精品解析：2026年湖南省益阳市沅江市两校联考九年级中考前模拟试题卷数学

2025-2026学年下学期第三次中考模拟检测试卷 数 学 注意事项∶ 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 一、选择题（本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断选项即可． 【详解】解：A选项，不是轴对称图形，是中心对称图形，故A不满足题意； B选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不满足题意； C选项，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C满足题意； D选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不满足题意 ． 2. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方及幂的乘方运算逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、根据同底数幂的除法运算法则，，故此选项错误，不符合题意； B、根据同底数幂的乘法运算法则，，故此选项错误，不符合题意； C、根据积的乘方运算法则，，故此选项正确，符合题意； D、根据幂的乘方运算法则，，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查整式混合运算，涉及同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方及幂的乘方运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． 3. 如图是由7个大小相同的小正方体组合而成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：该几何体的左视图为： ． 4. 智慧农业大棚采用自动温控系统．某日棚内温度变化规律为：每小时上升或下降．若初始温度为，经过 小时后的温度可能表示为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况：①若某日棚内温度变化规律为：每小时上升，②若某日棚内温度变化规律为：每小时下降，分别列出代数式即可得． 【详解】解：①若某日棚内温度变化规律为：每小时上升， 则经过 小时后的温度可能表示为； ②若某日棚内温度变化规律为：每小时下降， 则经过 小时后的温度可能表示为； 综上，经过 小时后的温度可能表示为或． 5. 若关于 的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的解集，结合数轴可得关于 的方程，求解即可． 【详解】解：， 两边同乘以，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 由数轴可得，不等式的解集为， ∴， 解得． 6. 如图，把长方形 沿 折叠，点A，B分别落在点，处，与 交于点G．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，根据折叠的性质，得到，利用平行线的性质求出的度数，再利用角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∵长方形 ， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 故选B． 7. 在 中， ，，若将 的三边都扩大3倍，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题关键．设，，，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：设，，， 在 中， ，， 扩大3倍后的三边为、、， 扩大3倍后的， 故选：A． 8. 某列车提速前行驶与提速后行驶所用时间相同，若列车平均提速，设提速后平均速度为，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据提速前行驶400km与提速后行驶500km所用时间相等，结合时间等于路程除以速度的关系列方程即可． 【详解】解：设提速后平均速度为，则提速前的平均速度为 ， 根据题意得：． 9. 如图，菱形的顶点A 在 x 轴正半轴上，反比例函数的图象过点C和菱形对角线的交点M，若菱形的边长为3，则k的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，反比例函数图象上点的坐标特征，先证明，，设，可得，，求解，过 作于 ，再进一步求解即可． 【详解】解：∵菱形的顶点 在 轴正半轴上，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∵反比例函数的图象过点C和菱形对角线的交点M， ∴， 解得：， 过 作于 ， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 10. 如图， 的直径，点 C 是的中点，的平分线 交 于点 D．过点 D 作 的切线分别交的延长线于点 E，F，连接．下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，证明 ，得到，故A选项正确；求出，，得到，故B选项正确； 求出，得到，故C选项正确；过点 作 于点 H ， ，得到，故D选项错误． 【详解】解：连接， ∵点 C 是的中点， 的直径， ∴， ， ∴， ∵的平分线 交 于点 D． ∴，  ∵， ∴， ， ∴，  ∵ 是 的切线，  ∴，即 ， ∵，  ∴， 故A选项正确； ∵， 在中，，， ∴，， ， 故B选项正确； 在中，，， ∴是等腰直角三角形 ， ∵， ∴， ∴， 故 C 选项正确； 过点 作于点 H ， 在中，， ∴ ， ∴， 故 D 选项错误． 二、填空题（本大题包括8个小题，每小题3分，共24分） 11. 因式分解：3a2-6a=____________． 【答案】3a（a-2）． 【解析】 【详解】试题解析：3a2-6a=3a（a-2）． 考点：因式分解-提公因式法． 12. 已知命题：“全等三角形对应边相等”，则它的逆命题为__________． 【答案】 对应边相等的两个三角形全等 【解析】 【分析】本题考查逆命题的概念，找出原命题的条件和结论，将条件和结论互换，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“全等三角形对应边相等”中，条件为“两个三角形全等”，结论为“两个三角形对应边相等”，将条件和结论互换，得到逆命题为：对应边相等的两个三角形全等. 故答案为对应边相等的两个三角形全等． 