2.2 三角形全等的判定 课件 2026-2027学年青岛版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦三角形全等的判定，系统涵盖SAS、ASA、AAS、SSS及直角三角形HL判定方法。课堂导入通过“全等三角形性质反推判定条件”的问题链，以“一个条件→两个条件→三个条件”的探究活动为支架，衔接从定义到判定的逻辑脉络。 其亮点在于通过动手画图、叠合实验等操作培养学生几何直观（数学眼光），对比“边边角”与“边角边”等辨析发展推理意识（数学思维），结合池塘测距等实际问题及规范符号语言强化应用意识（数学语言）。学生能深化判定原理理解，教师可依托清晰探究流程提升教学效率。

2.2 三角形全等的判定 第2章 全等三角形 22005 2.2 课时1 SAS 第2章 全等三角形 22005 1.理解确定两个三角形全等至少需要三个条件. 2.掌握三角形全等的判定方法1——边角边. 3.能运用“边角边”解决简单的实际问题. 学习目标 22005 任务一：掌握三角形全等的判定方法1——边角边. 活动：找一找：已知△ABC ≌△DEF，找出其中相等的边与角，并思考当两个三角形全等时，它们的三条边、三个角分别对应相等,反过来是否成立？ 三条边分别相等，三个角分别相等的两个三角形全等． 想一想：如果只满足这些条件中的一部分,能保证△ABC≌△DEF吗? A B C D E F ①AB=DE ③ CA=FD ② BC=EF ④ ∠A= ∠D ⑤ ∠B=∠E ⑥ ∠C= ∠F 活动探究 22005 ① 一条边相等:AB=DE A B C D E F C、F两点可以任意变化， 显然不能保证△ABC≌△DEF ② 一个角相等:∠BAC=∠EDF A B C D E F 不能保证三条边的长度， 显然不能保证△ABC≌△DEF 探究(1)：一个条件可以判定三角形全等吗? 22005 探究(2)：两个条件可以判定三角形全等吗? ① 两条边相等：AB=DE，AC=DF A B C D E F ∠BAC和∠EDF的度数可以不相等，显然不能保证△ABC≌△DEF. ② 一边一角相等:∠A=∠D，AB=DE A B C D E F AC和DF长度可以不相等， 显然不能保证△ABC≌△DEF 22005 ③ 两个角相等 根据三角形内角和定理，可推出这两个三角形三个角都相等. 但三个角都相等仍然无法保证两个三角形全等，如下图. E点为AB边上一点，作EF∥BC交AC于F； △ABC与△AEF三个角都相等，但△ABC与△AEF不全等. A B C E F 22005 探究(3)：三个条件可以判定三角形全等吗? ① 三个条件可以分为几种情况呢？ a.都给角：给三个角（情况同两个角相等） b.都给边：给三条边 c.既给角，又给边：①给一条边，两个角 ②给两条边，一个角 22005 ② 探究两条边和一个角相等的两个三角形是否会全等？ a.请动手画画，你能得出一个三角形中两条边与一个角的位置有几种可能性？ A B C A B C “两边及夹角” “两边和其中一边的对角” 22005 平移△ABC，使点B与B′重合，BC落在B′C′上，点A、A′在BC同侧，因BC=B′C′，故点C、C′重合.因∠B=∠B′，故射线BA与BA′重合，点A、点A′重合.所以△ABC ≌△A′B′C′. b.每位同学在纸上的两个不同位置分别画一个三角形，它的一个角为50°，夹这个角的两边分别为2cm，2.5cm. 通过适当的叠合方式，判断这两个三角形是否全等? A B C 22005 c.如图，把一长一短两根木棍的一端固定在一起摆出△ABC.长木棍固定，转动短木棍，得到△ABD.可知这两个三角形的哪些边、角相等？它们全等吗？ △ABC和△ABD满足AB=AB ,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC与△ABD不全等. B A C D d.由以上解题过程，你能得出什么结论？ 22005 活动小结 “边角边”判定三角形全等 文字语言：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(简写为“边角边”或“SAS”) 数学语言：在△ABC和△ DEF中， A B C D E F AB=DE， ∠A=∠D， AC=DF， 所以△ABC ≌△ DEF（SAS）. 注意：两边和其中一边的对角相等(边边角)不能保证两个三角形全等. 