2025-2026学年高一下学期数学期末复习课程任务二十四 ·平面向量的综合应用 课件

这是一份高一数学期末复习课件，聚焦平面向量的综合应用，包含考情考向分析、例题剖析（几何应用、最值问题等）、规律方法总结及及时练，为学生提供系统的学习支架。 资料特色突出，融合数学核心素养，通过具体例题（如三角形形状判断、动点轨迹问题）展示坐标法、向量法等解题思路，培养学生几何直观与推理能力，结合规律方法与及时练帮助学生巩固提升，为教师教学提供清晰的内容框架和实用资源。高一学生处于初高中过渡阶段，抽象思维需强化，这份资料能帮助他们构建知识体系，提升综合解题能力以应对期末考。

高一数学期末复习课程 任务二十四·平面向量的综合应用 平面向量的综合问题,尤其是范围、最值问题是高考的热点,也是难点问题.此类问题综合性强,体现知识的交汇组合,其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比较向量的模、数量积、参数等.解题思路是建立目标函数的解析式,转化为求函数的最值求解.同时要注意向量“数”与“形”的双重身份,解题时重视数形结合思想. 一、考情考向 二、例题剖析 例1 (1)在△ABC中,=0,,则△ABC的形状为(　　) A.等腰直角三角形 B.三边均不相等的三角形 C.等边三角形 D.等腰(非直角)三角形 A ①.平面向量在几何中的应用 判断三角形形状或三角形的特殊中心问题 解析:因为=0,即()=0,即=0, 所以,即AC⊥BC,则∠ACB=, 又因为表示与同向的单位向量,表示与同向的单位向量, 所以=1×1×cos∠CAB=, 又因为∠CAB∈(0,), 所以∠CAB=,所以∠CBA=,所以△ABC是等腰直角三角形.故选A. (2)在△ABC中,设=2·(),那么动点M的轨迹必通过△ABC的(　　) A.垂心 B.内心 C.重心 D.外心 D 解析:设线段BC的中点为D,则互为相反向量, 所以=()+()=2+()=2, 因为=2(),即()·()=2, 所以2=2,即()==0,即DM⊥BC, 所以DM垂直且平分线段BC, 因此动点M的轨迹是BC的垂直平分线,必通过△ABC的外心. 及时练1：(1)若非零向量满足()·=0, 且,则△ABC为(　　) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.等边三角形 D 解析:因为分别为与同向的单位向量, 由()=0,可知∠A的角平分线与BC垂直,则AB=AC, 又因为=1×1×cos∠A=,即cos A=,且∠A∈(0,π),则∠A=, 所以△ABC是等边三角形.故选D. (2)若点O是△ABC所在平面内的一点,且满足||=|-2|, 则△ABC的形状为(　　) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 D 解析 ∵|-2|=||=||, ||=||=||, ∴||=||,即=||2, 即+2-2, 故=0,所以,故△ABC为直角三角形, 因为AB不一定等于AC,所以△ABC不一定为等腰直角三角形.故选D. 例2 (1)在△ABC中,=a,=b,D是AC中点,=2,试用a,b 表示为　　　 ,若,则∠ACB的最大值为　　　. b-a 平面向量在平面几何中的应用 解析 (方法一)b-a, =b-a, (b-a)·(b-a)=0, 3b2+a2=4a·b⇒cos∠ACB=, 当且仅当|a|=|b|时,等号成立,而0<∠ACB<π, 所以∠ACB∈(0,],即∠ACB的最大值为 (方法二)设BE=1,建立如图所示坐标系. 则E(0,0),B(1,0),C(3,0),A(x,y), =(-,-),=(1-x,-y), () (x-1)+=0⇒(x+1)2+y2=4, 所以点A的轨迹是以M(-1,0)为圆心, 以r=2为半径的圆, 当且仅当CA与☉M相切时,∠C最大, 此时sin C=,∠C= 及时练2：(1)已知在△ABC中,=0,=2,记=λ+μ(λ,μ∈R), 则λ-μ=　　　　;若||=2,当∠BCD最大时,||=　　　　. 1 2 解析:+2=2,∴λ=2,μ=1,∴λ-μ=1. 以A为原点,AC,AB分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系, 设||=b,则A(0,0),C(2,0),B(0,b),D(-4,b),=(-6,b),=(-2,b), 设∠BCD=θ,则cos θ=, 令12+b2=t>12,则cos θ===, 故当=-,即t=24,b=2时,cos θ最小, 因为0<θ<,所以此时θ最大. (2)如图所示,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2.