8.2单项式乘多项式导学案2025-2026学年苏科版七年级数学下册

《单项式乘多项式》导学案 【教学内容分析】 单项式乘多项式是整式乘法的重要内容，是在掌握单项式乘单项式、乘法分配律基础上的延伸学习，更是后续学习多项式乘多项式、因式分解、分式运算的核心铺垫。本节课重点突破“符号运算” “漏乘项” “同类项合并”三大易错点，通过分层探究、变式练习，帮助学生熟练掌握运算法则，提升运算准确率与数学应用能力，进一步理解“转化”的数学思想，培养严谨的解题习惯。 本节课以“复习巩固—变式探究—易错突破—综合应用”为主线，结合具体例题与生活实例，引导学生在练习中深化对法则的理解，规范运算步骤，灵活解决各类相关问题，弥补基础薄弱点，强化知识应用能力。 【学习目标】 1. 进一步理解单项式乘多项式的运算法则，能准确、熟练地运用法则进行各类单项式与多项式的乘法运算，杜绝漏乘、符号错误等问题。 1. 掌握单项式乘多项式的易错点辨析方法，能快速识别运算中的错误并改正，提升运算的规范性与准确率。 1. 能运用单项式乘多项式的知识解决几何图形、代数式求值、实际应用等综合问题，体会数学与生活的联系，增强数学应用意识。 1. 进一步体会“转化”的数学思想，能灵活将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式运算，培养观察、分析、推理及解决问题的能力。 【学习重点】 1. 熟练运用单项式乘多项式法则进行规范运算，确保步骤完整、符号正确、结果最简。 1. 掌握易错点辨析方法，能快速纠正运算中的常见错误（漏乘、符号错误、同底数幂运算错误）。 1. 运用法则解决几何图形、实际应用等综合问题，规范书写解题过程。 【学习难点】 1. 运算中准确处理符号问题，尤其当单项式为负数、多项式含负项时，能精准判断符号，避免符号错误。 1. 多个单项式乘多项式混合运算时，能准确把握运算顺序，熟练合并同类项，确保运算结果最简。 1. 能将实际问题准确转化为代数式运算，理清数量关系，规范标注单位并完整作答，提升应用能力。 【课前预习·巩固复习】 1. 回顾核心知识，完成填空，夯实基础： （1）单项式乘多项式的法则：用________去乘________的每一项，再把所得的积________； （2）字母表示法则：m(a + b - c) = ________ （其中m是单项式，a + b - c是多项式）； （3）乘法分配律：-2(a - b + c) = ________； （4）同底数幂相乘法则：x³·x² = ________，(-a)·a² = ________， 2x²·(-3x³) = ________。 1. 计算下列各式（结果化为最简，规范书写解题步骤）： （1）3x·(2x² - 5x) （2）(-2xy)·(x - y + 3) （3）-a·(a² + 2a - 1) （4）4x²·(x³ - x + 2) 1. 思考：运算过程中，你最容易出现的错误是什么？结合自身情况，说说如何避免这些错误。 【课堂探究·变式突破】 探究一：符号专项突破（重点易错） 1. 小组合作完成下列计算，重点关注符号运算，规范书写每一步解题步骤： （1） (-3x)·(2x² - 4x + 1) （2） （2）-2a²·(-a + 3a² - 4) （3） xy·(-x²y - xy² + 5) （4） （4）-5m·(m² - 2m - 3) 1. 小组讨论，总结规律： （1）当单项式为负数时，符号运算的规律是什么？ （2）当多项式中含有多个负项时，如何避免符号混淆？ 1. 方法总结：符号运算“三注意” ① 单项式带负号时，乘多项式的每一项都要变号，严格遵循“负负得正，正负得负”的运算规律； ② 多项式中的负项，要连同其符号一起与单项式相乘，切勿遗漏符号； ③ 运算完成后，务必检查每一项的符号，确保符合运算规则，杜绝符号错误。 探究二：混合运算专项（提升型） 1. 小组合作完成下列混合运算题，注意把握运算顺序，准确合并同类项，规范书写解题步骤： （1）2x·(3x² - 4x) - 5x²·(x - 1) （2）(-3ab)·(2a²b - ab²) + 4ab·(ab² - a²b) （3）-x·(x² + 2x - 3) + 3x·(x² - x) （4）2a·(a² - 3a + 2) - a·(2a² - 6a + 4) 1. 小组讨论，明确方法： （1）多个单项式乘多项式混合运算的顺序是什么？ （2）合并同类项时，如何快速区分同类项，避免系数计算错误？ 1. 易错提醒：混合运算“两步走” ① 先算每个单项式乘多项式，得到多个积的形式； ② 再合并同类项，合并时仅计算系数，字母及其指数保持不变，杜绝“字母指数相加”的错误。 探究三：综合应用专项（应用型） 1. 小组合作解决下列综合问题，规范书写解题过程，确保步骤完整、标注单位： （1）一个长方形的长为(3x - 2)厘米，宽为2x厘米，求这个长方形的面积（用含x的代数式表示）；若x = 3，求长方形的实际面积。 （2）一个长方体的长为2x，宽为x，高为(x + 1)，求这个长方体的表面积和体积（用含x的代数式表示，结果化为最简）。 （3）已知一个多项式为2x² - 3x + 4，将其乘以单项式-3x，求所得的积，并求当x = 2时，积的值。 1. 讨论交流：解决综合问题时，如何快速理清数量关系？解题过程中需要注意哪些细节？ 解题要点：① 审题时圈出关键条件，明确数量关系（如面积、体积公式）；② 列式时注重符号规范和运算顺序；③ 代入求值前先化简代数式，简化计算过程；④ 结果必须标注单位，做到完整作答。 【课堂练习·分层巩固】 基础题（巩固法则） 1. 判断下列计算是否正确，对的打“√”，错的打“×”并改正错误： （1）4x·(x² - 2x) = 4x³ - 8x （ ） 改正：________________ （2）(-2a)·(3a² + 4a) = -6a³ - 8a² （ ） 改正：________________ （3）3xy·(x²y - xy) = 3x³y² - 3x²y² （ ） 改正：________________ 1. 计算下列各式，将结果化为最简形式： （1）5x·(x² - 3x + 2) （2）(-3ab)·(a²b - 2ab) （3）-2x²·(2x - 5) （4）xy·(x - y - 1) 提升题（突破易错） 1. 计算下列混合运算，注意运算顺序，确保结果最简： （1）3x·(2x² - 4x) - 2x²·(3x - 5) （2）(-4ab)·(ab² - 2a²b) + 5ab·(a²b - ab²) （3）-x·(x² + 5x - 6) + 4x·(x² - x + 1) 综合题（应用提升） 1. 解决下列实际问题，规范书写解题过程，标注单位并完整作答： （1）一个平行四边形的底为(2x + y)米，高为3x米，求这个平行四边形的面积（用含x、y的代数式表示）；若x = 2，y = 1，求实际面积。 （2）已知单项式-2x与多项式x² - 3x + k相乘的积中，不含x²项，求k的值。 【参考答案】 【课前预习·巩固复习】 1. （1）单项式；多项式；相加；（2）ma + mb - mc；（3）-2a + 2b - 2c；（4）x⁵；-a³；-6x⁵ 1. （1）解：3x·2x² - 3x·5x = 6x³ - 15x²；（2）解：(-2xy)·x - (-2xy)·y + (-2xy)·3 = -2x²y + 2xy² - 6xy； （3）解：-a·a² - a·2a + (-a)·(-1) = -a³ - 2a² + a；（4）解：4x²·x³ - 4x²·x + 4x²·2 = 4x⁵ - 4x³ + 8x² 1. （答案不唯一）示例：易错点为漏乘多项式的常数项、符号判断失误；避免方法：运算时逐项相乘，标记每一项的符号，运算后仔细检查，养成严谨的解题习惯。 【课堂探究·变式突破】 探究一： 1. （1）解：(-3x)·2x² - (-3x)·4x + (-3x)·1 = -6x³ + 12x² - 3x； （2）解：-2a²·(-a) + (-2a²)·3a² + (-2a²)·(-4) = 2a³ - 6a⁴ + 8a²； （3）解：xy·(-x²y) - xy·xy² + xy·5 = -x³y² - x²y³ + 5xy； （4）解：-5m·m² - (-5m)·2m - (-5m)·3 = -5m³ + 10m² + 15m 探究二： 1. （1）解：2x·3x² - 2x·4x - 5x²·x + 5x²·1 = 6x³ - 8x² - 5x³ + 5x² = x³ - 3x²； （2）解：(-3ab)·2a²b - (-3ab)·ab² + 4ab·ab² - 4ab·a²b = -6a³b² + 3a²b³ + 4a²b³ - 4a³b² = -10a³b² + 7a²b³； （3）解：-x·x² - x·2x + (-x)·(-3) + 3x·x² - 3x·x = -x³ - 2x² + 3x + 3x³ - 3x² = 2x³ - 5x² + 3x； （4）解：2a·a² - 2a·3a + 2a·2 - a·2a² + a·6a - a·4 = 2a³ - 6a² + 4a - 2a³ + 6a² - 4a = 0 探究三： 1. （1）解：面积 = 长×宽 = 2x·(3x - 2) = 2x·3x - 2x·2 = 6x² - 4x（平方厘米）；当x = 3时，6×3² - 4×3 = 54 - 12 = 42（平方厘米）。答：长方形的面积为(6x² - 4x)平方厘米，实际面积为42平方厘米； （2）解：表面积 = 2(长×宽 + 长×高 + 宽×高) = 2[2x·x + 2x·(x + 1) + x·(x + 1)] = 2[2x² + 2x² + 2x + x² + x] = 2[5x² + 3x] = 10x² + 6x（平方厘米）；体积 = 长×宽×高 = 2x·x·(x + 1) = 2x²·(x + 1) = 2x³ + 2x²（立方厘米）。答：长方体的表面积为(10x² + 6x)平方厘米，体积为(2x³ + 2x²)立方厘米； （3）解：积 = (-3x)·(2x² - 3x + 4) = (-3x)·2x² - (-3x)·3x + (-3x)·4 = -6x³ + 9x² - 12x；当x = 2时，-6×2³ + 9×2² - 12×2 = -48 + 36 - 24 = -36。答：所得的积为(-6x³ + 9x² - 12x)，当x = 2时，积的值为-36。 【课堂练习·分层巩固】 1. （1）×；改正：4x·x² - 4x·2x = 4x³ - 8x²；（2）√；（3）√ 1. （1）5x³ - 15x² + 10x；（2）-3a³b² + 6a²b²；（3）-4x³ + 10x²；（4）x²y - xy² - xy 1. （1）6x³ - 12x² - 6x³ + 10x² = -2x²；（2）-4a²b³ + 8a³b² + 5a³b² - 5a²b³ = 13a³b² - 9a²b³；（3）-x³ - 5x² + 6x + 4x³ - 4x² + 4x = 3x³ - 9x² + 10x 1. （1）解：面积 = 底×高 = 3x·(2x + y) = 6x² + 3xy（平方米）；当x = 2，y = 1时，6×2² + 3×2×1 = 24 + 6 = 30（平方米）。答：平行四边形的面积为(6x² + 3xy)平方米，实际面积为30平方米； （2）解：(-2x)·(x² - 3x + k) = -2x³ + 6x² - 2kx；题目要求积中不含x²项，则x²项的系数必须为0，即6 = 0，该等式不成立，因此不存在满足条件的实数k。（注：题目可优化为“不含x项”，此时-2k = 0，解得k = 0，供参考） 学科网（北京）股份有限公司 $