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得， 故答案为： 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，熟知被开方式为非负数是解题的关键． 14. 已知，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式等于0求解即可． 【详解】解：∵该方程有两个相等的实数根， ∴ ， 即 又∵， ∴． 15. 若一个正多边形的每一个外角都是 ，则这个正多边形的边数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据任意多边形的外角和为 ，正多边形的每个外角相等，利用外角和除以单个外角的度数，即可求出该正多边形的边数． 【详解】解：任意多边形的外角和为，正多边形的每个外角相等， 该正多边形的边数为， 则这个正多边形的边数是． 16. 如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点 、，作直线 ，交 于点 ，连接 ．若 ，，则为_______度． 【答案】38 【解析】 【分析】由题意可得， 垂直平分 ，则，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】由题意可得， 垂直平分 ， ∴ ∴ ∵ ∴． 故答案为：38． 【点睛】此题考查了尺规作图－作垂线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的有关性质． 17. A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地___________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题属于一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是关键；  设甲的函数图象为，乙的函数图象为，结合图形进而确定两函数解析式； 利用两函数解析式联立方程组，进而求得方程组的解即可． 【详解】解：由图可得，甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为， 设甲的函数图象为，乙的函数图象为， 则，， 解得，， 甲的函数图象为，乙的函数图象为， 联立， 解得 即他们相遇时距离A地． 故答案为：． 18. 一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：23、33和43分别可以“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…若1003也按照此规律来进行“分裂”，则1003“分裂”出的奇数中，最小的奇数是_____． 【答案】9901 【解析】 【分析】根据“23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19”，归纳出m3“分裂”出的奇数中最小的奇数是m(m-1)+1，把m=100代入，计算求值即可． 【详解】解：23＝3+5，且3＝2×1+1， 33＝7+9+11，且7＝3×2+1， 43＝13+15+17+19，且13＝4×3+1， ∴m3“分裂”出的奇数中最小的奇数是m(m﹣1)+1， ∴1003“分裂”出的奇数中最小的奇数是100×99+1＝9901， 故答案为9901． 【点睛】本题考查了数字类的规律变化，一般按照题中给出的形式写出前几组式子，正确找出数字的变化规律是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先算，，，，再进行合并即可． 【详解】原式 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先对括号内的分式通分计算，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分化简，最后代入计算结果． 【详解】解：原式 ， 将代入得：原式． 21. 如图，在 中，，． （1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段 的_________，射线是的_________；（填序号） ①高线 ②角平分线 ③垂直平分线 ④中线 （2）求的度数． 【答案】（1）③；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，角平分线定义，垂直平分线的性质，三角形内角和定理． （1）根据作图过程进行分析，得出直线是线段 的垂直平分线，射线是的角平分线，即可作答； （2）先运用三角形内角和性质，得，再结合垂直平分线的性质，以及角平分线的定义进行分析，列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段 的垂直平分线，射线是的角平分线； 故答案为：③；②． 【小问2详解】 解：，， ， 由（1）得是线段 的垂直平分线， ， ， ， 由（1）得是的角平分线， ． 22. 为落实国家“双减”政策，市区某中学在课后托管时间里开展了“音乐社团，体育社团，文学社团，美术社团”活动．该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题 （1）参加问卷调查的学生共有______人，扇形统计图中的度数为______； （2）根据调查结果，可估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有______人； （3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲，请用列表或画树状图的方法，求恰好选择了甲和乙两名同学的概率． 【答案】（1）60； （2）100 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率等等，正确读懂统计图是解题的关键． （1）根据B：体育社团的人数和人数占比即可求出参与调查的总人数；文学社团的人数占比即可求出的度数； （2）用600乘以样本中最喜欢“音乐社团”的人数占比即可得到答案； （3）画树状图或列表先得到所有的等可能性的结果数，然后找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， ， ∴参加问卷调查的学生共有60人，扇形统计图中的度数为 ， 故答案为：60；； 【小问2详解】 解：（人）， ∴估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有100人， 故答案为：100； 【小问3详解】 解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用A，B，C，D表示，根据题意可画树状图或列表如下： 第2人第1人 A B C D A AB AC AD B BA BC BD C CA CB CD D DA DB DC 由上图或上表可知，共有12种等可能的结果，符合条件的结果有2种，故恰好选中甲、乙两名同学的概率为． 