合律 B．加法结合律、加法交换律 C．加法交换律、加法结合律 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，运算律，根据有理数加法法则，运算律即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∴第一步到第二步交换了加数的位置，使用了加法交换律；第二步到第三步改变了加法的分组方式，使用了加法结合律， ∴和代表的计算依据分别是加法交换律、加法结合律， 故选：． 5．（25-26七年级上·陕西汉中·阶段检测）在如图所示的九宫格中分别填入1~9不重复的9个自然数，若区域①中两个数之和为9，区域②中五个数之和为31，则阴影格子中的数可能是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减法的应用，先求得九宫格数字总和为45，再求得区域①和区域②以外的2个格子中的数字之和为5，再根据“九宫格中为从1到9不重复的9个自然数”即可求解． 【详解】解：因为九宫格数字总和为， 所以区域①和区域②以外的2个格子中的数字之和为， ∵， ∴阴影格子中数字可能是4， 故选：D． 6．（24-25七年级上·辽宁丹东·期中）计算时，再加上_____后，结果就是1． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法与减法运算，根据题目给的数据发现前一个数是后一个数的两倍，计算即可． 【详解】解： ， 即计算时，再加上后，结果就是1． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·全国·期中）（1）计算：________． （2）计算：________． 【答案】 1012 1013 【分析】本题考查有理数的加法，掌握加法结合律是解题的关键． （1）利用加法结合律计算即可； （2）利用加法结合律计算即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：1012； （2） ， 故答案为：1013． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）从图（1）中找规律，并按此规律在图（2）的空格里填上合适的数． 【答案】答案见解析 【分析】本题主要考查了有理数的加法，数字的变化类问题，仔细观察数字的分布，找到规律下面两个数的和等于上面的一个数字；进而根据图形的规律，写出答案即可． 【详解】解：观察（1）发现：， ， ， 规律为：下面两个数的和等于上面的一个数字； 根据规律得到：， ， ． 如图所示： 9．（24-25七年级上·云南红河·期末）如图，时钟的钟面上标有 1，2，3，…，12 共 12 个数，一条直线把钟面分成了两部分．请你再用一条直线分割钟面，使钟面被分成三个不同的部分，且各部分所包含的几个数的和都相等，则后分得的两个部分所包含的几个数分别是_____和_____． 【答案】 3，4，9，10 5，6，7，8 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练利用有理数的加法法则是解题的关键． 一共是12个数，分成三部分，且每部分的和相等．则应从两头分别相加，即前边取两个，后边取两个，依次相加即可． 【详解】解：如图， ∵分成三部分，且每部分的和相等， ∴三个部分的数为：；；． 故答案为： ；． 10．（24-25七年级上·河南郑州·期中）【分段计算】暑假，小豫想进行社会实践，打算找一份卖报纸的工作．在小豫居住的小镇，有两家报纸招募售报员．下面的海报显示两家报纸售报员的薪资计算方式． 快乐早报 幸 福 晚 报 想赚外快吗？ 卖我们的报纸吧！ 你的收入：一周内卖出的前240份报纸，每份报纸0.4元，之后则每份0.8元． 工时少，薪酬高！ 卖幸福晚报，一周可以赚60元． 此外，你每卖出一份报纸将额外有 0.2元的收入． （1）下列哪一个图能正确表示两家报纸的薪资计算方式？________ A、 B、 C、 D、 （2）如果小豫每周能卖出300份《快乐早报》，他能获得收入_______元． （3）假如小豫每周能卖出500份报纸，他销售_____ （填“幸福晚报”或“快乐早报”）会有更多的收入，比销售另外一种报纸可以多赚_______元． 【答案】 C 快乐早报 【分析】考查分段计算，分别计算两家报纸售卖的收入． （1）根据题意选择图表即可； （2）根据快乐早报的售报方式计算即可； （3）分别计算两种售报方式计算，然后求差即可． 【详解】（1）根据条件分析出C符合条件； （2）(元)； （3）幸福晚报：(元)， 快乐早报：(元)， 多赚：(元)． 故答案为：C；；快乐早报；． 11．（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）计算 (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式. 12．（25-26七年级上·全国·寒假作业）计算（能简算的要简算）： (1)； (2)； (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减运算及加法运算律的应用，解题的关键是利用加法交换律和结合律，将互为相反数或同分母的数结合简化计算． （1）结合互为相反数的数与同分母分数计算； （2）结合互为相反数的数简便计算； （3）将小数化分数后，结合同分母分数计算； （4）拆分带分数，结合整数部分与分数部分分别计算． 【详解】（1） （2）解： （3） （4） 13．（24-25七年级上·广西南宁·期中）有一家四口人要走过一座窄桥，窄桥一次最多只可容许两个人一起过桥，由于天色很暗，同时他们又只有一只手电筒，行人过桥时必须持有手电筒，以防止跌落水中，因此就得有人把手电筒带来带去，来回桥两端，四个人的步行速度各不相同，已知每人过桥所需要使用的时间分别为：哥哥1分钟；爸爸2分钟；妈妈5分钟；爷爷10分钟．