专题04 立体几何初步（期末复习课件）高一数学下学期人教A版

这是一份高一数学下学期期末复习课件，围绕立体几何初步展开，涵盖考情分析、必备知识梳理、重难点题型突破及分层验收，系统覆盖基本图形、表面积体积、空间位置关系等核心考点，为学生提供完整学习支架。 资料特色突出核心素养，通过结构特征辨析培养空间观念，以证明题和计算题发展推理能力，结合斜二测画法、最短路径等实例提升应用意识，分层练习助力因材施教，帮助高一学生适应立体几何学习，夯实基础突破难点，也为教师教学提供清晰框架与实用资源。

函学科网·上好课 人教A版 期未复习大串讲 高一数学下学期 专题04立体几何初步 明期末考情 记必备知识 破·重难题型 过•分层验收 第一部分 明•期末考情 明期末考情 记必备知识 破·重难题型 过·分层验收 核心考点 复习目标 考情规律 1、能准确识别各类空间几何体的结 基础必考点，多以小题（选择题、 构特征，区分易混淆几何体； 填空题)形式考查，难度较低； 基本立体 2、能根据结构特征判断几何体的类 易错点：混淆棱合与棱锥的结构 图形 型，描述几何体的构成要素； 特征（忽略“棱合两底面平行且 3、能利用结构特征解决简单的几何 对应边成比例”)、误将圆合的 体识别、分类问题 母线当作高 1、掌握斜二测画法的核心规则，能 基础必考点，贴合新课标及课本 运用斜二测画法画出简单立体图形的 要求，多以小题形式考查，难度 直观图； 较低； 立体图形 2、能根据直观图，还原立体图形的 易错点：斜二测画法应用失误 的直观图 原始形状及尺寸关系； (忽略“平行于y轴的线段长度 3、能区分直观图与原图形的形状、 变为原来的一半”)、混淆直观 大小差异，准确判断直观图对应的原 图与原图形的面积比例关系、画 图形特征 直观图时忽略几何体的结构特征 核心考点 复习目标 考情规律 1、熟记各类空间几何体的表面积、 高频考点，小题、大题均可能考 体积公式，能准确区分侧面积与表面 查，小题侧重公式直接应用，大 简单几何 积； 题多结合几何体组合、截面问题 体的表面 2、能结合几何体的结构特征，代入 考查； 积与体积 公式计算表面积、体积（含组合体）；易错点：公式记忆混淆、计算组 3、能解决与表面积、体积相关的实 合体体积时漏算或多算部分几何 际问题 体、忽略单位统一 基础必考点，贴合课本知识点考 1、掌握课本中空间点、直线、平面 查，多以小题形式考查，侧重位 空间点、 之间的位置关系，能准确判断； 置关系的判断与符号表示； 线、面之 2、能结合课本图形，用规范的符号 命题趋势：常结合课本中长方体、 间的位置 语言表示空间位置关系； 正方体模型，考查线线、线面位 关系 3、能区分异面直线与相交、平行直 置关系； 线，结合课本定义判断异面直线所成 易错点：误将异面直线当作相交 角的范围 直线，符号语言表示不规范，忽 略课本中异面直线的定义 核心考点 复习目标 考情规律 1、熟记课本中线面平行、面面平行的判 核心难点考点，贴合课本重点内容，大题必 定定理和性质定理，明确定理的核心条件； 考（多作为证明题的一部分），小题也会考 空间直线、 2、能结合课本例题的证明思路，运用定 查判定定理的应用； 命题趋势：多结合课本中棱柱、长方体模型， 平面的平行 理规范书写线面平行、面面平行的证明步 骤 考查定理的综合应用，常与线面垂直结合命 3、能利用平行关系，解决课本习题中简 题； 单的线线平行推导问题 易错点：忽略课本中线面平行判定中“直线 在平面外”的条件，性质定理应用不规范 核心难点考点，贴合课本重点内容，大题必 1、熟记线面垂直、面面垂直的判定定理 考（重点考查证明与计算），小题侧重判定 与性质的简单应用； 和性质定理，明确定理的核心条件； 空间直线、 命题趋势：是期中大题的核心考查内容，常 2、运用定理规范书写线面垂直、面面垂 结合表面积、体积计算综合考查，贴合课本 平面的垂直 直的证明步骤； 3、能利用垂直关系，解决线线垂直、线 习题难度，难度中等偏上； 面垂直的推导问题，求简单的线面角 易错点：遗漏课本中面面垂直判定“一个平 面过另一个平面的垂线”的条件，线面角的 定义理解错误 第二部分 记●必备知识 明期末考情 记必备知识 破·重难题型 过·分层验收 ®知识点 空间几何体的结构特征 1,多面体的结构特征 01 名称 棱柱 棱锥 棱合 D D E B A A 图形 D D D E E A B B B 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 相交于一点，但不一定延长线交于一点，但不一 侧棱 平行且相等 相等 定相等 侧面 平行四边形 三角形 梯形 形状 知识点 空间几何体的结构特征 2.特殊的与粮维01 (1)侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱 柱。反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形 【注意】(1)棱柱的所有 侧面都是平行四边形，但侧 面都是平行四边形的几何体 却不一定是棱柱 直棱样 正棱相 知识点 空间几何体的结构特征 2.特殊的粮拉与粮维01 (2)底面是正多边形，顶，点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫 做正棱锥，特别地，各棱长均相等的正三棱锥叫做正四面体，反过来，正棱 锥的底面是正多边形，且顶，点在底面的射影是底面正多边形的中心 正棱锥 知识点 空间几何体的结构特征 2.特殊的与维01 0 【注意】 (2)棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的 上底面 几何体却不一定是棱台， 侧面 侧棱 D (3)注意棱台的所有侧棱相交于一点， 下底面 A B 顶点 ®知识点 空间几何体的结构特征 3.旋转体的结构特征01 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆形 旋转轴 任一边所在的直线 任一直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线 互相平行且相等， 母线 相交于一点 延长线交于一点 垂直于底面 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 ®知识点 空间几何体的结构特征 4.空间几何体的直观国们 (1)画法：常用斜二测画法 (2)规则 ①原图形中轴、轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y'轴的夹角为45”（或135°），z'轴与 轴和'轴所在平面垂直 ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和轴的线段在直观图中保 持原长度不变；平行于轴的线段长度在直观图中变为原来的一半， (3)直观图与原图形面积的关系 “横竖不变纵减半，平行性不变 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：5直= 9S,Se=225E ®知识点 空间几何体的表面积与体积 01. 空间几何体的表面昂体积会式 名称 表面积 体积 几何体 柱体（棱柱和圆柱） S表面积=S侧十2S底 V=S底h 锥体（棱锥和圆锥）】 S表面积=S侧十S底 V=S底h 合体（棱合和圆合） S表面积=S侧十S上十S下 V=(S+S+)h 球 S=4πR2 V=πR3 几何体的表面积和侧面积的注意点 ①几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和， ②组合体的表面积应注意重合部分的处理 ®知识点 空间几何体的表面积与体积 2.柱体、推体、台体侧局积间的关 (1)当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点 时，得到正棱锥 C'-C c=0 S正 SE6c+c加 ch' 上底扩大 上底缩小 c'-c ®知识点 空间几何体的表面积与体积 2.柱体、推体、台体侧积间的关 (2)当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆合的上底面半径为零 时，得到圆锥 r=0 S自拉 S日6a=t+r月 Sa维例二 2元l 上底扩大 上底缩小 r=0 A 知识点 空间几何体的表面积与体积 3.柱体、推体、台体绿保间的关集 当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱合的上底面缩为一个点时， 得到正棱绳 S-S =h(s'+5S+S) S=0 Sh Sh 上底扩大 上底缩小 S-S S=0 ®知识点 空间点、直线、平面的位置关系 01.4个基本事实及其推3 (1)基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 符号语言一A,B,C三点不共线→存在唯一的，使A,B,C∈@ 图形语言 A··B 应用一确定平面；判定两平面是否重合；证明，点线共面 知识点 空间点、直线、平面的位置关系 U1.4个基本事实及其推3 (2)基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在 这个平面内 特号语言一A∈L,B∈L,且A∈L,B∈a→ISC 图形语言 应用一判断直线是否在平面内；判断点是否在平面内 ®知识点 空间点、直线、平面的位置关系 01.4个基本事实及其推3 利用基本事实1和基础事实2，再结合“两，点确定一条直线”，可以得到下面三个推 论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面 应用一确定平面；判定两平面是否重合；证明点线共面 知识点 空间点、直线、平面的位置关系 01.4个基本事实及其推3 (3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共，点，那么它们有且只有 一条过该点的公共直线 符号语言一P∈，且P∈B→a∩B=L,且PE 图形语言 应用 判断直线是否在平面内；判断点是否在平面内 知识点 空间点、直线、平面的位置关系 U1.4个基本事实及其推3 (4)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行（平行公 理） 符号语言 a/b,b//c→a/c 简记为：空间中两直线平行的传递性 图形语言 应用一判断空间两条直线平行的依据 ®知识点 空间点、直线、平面的位置关系 U2.等角定理 03 等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 图形语言 符号语言 AB/A'B →∠BAC=∠B'AC或→∠BAC+∠B'A'C=π AC//A'C 应用 证明空间中两角相等 知识点 空间点、直线、平面的位置关系 03 直线与直线的位置 (1)空间两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 同一平面内，有目只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 ®知识点 空间点、直线、平面的位置关系 03. 直线与直线的位置 (2)异面直线所成的角 ①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a'∥a,b'∥b,把a 与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线α与b所成的角（或夹角） ②苑围：(0°，90° 异面直线一 共面直线 知识点 空间点、直线、平面的位置关系 04. 直货与平面的位置 直线a在平面u外 位置关系 直线a在平面a内 直线a与平面a相交 直线a与平面a平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 aca a∩a=A ala a 图形表示 a 知识点 空间点、直线、平面的位置关系 03 05.两个平面的位置关 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点（在一条直线上） 符号表示 aB a∩B=1 图形表示 知识点 空间直线、平面的平行 0o. 04 01.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义：直线1与平面《没有公共点，则称直线/与平面以平行 (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 平面外一条直线与此平面内的 b aa a,bca, 判定定理 条直线平行，则该直线平行手此 a ab-ala 平面 条直线和一个平面平行，则过 aa,acB, 性质定理 这条直线的任一平面与此平面的 b anB =b-alb 交线与该直线平行 知识点 空间直线、平面的平行 04 2.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面 (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表家 符号表丞 个平面内的两条相交直线与易 aca, bca,ab=P, 判定定理 个平面平行，则这两个平面平行 B aB,bB=aB 两个平面平行，则其中一个平面内 a aB,acaaB 的直线平行于另一个平面 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平 alB,any=a,By= B 面相交，那么它们的交线平行 b=alb 知识点 空间直线、平面的平行 04 3.平行关集间的转化 性质定理 判定定理 判定定理 线线平行 线面平行 ≥ 面面平行 性质定理 性质定理 判定定理 在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平 行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也 要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化 知识点 空间直线、平面的垂直 0o. 05 01.直线与平面垂血 (1)定义：直线/与平面《内的任意一条直线都垂直，就说直线/与平面a互相垂 直 (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 条直线与一个平面内的两条相交直 a 判定定理 la b 1⊥b1⊥a=1⊥a 线都垂直，则该直线与此平面垂直 a 6 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a b⊥aa⊥a户ab 知识点 空间直线、平面的垂直 05 2.直线与平面所成角 线面角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的夹角，叫做斜线和平面 所成的角（或斜线和平面的夹角），简称线面角 斜线 记0是斜线l与平面所成的角 斜足 当l⊥0,0=90 当l/a,0=0 则直线和平面所成角的范围是[0°，90 射影 知识点 空间直线、平面的垂直 05 3.平面与平面要血 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角 注意 (1)上A0B的大小与，点O在！上的位置元关 (2)平面角是直角的一面角做直一面角 (3)一面角的平面角取值范国是0°≤B≤180 知识点 空间直线、平面的垂直 0o. 05 2.平面与平面要血 (2）平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直， (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语宣 符号语言 个平面过另一个平面的垂 判定定理 Icl⊥a户a⊥B 线，则这两个平面垂直 两个平面垂直，则一个平面 性质定理 内垂直于交线的直线与男 1⊥aaB=a=l⊥d Q 个平面垂直 知识点 空间直线、平面的垂直 05 2.平面与平面要血 垂直关华常用结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面 (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线（证明线线垂直的 个重要方法 (3)垂直于同一条直线的两个平面平行， (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与易一个平面也垂直 (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面 知识点 空间点、直线、平面的位置关系 03 3.垂直关集之问的转 在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件，同时抓住线线、线面、 面面垂直的转化关系，即 判定 线线垂直 判定 判定 线面垂直 面面垂直 性质 性质 性质 在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图申不 存在，则可通过作辅助线来解决， 第三部分 破•重难题型 明期末考情 记必备知识 破·重难题型 过·分层验收 题型一 空间几何体的结构特征 解题技丨巧 1、多面体（棱柱、棱锥、棱台）：①棱柱：看“两底面平行、侧棱平行且相 等”；②棱锥：看“一个底面为多边形、侧面是有公共顶点的三角形”；③棱台： 看“两底面平行、侧棱延长线交于一点 2、旅转体（圆柱、圆锥、圆台、球）：①圆柱：矩形绕一边旋转；②圆锥：直角 三角形绕直角边旋转；③圆台：直角梯形绕垂直底边的腰旋转；④球：半圆绕直 径旋转，核心看旋转轴和旋转图形 3、易混淆辨析：对比棱柱与棱台、圆柱与圆台，重点看“底面是否平行”“侧 棱/母线是否平行 @ 题型一 空间几何体的结构特征 O. 【例1】 (多选)下列命题中不正确的是ABC)】 A。有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B,棱柱中互相平行的两个面则棱柱的底面 ©。棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D,棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 题型一 空间几何体的结构特征 【解析】对于A中，如图所示： 满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A不正确 对于B中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以B不正确 对于C中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C不正确： 对于D中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四 边形，所以D正确 故选：ABC. 题型一 空间几何体的结构特征 【变式1-1】给出下列四个命题：①正三棱锥所有的棱长相等；②底面是正多 边形的棱柱是正棱柱；③底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥；④以直角梯 形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆合，其中真命题的个数为A) A.0 B.1 .2 D.3 【解析】根据正三棱锥的性质，底面为等边三角形， 侧棱长相等，且顶点在底面的投影为属 面正三角形的中心，侧棱长和底面棱长不一定相等，故①错误、③错误 底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故②错误 根据旋转体的定义可知，以直角梯形中垂直两底的腰为轴旋转所得的旋转体为圆台，另一个 腰为轴旋转所得旋转体不是圆台，故④错误，故真命题的个数为0 故选：△ 题型一 空间几何体的结构特征 变式1-2】设有三个命题：( ①直角三角形绕一边旋转一周形成的几何体是圆锥； ②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③四棱柱所有的面都是平行四边形；其中真命 题的个数是(D A.3 B.2 【解析】对于①，若直角三角形绕斜边旋转一周，则形成的几何体是两个同底面圆的圆锥的组合体，故 ①错误 对于②， 棱长都相等的直四棱柱是也可能是上下底面是菱形，四个侧面是正方形的直四棱柱，故②错误 对手③，四棱柱所有的侧面都是平行四边形，但上下底面可能为梯形，故③错误： 故命题①②③都是假命题 收选：D 题型一 空间几何体的结构特征 【变式1-3】下列叙述正确的是A A。以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转 体叫做圆柱 B，以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成 的旋转体叫做圆铺 C，以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的 旋转体叫做圆合 D。半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球 题型一 空间几何体的结构特征 【解析】对于A，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体 叫做圆柱，故A正确 对于B,如果以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转 体是两个同底的圆锥的组合体，故B错误 对于C，如果以直角梯形的非高所在的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成 的旋转体不是圆台是一个组合体，故C错误： 对于D,半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，故D错误 故选：A @ 题型二 斜二测画法及其计算 OO. 解题技巧 1、直观图绘制：针对三角形、矩形、平行四边形，按步骤建系、变长度、连 线，确保角度和长度符合规则， 2、原图形还原：由直观图反向推导，平行于'轴的线段长度不变，平行 y轴的线段长度加倍，还原直角坐标系，计算原图形尺寸， 3、面积换算：原图形面积=直观图面积×（期中高频考点，直接记换算关系， 避免推导失误 题型二 斜二测画法及其计算 【例2】如图，△ABO的斜二测直观图是△4BC,其中0A=0B=2√2，则 △ABO的面积是(D B' A.1 B.2 C。4 D.8 A 【解析】过B作文C1/24交y'轴于点C,可得 金三型，因为一至，所以<金为等腰 直角三角形，所以三三三，根据斜二测画法，可得∠公建如图所示，则兰三与 所以6的面积乙2 故选项D正确 A 巴 题型二 斜二测画法及其计算 【变式2-1】已知△ABC斜二测画法下的直观图是面积为4V3的正三角形4BC (如图所示)，则顶点C对应的点C到轴的距离是4√6 【解析】过点C作台轴交x轴于点C”,如下图所示 设正三角形的边长为0，则.=夏2=4B,解得c, 4O) B 在中 出正弦定理 即4 V2 因此，顶点C对应的点C到x轴的距离是2二 40) B 巴 题型二 斜二测画法及其计算 【变式2-2】如图，矩形A'BCD是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画 法画出的直观图，其中A'B=1,BC=3，则原四边形ABCD的周长12 【解析】根据题意，直观图中 A: D' 在等腰直角△AOB中由勾股定理得三三将直观图还原为原图， O'B' 如图所示，则三昌 所以在△AOB中由勾股定理得： D A 因为6且一老，所以四边形⑥Z为平行四边形， B 所以原四边形6☑的周长为 巴 题型二 斜二测画法及其计算 【变式2-3】如图是斜二测画法下水平放置的平面图形ABCD的直观图A'BC D,若A'BC'D是边长为2的正方形，则平面图形的BtV6 B 【解析】将直观图还原为原来的图形，则四边形Z如下图： A 所以国 ，则 D 所以平面图形®Z的周长为8+4∈ 巴 题型三 几何体展开图的最短路径问题 解题技巧 1、核心思路：将立体侧面展开为平面图形，转化为“两，点之间线段最短”求解 2、关键步骤：①辨侧面类型（棱柱/圆锥），沿侧棱/母线展开；②确定两点 在展开图中的对应位置；③)连接两，点，用勾股定理求线段长度（即最短路径 题型三 几何体展开图的最短路径问题 【例3】如图，圆锥AO的底面圆半径为1，侧面积为3π，一只妈蚁要从B点沿圆锥 侧面爬到AB上的D点，且AD=AB,则此妈蚁爬行的最短路径长为V丽 【解析】设B子，利用扇形的面积公式得32无F,解得足三 所以侧面展开图的扇形的半径为3，弧长为2元，所以圆心角为 沿母线3裁开，将圆锥的侧面展开，如图所示 因为王，所以，连接，则江为最短距离， 由余弦定理得三 所以三正，即此妈蚊爬行的最短路径长为√3 题型三 几何体展开图的最短路径问题 【变式3-1】 如图， 已圆柱体底面圆的半径为三cm,高为2cm,AB,CD分别是两 底面的直径，AD,BC是母线，若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫 爬行的最短路线的长度是(C)cm. (结果保留根式) A.20 B.23 C.22 D.4 3 【解析】 如图，在圆柱侧面展开图中，线段AC的长度即为所求， D C 在民2中，军2 2,422故选；C B 巴 题型三 几何体展开图的最短路径问题 【变式3-2】 如图， 在直三棱柱ABC-AB,C,中∠ACB=2,AC=4,BC=2,AA=4, 点D在棱AC上，求A,D+DB的最小值(D A. 42/9 B.42C. D. 2/13 B 【解析】将平面至、平面-了延展为同一个平面，如下图所示： 由图可知，当4、B、D三点共线时，一三☑取最小值面 B 且学 6且4是 C B 延展后，B、C、C共线，且k,一一， D 由勾股定理可得 议三2的最小值为2/13.故选：D A A 巴 题型三 几何体展开图的最短路径问题 【变式3-3】在正方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=2,P、Q分别为棱AA1,BC的中 点，则从点P出发， 沿正方体表面到达点Q的最短路径的长D为() √1 B.10 C.3 D.22 【解析】如图，在正方体灵中，P、O分别为棱44，BC的中 A 按照下列方式展开，定 B P B B B Q 巴 题型三 几何体展开图的最短路径问题 OO. A D 【解析】按照下列方式展开 A 按照下列方式展开 B O C D B B Q C 综上所述，最短路径故选：D 题型四 简单几何体的表面积与体积计算 解题「技巧 单一儿何体：辩类型一我参数一套公式 确定进维/台/球，明确底面边长、半径、高、母线长〔统一单位)，区 入公式计 易错提：别形回维母线当高合体别漏记上下底参数 2、 简单组合体 分到或补彩 1)分剖法：拆成23个基本几何体，分别年表面和体积，表面积和掉重合 面（避免重复），体积直接相加 2)社形法：形不规则图形补成长方依/技样用“整作成部分”快速让： 题型四 简单几何体的表面积与体积计算 【例3】在直角中ABC,斜边AC=3，直角边BC=1.若以该直角三角形的一条直 角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围城一个几何体.则该几何 体的体积A()】 2√2元 42元 8V3 B D 【解析】在直角△ABC中，斜边三，直角边，得L三 若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴， 其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体为以1为底面半径，高为22的圆锥， 则该几何体的体积为： 故选：A 题型四 简单几何体的表面积与体积计算 【变式4-1】如图 ,“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球 的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为18r 、 【解析】依题意，该几何体的表面积是半球的表面积与圆柱侧面积的和， 所以所求表面积为 巴 题型四 简单几何体的表面积与体积计算 【变式4-2】降水量是指水平地面上单位面积的降水深度.用上口直径为20cm、 底 面直径为12cm,母线长4√10cm为的圆台型水桶来测量降水量，如果一次降水过 程中用此桶接得的雨水是桶深的 则本次降雨的降水量是 29.6 mm. 【解析】设水面的半径为5，水深为， 因为上口半径为一@，底面半径 B 0 故 B 02 T2 A2 雨水的体积为 h B 又故 巴 题型四 简单几何体的表面积与体积计算 【变式4-3】 已知四棱合的上下底面的边长分别为v2利和2瓦，体积为3， 则该 正四棱合的外接球体积为 B 28x A B. 327 16 19 3 C.3 D 【解折】由德可知，子三，设枝台高为力， 解得三 根据证四棱台的特性，正四校台的外接球半径即为四边形了外接圆半径， 又孕E,力，所以三正 则一年会空所以公二为自角三角形 故为四边形外接圆植径 正四版台的外接球半径尺三体积下专天号板运： 题型五 共点、共线、共面问题证明 解题技巧 1、 证明点或线共面问题的2种方法 (1)首先由所给条件中的部分线（或，点）确定一个平面，然后再证其余的线（或 点)在这个平面内； (2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合 2、证明，点共线问题的2种方法 (1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上 (2)直接证明这些点都在同一条特定直线（如某两个平面的交线）上 3、证明线共，点问题的常用方法 先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点 题型五 共点、共线、共面问题证明 【例5】如图，己知空间四边形ABCD,E,F分别是AB,BC的中点，G,H分别在 CD和AD上，I 满足治 A日 =2.求证： HD (1E,F,G,H四点共面 (2)EG,FG,BD线共点 【解析】(1)因为E,F分别为B,C的中点，所以d 又因为 G 所以d所以C正， O H 所以E,F,G,且四点在同一平面内， 即E,下，G,耳四点共面 题型五 共点、共线、共面问题证明 【例5】如图，己知空间四边形ABCD,E,F分别是AB,BC的中点，G,H分别在 CD和AD上， A日 =2.求证 HD (1E,F,G,H四点共面； (2)EG,FG,BD线共点 (2)因为E,F分别为AB,BC的中点，所以@， 由题意知 0=-2,B4,1 GD HD 所以四边形为梯形，直线国和风G必相交，设交点为M,即夏 因为正平面豆，所以点平面 同理可得点入平面工又因为平面B2开面2， 以点入直线，所以直线区，©三线共点， 题型五 共点、共线、共面问题证明 【变式5-1】在正方体中ABCD-AB,CD1,E,F分别为的中点D,C1,B1C1,ACO BD=P,A,C,∩EF=Q如图 D E (1)求证：D,B,E,F四点共面； 2)作出A,C直线与平面BDEF的交点R的位置.并给出理由， 【解析】(1)如图，C℃和BF在同一个平面内且不平行，故必相交，设交点为⊙ 因为F为G的中点，所以7☑组(T及，则军 同理直线五与C也相交，设交点为O 则②三<，故O与O重合由此可证得，故D,B,下，E四点共面 巴 题型五 共点、共线、共面问题证明 【变式5-1】在正方体中ABCD-AB,CD1,E,F分别为的中点D,C1,B1C1,AC∩ BD=P,A,C,∩EF=Q如图 (1)求证：D,B,E,F四点共面； (2)作出A,C直线与平面BDEF的交点R的位置.并给出理由 a(0 (2)改平面为@.由于（乙，所以C四点共面（设为B) 因为2多z,所以豆又三d,d子所以P子 E 所以之同理可证得2，从而有是连接C,交2于点 B R 因为之子，所以C与平面的交点就是4C与P2的交点 所以C与O的交点R就是所求的交点 巴 题型五 共点、共线、共面问题证明 【变式5-2】如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，E,F,，G,H 分别是棱BB,,BC,CD,DD,的中点 (1)求证：E,F,G，H四点共面.记过这四点的平面为，在图中画出平面与该 正方体各面的交线 (不必说明画法和理由) A B 2)求证：A,E,DF,AB三线共点 E A G B 题型五 共点、共线、共面问题证明 【解析】(1)如图①，连接C,2,G 因为E,日分别是棱BB,D2的中点，所以运 又F,G分别是棱C,D的中点，所以多，故E, 所以E,F,G,日四点共面 平面与该正方体各面的交线如图①（多边形飞）所示 D (2)如图②，易知乳，且王，所以4里与F必相交，设交点为卫， B 又由多，Z元平面Z,得P平面Z,同理P平面军 又因为平面B平面一三，所以☑ B 所以4E,E下，妈三线共点 巴 题型五 共点、共线、共面问题证明 【变式5-3】如图，在四棱锥中P-ABCD,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形， AD⊥DC,AB∥DC,AB=2AD=2CD=2，点E是PB的中点 (1)线段PA上是否存在一点G,使得点D,C,E,G共面？存在请证明，不有 在请说明理由； D 2)若PC=2，求三棱锥P-ACE的体积 E B 题型五 共点、共线、共面问题证明 【解析】(1)存在，当G为P4的中点，点D,C,E,G共面 证明如下：取PA的中点G,连接EG 又点E是PB的中点，∴.经☑ E 在底面直角梯形中，Z,则☑ B 所以线段PA上存在一点G,使得点D,C,E,G共面 2)E为明的中点孕则壶左之 底面直的胎形电EBD,支号 ②= 而e1底面ABD,且号62 则三核锥2亚的体积为亨 巴 题型六 线面位置关系的命题判断 解丨题技」巧 1、命题陷阱：警惕“一条直线平行于平面内一条直线”就判定线面平行 (忽略“直线在平面外”条件) 2、反例应用：判断假命题时，优先用常见反例（如正方体中侧棱与侧面的 位置关系)，快速推翻命题： 3、定理应用：严格遵循课本判定定理，不遗漏核心条件（如线面垂直需 “两条相交直线”■ 题型六 线面位置关系的命题判断 【例6】 (多选)m,几，1若是空间中条不同的直线，心，B是两个不同的平面，则下列 命题中正确的是 (AC) A,若m∥ 则2以1 B.着 则72L C.若∥22,则2L D.若∠季∥n,则以∥ 【解析】2/是空间中三条不同的直线，是两个不同的平面 对于A,若m以之三则由线面平行的性质得∥1，故A正确： 对于B,若三会，则m与B平行或相交或子，故B错误： 对于C,若m∥2上，则2G,又区∥B，则2山E,故C正确： 对手D,若豆∥，则与B相交或平行，故D错误故选：AC 题型六 线面位置关系的命题判断 【变式6-1】 已知直线a和平面，若a∥a,则下列说法正确的是(D A.若乙，则b/店 B.若C仁，则c/A C.若bc,则b/ D.若心，b远，则b/C 【解析】A:ac,b乙，则五a平行或异面，错： B:a,o/上，则a/或子，错 C:仑b/c,则ba可能平行、相交、异面，错 D:ac则平面@中必存在一条直线//a 而aE,则Z/化，立1元，故b/,对故选：D 题型六 线面位置关系的命题判断 【变式6-2】 已，C,B是两个不同的平面，m,几，是三条不同的直线，则下列命 题中正确的是(C A.若72l∠，21E,则2上 B.若nC,/Q,则2 C.若C,2/©，4/么，则7∥1D.若，7工，72☑，则7/4 【解析】，B是两个不同的平面，，n,1是三条不同的直线 对于4，若？∠2c,则由线面垂直的性质得，故A错误： a 对于B,若？心，/Q,则？与”相交、平行或异面，故B错误 对于C,若，c,7/仁，则由线面平行的性质得n/2,放C正确解 m 简单证明：如图，7亿，过m的一个平面与g交于a,则7，同理，？则， n a,则77/c,1子，4克，则72亿，所以n 付于D,若d,运，2业，则1与P相交，故D错误，做选：@ 题型六 线面位置关系的命题判断 【变式6-3】 设以，B是两个平面，m,是两条直线，则下列命题为真命题的是 D A.若m∥Cg©/阝，则m B.若02，则2 C.若■，则2L D.若 则2∥n 【解析】对于A,若∥O○∥P，则/或子，故A错误 对手B,若以∥王，则n,故B错误 对于C,若上， 则/或或2L,故C错误： 对子D,由线面平行的性质定理可知D正确故选：D 题型七 空间平行垂直关系的证明 解川题小技巧 1、平行关系证明 (1)线面平行证明（必考)：方法1（中位线法）：找平面内与已知直线平行的 中位线，证明线线平行，再结合“平面外一条直线平行于平面内一条直线”，判定 线面平行；方法2（平行四边形法)：构造平行四边形，证明对边平行，进而推导 线面平行 (2)面面平行证明（高频)：先证明一个平面内的两条相交直线，分别平行于另 一个平面，再根据“一个平面内两条相交直线平行于另一个平面，则两面平行 完成证明 题型七 空间平行垂直关系的证明 解题技巧 2、垂直关系证明 (1)线面垂直证明（必考）：方法1（判定定理法）：证明一条直线垂直 平面内两条相交直线，即可判定线面垂直；方法2（面面垂直性质法）：若两个 平面垂直，在一个平面内作垂直于交线的直线，则该直线垂直于另一个平面 (2)面面垂直证明（高频）：先证明一个平面内的一条直线垂直于另一个平面 再根据“一个平面过另一个平面的一条垂线，则两面垂直”，完成证明 (3)线线垂直证明（基础）：要么由线面垂直推导（线面垂直则线垂直于平面 内所有直线)，要么用勾股定理逆用、等腰三角形三线合一直接证明 巴 题型七 空间平行垂直关系的证明 【例7】由正方体ABCD-A,B,C,D,截去三棱锥C,-B 后得到的几何体如 A D 图所示，O为AC与BD的交点 B (1)求证：A,O∥平面B,CD1; :D 2)求证：平面A,BD∥平面B,CD B 【解析】(1)取BD的中点E，连接Z则一区三@ A D 所以四边形C为平行四边形，所以运 因为C之平面尽云，4O不在平面尽内： D 所以②/平面耳 题型七 空间平行垂直关系的证明 【例7】由正方体ABCD-A,B,C,D,截去三棱锥C,-B,CD,后得到的几何体如 图所示，O为AC与BD的交点 (1)求证：A,O∥平面B,CD1; B (2)求证：平面A,BD∥平面B,CD 2)因为宏2，孕平面云，不在平面①内， B 所以平面 由(1，/平面家 因为一2坚平面 所以平面平面 巴 题型七 空间平行垂直关系的证明 【变式7-1】如图， 四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点， 已知M,N分别是PC,AB的中点，在DM上取一点G,过G和AP作平面 D 交平面BDM于HG (1)求证：MN∥平面PAD; M G 2求证：AP∥HG D 巴 题型七 空间平行垂直关系的证明 【解析】(1)法一：取工中点K,连接A人，，A不， 易知K为∠中位线，放5☑，且入 因为四边形®Z是平行四边形，所以Z,一Z M 故人2☑.又因为N是B的中点，所以2E2 D B 所以四边形风还为平行四边形，所以公☑ 又因为△D延平面是L,K平面PL,所以入平面2P国 巴 题型七 空间平行垂直关系的证明 O. 法二：连接C交B于O,连接AC,如下图 因为四边形图Z是平行四边形，所以0为《C中 又国为M为P@中点，所以入C为2☑的中位线，所以5 D 又因为入D平面工，平面2工，所以△D伴面P工 因为四边形Z是平行四边形，所以O为中点 M 又因为N是B前中点，所以入D为今B的中位线 所以乙边通.又因为2平面2工，2平而无国 D月 C 所以入平面P工，又因为☑ -- N B 远2平面入D,入D平面△D,所以平面2平而B工 图为入平面AD,所以△☑平面P至 巴 题型七 空间平行垂直关系的证明 (2)连接C,交B于O,连接C,如下图 M 因为四边形6☑是平行四边形，所以O是C的中点， 又因为八M是C的中点，所以AC为☑的中位线，所以入Z2 >0 B 又因为入2平面3公，P上平面3公，所以P业平面B公 义因为2平面配平面专平面是，所以 题型七 空间平行垂直关系的证明 【变式7-2】如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，M,N分别是 AD,DE的中点，AB=AC,BD=CD.求证： (1)MN∥平面ABC；(2)AD⊥BC M 【解析】(1)连接E,因为个分别是的中点，所以△Z2 B 又入X无平面，一平面，所以入W平面： (2)因为一百，且E是C的中点，所以回 又乙，平面2，所以平面 因为2平面，所以2 题型七 空间平行垂直关系的证明 【变式7-3】 如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，已知AC⊥BC,侧面BCB,C,为正 方形，设AB,的中点为D,B1C∩BC1=E. 1)求证：DE∥平面A,B,C1 B (2)求证：BC1⊥平面ACB D E 【解析门1)侧面C为正方形，且军之，∴E为BC的中点， B 又D为B4的中点， AE 仅直三棱柱至中，4， 4☑ 又平面厚，C平面·平面厚 题型七 空间平行垂直关系的证明 【变式7-3】 如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，已知AC⊥BC,侧面BCB,C,为正 方形，设AB,的中点为D,B1C∩BC1=E 1求证：DE∥平面A,B,C1 B (2)求证：BC1⊥平面ACB E (2)直三棱框至CC平面服，又之平面超，一口 B 又■E C《平面C不，≤安，.口平面B 又C平面BG ≤ 侧面C为正方形，-写军 毛，C、-之平面B,忍平面五 巴 题型八 异面直线所成角的求解 解题川技巧 第一步平移：平移的方法一般有三种类型：()利用图中已有的平行线平移： ②)利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；（③）补形平移 第二步证明：证明所作的角是异面直线所成的角或其补角 第三步寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之 第四步取舍：因为异面直线所成角日的取值范围是0°<≤90 ，所以所作 的角为纯角时，应取它的补角作为异面直线所成的角 巴 题型八 异面直线所成角的求解 【例8】如图，在正四面体A-BCD中，M,N分别是BC与AD的中点，设AM和 CN所成角为C,则cos的值为（A A B. D. 【解析】如图，连接D,设O为AD的中点，连接ON,OC,则⊙E号且经 所以一为异面直线AM与CN所成的角（或补角 若四面体的棱长为1，则A三 B D 22 即aO8o 2故选： 巴 题型八 异面直线所成角的求解 【变式8-1】 如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，点E,F, G分别为 DD,,BD, BB,的中点，则异面直线C,E与FG所成的角的余弦值为() A. B. D. 3 20 图，连楼王，取QC的中点A,进长空公 D 因点B,F,G分别为DD,,B的中点，则 即得三 A B M 则一，易证2名，即得不 则画，放得军Z2后，即得三G,从而以d 即石为面直线CE与凡所成的角或其补用 段正方体棱长为2，则≤面是写 在△中，田宋么足理，三专 即开田巨线心与GT双的用的宋巧么恒为一 5 题型八 异面直线所成角的求解 o. 【变式8-2】 已知直四棱柱-一豆的棱长均为2，B 设a,b分别是相邻两个面的对角 线所在的直线，则与b所成角的余弦值不可能为 c A B D A D B 题型八 异面直线所成角的求解 【解】直四棱柱 一二中，四面体☑的六条棱所在直线能表征直四棱柱各个面上所有材角线， 该四棱柱的所有棱长都为2，BD，则 在△中， 22222 D 在△石神， A B 在中 B 在∠全中， 所以选项ABD均有可能，C不可能.故选：C 巴 题型八 异面直线所成角的求解 【变式83】如图，在直三棱柱中，侧面C是正方形，D是CC的中点， 一，则异面直线C与C所成角的余弦值为 B A. 45 D. 8国 25 B.8 2 65 6 题型八 异面直线所成角的求解 【解析】取仪C的中点E,连接匹， 玉，因为D是QC的中点，所以正∥写， 则三乙异面直线与所成角 直三棱柱三中，侧面C军是正方形，一一3，一4， B 在卫中，一会在®中， B 在△ABC中， 在金运中 在中，P代 题型九 直线与平面所成角的求解 解丨题技|巧 1、垂线法求线面角（也称直接法 (1）先确定斜线与平面，找到线面的交，点B为斜足；找线在面外的一点A,过，点A向平面做垂线， 确定垂足○ (2)连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角 (3)把投影B○与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余孩定理或者直角三角形） 2、公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长， 巴 题型九 直线与平面所成角的求解 【例9】在长方体2中 ，零则直线B与平面工所成角的正弦值为 B 12 A B D. 25 【解析】过B点作至，交C于O B 因为长方体一昆中，O平面C店，62平面®C左，所以运A1 因为毛，②2平面-军工，所以D平面昼工 则至即为直线4B与平面军工所成角， 由题意可知-军，由空解得O-马 所以∠ 即直线4B与平面军☑所成角的正弦值为 12 故选：B 题型九 直线与平面所成角的求解 【变式9.1】如图L,已知四边形PBC是直角梯形，图 D是线假 PC中点将沿D制折，使豆0 连接PB,PC,如图2所示，则PB与平面ABCD所成角的 D 正弦值是 C D A. 10 B. A B 图1 【解析】由已知P区，P上2，又三■平面Z, 所以平面3Z,所以一强是PB与平面ABCD所成角， B2平面ABCD,则☑ 图2 由题意22,2所以 故选：D 题型九 直线与平面所成角的求解 OO. 【变式92】如图 在正方体 言2中，E、F分别为BC,CC的中点，则直线4B与F所成角 π 1 的大小为■ 3 直线CD与平面DEF所成角的正弦值为 3 D D E B 巴 题型九 直线与平面所成角的求解 O. 【解析】连接一 因为E、F分别为BC,C二的中点，则F∥C,可知直线4B与E正所成角为一金（或其补角）， 又因为三表，可知△为等边三角形 可得 所以直线4B与正正所成角的大小为一 D 设正方体一一金三字的边长为2，点C到平面D证的距高为， 因为 阳的面积宇图 E 所以直线CD与平面D正F所成角的正弦植为☑三3三1 D23 巴 题型九 直线与平面所成角的求解 o. 【变式93】在正三棱台≤中，M,N分别为棱C4,CB的中点，，2导 V3 则直线CC与平面写所成角的余弦值为 3 A2: B M A 巴 题型九 直线与平面所成角的求解 【解析】如图添加葡助线，由于一子，所以-三分别为老的中点， 灵因为1，N分别为棱G4,CB的中点，所以△2丝在，且八 又因为4，且四号车所以22手日A2 即四边形入2图%是平行四边形，又因为-△ B2 所以四迪形入B全是菱形，即△四 A2 又因为入4八华所以尼子，即阿得 B 即四面体P至是正四面体，取Q为B的中点，所以可得国 M 又国为三至平面风C所以S平面仁，又因为平面P5, 所以平面军平面R三，即直线二与平面孕至所成角为？见 正四面体2至的陵长为1，则三②4A是国 @ 题型十 平面与平面所成角的求解 O. 解川题丨技巧 求二面角大小的一般步骤 (1)作：找出这个平面角 (2)证：证明这个角是二面角的平面角； (3)求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小 题型十 平面与平面所成角的求解 【例10】在《九章算术》 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为整懦。已知四面体≥老为警腸， 一2，一三，记二面角二的平面角为0，则2 【解析】由四面体2飞为鳖腊，且，得写 取E的中点1，过点/作△△Z☑交RC于点N,连接△☑ D 则2,2是二面角一三的平面角， M 设E至则∠美尼是，代④网 B 12 所以益a2 23