23. 为落实“五育并举”，某中学积极开展“阳光体育运动”，引导学生走向操场、积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体育运动”的顺利开展，学校计划购进篮球、排球及足球若干，已知篮球80元/个．调查发现购买1个篮球，2个足球和4个排球共需440元；购买4个足球和3个排球共需470元． （1）足球和排球的单价各是多少？ （2）该校根据需求打算购买篮球和排球共50个，且篮球数量不少于排球数量的3倍．请问学校如何购买才能使所需费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】（1）足球单价80元，排球单价50元 （2）购买篮球38个，排球12个时费用最少，最少费用为3640元 【解析】 【分析】（1）设足球单价为 元，排球单价为 元，根据题意列二元一次方程组，即可求解； （2）设购买排球 个，则购买篮球个，总费用为元．列不等式求出m的最大值，再列关于m的一次函数关系式，将m的最大值代入，即可求解． 【小问1详解】 解：设足球单价为 元，排球单价为 元， 根据题意： ， 解得． 答：足球单价80元，排球单价50元． 【小问2详解】 解：设购买排球 个，则购买篮球个，总费用为元． 由篮球数量不少于排球数量的3倍，得， 解得， 为非负整数， 最大值为12． 总费用， ， 随 的增大而减小， 当 取最大值12时，最小，此时， （元）． 答：购买篮球38个，排球12个时费用最少，最少费用为3640元． 24. 在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图）． 数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图． （1）图是图门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形 组成，且，圆心是倒锁按钮点 ，若的弓形高，，请求出此时图中圆心 到 的距离． （2）图是图门锁的工作简化图，锁芯 固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯 旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点 顺时针旋转得到，过点 作于点 ．若所在圆的半径，请求出此时的长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接 ，延长交于点，设的半径为，由可得，；根据垂径定理可得，在中，利用勾股定理构造方程并解出 的值，进而计算出的长； （2）延长，交于点，易证明四边形是矩形，则，在和中，利用三角函数计算出和即可． 【小问1详解】 解：如图，连接 ，延长交于点，设的半径为， 由题意可知，， ，， ， 弓形高，， ，， 在中，， ， 解得， ， 即圆心 到 的距离为． 【小问2详解】 解：如图，延长，交于点， 由题意可知，，， 在中，， ， 将绕点 顺时针旋转得到， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 四边形是矩形， ． 即的长度约为． 25. 如图，已知，过A、B、C三点的 与相交于点E，连接 、 、 ，若，过点C作，交 于点F． （1）求证： 是 的切线； （2）求证：； （3）若 ， ，则的面积为_______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，延长交 于点H，根据平行四边形的性质，得到，利用等腰三角形的性质，证明即可得证 是 的切线． （2）延长 到点G，利用圆的内接四边形性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定证明即可． （3）根据等腰三角形的性质，三角形相似的性质，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答即可． 【小问1详解】 证明：连接，延长交 于点H， ∵点O是 的圆心， ∴点O一定在线段 的垂直平分线上， ∵， ∴点A在线段 的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 是 的切线． 【小问2详解】 证明：延长 到点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是 的内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：如（1）问图示，连接，延长交 于点H， ∵点O是 的圆心， ∴点O一定在线段 的垂直平分线上， ∵， ， ∴点A在线段 的垂直平分线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ， ∴，，， 过点A作于点K， 则，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是 的内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，圆的内接四边形性质，熟练掌握圆的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 26. 如图，已知抛物线与x轴的两个交点分别为，，与y轴交于点C，直线过点B和点C．点P是第一象限内抛物线上的点，设点P的横坐标为m，过点P作于点Q，连接 ． （1）求抛物线的解析式； （2）求的最大值； （3）当时，y的取值范围是，且，求m的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把代入即可求得，把代入即可求得 ； （2）过点 作交 于 ，交 于点 ，先求出的最大值，再证明，可得，即可求解； （3）先求得抛物线的顶点坐标，可得抛物线的对称轴和最大值，根据二次函数的图象与性质对 进行分类讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，过点P作于点D，交BC于点H， 将代入得，，解得， ∴直线BC的解析式为． ∵点P的横坐标为m， ，， ． ∴当时，PH有最大值为． ，，． ，，． ，， ，， ∵抛物线与y轴交于点C， 当 时，，，， ，， ， ，即， ∴当PH有最大值时，PQ取到最大值， 的最大值为． 【小问3详解】 解：由得， ∴抛物线的顶点为，即当时，y有最大值4， ∵抛物线的对称轴为，∴当或时，y值相等， 即， ①当时，则在时，时，取最大值；时，取最小值， 即，， ， ， 解得（舍去），； ②当时，则在时， 时，取最大值，时，取最小值， 即，， ，不符合题意； ③当时，则在时，时，取最大值，时，取最小值， 即，， ， ，解得， ， 都不符合，舍去． 