9.1 单项式乘单项式·导学案（探究课）（第一课时）学案 2025-2026学年苏科版数学七年级下册·

该初中数学导学案以“单项式乘单项式”为核心概念，通过明确运算步骤描述、规律判断、基础练习及生活解释等学习目标，依托预习导航、探究新知、典例精析等模块递进，构建从旧知回顾到新知应用的完整学习路径，体现知识建构的系统性与连贯性。 亮点在于“长方体沙坑体积计算”的数学建模探究活动，学生小组合作完成单项式表示长宽高、计算体积及数值代入，培养模型意识与应用意识。“找茬游戏”强化混合运算法则区分，提升运算能力与推理意识。每模块设易错提醒与反思总结，为教师教学提供精准指导，助力学生深度学习与能力发展。

2025-2026学年·初中数学·苏科版·七年级下册·第9章 整式乘法与因式分解 9.1 单项式乘单项式·导学案（探究课）（第一课时） 【模块一 学习目标】 通过本课学习，我能： 1. 用具体例子说出单项式乘单项式运算的步骤，不遗漏任何一个环节； 2. 准确判断运算结果中系数和字母指数的变化规律，并用规范的数学符号写出来； 3. 独立完成课本基础练习题，正确率不低于85%； 4. 在小组讨论中，至少能用一个生活实例解释单项式乘法法则的合理性。 【模块二 预习导航】 一、回顾旧知 请默写同底数幂的乘法法则（文字语言和字母表达式）： 二、尝试新知 观察式子 3a²·2a³，你能否将它写成乘积的形式？试着算一算，并写出每一步的依据。 三、联系生活 小明在计算一个正方形花坛的面积时，花坛边长是 3x 米，他算出的面积是 6x 平方米。你认为他算对了吗？如果不对，正确的面积应是多少？把你的思考过程写出来。 （预习中遇到的疑问，标注出来，上课时重点听。） 【模块三 探究新知】 一、知识点梳理 1. 单项式乘单项式的运算步骤 咱们从具体式子开始探究。计算 2x²·3x³时，第一步先把系数和字母分开看：系数2和3相乘得6，字母部分x²·x³根据同底数幂乘法法则得x⁵，结果就是6x⁵。说到底就是“系数乘系数，同底字母指数加”。 【关键点】系数相乘时注意符号。负号参与运算，别丢掉。比如 -2a·3b，系数相乘得 -6，结果 -6ab。 【注意】如果单项式中有多个不同字母，相同字母的指数才能相加。比如 2x²y·3xy³中，x的指数2+1=3，y的指数1+3=4，结果 6x³y⁴。 2. 运算顺序的规范 有三个或更多单项式连乘时，从左到右依次算，或者先把所有系数相乘、所有同底字母指数相加，一步到位。拿 2a·(-3a²)·a³来说，系数2×(-3)×1=-6，a的指数1+2+3=6，结果 -6a⁶。哪种方法熟练用哪种，但步骤要在草稿纸上理清楚。 【要牢记】指数相加时，单个字母的指数是1，不是0。这是上次考试里超过30%同学丢分的地方——漏掉指数1。 3. 底数不同的字母如何处理 遇到x和y这种不同底数，各算各的，互不干扰。比如 2x²·5y³，x和y底数不同，直接写成 10x²y³就行。但如果是 2x²·5x³y，x的指数合并成5，y单独保留，结果 10x⁵y。 【提醒】别把不同字母的指数乱加，课堂练习时有同学把x²y·xy²算成x³y³，这没错；但算成x⁴y⁴就错了——y的指数2+1=3，不是2+2。 二、重难点突破 【重点】单项式乘法法则的准确运用 学生在学单项式乘单项式时，最常出现的问题是：系数相乘忘记符号、指数相加遗漏单个字母的指数1、不同底字母指数混加。具体来说，错误主要集中在三个地方： 第一，负系数处理不当。比如 -2x·(-3x²)，有学生系数得 -5（负负得正没反应过来），正确结果是 6x³。第二，遗漏指数1。3a·2a²b，有学生把a的指数算成0+2=2，漏掉第一个a的指数1，结果写成6a²b，正确答案是6a³b。第三，运算跳步。急于求成，系数和字母混在一起算，导致漏乘或重复。 解决策略：强制要求所有学生解题时分两步写——第1步写系数乘积，第2步写同底字母指数和。坚持两周，养成习惯再简化步骤。课堂上我会随机点3-4名同学上黑板写完整步骤。 【难点】含幂的乘方与单项式乘法的混合运算 难点在于学生容易混淆运算法则。比如计算 (2x²)³·3x 时，第一步需要先算幂的乘方 (2x²)³=8x⁶，再进行单项式乘法 8x⁶·3x=24x⁷。部分学生直接用2³·3=24，x²⁺¹=x³，得到24x³，漏了指数累乘这一步。 突破方法：课堂上设计一个5分钟的“找茬游戏”。我投影出5道含幂的乘方与单项式乘法混合算式，其中有的是正确解答，有的故意犯错。学生两人一组讨论，用红笔圈出有错的步骤，并写出纠正过程。找错最多且纠正正确的小组获得“火眼金睛”称号（口头表扬）。这个活动能让学生在纠错中强化法则区分的意识，比反复讲法则有效得多。如果课时紧张，这个环节压缩到3分钟，只投影3道题，但必须保留小组讨论纠错的核心部分。 三、课堂探究活动 【数学建模探究】用单项式乘法表示立体图形的体积 情境创设：学校要在操场角落建一个长方体沙坑，长、宽、高分别是3a米、2b米、c米。施工前需要计算沙坑的体积，以便预算用沙量。 探究任务：请同学们以四人小组为单位，完成以下三个任务—— 任务1：用单项式写出沙坑的长、宽、高； 任务2：列式并计算沙坑的体积（结果用单项式表示）； 任务3：如果实际测量后，a=2, b=1.5, c=1，计算出沙坑体积的具体数值。 学生展示与反馈：随机抽两个小组代表上黑板板书计算过程，其他组同学对照自己的结果，找差异并点评。老师最后总结：体积模型是三项单项式连乘——系数3×2×1=6，字母部分a¹b¹c¹各出现一次，结果6abc。代入具体数值时，先代入再算乘法，6×2×1.5×1=18立方米。有同学可能会问：为什么不能先算abc再乘6？其实两种顺序都可以，但代入时一定要写清楚数字替换了哪个字母，避免混乱。 教学挫折实录：上次在这个环节，有学生把沙坑的长3a直接写成面积，理解成“长×宽的一半”，完全偏离了题意。这说明读题不仔细。这次我会在投影题目时，用黄色高亮标注“长方体”“长、宽、高”三个关键词，并让学生齐读一遍后再开始讨论。 【板书设计】 课题：9.1单项式乘单项式 法则：单项式乘以单项式，把系数相乘，同底数幂的指数相加，不同底数字母照写。 示例：2x²·3x³=（2×3）·（x²⁺³）=6x⁵ 步骤：①系数相乘（注意符号）②同底字母指数相加 ③整理结果 易错提醒：指数1不遗漏 / 负号参与运算 / 不同底数不相加 【模块四 典例精析】 例1 计算：(-4x²y)·(3xy³) 分析：这是两个单项式相乘。系数-4和3相乘得-12，x的指数2+1=3，y的指数1+3=4。运算时不跳步，分系数字母两步走。 解答： (-4x²y)·(3xy³) = (-4×3)·(x²⁺¹)·(y¹⁺³) = -12x³y⁴ 方法总结：有负号的单项式乘法，系数运算要格外仔细。我的口诀是“负负得正，负正得负，系数先算，字母跟上”。 例2 计算：(5a³)²·(-2a²) 分析：这道题含幂的乘方。先算 (5a³)²，根据幂的乘方法则，系数5²=25，a的指数3×2=6，得25a⁶。再与-2a²相乘。 解答： (5a³)²·(-2a²) = 25a⁶·(-2a²) = [25×(-2)]·a⁶⁺² = -50a⁸ 方法总结：遇到混合运算，先处理括号内的内容，幂的乘方算完再乘法。如果一步跳过去，指数容易漏乘，这是考试丢分重灾区。宁可多写一行，也要把中间结果写清楚。 例3 计算：(-a)³·(2a²b)²·(ab) 分析：三个单项式连乘。先解决每个单项式的幂运算：(-a)³系数(-1)³=-1，a的指数1×3=3，得-a³；(2a²b)²系数2²=4，a的指数2×2=4，b的指数1×2=2，得4a⁴b²。最后三个单项式相乘。 解答： (-a)³·(2a²b)²·(ab) = (-a³)·(4a⁴b²)·(ab) = (-1×4×1)·(a³⁺⁴⁺¹)·(b²⁺¹) = -4a⁸b³ 方法总结：三项连乘同样遵循“系数全乘、同底指数全加”。注意符号，奇数个负号结果还是负的。 【模块五 当堂检测】 （本检测基础题占60%，考查法则基本运用；提高题占40%，考查混合运算能力。限时15分钟。） 一、必做题（直接写出结果，每题4分，共24分） 1. 3a·4a² = __ 2. (-2x)·5x³y = __ 3. (4m²n)·(-3mn²) = __ 4. x²·x³·x = __ 5. (-y)²·(2y³) = __ 6. (2a²)³·a = __ 二、选做题（写出完整步骤，每题8分，共16分） 7. 计算：(-3x²y)²·(2xy³)³ 8. 一个长方形的长是 (2x)² 米，宽是 3x³ 米，求这个长方形的面积，并用单项式表示。 （检测完毕后，同桌交换批改，用红笔标注错误处。答案见模块六。） 【模块六 参考答案与解析】 一、必做题 1. 3a·4a² = 12a³ 解析：系数3×4=12，a的指数1+2=3。注意a的指数1不能漏。 2. (-2x)·5x³y = -10x⁴y 解析：系数-2×5=-10，x的指数1+3=4，y单独保留。 3. (4m²n)·(-3mn²) = -12m³n³ 解析：系数4×(-3)=-12，m的指数2+1=3，n的指数1+2=3。 4. x²·x³·x = x⁶ 解析：系数全是1，省略不写，x的指数2+3+1=6。单个x的指数是1，这里最容易漏。 5. (-y)²·(2y³) = 2y⁵ 解析：(-y)²中，系数(-1)²=1，y的指数1×2=2，得y²；再乘以2y³，系数1×2=2，y的指数2+3=5。 6. (2a²)³·a = 8a⁷ 解析：(2a²)³中，系数2³=8，a的指数2×3=6，得8a⁶；再乘a（指数1），a的指数6+1=7。 二、选做题 7. 解：(-3x²y)²·(2xy³)³ = 9x⁴y² · 8x³y⁹ （先分别算两个幂运算） = (9×8)·(x⁴⁺³)·(y²⁺⁹) = 72x⁷y¹¹ 解析：第一步幂运算必须准确。(-3)²=9（负号平方变正），x的指数2×2=4，y的指数1×2=2。第二个括号系数2³=8，x的指数1×3=3，y的指数3×3=9。第二步单项式乘法，系数9×8=72，x指数4+3=7，y指数2+9=11。常见错误：(-3)²算成-9，或者y的指数2+9算成11时写错。 8. 解：长方形面积 = 长 × 宽 = (2x)²·3x³ = 4x²·3x³ = (4×3)·(x²⁺³) = 12x⁵ 答：长方形的面积用单项式表示为 12x⁵ 平方米。 解析：先算幂 (2x)²得4x²，再与3x³相乘。注意 (2x)² 不是2x²，系数2也要平方。 【模块七 反思总结】 请同学们独立回答以下三个问题： 问题1：今天学的单项式乘单项式法则中，系数、同底字母指数、不同底字母各怎么处理？用自己的话写出来，尽量不翻书。 问题2：在刚才的练习中，我在哪一步出错了？（写具体某道题的某一步）这个错误属于什么类型——符号失误？指数1遗漏？还是幂运算出错？ 如果全对，也请写一句：“我全对，而且我能用生活例子解释法则——比如……（举个例子）” 问题3：下节课我们将学习单项式乘多项式，你觉得今天的法则哪些部分会继续用到？试着猜测一下，并标注你最担心出错的地方。 （写完后，小组内交换看一看，互相补充。组长收集典型错误和困惑交给课代表，老师下节课前5分钟针对性解答。） 学科网（北京）股份有限公司 $