22005 练一练 如图，点E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF.试说明：△AFD≌△CEB. F A B D C E 解：因为AD//BC， 所以∠A=∠C， 在△AFD和△CEB中， 所以△AFD≌△CEB（SAS）. 因为AE=CF， 所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE. AD=CB ∠A=∠C AF=CE （已知）， （已证）， （已证）， 22005 活动：如图，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想测量 A，B 两点之间的距离.他设计了一个方案:先在平地上取一个能够直接到达点 A，B 的点 C，连接 AC，在射线 AC 上取一点 D，使CD=CA;连接 BC，在射线BC 上取一点 E，使 CE=CB.测量 DE 的长，则 DE 的长就是 A，B 两点之间的距离.他的方案是否正确?为什么? C · A E D B 任务二：运用“边角边”解决简单的实际问题. 22005 C · A E D B 解：他的方案正确.理由如下: 在△ACB 和△DCE 中： CA = CD, ∠ACB = ∠DCE（对顶角相等）， CB=CE（已知）， 所以 △ACB ≌△DCE （SAS）. 所以 AB = DE（全等三角形的对应边相等）. 22005 1.如图，已知AC=BD，可添加一个条件 ，使得△ABC和△BAD全等. A B C D ∠CAB=∠DBA 当堂检测 22005 2. 小兰做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH, ED=FD ，小明说能不用测量就知道EH=FH，他的说法正确吗？为什么？ 解：正确，理由如下： 在△EDH和△FDH中，ED = FD、（已知） ∠EDH =∠FDH（已知）、DH = DH（公共边）， 由SAS，所以△EDH ≌ △FDH. 所以EH = FH（全等三角形对应边相等）. E F D H 22005 针对本节课的关键词“边角边”，你能说说学到了哪些知识吗？ 三角形全等的判定 确定两个三角形全等至少需要三个条件 判定方法1-SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 SAS的应用 课堂总结 22005 2.2 课时2 ASA、AAS 第2章 全等三角形 22005 1.掌握三角形全等的判定方法2和判定方法3——角边角、角角边，能运用它们解决问题. 学习目标 22005 课堂导入 画出△ABC和△ A'B'C' ，使其满足有三个相等条件，此时的△ABC和△A'B'C'全等吗？ 1.有两条边和一个角对应相等的情况. 2.有三条边对应相等的情况. 3.有一条边和两个角对应相等的情况. 4.有三个角对应相等的情况. 22005 任务一：掌握三角形全等的判定方法2——角边角 活动1：先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使A'B'=AB，∠A'=∠A， ∠B'=∠B(即两角和它们的夹边对应相等).把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，判断它们是否全等，并说说你在实验中得到了什么结论？ A C B A´ C´ B´ 作法：① 画A'B'=AB ② 在A'B'的同旁画∠C'A'B' = ∠A，∠C'B'A' = ∠B 活动探究 22005 活动总结 “角边角”判定三角形全等 数学语言：在△ABC和△ A'B'C'中， ∠A=∠A'， AB=A'B'， ∠B=∠B'， 所以△ABC ≌△A'B'C'（ASA）. 文字语言：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写为“角边角”或“ASA”). A B C A′ B′ C′ 22005 练一练 ∠ABC＝∠DCB(已知）， BC＝CB（公共边）， ∠ACB＝∠DBC（已知）， 解： 在△ABC和△DCB中， 所以△ABC≌△DCB（ASA ）. B C A D 已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC，试说明：△ABC≌△DCB． 22005 活动1：合作讨论，回答下列问题. A B C D E F 问题1：如图，已知在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF， （1）边BC和∠A有什么关系？边EF和∠D呢？ （2）这里的条件与“ASA”中的条件有什么相同点与不同点？ （3）你能判定△ABC与△DEF全等吗？为什么？ 任务二：掌握三角形全等的判定方法3——角角边 因为∠A＋∠B＋∠C=180o，∠D＋∠E＋∠F=180o，所以∠C=∠F，在△ABC和△DEF中， 由ASA，所以 △ABC≌△DEF(ASA) （4）由上述解答过程，你能得出什么结论？ 22005 “角角边”判定三角形全等 数学语言：在△ABC和△A'B'C'中， 文字语言：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等(简写为“角角边”或“AAS”) ∠A=∠A'， ∠B=∠B'， AC=A'C'， 所以△ABC≌△A'B'C'(AAS). A B C A′ B′ C′ 归纳总结 22005 问题2：如图：△ABC是直角三角形， ∠ACB＝90o ,CD AB,垂足为D， （1）观察图形，在△ACD与△CBD中有哪些边角相等？△ACD与△CBD会全等吗？ A B C D ∠A= ∠1 ∠ADC= ∠CDB=90o CD=CD （ 1 在△ACD与△CBD中 归纳总结 两个三角形并非有两角一边对应相等便能判别它们全等，只有满足（ASA）和（AAS）才行. 两个三角形不会重合，所以不全等. （2）由上述解答过程，你能得出什么结论？ 22005 练一练 如图，AD是△ABC的中线，过点C，B分别作AD的垂线CF，BE.试说明：△BDE≌△CDF. 解：因为AD是△ABC的中线，所以BD＝CD. 因为CF⊥AD，BE⊥AE， 所以∠CFD＝∠BED＝90°. 在△BDE和△CDF中， 所以△BDE≌△CDF(AAS)． 22005 活动2：在△ABC 与△DCB 中,∠A=∠D.再添加一个什么条件,△ABC 与△DCB 全等? 添加条件∠ABC=∠DCB.理由如下:在△ABC 和△DCB 中, ∠A=∠D, ∠ABC=∠DCB, BC=CB, 所以△ABC≌△DCB(AAS). 你还能添加什么条件,使△ABC 与△DCB 全等? 22005 1.在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69° ，∠A′＝44°，且AC＝A′C′，那么这两个三角形（　 ） A．一定不全等　 B．一定全等　 　 C．不一定全等　　 D．以上都不对 B 2.如图，一块三角形玻璃板破裂成①,②,③三块，现需要买另一块同样大小的一块三角形玻璃,为了方便,只需带第______块碎片比较好． ③ 当堂检测 22005 3.如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由. 不全等，因为BC虽然是公共边，但不是对应边. A B C D 22005 针对本节课的关键词“两角一边”，你能说说学到了哪些知识吗？ 三角形全等的判定 判定方法2-ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 判定方法3-AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等 注意：两个三角形并非有两角一边对应相等便能判别它们全等，只有满足（ASA）和（AAS）才行. 课堂总结 22005 2.2 课时3 三角形全等的判定SSS 第2章 全等三角形 22005 1.掌握三角形全等的判定方法4——边边边. 2.知道三角形具有稳定性和四边形的不稳定性. 3.能灵活运用判定方法解决问题. 学习目标 22005 尝试用反证法来验证这个猜想 问题1：三个角相等能否判定两个三角形全等？ 任务一：理解三角形的稳定性，掌握三角形全等的判定方法—边边边. 活动1：思考与交流. 活动探究 22005 假设三个对应角分别相等的两个三角形全等 此时可先画出任意一个三角形，如图 ①原图 ②将原图缩放之后，每个角的大小时不变的，但缩小图与原图显然不能重合 ③扩大后的图依旧保持每个角的大小不变，但与原图显然不能重合 综上，三个角对应相等的两个三角形不一定全等！ 22005 用三条边相等来验证两个三角形全等 尝试用尺规作图来验证这个猜想 ①先任意画一个三角形 ②作线段BC= ③分别圆心，以AB,AC为半径在的同一侧作弧，设两弧的交点为，连接， ④这样就作出了三边分别相等的两个三角形，再把两个三角形重叠在一起 两个三角形能够完全重合！ 22005 活动2：实验与探究 问题1：如图，将七根木条分别用钉子钉成一个三角形木架和一个四边形木架，分别拉动这两个架子的边框，它们的形状会改变吗？ 三角形的大小和形状是固定不变的，而四边形的形状会改变. 问题2：取与图1中的三根木条分别相等的木条，再制作一个三角形架子，这两个三角形架子的形状、大小相同吗？把其中一个架子叠放在另一个架子上，它们能重合吗？ 图1 图2 问题3：通过这个实验，你能得出什么结论？ 22005 “边边边”判定三角形全等 文字语言：三边分别相等的两个三角形全等(简写为“边边边”或“SSS”). 数学语言：在△ABC和△DEF中， A B C D E F AB=DE， BC=EF， CA=FD， 所以△ABC ≌△ DEF（SSS）. 活动小结 三角形具有稳定性，它的形状、大小是固定不变的；四边形没有稳定性，它的形状、大小是可以改变的. 22005 练一练 如图, C是BF的中点，AB =DC,AC=DF.试说明:△ABC ≌ △DCF. 解：因为C是BF中点，所以BC=CF. 在△ABC 和△DCF中， AB = DC， (已知) (已证) AC = DF， (已知) BC = CF， 所以 △ABC ≌ △DCF 22005 活动：运用已学的判定方法，解决下列问题. 如图，AB=AC, BD=CD，E为AD上一点，试说明： BE=CE，说说你的求解思路. 解：在△ABD和△ACD中， AB=AC BD=CD AD=AD (已知）， (公共边）， (已知）， 在△ABE和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAD AE=AE (已知）， (公共边）， (已证）， 所以△ABD≌△ACD（SSS）， 所以∠BAD=∠CAD， 所以△ABE≌△ACE（SAS）， 所以 BE=CE. 任务二：能灵活运用判定方法解决问题. 注：要说明线段或角相等,可以通过说明该线段或角所在的三角形全等,具体说理时,常常要说明两次三角形全等. 22005 议一议：通过实验和探究，我们知道，判定两个三角形全等，除了用定义以外，还有四个判定方法，你发现这四个判定方法有什么共同特点？与同学交流. 归纳总结 共同特点： 1.判定三角形全等至少要有一组边！特别关注边角的位置！ 2.判定两个三角形全等的条件，也是确定一个三角形的条件,即： 如果一个三角形两边及其夹角，两角及其夹边，两角及其中一角的对边或三边确定后，那么这个三角形的形状和大小也就完全确定了. 22005 练一练 如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ） A．AB=DE B．∠A=∠D C．AC=DF D．AC∥FD C 22005 1.如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了( ) A. 节省材料，节约成本 B. 保持对称 C. 利用三角形的稳定性 D. 美观漂亮 C 当堂检测 22005 2.如图,E是AC上一点,AB=AD,BE=DE,可应用“SSS”说明三角形全等的是（ ） A. △ABC≌△ADC B. △ABE≌△ADE C. △CBE≌△CDE D. 以上选项都对 B 22005 3.如图，△DEF中，DE=DF=5cm，DG是EF边上的中线（EG=FG=2cm）.则DG一定是（ ） A. 角平分线 B. 高 C. 角平分线和高 D. 以上都不是 C 22005 三角形全等的判定 判定方法-SSS 三边分别相等的两个三角形全等 说一说你本堂课都学到了哪些知识？ 灵活运用4种判定方法解决问题 三角形具有稳定性，四边形没有稳定性 课堂总结 22005 第2章 全等三角形 2.2 课时4 直角三角形全等的判定 22005 1.探究并理解直角三角形全等的判定方法“HL”；（难点） 2.会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形 全等；（重点） 3.通过探究与交流，解决一些问题，获得成功的经验，进一步激发探究的积极性. 学习目标 22005 如图，Rt△ABC 中，∠C = 90°，直角边是_____、_____，斜边是______. C B A AC BC AB 认识直角三角形： 新课导入 22005 判定两个三角形全等的方法： 判定方法 简称 图示 两边和它们的 夹角分别相等 SAS A B C C' A' B' 两角和它们的 夹边分别相等 ASA A B C C' A' B' A B C C' A' B' AAS A B C C' A' B' 三边分别相等 SSS 22005 两个直角三角形,除直角外,增加哪两个条件,可以判定这两个直角三角形全等? 探究一 直角三角形全等的判定 ①一条直角边和一锐角分别相等 A B C A' B' C' ASA 或AAS 活动探究 22005 ②斜边和一锐角分别相等 A B C A' B' C' AAS 22005 ③两直角边分别相等 A B C A B C SAS 22005 如果满足斜边和一条直角边分别相等呢？ 这两个直角三角形全等吗? 如图,将一张长方形硬纸片沿虚线剪开,可得到一张直角三角形纸片,其一条直角边长为6cm,斜边长为8cm. 思考与交流 22005 (2)改变上述条件中直角边和斜边的长度,再试一试. (1)将你的直角三角形纸片与同学的进行比较,它们能重合吗? 能重合 能重合 你发现了什么？ 22005 任意画出一个Rt△ABC，使∠C = 90°. 再画一个Rt△A′B′C′ ，使∠C′ = 90°，B′C′ = BC，A′B′ = AB，把画好的Rt△A′B′C′ 剪下来，放到 Rt△ABC 上， 它们重合吗？ 如果满足斜边和一条直角边分别相等呢？ 这两个直角三角形全等吗? A B C 22005 (2) 在射线 C'M 上截取 B'C' = BC； (3) 以点 B' 为圆心，AB 长为半径画弧， 交射线 C'N 于点 A'. (4) 连接 A'B'. 怎么画出Rt△A'B'C'？ A B C M C′ N B′ A′ 作法： (1) 画 ∠MC'N = 90°； 你发现了什么？ 22005 文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形 全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”). 直角三角形全等的判定定理 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， ∠C=∠C' =90°, AB=A'B', AC =A'C' Rt△ABC≌Rt△△A'B'C' A B C A′ B′ C′ 22005 例1 如图,在四边形ABCD 中,∠A=∠C=90°,AD=CB. 求证:AB=CD. B D C A ∴AB=CD. 证明:如图,连接BD. 在Rt△ABD 和Rt△CDB 中, ∠A=∠C=90°. AD=CB BD=DB ∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL) 22005 若它们不在两个全等三角形中,可以通过添加辅助线,构造两个全等三角形,使待证的线段或角分别作这两个全等三角形的对应边或对应角. 在证明两条线段相等或两个角相等时, 一般地，证明它们所在的两个全等三角形； 22005 当堂检测 B 1．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，下列条件中不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（　　） A．AC=A′C′，∠B=∠B′ B．∠A=∠A′，∠B=∠B′ C．AB=A′B′，AC=A′C′ D．AB=A′B′，∠A=∠A′ 22005 2.如图，点D为△ABC的边BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，DE=DF. 求证：（1）BE=CF；（2）AB=AC. 在 和 中 所以 HL） 所以 由(1)知 所以 所以等腰三角形 所以 22005 3.已知：如图，∠C=∠D=90°，AD=BC.求证：∠ABC=∠BAD. 因为∠C=∠D=90° 所以△ABC与△BAD都是直角三角形 在Rt△ABC和Rt△BAD中 所以Rt△ABCRt△BAD（HL） 所以∠ABC=∠BAD 22005 课堂小结 HL判定定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”) 数学语言： 在 Rt 22005 $