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期第三次中考模拟检测试卷 数 学 注意事项∶ 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 一、选择题（本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图是由7个大小相同的小正方体组合而成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 智慧农业大棚采用自动温控系统．某日棚内温度变化规律为：每小时上升或下降．若初始温度为，经过 小时后的温度可能表示为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 若关于 的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则 的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，把长方形 沿 折叠，点A，B分别落在点，处，与 交于点G．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在 中， ，，若将 的三边都扩大3倍，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 某列车提速前行驶与提速后行驶所用时间相同，若列车平均提速，设提速后平均速度为，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形的顶点A 在 x 轴正半轴上，反比例函数的图象过点C和菱形对角线的交点M，若菱形的边长为3，则k的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 10. 如图， 的直径，点 C 是的中点，的平分线 交 于点 D．过点 D 作 的切线分别交的延长线于点 E，F，连接．下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题包括8个小题，每小题3分，共24分） 11. 因式分解：3a2-6a=____________． 12. 已知命题：“全等三角形对应边相等”，则它的逆命题为__________． 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 14. 已知，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 15. 若一个正多边形的每一个外角都是 ，则这个正多边形的边数为__________． 16. 如图，在 中，分别以点和点 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点 、，作直线 ，交 于点 ，连接 ．若 ，，则为_______度． 17. A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地___________ ． 18. 一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：23、33和43分别可以“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…若1003也按照此规律来进行“分裂”，则1003“分裂”出的奇数中，最小的奇数是_____． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在 中，，． （1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段 的_________，射线是的_________；（填序号） ①高线 ②角平分线 ③垂直平分线 ④中线 （2）求的度数． 22. 为落实国家“双减”政策，市区某中学在课后托管时间里开展了“音乐社团，体育社团，文学社团，美术社团”活动．该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题 （1）参加问卷调查的学生共有______人，扇形统计图中的度数为______； （2）根据调查结果，可估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有______人； （3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲，请用列表或画树状图的方法，求恰好选择了甲和乙两名同学的概率． 23. 为落实“五育并举”，某中学积极开展“阳光体育运动”，引导学生走向操场、积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体育运动”的顺利开展，学校计划购进篮球、排球及足球若干，已知篮球80元/个．调查发现购买1个篮球，2个足球和4个排球共需440元；购买4个足球和3个排球共需470元． （1）足球和排球的单价各是多少？ （2）该校根据需求打算购买篮球和排球共50个，且篮球数量不少于排球数量的3倍．请问学校如何购买才能使所需费用最少？最少费用为多少元？ 24. 在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图）． 数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图． （1）图是图门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形 组成，且，圆心是倒锁按钮点 ，若的弓形高，，请求出此时图中圆心 到 的距离． （2）图是图门锁的工作简化图，锁芯 固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯 旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点 顺时针旋转得到，过点 作于点 ．若所在圆的半径，请求出此时的长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，） 25. 如图，已知，过A、B、C三点的 与相交于点E，连接 、 、 ，若，过点C作，交 于点F． （1）求证： 是 的切线； （2）求证：； （3）若 ， ，则的面积为_______． 26. 如图，已知抛物线与x轴的两个交点分别为，，与y轴交于点C，直线过点B和点C．点P是第一象限内抛物线上的点，设点P的横坐标为m，过点P作于点Q，连接 ． （1）求抛物线的解析式； （2）求的最大值； （3）当时，y的取值范围是，且，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $