第七章 第56课时 向量法求空间角(一) 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“向量法求空间角”专题，覆盖异面直线所成角、直线与平面所成角两大核心考点，依据高考评价体系明确考查要求，通过梳理知识点公式、分析近5年真题考点权重，归纳坐标法、基向量法等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题演练+通性通法+素养培养”，以2025全国一卷、2023全国甲卷等真题为例，详解坐标法建系、法向量求线面角等技巧，培养学生数学思维与空间观念。特设“易错点警示”和“多维变式训练”，帮助学生掌握答题规范，教师可据此精准教学，助力高考高效冲刺。

第七章　立体几何与空间向量 第56课时　向量法求空间角(一) [考试要求]　能用向量法解决与异面直线所成的角、直线与平面所成的角有关的问题，体会向量法在研究空间角问题中的作用． 第56课时　向量法求空间角(一) 理法先行·题练固本 知识点1　异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝． 第56课时　向量法求空间角(一) 3 知识点2　直线与平面所成的角 如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝． 第56课时　向量法求空间角(一) 1．(人教A版选择性必修第一册P38练习T1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是(　　) A． B． C． D． √ 第56课时　向量法求空间角(一) A　[如图，建立空间直角坐标系．设BC＝CA＝CC1＝1，则A(1，0，1)，B(0，1，1)，D1，F1， 所以|cos 〈〉|＝ ．故选A．] 第56课时　向量法求空间角(一) 2．(苏教版选择性必修第二册P35练习T1(3)改编)已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° √ 第56课时　向量法求空间角(一) A　[设直线l与平面α所成的角为θ， 则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝， 所以直线l与平面α所成的角为30°． 故选A．] 第56课时　向量法求空间角(一) 考点深研·题型突破 考点一　异面直线所成的角 [典例1]　(1)(2026·安丘模拟)已知圆台的上底面圆O'的半径为1，下底面圆O的半径为2，点A'，A分别在上、下底面圆周上，且O'A'⊥OA，OO'＝1，则直线AA'与OO'所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． √ 第56课时　向量法求空间角(一) 9 (2)(2026·佛山模拟)正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形)．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．如图，已知一个正八面体ABCDEF的棱长为2，M，N分别为棱AD，AC的中点，则直线BN和FM所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． √ 第56课时　向量法求空间角(一) (1)A　(2)D　[(1)设圆台经过点A'的母线为A'B， ∵O'A'⊥OA，∴OA⊥OB，以O为原点，OA，OB，OO'所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 第56课时　向量法求空间角(一) 则O(0，0，0)，A(2，0，0)，A'(0，1，1)，O'(0，0，1)，可得＝(－2，1，1)，||＝， ∵＝(0，0，1)， ∴cos〈〉＝，即直线AA'与OO'所成角的余弦值为． 故选A． 第56课时　向量法求空间角(一) (2)法一：连接BD，AF交于点O，连接OC， 易知OC，OD，OA两两垂直，如图，建立空间直角坐标系Oxyz， 则B(0，－，0)，C(，0，0)，A(0，0，)，D(0，，0)，F(0，0，－)， 所以N，M， ， 所以|cos〈〉|＝， 即直线BN和FM所成角的余弦值为． 第56课时　向量法求空间角(一) 法二：由题意，可得， ＝－， 连接BD(图略)，由正八面体ABCDEF的棱长都是2，且各个面都是等边三角形，易知四边形BCDE为正方形， 在△ABD中，由AB＝AD＝2，BD＝2，可得AB2＋AD2＝BD2，所以AB⊥AD， 第56课时　向量法求空间角(一) 所以＝－＝－×2×2×＋0－×2×2×＋22＝－－1＋4＝，||＝， ||＝＝＝， 所以|cos〈〉|＝， 即直线BN和FM所成角的余弦值为．] 第56课时　向量法求空间角(一) 通性通法：向量法求异面直线所成角的两种方法及一个注意点 1．两种方法 (1)基向量法：利用线性运算． (2)坐标法：利用坐标运算． 2．一个注意点 注意异面直线所成的角与向量夹角的区别，尤其是取值范围． 第56课时　向量法求空间角(一) [多维变迁] 1．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，若直线CA1与直线AB所成的角为60°，则AA1＝(　　) A． B．2 C．2 D．2 √ 第56课时　向量法求空间角(一) B　[如图，以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则B(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)． 设A1(2，0，z)，z>0， 则＝(2，0，0)，＝(2，－2，z)， 所以|cos 〈〉|＝＝cos 60°＝， 解得z＝2，故AA1＝2．故选B．] 第56课时　向量法求空间角(一) 2．(2026·张掖模拟)如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD，AA1＝A1B1＝AB＝1，∠ABC＝，则直线AC与直线BB1所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． √ 第56课时　向量法求空间角(一) A　[取BC的中点F，连接AF，则由题意可得AF⊥BC，AF⊥AD，且BF＝1，AF＝， 以A为坐标原点，AF，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 第56课时　向量法求空间角(一) 则A(0，0，0)，B(，－1，0)，B1，C(，1，0)， ∴＝(，1，0)， ∴|cos〈〉|＝， ∴直线AC与直线BB1所成角的余弦值为． 故选A．] 第56课时　向量法求空间角(一) 【教用·备选题】 1．(2025·海南期末)如图，在棱长为6的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，AB的中点，则异面直线BE，CF所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． √ 第56课时　向量法求空间角(一) A　[作AO⊥平面BCD，垂足为O， 因为四面体ABCD为正四面体， 所以O为△BCD的中心， 连接OC，则OC⊥BD， 则以O为坐标原点，OC，OA所在直 线分别为y轴、z轴建立如图所示的 空间直角坐标系， 则A(0，0，2)，B(3，－，0)，C(0，2，0)，D(－3，－，0)， 所以E，F， 所以， 设异面直线BE，CF所成的角为θ， 所以cos θ＝|cos〈〉|＝． 故选A．] 2．(2025·全国一卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD． (1)证明：平面PAB⊥平面PAD． (2)设PA＝AB＝，BC＝2，AD＝1＋，且点P，B，C，D均在球O的球面上． (ⅰ)证明：点O在平面ABCD内； (ⅱ)求直线AC与PO所成角的余弦值． 第56课时　向量法求空间角(一) [解]　(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD， 又AD⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB， 又AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PAB． (2)(ⅰ)证明：以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，   则B(，0，0)，C(，2，0)，D(0，1＋，0)，P(0，0，)，设O(a，b，c)，因为点P，B，C，D均在球O的球面上，所以||＝||＝||＝||，则(a－)2＋b2＋c2＝(a－)2＋(b－2)2＋c2＝a2＋(b－1－)2＋c2＝a2＋b2＋(c－)2， 得a＝0，b＝1，c＝0，即O(0，1，0)， 所以点O在AD上，即点O在平面ABCD内． (ⅱ)＝(，2，0)，＝(0，1，－)， 则cos〈〉＝， 所以直线AC与PO所成角的余弦值为． 考点二　直线与平面所成的角 [典例2]　(2025·哈尔滨期末)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点． (1)证明：BC1∥平面A1CD； (2)已知AB＝2，AA1＝AC＝CB＝， 求CD与平面A1CE所成角的大小． 第56课时　向量法求空间角(一) [解]　(1)证明：连接AC1，交A1C于点P，连接DP， 因为点D，P分别是AB，AC1的中点，所以DP∥BC1， 因为DP⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD， 所以BC1∥平面A1CD． (2)因为AB＝2，AA1＝AC＝CB＝， 所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥CB， 如图，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 第56课时　向量法求空间角(一) 则C(0，0，0)，D，A1(，0，)，E＝(，0，)， 设平面A1CE的法向量为m＝(x，y，z)， 则 令x＝2，则y＝1，z＝－2， 所以平面A1CE的一个法向量为m＝(2，1，－2)． 设CD与平面A1CE所成的角为θ， 第56课时　向量法求空间角(一) 则sin θ＝|cos〈，m〉|＝， 又θ∈， 所以直线CD与平面A1CE所成角的大小为． 第56课时　向量法求空间角(一) 通性通法：线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|． 第56课时　向量法求空间角(一) 【教用·通性通法】 空间向量求直线与平面所成角的方法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角． 第56课时　向量法求空间角(一) [多维变迁] (2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1． (1)证明：A1C＝AC； (2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1 与平面BCC1B1所成角的正弦值． 第56课时　向量法求空间角(一) [解]　(1)证明：过A1作A1D⊥CC1，垂足为D， ∵A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1C⊥BC， 又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC， ∵A1C，AC⊂平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C， ∴BC⊥平面ACC1A1， ∵A1D⊂平面ACC1A1，∴BC⊥A1D， 又CC1，BC⊂平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C， ∴A1D⊥平面BCC1B1，∴A1D＝1． 第56课时　向量法求空间角(一) 由已知条件易证△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1D＝1， ∴D为CC1的中点，又A1D⊥CC1， ∴A1C＝A1C1， 又在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝A1C1， ∴A1C＝AC． 第56课时　向量法求空间角(一) (2)连接A1B，由(1)易证A1B＝A1B1，故取BB1的中点F，连接A1F， ∵AA1与BB1的距离为2，∴A1F＝2， 又A1D＝1且A1C＝AC， ∴A1C＝A1C1＝AC＝，AB＝A1B1＝，BC＝． 建立空间直角坐标系Cxyz如图所示， 第56课时　向量法求空间角(一) 则C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，，0)，B1(－)，C1(－，0，)， ∴＝(0，，0)，＝(－，0，＝(－2)． 设平面BCC1B1的法向量为n＝(x，y，z)， 则 第56课时　向量法求空间角(一) 即取x＝1，则y＝0，z＝1， ∴平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1，0，1)． 设AB1与平面BCC1B1所成角为θ， 则sin θ＝|cos〈n，〉|＝． ∴AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为． 第56课时　向量法求空间角(一) 【教用·备选题】 如图，四棱锥P-ACDB中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝4，C，D是平面ABC内以AB为直径的半圆弧的三等分点． (1)证明：平面PAC⊥平面PBC； (2)求PD与平面PBC所成角的正弦值． 第56课时　向量法求空间角(一) [解]　(1)证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC， 因为C是平面ABC内以AB为直径的半圆弧的三等分点，所以AC⊥BC， 因为PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC， 所以BC⊥平面PAC， 又因为BC⊂平面PBC， 所以平面PAC⊥平面PBC． 第56课时　向量法求空间角(一) (2)以A为坐标原点，垂直于AB的直线为x轴，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则A(0，0，0)，P(0，0，4)，B(0，4，0)，C(，1，0)，D(，3，0)， 故＝(，3，－4)，＝(0，4，－4)，＝(－，3，0)， 设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)， 第56课时　向量法求空间角(一) 则 则⇒ 可以取m＝(，1，1)为平面PBC的一个法向量，设直线PD与平面PBC所成角为θ， 所以sin θ＝|cos〈，m〉|＝， 故PD与平面PBC所成角的正弦值为． 第56课时　向量法求空间角(一) 1．(链接考点一)(人教B版选择性必修第一册P37练习AT3改编)已知直线l1的方向向量为s1＝(1，0，1)，直线l2的方向向量为s2＝(－1，2，－2)，则l1和l2所成角的余弦值为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． √ 第56课时　向量法求空间角(一) C　[因为s1＝(1，0，1)，s2＝(－1，2，－2)，所以cos〈s1，s2〉＝＝－．又两直线所成角的取值范围为，所以l1和l2所成角的余弦值为．] 第56课时　向量法求空间角(一) 2．(链接考点二)(2025·庐山月考)在三棱锥P-ABC中，P(0，0，1)，A(0，，0)，B(1，，0)，C(2，0，0)，则PC与平面PAB所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． √ 第56课时　向量法求空间角(一) C　[因为P(0，0，1)，A(0，，0)，B(1，，0)，C(2，0，0)， 故＝(0，，－1)，＝(1，，－1)，＝(2，0，－1)， 设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)， 则 令y＝1，则x＝0，z＝， 故n＝(0，1，)为平面PAB的一个法向量， 设PC与平面PAB所成的角为θ， 则sin θ＝． 故选C．] 第56课时　向量法求空间角(一) 3．(链接考点一)(2026·白银模拟)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，BB1＝2，，则异面直线A1M和BN所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． √ 第56课时　向量法求空间角(一) B　[如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，BB1＝2，， 则A1(3，0，2)，M(2，2，0)，B(3，3，0)，N(2，1，2)， 所以＝(－1，2，－2)，＝(－1，－2，2)， 设异面直线A1M和BN所成的角为θ， 则cos θ＝＝． 故选B．] 第56课时　向量法求空间角(一) 4．(链接考点二)(人教A版选择性必修第一册P43习题1.4T10改编)设M，N分别是正方体ABCD-A'B'C'D'的棱BB'和B'C'的中点，则直线MN与平面A'BCD'所成角的正弦值为______________．   第56课时　向量法求空间角(一) 　[建立空间直角坐标系如图，设AB＝2， 则M(2，2，1)，N(1，2，2)，B(2，2，0)，A'(2，0，2)，C(0，2，0)， 则＝(－1，0，1)，＝(0，－2，2)，＝(－2，0，0)． 第56课时　向量法求空间角(一) 设平面A'BCD'的法向量为n＝(x，y，z)， 故 令z＝1，则y＝1，x＝0，所以平面A'BCD'的一个法向量为n＝(0，1，1)， 所以MN与平面A'BCD'所成角的正弦值为|cos〈，n〉|＝．] 第56课时　向量法求空间角(一) 谢谢！ $