若两人同行则以较慢者的速度为准，请问一家四口人全部过桥的总用时至少是几分钟？ 请写出你设计的方案： 第一步：______与______过桥，______回来； 第二步：______与______过桥，______回来； 第三步：______与______过桥，共耗时______分钟． 【答案】哥哥，爸爸，哥哥，妈妈，爷爷，爸爸，哥哥，爸爸，17 【分析】结合实际发现用时最少的两个人先过桥，这样他们往返送灯会节约时间是解决本题的关键，根据要求一家四口人全部过桥的总用时至少是几分钟，可以首先让用时最少的两个人先过桥，这样他们往返送灯会节约时间，进而分别分析即可解答问题． 【详解】解：让哥哥、爸爸搭配，妈妈、爷搭配比较节省时间．他们只有一个手电筒，每次又只能过两个人，所以每次过桥后，还得有一个人返回送手电筒． 为了节省时间，肯定是尽可能让速度快的人承担往返送手电筒的任务． 那么就应该让哥哥、爸爸先过桥，用时2分钟，再由哥哥返回送手电筒，需要1分钟， 然后妈妈、爷爷一起过桥，用时10分钟，接下来爸爸返回送手电筒，用时2分钟，再和哥哥一起过桥，又用时2分钟∶ 所以花费的总时间为∶ (分钟)． 设计的方案∶ 第一步∶哥哥与爸爸过桥，哥哥回来； 第二步∶妈妈与爷爷过桥，爸爸回来； 第三步∶哥哥与爸爸过桥，共耗时17分钟． 故答案为：哥哥，爸爸，哥哥，妈妈，爷爷，爸爸，哥哥，爸爸，17． 14．（24-25七年级上·河南南阳·期中）（1）把下列各式写成省略加号的和的形式，并写出它们的两种读法： （2）【我计算】请计算： 【我排序】明明在做完上题之后，对“计算”的思考过程进行了以下梳理． ①确定和的绝对值：； ②确定和的符号：计算出加数+2和-3的绝对值，分别是2和3，通过比较它们的绝对值发现，加数-3的绝对值较大，写出和的符号为“-”； ③写出计算结果； ④决定应用有理数加法法则中“异号的两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”； ⑤判断出是两个有理数相加的问题； ⑥观察两个加数的符号，发现是异号两数相加． 明明同学不小心把顺序写乱了，请你仔细阅读他的思考过程，写出正确的顺序为（只写出对应的顺序号即可）：___________ 【我会算】请计算： 【答案】（1）；读法见解析；（2）；⑤⑥④②①③；． 【分析】（1）利用有理数的加减运算法则变形得到结果，写出读法即可； （2）根据有理数的加法运算即可得到答案；根据有理数的加法法则即可排出正确的顺序；根据有理数的除法法则，先确定结果的符号，同时除法转化为乘法，再根据陈发法则计算即可得到结果． 【详解】解：（1）； 两种读法：①加减减；②、、、的和； （2）“我计算”； “我排序” 正确的顺序为⑤⑥④②①③， 答案为：⑤⑥④②①③； “我会算” ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 15．（25-26七年级上·河南南阳·期中）【问题情境】 中秋佳节，阖家团圆．中秋将至，妈妈带着乐乐为准备佳节，购买了一盒8枚月饼． 【提出问题】 回家后，妈妈要求乐乐用称重不超过100克的电子秤，结合所学知识判断这盒月饼的总质量是否合格． 【分析问题】 乐乐仔细地看了标签和包装盒上的有关说明，包装说明上标记的总质量合格标准为克，确定了以下解决方案． 【解决问题】 把8枚月饼的质量称重后统计列表如下：（单位：克） 第枚 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 69.2 70.3 70.8 69.3 69.6 70 69.3 70.8 为了简化运算，乐乐选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，他把超出部分记为正，不足部分记为负，列出下表（数据不完整）， 第枚 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 请你解答： (1)乐乐选取的这个标准质量是________克； (2)表格中________，________，________； (3)乐乐对妈妈说这盒月饼总质量是合格的，请你通过计算说明理由． 【答案】(1)； (2)，，； (3)这盒月饼总质量是合格的，理由见解析． 【分析】（1）根据题意可知，标准质量为克； （2）由标准质量为克，进行运算即可； （3）计算这盒月饼记录之和，再进行判断是否在至之间即可； 此题考查了正数和负数以及有理数的运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：对比表格可知： 标准质量为克， 故答案为：； （2）解：，，， 故答案为：，，； （3）解：∵， 则：， ∴这盒月饼总质量是合格的． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 有理数的加法与减法（4大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 有理数的加法运算 典型例题二 有理数加法中的符号问题 典型例题三 有理数加法运算律 典型例题四 有理数的减法运算 典型例题五 有理数加减混合运算 典型例题六 有理数加减中的简便运算 典型例题七 省略加法和括号的形式 典型例题八 有理数加法在生活中的应用 典型例题九 有理数减法的实际应用 典型例题十 有理数加减混合运算的应用 知识点01 有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 【即时训练】 1．（2026·江苏无锡·二模）计算的结果是（  ） A． B． C．0 D． 2．（25-26七年级上·山西太原·期末）计算的结果是__________． 知识点02 运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法交换律和加法结合律 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）加法交换律：_________． 例：_________； （2）加法结合律：_________． 例：[______+_____]． 知识点03 有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·浙江台州·期末）有理数减法运算可以转化为加法运算．对的运算进行转化，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）若，则“□”表示的数是________． 知识点04 有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）已知，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26七年级上·山东济南·期末）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． 已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，则___________． 【典型例题一 有理数的加法运算】 【例1】（2026·天津西青·一模）计算的结果等于（   ） A．5 B．1 C． D． 【例2】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）综合实践活动中，善思小组研究了二进制数的加法运算法则，如下表所示，根据二进制数的加法运算法则，计算的结果为（   ） 加数 加数 和 A． B． C． D． 【例3】（25-26七年级上·上湖北武汉·期末）计算：______． 【例4】（25-26七年级上·重庆·期中）定义一种新运算：，则的结果为__________． 1．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）计算： (1) (2) (3) 2．（2025七年级上·江苏泰州·模拟预测）文字“附、中、欢、迎 、你”表示各不相同的一个数字（数字是的整数）． (1)请写出符合下列要求的两个算式； 附 中 欢 迎 + 你 迎 你 (2)在（1）的情况下求“迎+你”的最大值． 3．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）古埃及与我国一样拥有着悠久恒远的古老文明．在古埃及为解决一碗食物分给多个人的生活问题，古埃及人发明了“埃及分数”，如写作，写作，符号中的“碗”代表分子1，“竖线”代表分母．但同时由于书写的方式，使得古埃及人对于分子不为1的分数难以表达．如需写作＋，即．现在请你帮助古埃及人用多个分数相加的方式表示出以下分数（括号内均填入不同的正整数）． (1)； (2)小明在探究时发现，可以尝试选择分母的因数对原来的分子进行拆分，再利用分数的基本性质化简后即可得到所需分数．如：． 根据以上方法，请尝试表示： ①（填写两组不同答案） ②． 【典型例题二 有理数加法中的符号问题】 【例1】（24-25七年级上·新疆伊犁·期中）如果的值是负数，则a与b的值 （     ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定是一个正数，一个负数 D．至少有一个是负数 【例2】（24-25七年级上·四川内江·阶段检测）为了计算简便，把写成省略加号的和的形式，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（2025·江苏盐城·二模）计算（＋2）＋（－3）其结果是____． 【例4】（24-25七年级上·全国·课后作业）有理数的加法法则： （1）做有理数加法时，先确定__________，再确定________．即： ①同号两数相加，取________的符号，并把________相加； ②绝对值不相等的异号两数相加，取_________的符号，并用________减去__________． （2）互为相反数的两数相加得_______；一个数与_____相加，仍得___________． 1．（2025七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)，； (2)，． (3)___________． 3．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段检测）定义一种新运算“※”，观察下面算式的规律，并解答相关问题． ， ． ， ． ， ． (1)由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值 ；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的 ． (2)计算：① ； ②． （提示：对于新运算“”，如有括号，先做括号内的运算，括号使用法则与有理数运算相同） 【典型例题三 有理数加法运算律】 【例1】（2025七年级上·全国·专题练习）下列算式中，没有运用加法交换律的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·黑龙江·单元测试）小磊在解题时，将式子先变成，再计算结果，则小磊运用了（   ） A．加法交换律 B．加法交换律和加法结合律 C．加法结合律 D．无法判断 【例3】（24-25七年级上·全国·课堂例题）计算的结果是______________． 【例4】（24-25七年级上·全国·课后作业）在下面的计算过程后面填上运用的运算律． 计算：． 解：原式（________） （________）． 1．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（25-26七年级上·北京·单元复习）阅读下列内容，并完成相关问题． 小明定义了一种新的运算，取名为※（加乘）运算．按这种运算进行运算的算式举例如下： ；； ；； ；． 问题： (1)请归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时，________．特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，________． (2)计算：．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请任选一个运算律，判断它在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） 3．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下列内容，并完成相关问题： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时， ． 特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算， ． (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？ 请分别给出你的判断，并举例验证．（每个运算律举一个例子即可） 【典型例题四 有理数的减法运算】 【例1】（2026七年级上·江西新余·专题练习）计算：（   ） A．1 B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·福建福州·期中）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为（   ） A． B． C．3.8 D． 【例3】（25-26七年级上·北京通州·期末）如果用符号表示两数中的较大者，用符号表示两数中的较小者，那么的值为________；的值为________． 【例4】 （25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）对于任意有理数，规定一种新运算：，则的值为___________ 1．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）如图是一个正方体的表面展开图，在原正方体中，相对的两个面上的数字之和为，求的值． 2．（25-26七年级上·广东河源·期中）彤彤在计算时，由于粗心，她误将看成了，从而得到的结果为． (1)请你求出所表示的数； (2)请求出此题的正确答案． 3．（25-26七年级上·山西忻州·期中）阅读下面的解题过程并解决问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） … (1)上面的计算过程中，第一步变形的依据是_____________； (2)为了计算简便，第二步应用的运算律是_____________；（用符号表示） (3)上面的计算过程，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_____________； (4)请写出正确的解答过程． 【典型例题五 有理数加减混合运算】 【例1】（2025·河北石家庄·二模）式子有下面两种读法： 读法一：负2、负1、正6与负9的和．    读法二：负2减1加6减9． 则关于这两种读法，下列说法正确的是（    ） A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都不正确 D．两种读法都正确 【例2】（24-25七年级上·广东中山·阶段检测）按如图所示的程序运算（完成一个方框内的运算后 把结果输入下一个方框继续进行运算），若输入的值为，则输出的结果是（    ） A．4 B．9 C．15 D．18 【例3】（25-26七年级上·上湖北武汉·期中）计算：____． 【例4】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，乐乐将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，则的值为_______． 1．（2025七年级上·山东·专题练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（25-26七年级上·山东德州·期中）请观察下列算式，找出规律并填空： ，，则 (1)第10个算式是： ； (2)第n个算式为： ； (3)根据以上规律解答下题：的值． 3．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）错题是最好的素材，识错和辨错能有效的检测我们的知识漏洞，纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养．仔细阅读嘉木同学进行有理数混合运算的过程并完成相应任务． 计算： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 任务：第一步将原式的减法转化为加法的依据是___________； 运算从第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________； 任务：请你写出正确的解答过程． 【典型例题六 有理数加减中的简便运算】 【例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算时运算律用得恰当的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·全国·单元复习）下面的计算运用的运算律是（　　） ． A．加法交换律 B．加法结合律 C．先用加法交换律，再用加法结合律 D．先用加法结合律，再用加法交换律 【例3】（24-25七年级上·广东江门·期中）计算：___________． 【例4】（24-25七年级上·辽宁抚顺·阶段检测）计算∶1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12……+2013+2014-2015-2016+2017+2018-2019-2020=______． 1．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)； (2) 2．（25-26七年级上·陕西延安·期中）阅读下面的文字，并回答问题： 对进行计算，我们可以用下面的方法：．这种方法称为分离带分数法． 请你运用上面的方法，计算： (1)． (2)． 3．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 【典型例题七 省略加法和括号的形式】 【例1】（25-26七年级上·福建厦门·期末）把写成省略括号和加号的形式为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）把写成省略加号的和的形式______． 【例4】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）计算时，可以利用减法法则将加减混合运算统一为加法运算，为书写简单，可以省略算式中的括号和加号，把它写为________． 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）把写成省略加号的和的形式，并把它读出来． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 3．（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）平顶山某初中数学小组学完进度章节后，对一道试题展开了讨论，请你仔细阅读并完成任务． 试题：计算：． 小明：对于这道试题我采用直接运算方法，从左到右先写成省略括号和加号的形式，之后…… 小亮：对于这类计算，我发现了一种拆项法．以这道试题为例： 原式               …… 小明：这种方法很有趣，值得推荐． …… 任务： (1)请你帮助小明把原式写成省略括号和加号的形式 ； (2)题干中横线上空缺的计算结果是 ； (3)按小亮的方法计算：． 【典型例题八 有理数加法在生活中的应用】 【例1】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）下列问题情境，不能用加法算式表示的是（   ） A．数轴上表示与10的两个点之间的距离 B．某日最低气温为，温差为，求该日的最高气温 C．用10元纸币购买2元文具后找回的零钱 D．水位先下降，再上升后的水位变化情况 【例2】（25-26七年级上·湖南娄底·期中）手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元）王老师当天微信收支的最终结果是（    ） 微信红包-来自王某某： 某平台商户：－ 扫二维码付给某店： A．收入元 B．支出元 C．收入元 D．支出元 【例3】（25-26七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）某天早晨的气温是，中午上升了，则中午的气温是______． 【例4】（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期中）某股民上周五买进某公司的股票，每股18元，下表为本周内该股票的涨跌情况，则本周五收盘时，该股票每股价格是__________元 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（与前一天相比） 1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某仓库周一到周五的货物进出记录如下（表示进库，表示出库，单位：吨）： (1)周二结束时，仓库货物比原来多了还是少了？多（少）多少吨？ (2)周五结束时，仓库共有货物吨，求仓库原有的货物吨数． 2．（25-26七年级上·广东中山·期末）一只机器狗从起点出发，在一条南北走向的直线道路上来回跑动，规定从起点出发向南跑动记为正数，向北跑动记为负数．该机器狗跑动的各段情况依次为：，，，，，，，（单位：米）． (1)求该机器狗跑动的总路程； (2)请问该机器狗最终处于起点的什么位置？ 3．（25-26七年级上·重庆·期中）2025年国庆期间，重庆某特色文创街区推出系列消费活动，吸引了大量游客．据统计，活动首日（10月1日）该街区的消费收入为280万元．在接下来的七天中，每天的消费收入变化（单位：万元）如下表所示（正数表示比前一天增加的金额，负数表示比前一天减少的金额）． 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 收入变化 (1)10月5日的消费收入是_____万元； (2)这7天中，哪一天消费收入最多？哪一天消费收入最少？各自是多少万元？ (3)根据上述数据，求出这7天重庆该特色文创街区的消费总收入为多少万元？ 【典型例题九 有理数减法的实际应用】 【例1】（2026·四川成都·一模）甲醇和甲醚都是有机物，在一个标准大气压下，甲醇和甲醚的凝固点分别约为和，则比（   ） A．低 B．高 C．低 D．高 【例2】（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）“冬至不端饺子碗，冻掉耳朵没人管”．冬至是一个很重要的节气，这一天北方地区太阳高度角达到一年中的最小值，2025年冬至达拉特旗的气温，西北风3级，空气质量优．达拉特旗这天的最高气温与最低气温的温差是（   ） A． B． C． D． 【例3】（25-26七年级上·全国·期末）我国地域辽阔，南北温差大．某日同一时刻杭州、海南的气温分别为，则此时这两地的温差为__________. 【例4】（25-26七年级上·山西太原·期中）我国西藏地区的地形以高原为主，海拔最低的湖是巴松措，也叫措高湖，其湖面海拔约为；而新疆地区的地形以盆地为主，海拔最低的湖是吐鲁番的艾丁湖，其湖面海拔约为．这两湖湖面的高度差是________． 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）某学习小组学生的平均身高是，方方记录了部分数据如下表． 姓名 A B C D E 身高 162 160 与平均身高的差值 (1)将上表补充完整； (2)最高与最矮的学生分别是谁？他俩身高相差多少？ 2．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥圆圆好帅一周的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“＋”，低于50单的部分记为“－”， 下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） －3 ＋4 －5 ＋14 －8 ＋6 ＋12 (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多多少单？ (2)求该外卖小哥这一周一共送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪60元，再加上每送一单能获得3元的酬劳，请计算外卖小哥这一周的收入． 3．（25-26七年级上·北京·阶段检测）钟表中蕴含着有趣的数学运算，例如，现在是10时，4小时以后是几时？虽然，但在表盘上看到的是2时，如果用符号“”表示钟表上的加法，则． 若问3时之前5小时是几时，就得到钟表上的减法概念，用符号“”表示钟表上的减法，（注：此处用0时代替12时）根据上述材料解决下列问题： (1)___________，4__________； (2)在有理数运算中，相加得0的两个数互为相反数，如果在钟表运算中沿用这个概念，那么在小于24的数中，8的相反数有_________________； (3)已知巴黎时间的日出时间比北京时间晚六个小时，飞行时间为11个小时，则北京时间9日晚11时出发，到达巴黎时是巴黎几日几时？请用式子表示出运算过程． 【典型例题十 有理数加减混合运算的应用】 【例1】 （25-26七年级上·北京房山·期中）某日凌晨的气温是℃，到中午上升了9℃，到午夜又下降了10℃，求午夜的气温是多少．下列算式正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·山西运城·期中）下表为小宣的妈妈从星期一到星期日测量血压时收缩压的变化情况，已知小宣的妈妈上周日的收缩压为（“+”表示血压比前一天上升，“-”表示血压比前一天下降）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 血压变化/mmHg +10 -15 +3 +8 -4 -6 +1 小宣的妈妈在本周收缩压最低的是（   ） A．星期二 B．星期三 C．星期六 D．星期日 【例3】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）对有理数、规定一种新运算“”：，则 ____． 【例4】（25-26七年级上·山西晋中·阶段检测）某市客运管理部门对“十一”国庆假期七天客流变化量进行了不完全统计，数据如下表（“+”表示客流量比前一天增加，“−”表示客流量比前一天减少）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 变化/万人 若9月30日的客流量为万人，则10月6日的客流量为_____万人． 1．（25-26七年级·全国·暑假作业）做数学游戏，其乐无穷，游戏规则：①每人每次抽取张卡片，如果抽到方块卡片，那么加上卡片上的数字，如果抽到阴影卡片，那么减去卡片的数字；②比较两人所抽张卡片上的计算结果，结果大的为胜者．小明抽到图中的张卡片，小丽抽到图中张卡片，你知道本次游戏的获胜者是谁吗？请说明理由． 2．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）某出租车驾驶员从公司出发，在东西方向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：） 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油0.1升，那么在这过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费8元，超过的部分按每千米加1.6元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？ 3．（25-26七年级上·广东·期中）随着数字经济蓬勃发展，直播销售为许多特色产品打开了新市场．某南山荔枝种植户聘请专业主播鹏鹏为自家果园直播带货，下表是主播鹏鹏在荔枝季某周的销售情况（以每日50千克为标准，超额记为正，不足记为负，单位：千克）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准销售量的差值 根据以上内容回答下列问题： (1)鹏鹏在这一周的星期五到星期日，共卖出荔枝__________千克；销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售__________千克； (2)双方约定薪酬制度如下：每日完成50千克的基础销售任务，主播可获得500元的基础日薪．若超额完成任务，则超过部分每千克另奖20元；若未完成任务，则少卖的部分每千克扣30元．试求在这一周鹏鹏的总薪酬是多少元？ 1．（24-25七年级·江苏盐城·阶段检测）把写成省略加号的形式是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江金华·期中）有A、B两个整数，A为77，B的各数位数字之和为12，的和最小为（    ） A．116 B．125 C．134 D．170 3．（25-26七年级上·广东广州·期中）如图，方格中的任一行、任一列以及对角线上的数字之和相等，那么的值为（   ） A．13 B．10 C．9 D．6 4．（25-26七年级上·福建南平·阶段检测）下面是小梦做的一道计算题的解题过程，和代表的计算依据分别是（    ） 解： ． A．有理数减法法则、加法结合律 B．加法结合律、加法交换律 C．加法交换律、加法结合律 D．无法确定 5．（25-26七年级上·陕西汉中·阶段检测）在如图所示的九宫格中分别填入1~9不重复的9个自然数，若区域①中两个数之和为9，区域②中五个数之和为31，则阴影格子中的数可能是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 6．（24-25七年级上·辽宁丹东·期中）计算时，再加上_____后，结果就是1． 7．（25-26七年级上·全国·期中）（1）计算：________． （2）计算：________． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）从图（1）中找规律，并按此规律在图（2）的空格里填上合适的数． 9．（24-25七年级上·云南红河·期末）如图，时钟的钟面上标有 1，2，3，…，12 共 12 个数，一条直线把钟面分成了两部分．请你再用一条直线分割钟面，使钟面被分成三个不同的部分，且各部分所包含的几个数的和都相等，则后分得的两个部分所包含的几个数分别是_____和_____． 10．（24-25七年级上·河南郑州·期中）【分段计算】暑假，小豫想进行社会实践，打算找一份卖报纸的工作．在小豫居住的小镇，有两家报纸招募售报员．下面的海报显示两家报纸售报员的薪资计算方式． 快乐早报 幸 福 晚 报 想赚外快吗？ 卖我们的报纸吧！ 你的收入：一周内卖出的前240份报纸，每份报纸0.4元，之后则每份0.8元． 工时少，薪酬高！ 卖幸福晚报，一周可以赚60元． 此外，你每卖出一份报纸将额外有 0.2元的收入． （1）下列哪一个图能正确表示两家报纸的薪资计算方式？________ A、 B、 C、 D、 （2）如果小豫每周能卖出300份《快乐早报》，他能获得收入_______元． （3）假如小豫每周能卖出500份报纸，他销售_____ （填“幸福晚报”或“快乐早报”）会有更多的收入，比销售另外一种报纸可以多赚_______元． 11．（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）计算 (1)； (2)． (3) (4) 12．（25-26七年级上·全国·寒假作业）计算（能简算的要简算）： (1)； (2)； (3)． (4)． 13．（24-25七年级上·广西南宁·期中）有一家四口人要走过一座窄桥，窄桥一次最多只可容许两个人一起过桥，由于天色很暗，同时他们又只有一只手电筒，行人过桥时必须持有手电筒，以防止跌落水中，因此就得有人把手电筒带来带去，来回桥两端，四个人的步行速度各不相同，已知每人过桥所需要使用的时间分别为：哥哥1分钟；爸爸2分钟；妈妈5分钟；爷爷10分钟．若两人同行则以较慢者的速度为准，请问一家四口人全部过桥的总用时至少是几分钟？ 请写出你设计的方案： 第一步：______与______过桥，______回来； 第二步：______与______过桥，______回来； 第三步：______与______过桥，共耗时______分钟． 14．（24-25七年级上·河南南阳·期中）（1）把下列各式写成省略加号的和的形式，并写出它们的两种读法： （2）【我计算】请计算： 【我排序】明明在做完上题之后，对“计算”的思考过程进行了以下梳理． ①确定和的绝对值：； ②确定和的符号：计算出加数+2和-3的绝对值，分别是2和3，通过比较它们的绝对值发现，加数-3的绝对值较大，写出和的符号为“-”； ③写出计算结果； ④决定应用有理数加法法则中“异号的两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”； ⑤判断出是两个有理数相加的问题； ⑥观察两个加数的符号，发现是异号两数相加． 明明同学不小心把顺序写乱了，请你仔细阅读他的思考过程，写出正确的顺序为（只写出对应的顺序号即可）：___________ 【我会算】请计算： 15．（25-26七年级上·河南南阳·期中）【问题情境】 中秋佳节，阖家团圆．中秋将至，妈妈带着乐乐为准备佳节，购买了一盒8枚月饼． 【提出问题】 回家后，妈妈要求乐乐用称重不超过100克的电子秤，结合所学知识判断这盒月饼的总质量是否合格． 【分析问题】 乐乐仔细地看了标签和包装盒上的有关说明，包装说明上标记的总质量合格标准为克，确定了以下解决方案． 【解决问题】 把8枚月饼的质量称重后统计列表如下：（单位：克） 第枚 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 69.2 70.3 70.8 69.3 69.6 70 69.3 70.8 为了简化运算，乐乐选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，他把超出部分记为正，不足部分记为负，列出下表（数据不完整）， 第枚 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 请你解答： (1)乐乐选取的这个标准质量是________克； (2)表格中________，________，________； (3)乐乐对妈妈说这盒月饼总质量是合格的，请你通过计算说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $