专题02 等差数列-2025-2026学年高二下学期数学期末专项训练（广东专用）

专题02 等差数列 一、题型一等差数列的判断 1．（23-24高二上·广东深圳·期末）若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ） A． B． C．（为常数） D． 2．（22-23高二上·广东惠州·期末）在数列中，若（为常数），则称为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若是等方差数列，则是等差数列；②不是等方差数列；③若是等方差数列，则（为常数）也是等方差数列；④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列.其中正确命题序号为（    ） A．①③④ B．②③④ C．①③ D．①④ 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列满足，若，则为（   ） A．等比数列 B．等差数列 C．递增数列 D．递减数列 4．（23-24高二上·广东河源·期末）已知数列是等差数列，都是正整数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．不可能是等比数列 C．不是等差数列 D．若，则 二、题型二基本量的计算 5．（22-23高二下·广东潮州·期末）在数列中，，，若，则（    ） A．673 B．674 C．675 D．676 6．（24-25高二上·广东梅州·期末）在等差数列中，，，则（    ） A． B．0 C．3 D．6 7．（25-26高二上·广东·期末）已知等差数列中，，则（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 8．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知正项数列满足，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（25-26高二上·广东佛山·期末）已知数列满足，，则（    ） A． B．3 C． D．4 10．（24-25高二下·广东广州·期末）已知两个等差数列及，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则（    ） A．45 B．50 C．54 D．60 11．（24-25高二上·广东潮州·期末）记数列的前项和为，若数列是公差为的等差数列，则的值为（    ） A．18 B．12 C．6 D．3 12．（19-20高二上·广东深圳·期末）若一个等差数列的首项为，从第项起开始比大，则这个等差数列的公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·广东茂名·期末）已知数列中，，若，且，则（    ） A． B． C． D．17 14．（23-24高二下·广东江门·期末）在等差数列中，，若直线l过点，，则直线l的斜率为（    ） A． B． C．2 D．3 15．（22-23高二下·广东广州·期末）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高二上·广东梅州·期末）已知数列，记的前项和为，下列说法正确的是（    ） A． B．是一个等差数列 C． D． 三、题型三等差数列的性质 17．（25-26高二上·广东·期末）已知数列与均为等差数列，且，，则（    ） A．9 B．18 C．16 D．27 18．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等差数列满足，则等于（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高二上·广东·期末）在等差数列中，若，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．3 20．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知为递增的等差数列，，，则（   ） A． B． C． D．或 21．（23-24高二上·广东肇庆·期末）已知数列为等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高二上·广东梅州·期末）已知五个数成等差数列，则（    ） A．21 B．24 C．27 D．30 23．（22-23高二上·广东·期末）已知等差数列满足，，则值为（    ） A．1024 B． C．256 D． 四、题型四等差数列的证明 24．（23-24高二上·广东广州·期末）已知数列满足，， (1)求证：数列为等差数列； (2)设，记集合中元素的个数为，求使成立的最小正整数的值. 25．（22-23高二上·广东东莞·期末）已知数列中，，． (1)证明数列是等差数列，并求通项公式； (2)若对任意，都有成立，求的取值范围． 26．（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列的首项，且满足（）． (1)求证：数列为等差数列； (2)求证：． 27．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知数列中，，. (1)证明：是等差数列； (2)求数列的前项和. 28．（22-23高二上·广东珠海·期末）已知数列满足，，． (1)证明：是等差数列； (2)记数列的前项和为，求最小的正整数，使得． 29．（22-23高二下·广东揭阳·阶段检测）已知数列的前项和，对于，都满足，且． (1)求； (2)若，求数列的前项和． 五、题型五前n项和基本量的计算 30．（25-26高二上·广东茂名·期末）已知等差数列的前n项和为，，则（   ） A．7 B．10 C．14 D．35 31．（25-26高二上·广东东莞·期末）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高二上·广东梅州·期末）在3和15中插入3个数，使这5个数成等差数列，则这5个数的和为（    ） A．42 B．45 C．48 D．51 33．（24-25高二上·广东深圳·期末）设等差数列的前n项和为，若，，，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 34．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则的公差为（    ） A． B． C． D．1 35．（25-26高二上·广东东莞·期末）数列是严格递增的整数数列，且，，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 36．（24-25高二下·广东江门·期末）记为等差数列的前n项和，已知，，则（ ） A． B． C． D． 37．（24-25高二上·广东·期末）记为等差数列的前项和，已知，则__________． 38．（23-24高二上·广东·期末）已知是等差数列的前项和，若，则数列的前2024项和为________. 六、题型六前n项和的性质 39．（24-25高二下·广东韶关·期末）已知等差数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 40．（22-23高二上·广东河源·期末）记为等差数列的前n项和．若，，则______． 41．（23-24高二下·广东广州·期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 42．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 43．（25-26高二上·广东惠州·期末）若两个等差数列和的前项和分别是和，已知，则（   ） A． B． C． D． 44．（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 七、题型七an和Sn的符号判断 45．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 46．（22-23高二上·广东肇庆·期末）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，且，则下列说法中正确的是（    ） A． B．是递减数列 C．为递减数列 D．是公差为的等差数列 47．（25-26高二上·广东惠州·期末）已知等差数列的公差为，前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 48．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知等差数列中，为其前项和，，则（    ） A． B． C． D．使得成立的最大整数 49．（25-26高二上·广东·期末）记等差数列的公差为，前项和为，已知，．以下说法正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 50．（22-23高二上·广东深圳·期末）数列的前项和为，已知，则（   ） A．是递减数列 B．是等差数列 C．当时， D．当或4时，取得最大值 八、题型八Sn的最值问题 51．（23-24高二上·广东·期末）已知数列的通项公式，其前项和为，则取最小值时的值为（    ） A．1012 B．1013 C．1014 D．1015 52．（23-24高二上·广东深圳·期末）若为等差数列，前项和为，其中，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．数列单调递减 D．数列前8项和最大 53．（23-24高二上·广东江门·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，则（    ） A． B．为递减数列 C．若，则，且 D．当或时，取得最大值 54．（25-26高二上·广东东莞·期末）已知等差数列的前项和为，且，，，则（    ） A．数列是递增数列 B． C．当时，最大 D．当时，的最大值为8 55．（25-26高二上·广东韶关·期末）若数列为等差数列，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．数列单调递增 C．-20是数列中的项 D．数列前7项和最大 56．（24-25高二上·广东江门·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，，，则（   ） A． B．为递减数列 C．若，则，且 D．当或时，取得最大值 57．（23-24高二上·广东深圳·期末）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．是递减数列 B． C．当时， D．当时，取得最大值 58．（23-24高二上·广东东莞·期末）已知数列的前n项和，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．是等差数列 C．是递减数列 D． 59．（23-24高二上·广东深圳·期末）首项为正数，公差的等差数列，其前项和为，则下列命题中正确的有（    ） A．若，则， B．若，，则中最大 C．若，则使的最大的n为21 D．若（为常数），则 60．（23-24高二上·广东广州·期末）已知公差不为的等差数列的前项和为，，，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 61．（25-26高二上·广东河源·期末）已知数列的前项和，则（    ） A． B．数列中的最小值为 C．数列是等差数列 D． 62．（25-26高二上·广东广州·期末）已知等差数列共有10项，前三项的和为6，后3项的和为，则的通项公式______; 记，则的最大值为_______. 63．（25-26高二上·广东广州·期末）已知等差数列满足，，则的通项公式______；记，则的最大值为______． 九、题型九等差数列的应用 64．（2024·广东广州·模拟预测）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（   ） A．升 B．升 C．升 D．升 65．（21-22高二上·广东深圳·期末）中国明代商人程大位对文学和数学颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》．这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文为：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？请你计算甲应该分得（    ） A．76石 B．77石 C．78石 D．79石 66．（22-23高二上·广东梅州·期末）《孙子算经》是我国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知数”问题，其中记载：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即：一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个正整数为，当时，符合条件的所有的个数为（    ） A．