求证:AD⊥BC. 证明 设=a,=b,=e,=c,=d, 则a=e+c,b=e+d, 即a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2. 由已知可得a2-b2=c2-d2, 所以c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2,即e·(c-d)=0. 因为=d-c, 所以=e·(d-c)=0, 所以,即AD⊥BC. 例3 如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,P为线段CD上一个动点(含端点),=m+n,则m+n的取值范围是(　　) A.(0,1] B.[2,3] C.[1,2] D.[2,4) C ②.和向量有关的最值(范围)问题 与参数(系数)有关的最值或范围问题 解析:设=,则0≤λ≤1,, 故=m()+n(+)=(m++(n-m), 又因为不共线, 所以所以m+n=-1, 因为0≤λ≤1,故1≤m+n≤2,故选C. (2)已知点P在△ABC所在的平面内,且2=0.过点P的直线与直线AB,AC分别交于点M,N,设=α=β (α>0,β>0),则α+4β的最小值为 (　　) A. B. C. D. C 解析 设BC的中点为D,连接PD,PC,PB,则2, 又2=0,故2+2=0,即,故P为AD的中点. 因为P,M,N三点共线,故存在实数s,使得=s+(1-s), 故=s+(1-s),而), 因为不共线,故=4, α+4β=(α+4β)()=(5+),当且仅当α=,β=时,等号成立, 故α+4β的最小值为故选C. 及时练3：(1)在△ABC中,=2,过点D的直线分别交直线AB,AC于点E,F,且=m=n,其中m>0,n>0,则m+2n的最小值为(　　) A.2 B. C.3 D. C 解析:如图所示,因为=2, 易知)=, 又因为=m=n,所以, 易知E,F,D三点共线,所以=1, 又因为m>0,n>0, 所以m+2n=(m+2n)()=2=2=3, 当且仅当,即m=n=1时,等号成立,所以m+2n的最小值为3.故选C. (2)如图,等边三角形ABC的边长为4,动点P在以BC为直径的半圆上,点P可取到半圆弧的两个端点.若=λ+μ,则λ+μ的取值范围是(　　) A.[1,] B.[,1] C.[] D.[] D 解析 根据题意,以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,如图,则A(0,2),B(-2,0),C(2,0),半圆弧的方程为x2+y2=4(y≤0),设P(m,n),则=(m,n-2),=(-2,-2),=(2,-2), 由=+,得 解得 由m2+n2=4(n≤0),设m=2cos θ,n=2sin θ,其中π≤θ≤2π, 可得λ+=-m-n+m-n+=-cos θ-sin θ+=-sin(θ+)+ 由π≤θ≤2π,得+, 则-1≤sin(θ+),得-sin(θ+)+, 得λ+的取值范围是[].故选D. 例4 (1)如图,已知正方形ABCD的边长为2,若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部,含边界),则的取值范围为(　　) A.[0,2] B.[0,4] C.[0,3] D.[0,1] B 与数量积有关的最值(范围)问题 解析:取CD的中点E,连接PE, 因为四边形ABCD是边长为2的正方形,动点P在以AB为直径的半圆上, 所以当点P在A点或B点时,||取得最大值, 当点P在弧AB中点时,||取得最小值1,||的取值范围为[1,], 又因为=()·(),=-,||=2, 所以 -1, 因为||的取值范围为[1,], 所以的取值范围为[1,5],的取值范围为[0,4],故选B. (2)已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与☉O交于B,C两点,D为BC的中点,若|PO|=,则的最大值为(　　) A. B. C.1+ D.2+ A 解析 设∠DPO=α,由题可知α∈[0,).∵||=,||=1,∴∠OPA=, ∴||=||cos α=cos α. ①当在PO两侧时, =||||cos(α+)=cos αcos(α+)=cos α·(cos α-sin α) =cos2α-sin αcos α=sin 2α=-sin(2α-)+ ∵α∈[0,),∴-2α-, ∴-sin(2α-)<, ∴0<-sin(2α-)+1,∴0<1. ②当在PO同侧时, =||·||·cos(α-)=cos αcos(α-) =cos2α+sin αcos α=sin 2α=sin(2α+)+ α∈[0,),2α+,sin(2α+)≤1, ∴1 综上,最大值为故选A. 及时练4：(1)在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=2AB=2BC=2,点P为梯形ABCD四条边上的一个动点,则的取值范围是(　　) A.[-,4] B.[-,2] C.[-1,4] D.[-,4] D 解析:如图,在△ABP中,O为AB中点, =()·() =()·()=PO2-OA2=PO2-(极化恒等式). 由图可知当PO最大时,点P在D点,即PO2=DO2=AD2+AO2=, 此时=PO2-=4,当PO最小时,点P在O点,即PO=0, 此时=PO2-=- 综上所得,的取值范围为[-,4].故选D. (2)已知△ABC的外接圆圆心为O,且2,||=||=1,点D是线段BC上一动点,点D可取到线段BC的两个端点,则的最小值是(　　) A.- B.- C.- D.- C 解析 因为2,可知O为BC的中点. 因为O为△ABC的外接圆圆心, 所以AB⊥AC,且||=||=1,即||=||=||=1. 所以△OAC为等边三角形,即∠ACB= 如图,以O为坐标原点,直线BC为x轴, 以过点O垂直于BC的直线为y轴建立平面直角坐标系, 则B(-1,0),A().设D(a,0),a∈[-1,1],可得=(-a,),=(-1-a,0), 则=(-a)(-1-a)=a2+a-,可知当a=-时,取到最小值- 例5 (1)设A,B是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点,且||=2.若存在m,n∈R,使得m与n垂直,且|(m)-(n)|=2,则||的最小值为(　　) A.1 B. C.2 D.2 D 与模有关的最值(范围)问题 解析:如图,A,B是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点,且||=2,由题意得,令a==m=(1-m)+m,则A',A,B三点共线,b==n=(1+n)-n,则B',A,B三点共线,故有A,A',B',B共线,由题意m与n垂直,|(m)-(n)|=2,知,且|a-b|=||=2为定值,在△A'OB'中,4=|a|2+|b|2≥2||a||b||,当且仅当|a|=|b|时,|a||b|取最大值2,此时△A'OB'面积最大,则O到AB的距离最远,而||=2,故当且仅当|a|=|b|,即A',B'关于y轴对称时,||最小, 此时O到AB的距离为|=1,所以, 故||=2,即||的最小值为2 (2)在△ABC中,∠ACB=120°,||=3,||=4,=0, 则||的最小值为(　　) A.6-2 B.2-4 C.3-1 D.-2 A 解析 由题意,以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,过C垂直CB的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(-),B(4,0), 由=0,可得点D的轨迹是以BC为直径的圆, 所以点D的轨迹方程为(x-2)2+y2=4.取BD的中点为M, 设M(x,y),D(x0,y0),可得所以 所以(2x-6)2+(2y)2=4, 所以点M的轨迹方程为(x-3)2+y2=1,圆心为H(3,0),半径为1. 由=2,所以||=2||,所以||min=2||min, 所以||min=|AH|-1=-1=3-1, 所以||min=6-2.故选A. 及时练5：若平面向量a,b,c满足|a|=1,b·c=0, a·b=1,a·c=-1, 则|b+c|的最小值为　　　　. 2 解析:在平面直角坐标系中,令a=(1,0),设b=(x1,y1),c=(x2,y2), 由a·b=1,得x1=1,由a·c=-1,得x2=-1,由b·c=0,得x1x2+y1y2=0,即y1y2=1, b+c=(x1+x2,y1+y2)=(0,y1+y2), 则|b+c|==2, 当且仅当y1=y2=1或y1=y2=-1时等号成立,所以|b+c|的最小值为2. 任 务 完 成 $