12 B．13 C．24 D．25 67．（24-25高二上·广东揭阳·期末）“营老爷”是潮汕地区一项传统民俗活动.年，潮汕某地举行了历史悠久的三年一度“营老爷”大巡游，按照这“三年一度”的规律，该地有可能进行“营老爷”大巡游的时间是（   ） A．年 B．年 C．年 D．年 68．（22-23高二上·广东江门·期末）一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务，第一辆车于14时出发，以后每间隔发出一辆，假设所有的司机都连续开车，并都在19时停下来休息．已知每辆车行驶的速度都是，则这个车队当天一共行驶了______千米？ 69．（25-26高二上·广东清远·期末）某地新建一个会议厅，要求容纳880个座位，会议厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，则第20排有_____个座位. 70．（25-26高二上·广东东莞·期末）现有一种构造新数列的方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的等差中项，得到一个新的数列；再将新得到的数列按照上述方法构造，又得到一个新的数列；重复以上操作.现将数列1，3按照上述方法进行构造，第一次得到的新数列为1，2，3；第二次得到的新数列为1，，2，，3；第三次得到的新数列为1，，，，2，，，，3；⋯，记第次得到的新数列为1，，，，⋯，，3，且.当时，_____，_____.（用数值作答） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等差数列 一、题型一等差数列的判断 1．（23-24高二上·广东深圳·期末）若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ） A． B． C．（为常数） D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合等差数列的定义和特殊数列，逐项判定，即可求解. 【详解】因为数列为等差数列，设公差为，可得， 对于A中，例如：等差数列，则， 此时数列不是等差数列，所以A符合题意； 对于B中，数列中，可得，所以数列为常数列， 所以数列一定是等差数列，所以B不符合题意； 对于C中，数列中，可得（常数）， 所以数列一定是等差数列，所以C不符合题意； 对于D中，数列中，可得， 所以数列一定是等差数列，所以D不符合题意. 故选：A. 2．（22-23高二上·广东惠州·期末）在数列中，若（为常数），则称为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若是等方差数列，则是等差数列；②不是等方差数列；③若是等方差数列，则（为常数）也是等方差数列；④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列.其中正确命题序号为（    ） A．①③④ B．②③④ C．①③ D．①④ 【答案】A 【分析】根据等差数列的定义，结合等方差数列的定义逐一判断即可. 【详解】①是等方差数列，（为常数）得到为首项是，公差为的等差数列；故①正确 ②数列中，，所以是等方差数列；故②不正确 ③因为是等方差数列，所以， 把以上的等式相加，得， ，即数列是等方差数列，故③正确； ④是等差数列，，则设， 是等方差数列，是常数， 故，故，所以，是常数，故④正确. 正确命题的是①③④， 故选：A 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列满足，若，则为（   ） A．等比数列 B．等差数列 C．递增数列 D．递减数列 【答案】D 【分析】取倒数可得，可得，从而可判断数列. 【详解】根据题意，， 所以，且， 所以数列为以1为首项，2为公差的等差数列， 所以，则 所以数列为递减数列. 故选：D 4．（23-24高二上·广东河源·期末）已知数列是等差数列，都是正整数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．不可能是等比数列 C．不是等差数列 D．若，则 【答案】AD 【分析】利用等差数列下标和性质可判断AD正确，当时数列可能是等比数列，可判断B错误；由等差数列定义可证明是公差为的等差数列，即C错误. 【详解】由等差数列下标和性质，以及都是正整数， 若，则都是正整数，且满足，所以，即A正确； 当数列是非零的常数列时，例如满足是等差数列，也是等比数列，即B错误； 不妨设数列的公差为，易知为定值， 所以是公差为的等差数列，即C错误； 由可得，可得，即D正确； 故选：AD 二、题型二基本量的计算 5．（22-23高二下·广东潮州·期末）在数列中，，，若，则（    ） A．673 B．674 C．675 D．676 【答案】C 【分析】定义法判断数列为等差数列，从而由等差数列基本量的计算求解. 【详解】由题意可得， ，故数列为等差数列， 则 ，令. 故选：C 6．（24-25高二上·广东梅州·期末）在等差数列中，，，则（    ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项建立方程组，可得答案. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得. 故选：B. 7．（25-26高二上·广东·期末）已知等差数列中，，则（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】根据题意可得，接着计算，再代入即可求解． 【详解】已知等差数列中，， ， ， 则． 故选：D． 8．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知正项数列满足，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】首先对已知等式进行变形，得到数列的性质，判断出它是等差数列，然后根据等差数列的通项公式以及已知的来逐步求出的值. 【详解】已知，等式两边同时除以（因为是正项数列，）， 可得.这表明数列是公差为的等差数列. 已知，那么. 对于等差数列，其通项公式为（为公差），这里. 当时，. 把代入上式，可得，解得. 故选：A. 9．（25-26高二上·广东佛山·期末）已知数列满足，，则（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】将已知递推关系式变形，构造出等差数列，再利用等差数列的通项公式求解即可. 【详解】由， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 故选：A 10．（24-25高二下·广东广州·期末）已知两个等差数列及，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则（    ） A．45 B．50 C．54 D．60 【答案】B 【分析】首先求出两数列的公差及其最小公倍数，即为新数列的公差，再找出首先，最后根据等差数列的通项公式计算可得； 【详解】等差数列2，6，10，，190，…的公差为4， 2，8，14，，200，…的公差为6， 2与6的最小公倍数为12， 两个等差数列的公共项为2，14，26，38，50，，则公共项为，． 故选：B. 11．（24-25高二上·广东潮州·期末）记数列的前项和为，若数列是公差为的等差数列，则的值为（    ） A．18 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【分析】由等差数列通项公式求得，再由与的关系即可求解； 【详解】∵，∴， 又∵是公差为的等差数列， ∴，∴， ∴当时，， ∴，整理得：，即， ∵，∴……2，∴ 故选：B 12．（19-20高二上·广东深圳·期末）若一个等差数列的首项为，从第项起开始比大，则这个等差数列的公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，可得出关于的不等式组，由此可解得的取值范围. 【详解】设这个等差数列为，则， 由题意可得，解得. 故选：D. 13．（24-25高二上·广东茂名·期末）已知数列中，，若，且，则（    ） A． B． C． D．17 【答案】B 【分析】先根据已知得出是等差数列，得出通项公式计算即可. 【详解】，又， 所以数列是公差为的等差数列，， 故选：B. 14．（23-24高二下·广东江门·期末）在等差数列中，，若直线l过点，，则直线l的斜率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出等差数列公差，再利用公差的几何意义求解即得. 【详解】在等差数列中，，则公差， 所以直线l的斜率为. 故选：C. 15．（22-23高二下·广东广州·期末）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，数列是首项为，公差为的等差数列，逐项计算可得出所求代数式的值. 【详解】因为，所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 则，，，，， 因此，. 故选：A. 16．（23-24高二上·广东梅州·期末）已知数列，记的前项和为，下列说法正确的是（    ） A． B．是一个等差数列 C． D． 【答案】BD 【分析】观察法求出可判断A；求出的通项公式可判断    B；由可判断C；计算出可判断D. 【详解】对于A，数列的通项公式，故A错误； 对于B，，故是一个等差数列，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D， ， 故D正确. 故选：BD. 三、题型三等差数列的性质 17．（25-26高二上·广东·期末）已知数列与均为等差数列，且，，则（    ） A．9 B．18 C．16 D．27 【答案】A 【分析】根据等差中项的公式，令两式相加即可得出答案. 【详解】因为数列与均为等差数列，且，， 所以 所以， 则. 故选：. 18．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等差数列满足，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质，可得答案. 【详解】因为，解得. 故选：B. 19．（23-24高二上·广东·期末）在等差数列中，若，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．3 【答案】B 【分析】由等差数列的性质可得，求出答案. 【详解】由等差数列的性质可得， 故，解得. 故选：B 20．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知为递增的等差数列，，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质和基本量法，列式求解. 【详解】因为为等差数列，，所以， 由，得或（舍），所以，. 故选：A 21．（23-24高二上·广东肇庆·期末）已知数列为等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质求得，进一步计算即可. 【详解】因为数列为等差数列， 则， 所以， 则， 故选：D. 22．（23-24高二上·广东梅州·期末）已知五个数成等差数列，则（    ） A．21 B．24 C．27 D．30 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质即得. 【详解】五个数成等差数列， 所以，得， 故选：C 23．（22-23高二上·广东·期末）已知等差数列满足，，则值为（    ） A．1024 B． C．256 D． 【答案】B 【分析】由对数运算，得出，再计算公差，由等差数列性质求出结果. 【详解】由已知， 因为数列是等差数列，设公差为，由，又，解得. 故有，， . 故选：B. 四、题型四等差数列的证明 24．（23-24高二上·广东广州·期末）已知数列满足，， (1)求证：数列为等差数列； (2)设，记集合中元素的个数为，求使成立的最小正整数的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用等差数列的定义证明即可； （2）根据题意可得，利用分组求和求出表达式，结合单调性解不等式即可. 【详解】（1）由题意可知， 所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. （2）由（1）可知， 所以集合中元素的个数为，即， 所以 ， 由指数函数的图象和性质可得恒成立， 所以单调递增， 因为， ， 所以使成立的最小正整数为. 25．（22-23高二上·广东东莞·期末）已知数列中，，． (1)证明数列是等差数列，并求通项公式； (2)若对任意，都有成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知可推出，又，即可得到，进而求出通项公式； （2）经化简可得，.令，根据求出时，最大，即可得出的取值范围． 【详解】（1）证明：由已知可得，， 又，所以，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列. 所以，所以，所以. （2）由（1）知，. 所以，所以. 则由可得，对任意，都成立. 令，假设数列中第项最大， 当时则，有，即，整理可得， 解得，所以. 因为，所以，. 又，所以数列中第2项最大，即对任意，都成立. 所以由对任意，都成立，可得. 26．（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列的首项，且满足（）． (1)求证：数列为等差数列； (2)求证：． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】(1)对递推式进行同除变形，构造出新数列，通过证明其相邻两项的差为常数，从而证明该数列为等差数列. (2)先由第一问的结论求出原数列的通项，再对通项的倒数裂项，用裂项相消法求和，最后通过放缩证明和式小于. 【详解】（1）已知，两边同时除以，得：， 令，则上式可写为：，则是公差为的等差数列， 首项，因此，数列是首项为，公差为的等差数列. （2）由上一小问可知，即：， 因此， 对和式进行裂项相消：， 继续化简可得， 因为，所以，即. 27．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知数列中，，. (1)证明：是等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) 因为，所以， 而，则， 即，得到是首项为，公差为的等差数列. (2) 【分析】（1）运用取倒数法，结合等差数列的定义进行运算证明即可； （2）运用裂项相消法进行运算求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得，即， 则， 得到 28．（22-23高二上·广东珠海·期末）已知数列满足，，． (1)证明：是等差数列； (2)记数列的前项和为，求最小的正整数，使得． 【答案】(1)证明见解析 (2)7 【分析】（1）由题意得，利用等差数列的定义，即可证明结论； （2）由（1）得，利用累加法可得，利用裂项相消法求和可得，求解，即可得出答案． 【详解】（1）证明：，， 又，，则， 数列是首项为5，公差为2的等差数列； （2）由（1）得数列是首项为5，公差为2的等差数列，则， 当时，，，，，， 由累加法得，则， 又当时，符合题意， ，则， 数列的前项和为， ，即，即，解得（不合题意，舍去）或， 最小的正整数为7． 29．（22-23高二下·广东揭阳·阶段检测）已知数列的前项和，对于，都满足，且． (1)求； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证明数列是首项为1，公差为1的等差数列，再求出即可； （2）裂项相消求和可解. 【详解】（1）时，，， 又，数列是首项为1，公差为1的等差数列． ，经验证，时也成立，． （2）， ． 五、题型五前n项和基本量的计算 30．（25-26高二上·广东茂名·期末）已知等差数列的前n项和为，，则（   ） A．7 B．10 C．14 D．35 【答案】A 【分析】由等差数列性质可知，代入求出，再由等差数列前n项和公式得出结论. 【详解】因为， 所以，解得， 则. 故选：A. 31．（25-26高二上·广东东莞·期末）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列前项和公式列方程计算即可求得结果. 【详解】由题意得,解得， 又，解得, 故选：C 32．（25-26高二上·广东梅州·期末）在3和15中插入3个数，使这5个数成等差数列，则这5个数的和为（    ） A．42 B．45 C．48 D．51 【答案】B 【分析】根据题意，设这5个数为，且，再根据即可求解． 【详解】在3和15中插入3个数，使这5个数成等差数列， 设这5个数为，且， 则这5个数的和． 故选：B． 33．（24-25高二上·广东深圳·期末）设等差数列的前n项和为，若，，，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】先利用与的关系求出和，进而得到公差，再结合求出，最后根据通项公式求出. 【详解】根据与的关系，（）. 已知，，那么. 又因为，，所以.   所以公差.   已知，将其代入前项和公式，因为，所以. 又已知，那么.   已知，，，代入通项公式可得： , 得.   故选：B. 34．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则的公差为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解． 【详解】等差数列中，，， 解得， 故选： 35．（25-26高二上·广东东莞·期末）数列是严格递增的整数数列，且，，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】依题意可知数列是公差为1的等差数列时满足题意，分别检验首项取值求得最大的正整数解即可. 【详解】因为数列是严格递增的整数数列，要使最大，在总和为定值的条件下，应使数列的每一项尽可能小； 因此，可考虑当且数列为公差为1的等差数列时的情形，以此来确定的最大取值范围； 此时可知, 可得，此时无正整数解， 若，可知需满足， 此时只需保证，即可满足题意； 若增大首项为，公差为1保持不变，此时只会使满足题意的变小，所以的最大值为11. 故选：C 36．（24-25高二下·广东江门·期末）记为等差数列的前n项和，已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，列式求出数列的首项和公差，进而求出通项公式和前n项和公式． 【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得， 所以，，ABC错误，D正确. 故选：D 37．（24-25高二上·广东·期末）记为等差数列的前项和，已知，则__________． 【答案】24 【分析】由等差数列下标和的性质，以及前项求和公式，即可得到答案. 【详解】因为，所以． 故答案为：24． 38．（23-24高二上·广东·期末）已知是等差数列的前项和，若，则数列的前2024项和为________. 【答案】/ 【分析】根据给定条件，求出等差数列的通项及前项和，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】等差数列中，，又，则， 因此等差数列的公差，则，， 于是， 数列的前项和， 所以数列的前2024项和为. 故答案为： 六、题型六前n项和的性质 39．（24-25高二下·广东韶关·期末）已知等差数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列片段和的性质可知、、成等差数列可求得的值. 【详解】由题意可得，， 因为等差数列的前项和为， 由等差数列片断和的性质可知、、成等差数列， 所以，所以. 故选：A. 40．（22-23高二上·广东河源·期末）记为等差数列的前n项和．若，，则______． 【答案】 【分析】利用等差数列片段和的性质可求得的值. 【详解】由等差数列片段和的性质可知，、、成等差数列， 所以，，即，解得. 故答案为：. 41．（23-24高二下·广东广州·期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】利用等差数列前和的性质，得出，求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，且，， 所以根据等差数列前项和的性质可得成等差数列， 所以，所以，解得． 故选：C. 42．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据等差数列中成等差数列求解即可. 【详解】在等差数列中， ，，所以， 故构成公差为的等差数列， 所以， 即. 故选：C 43．（25-26高二上·广东惠州·期末）若两个等差数列和的前项和分别是和，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件设，，再利用和之间的关系即可求出. 【详解】因为，由已知条件不妨设， 所以. 故选：D. 44．（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列定义可证得数列是以为公差的等差数列，由此可得结果. 【详解】，数列是以为公差的等差数列， ， 数列是以为公差的等差数列，. 故选：B. 七、题型七an和Sn的符号判断 45．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】由、知、，即可判断AB；根据数列的单调性即可判断CD. 【详解】由，得，即， 由，得，即，所以. A：由，可知，故A正确； B：由，可知数列的公差，故B错误； C：，由知随的增大而增大， 则，所以的最小值为，故C正确； D：当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以当时，；当时，；当时，， 又，， 所以，， 所以，即， 所以的最小值为，故D正确； 故选：ACD 46．（22-23高二上·广东肇庆·期末）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，且，则下列说法中正确的是（    ） A． B．是递减数列 C．为递减数列 D．是公差为的等差数列 【答案】BCD 【分析】对A，直接求值判断； 对B，由二次函数单调性判断； 对C，由与的关系求出通项公式判断； 对D，，由通项公式即可判断. 【详解】对A，，A错； 对B，由，为其对称轴，则在单调递减，则由可知是递减数列，B对； 对C，时，. 又符合上式，故的通项公式为，单调递减，C对； 对D，，则，故是公差为的等差数列，D对. 故选：BCD. 47．（25-26高二上·广东惠州·期末）已知等差数列的公差为，前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用前项和与通项的关系，求出首项与公差的正负，结合选项逐项分析. 【详解】由于，即， 由于，即， 由于，即， 综上所述，，，， 对于A选项，由于，， 故等差数列的公差，故A选项正确； 对于B选项，由于，故B选项错误； 对于C选项，由，，可知， 等差数列是递减数列，所以，故C选项错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD. 48．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知等差数列中，为其前项和，，则（    ） A． B． C． D．使得成立的最大整数 【答案】ABD 【分析】由可得，进而可得，根据等差数列通项公式求法即前项和公式计算求解，依次判断各选项正误即可. 【详解】在等差数列中，由，得，则， 因此，而，则， 对于A，公差，A正确； 对于B，，因此，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，由，得， 因此使得成立的最大整数，D正确. 故选：ABD 49．（25-26高二上·广东·期末）记等差数列的公差为，前项和为，已知，．以下说法正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】BC 【分析】由题设结合等差数列求和公式可求得，进而得到，进而求解判断各选项即可. 【详解】由题意得，，而，则， 所以，则，故A错误； 而，则，故B正确； 因为时，，时，，则，故C正确； 当时，，故D错误. 故选：BC 50．（22-23高二上·广东深圳·期末）数列的前项和为，已知，则（   ） A．是递减数列 B．是等差数列 C．当时， D．当或4时，取得最大值 【答案】CD 【分析】由数列的通项公式与前n项和的关系即可求出，对选项分别讨论及计算即可得到正确答案. 【详解】当时，， 当时，， 不满足上式， 所以， 对于A，由于，，所以不是递减数列，所以A错误， 对于B，由于，，，所以， 所以不是等差数列，所以B错误， 对于C，由，得，所以当时，，所以C正确， 对于D，，因为， 所以当或4时，取得最大值，所以D正确， 故选：CD. 八、题型八Sn的最值问题 51．（23-24高二上·广东·期末）已知数列的通项公式，其前项和为，则取最小值时的值为（    ） A．1012 B．1013 C．1014 D．1015 【答案】A 【分析】根据给定条件，确定数列的单调性，再求出的的最大值即得. 【详解】数列的通项公式，显然数列是递增数列， 由，得，而，因此数列的前1012项均为负数，从第起为正， 所以取最小值时的值为1012. 故选：A 52．（23-24高二上·广东深圳·期末）若为等差数列，前项和为，其中，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．数列单调递减 D．数列前8项和最大 【答案】AC 【分析】根据题意求出数列的首项与公差，进而可求出数列的通项，即可判断AC；求出数列的前项和即可判断BD. 【详解】设公差为，由，得，解得 所以，故A正确； 因为，所以数列单调递减，故C正确； ， 所以，故B错误； 所以数列前7项和最大，故D错误. 故选：AC. 53．（23-24高二上·广东江门·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，则（    ） A． B．为递减数列 C．若，则，且 D．当或时，取得最大值 【答案】ABD 【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合二次函数的性质逐项分析即可得答案. 【详解】由题意得，解得，故A正确； ，故为递减数列，即B正确； ，解得且，故C错误； 由二次函数的性质可知：的图象开口向下且关于直线对称， 由于，所以当或时，取最大值，故D正确； 故选：ABD. 54．（25-26高二上·广东东莞·期末）已知等差数列的前项和为，且，，，则（    ） A．数列是递增数列 B． C．当时，最大 D．当时，的最大值为8 【答案】BCD 【分析】根据等差数列的性质可得，即可根据公差判断AC，利用作差法，即可求解B，根据等差数列的性质，结合求和公式即可求解D. 【详解】由可得，结合，，可得， 因此公差,数列是递减数列，A错误， 由，可得当时，，故时，最大，C正确， ，因此，B正确， 由于，， 结合数列的单调性可知：当时，，当,， 故时，的最大值为8，D正确. 故选：BCD 55．（25-26高二上·广东韶关·期末）若数列为等差数列，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．数列单调递增 C．-20是数列中的项 D．数列前7项和最大 【答案】AD 【分析】根据已知条件列出方程组，求出，进而即可判断各项. 【详解】因为数列为等差数列，且，则，解得， 对于A，，故A正确； 对于B，因为，所以数列单调递减，故B错误； 对于C，由，得，故C错误； 对于D，由可得，，解得. 又，所以. 所以数列的前7项均为正数，，所以前7项和最大，故D正确. 故选：AD. 56．（24-25高二上·广东江门·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，，，则（   ） A． B．为递减数列 C．若，则，且 D．当或时，取得最大值 【答案】ABD 【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合二次函数的性质逐项分析即可得答案. 【详解】由题意得，解得，故A正确； ，故为递减数列，即B正确； ，解得且，故C错误； 由二次函数的性质可知：的图象开口向下且关于直线对称， 由于，所以当或时，取最大值，故D正确； 故选：ABD. 57．（23-24高二上·广东深圳·期末）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．是递减数列 B． C．当时， D．当时，取得最大值 【答案】ABD 【分析】当，求出，当时，，进而判断选项A；令判断选项B；令判断选项C；根据的表达式求解最值，判断选项D. 【详解】当，， 当时，， 则，，则满足题意，故，故选项A正确； ，故选项B正确； 当时，，故选项C错误； ， 当时，取最大值，但是，所以当时，取最大值，故选项D正确； 故选：ABD 58．（23-24高二上·广东东莞·期末）已知数列的前n项和，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．是等差数列 C．是递减数列 D． 【答案】BC 【分析】对于A，结合二次函数图象的对称轴即可求解判断；对于B，根据等差数列的定义即可判定；对于C，利用求得后，结合函数性质即可判定；对于D，根据等差数列的性质及通项公式即可求解判断. 【详解】对于A，根据函数，其图象对称轴为， 所以，当或时，有最大值20，故A错误； 对于B，因为，所以， 则是等差数列，故B正确； 对于C，当时，， 又符合上式，所以，结合一次函数的性质知，是递减数列，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC. 59．（23-24高二上·广东深圳·期末）首项为正数，公差的等差数列，其前项和为，则下列命题中正确的有（    ） A．若，则， B．若，，则中最大 C．若，则使的最大的n为21 D．若（为常数），则 【答案】AC 【分析】选项A，由等差数列前项和公式得关系及符号，再结合通项公式判断符号即可；选项B，先由等差数列前项和公式及性质得到数列项的正负界，再结合数列单调性分析最值可得；选项C，利用与的关系，得及，结合等差数列前项和公式及性质找到数列的正负界分析可得；选项D，利用特值取，可推出矛盾. 【详解】选项A，由，得， 由题意得，则， 所以， ，故A正确； 选项B，由，得， ，则； ，则； 所以，则等差数列首项，公差， 即数列为递减数列，当时，；当时，. 则中最大，故B错误； 选项C，由， 知且，故， 故等差数列首项，公差， 即数列为递减数列，当时，；当时，. ，， 且当时，， 故使的最大的n为21，故C项正确； 选项D，当时，， 则，不满足，故D错误. 故选：AC. 60．（23-24高二上·广东广州·期末）已知公差不为的等差数列的前项和为，，，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设等差数列的公差为，分析可知，求出的取值范围，即可求出的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】设等差数列的公差为，则，其前项和为，，， 则当时，，当时，，只需，可得， 所以，，则， 所以，， 故选：BC. 61．（25-26高二上·广东河源·期末）已知数列的前项和，则（    ） A． B．数列中的最小值为 C．数列是等差数列 D． 【答案】ABC 【分析】利用前项和与通项公式的关系判断A，通过分析数列的正负状况得到最小值判断B，利用等差数列的定义并结合题意判断C，先求出，，再结合绝对值数列的求法判断D即可. 【详解】对于A，因为，所以当时，； 当时，； 当时，也适合上式；所以当时，；故A正确； 对于B，因为，所以当时，，当时，， 所以为中的最小项，且；故B正确； 对于C，因为，所以， 而，可得数列是等差数列；故C正确； 对于D，因为当时，，当时，，且，， 所以 ，故D错误. 故选：ABC. 62．（25-26高二上·广东广州·期末）已知等差数列共有10项，前三项的和为6，后3项的和为，则的通项公式______; 记，则的最大值为_______. 【答案】 64 【分析】设等差数列的公差为，根据题意结合等差数列的通项公式列方程组，求出即可求出通项公式，利用指数幂的运算结合二次函数的最值即可求出最大值. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意得，即，解得， 所以的通项公式为， 则， 则 ，其中，， 因为，且，所以当或时，取得最大值， 此时取得最大值为. 故答案为：；. 63．（25-26高二上·广东广州·期末）已知等差数列满足，，则的通项公式______；记，则的最大值为______． 【答案】 【分析】利用等差数列的性质求出公差，然后求出通项公式得空一；利用指数运算化简，然后由二次函数性质即可求得最大值. 【详解】空一：记等差数列的公差为，则， 所以； 空二：因为，所以， 因为，， 所以当或时， 所以的最大值为. 故答案为：；. 九、题型九等差数列的应用 64．（2024·广东广州·模拟预测）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（   ） A．升 B．升 C．升 D．升 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列前项和公式计算即得. 【详解】依题意，竹子自下而上的各节装米量构成等差数列， 则，， 所以这根竹子的装米量为（升）. 故选：B 65．（21-22高二上·广东深圳·期末）中国明代商人程大位对文学和数学颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》．这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文为：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？请你计算甲应该分得（    ） A．76石 B．77石 C．78石 D．79石 【答案】C 【分析】设出未知数，列出方程组，求出答案. 【详解】设甲、乙、丙分得的米数为x+d，x，x-d，则，解得：d=18，，解得：x=60，所以x+d=60+18=78（石） 故选：C 66．（22-23高二上·广东梅州·期末）《孙子算经》是我国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知数”问题，其中记载：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即：一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个正整数为，当时，符合条件的所有的个数为（    ） A．12 B．13 C．24 D．25 【答案】B 【分析】设，推导出，检验得到只有当时，，满足，求出，满足要求的为公差为15的等差数列，列出不等式组，求出的个数，即满足条件的所有的个数 【详解】设，则， 当时，，不满足， 当时，，不满足， 当时，，满足， 当时，，不满足， 当时，，不满足， 综上：，即满足要求的为公差为15的等差数列， 令，解得：， 因为，故满足要求的为，共13个， 故满足要求的的个数为13个. 故选：B 67．（24-25高二上·广东揭阳·期末）“营老爷”是潮汕地区一项传统民俗活动.年，潮汕某地举行了历史悠久的三年一度“营老爷”大巡游，按照这“三年一度”的规律，该地有可能进行“营老爷”大巡游的时间是（   ） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】D 【分析】由题意可知，该地有可能进行“营老爷”大巡游的年份为，逐项判断即可. 【详解】由题意可知，该地有可能进行“营老爷”大巡游的年份为， 对于A选项，，且不是的倍数，A不合乎题意； 对于B选项，，且不是的倍数，B不合乎题意； 对于C选项，，且不是的倍数，C不合乎题意； 对于D选项，，且是的倍数，D合乎题意. 故选：D. 68．（22-23高二上·广东江门·期末）一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务，第一辆车于14时出发，以后每间隔发出一辆，假设所有的司机都连续开车，并都在19时停下来休息．已知每辆车行驶的速度都是，则这个车队当天一共行驶了______千米？ 【答案】3450 【分析】通过分析，这15辆车的行驶路程可以看作等差数列，利用等差数列求和公式进行求解即可. 【详解】由题意知，第一辆车行程为km， 且从第二辆车开始，每辆车都比前一辆少走km， 这15辆车的行驶路程可以看作首项为300，公差为-10的等差数列， 则15辆车的行程路程之和为（km）. 故答案为：3450. 69．（25-26高二上·广东清远·期末）某地新建一个会议厅，要求容纳880个座位，会议厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，则第20排有_____个座位. 【答案】63 【分析】将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列，其前项和为，由题意可知是等差数列，再结合题意建立方程求出首项，最后利用求和公式求解即可. 【详解】设会议厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前项和为， 依题意得数列是一个公差为2的等差数列，且， 则，得，故. 故答案为：63. 70．（25-26高二上·广东东莞·期末）现有一种构造新数列的方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的等差中项，得到一个新的数列；再将新得到的数列按照上述方法构造，又得到一个新的数列；重复以上操作.现将数列1，3按照上述方法进行构造，第一次得到的新数列为1，2，3；第二次得到的新数列为1，，2，，3；第三次得到的新数列为1，，，，2，，，，3；⋯，记第次得到的新数列为1，，，，⋯，，3，且.当时，_____，_____.（用数值作答） 【答案】 15 2026 【分析】根据题意，找到规律，类比推理，即可求解值，分别求出、、找到规律，结合等差中项及等比数列求和公式，即可得答案. 【详解】第一次得到的新数列：1，2，3，所以， 第二次得到的新数列为1，，2，，3，所以， 第三次得到的新数列为1，，，，2，，，，3，所以， 依此类推可得：当时，， 设第次得到的新数列为1，，，，⋯，，3； 则第次得到的新数列：1，，，，，，，⋯，，，3 所以， 又因为， 所以， 由等差中项可得：，，， 所以， 即，故， 又因为第一次构造时，中间项只有2，所以， 所以数列是以公比为2，首项为的等比数列， 所以，化简可得：， 所以， . 故答案为：15；2026. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $