精品解析：2025年湖南省益阳市沅江市两校联考中考考前第三次模拟演练数学试题

2024-2025学年下学期第三次中考质量检测试卷 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 一、选择题(本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项) 1. 在，，，这四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. “宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来．”已知某种梅花的花粉直径约为0.000028m，将0.000028用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中最简分式是（ ） A. B. C. D. 5. 九年级中10名男生身高数据为（单位：厘米）：175、170、175、178、169、180、174、173、175、180．上数据中的众数、极差、中位数分别为________． A. 175、11、175 B. 180、11、175 C. 175、11、180 D. 180、169、175 6. 某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，点O，A，B在格点上．若每个小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 7. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 8. 如图，，点E在上，点F在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 研究表明，运动时将心率（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值为，最低值为．所以15岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 10. 在中，点分别是的中点，如图是甲、乙两位同学添辅助线的作法： 甲同学：如图1，延长到点，使，连接． 乙同学：如图2，过点作，过点作与交于点． 其中能够用来证明三角形中位线定理的是（ ） A. 甲、乙都可以 B. 甲、乙都不可以 C. 甲可以，乙不可以 D. 甲不可以，乙可以 二、填空题(本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项) 11. 天气预报说明天的气温是，明天的昼夜温差是________． 12. 计算：___________． 13. 因式分解：a3－a=______． 14. 若点在第一象限，则的取值范围是____________． 15. 将一次函数先向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得直线的函数表达式是________． 16. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是__________． 17. 如图，正五边形内接于，过点D作的切线交的延长线于点F．则的度数为______． 18. 正方形的边长为，是射线上一点，连接，，过点作与直线交于点，连接，若的面积为，则的长为_______． 三、解答题(本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10．分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 星期天，淇淇所在的社会实践小组到某级旅游景区对游客登山的方式进行了抽样调查．调查发现游客上山的方式共有种：．西上全程索道；．北上全程索道；．西上步行；．北上步行；．西上索道+步行；．北上索道+步行．淇淇和小组成员共调查了名游客，并把相关的数据绘制成如下不完整的统计图（图-1和图-2）． （1）根据统计图信息，求的值，并补全条形统计图； （2）5月1日，该景区共接待游客约万人，其中，，，登山方式的索道费用（含下山）分别为：元/人，元/人，元/人，元/人（不考虑其他因素）．估计这一天该景区的索道收入（用科学记数法表示）； （3）淇淇和嘉嘉都想走西上的路线（登山方式包括，，三种），请用列表法或画树状图法求两个人恰好都选择“西上全程索道”登山方式的概率． 22. 家是温暖的港湾，老家的房子承载了我们成长的故事和回忆．小明打算修缮老家的房子，需要测量房子的高度便于后期设计．如图，该房屋示意图是由等腰（）和矩形构成的轴对称图形，对称轴为房屋的高所在的直线．在地面上的点M处架设测角仪，测得房檐C的仰角，然后沿方向前进到达点N处，再次测出点C的仰角．又测量出，点E，P，F，M，N在同一条直线上，测角仪的高度忽略不计．请你根据题中的测量数据，计算房屋的高度． （结果保留1位小数，参考数据：） 23. 如图，、分别是的直径和弦，于点，过点作的切线与的延长线交于点，、的延长线交于点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 24. 某工厂从外地连续两次购得，两种原料，购买情况如表：现计划租用甲，乙两种货车共8辆将两次购得的原料一次性运回工厂． （吨） （吨） 费用（元） 第一次 12 8 33600 第二次 8 4 20800 （1），两种原料每吨的进价各是多少元？ （2）已知一辆甲种货车可装4吨种原料和1吨种原料；一辆乙种货车可装，两种原料各2吨．甲种货车的运费是每辆400元，乙种货车的运费是每辆350元．设安排甲种货车辆，总运费为元，求（元）与（辆）之间的函数关系式；为何值时，总运费最小，最小值是多少元？ 25. 如图，已知正方形，E是边上一点，连接，过点B作于点F，过点D作于点G． 【建立模型】（1）如图1，求证：； 【模型应用】（2）如图2，将线段绕点B逆时针旋转并延长交的延长线于点H，连接．用等式写出之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点M，若，，求及的长． 26. 如图，过点的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．且 （1）求此抛物线的解析式； （2）若抛物线的对称轴交轴于点，交于点，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，连接交对称轴于点，抛物线对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期第三次中考质量检测试卷 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 一、选择题(本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项) 1. 在，，，这四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握“两个负数的大小比较”是解本题的关键． 有理数的大小比较：正数大于0，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小，根据有理数的大小比较的方法比较四个数的大小，从而可得答案． 【详解】解：，，， ， ， 故选：D． 2. “宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来．”已知某种梅花的花粉直径约为0.000028m，将0.000028用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据0.000028用科学记数法表示为； 故选D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，二次根式的加法，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别利用同底数幂的除法、幂的乘方运算法则，二次根式的加法法则和完全平方公式判断即可． 【详解】解：A、，写法正确，符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，原写法错误，不符合题意； 故选：A． 4. 下列各式中最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的定义，将分式的分子、分母进行因式分解，根据最简分式的定义逐一判断，即可求解；理解“分子分母不含有除1以外的公因式的分式叫最简分式”是解题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A. ，分子分母含有公因式2，不是最简分式，故不符合题意； B. ，分子分母含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； C. 分子分母含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； D. 是最简分式，故符合题意； 故选：D． 5. 九年级中10名男生身高数据为（单位：厘米）：175、170、175、178、169、180、174、173、175、180．上数据中的众数、极差、中位数分别为________． A. 175、11、175 B. 180、11、175 C. 175、11、180 D. 180、169、175 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位数、极差、众数的概念，出现次数最多的数为众数，用最大值减去最小值得出的数即为极差，先把数据排序，位于中间位置的数分别是175、175，再求出它们的平均数，即为中位数． 【详解】解：依题意，数据175出现次数为3次，且出现次数最多， 故众数是175； 这组数据的最小值为169，这组数据的最大值为180， ∴极差， 先把数据从小到大排序，得169、170、173、174、175、175、175、178、180、180． 则排在中间位置的数分别是175、175， ∴中位数是， 故选：A． 6. 某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，点O，A，B在格点上．若每个小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，根据勾股定理得，根据勾股定理逆定理得出，再求出扇形面积即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴，， ∴， ∴， ∴这个圆锥的侧面积是． 故选：D． 7. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程根与系数的关系，先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ， 故选：C． 8. 如图，，点E在上，点F在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质与角度计算，解题的关键是利用平行线性质和直角建立角度关系． 先由结合得与的关系，求出，最后根据平行线性质得与的关系算出． 【详解】 ， ，即， ， ， ， 故选：D． 9. 研究表明，运动时将心率（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值为，最低值为．所以15岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了不等式的表示．分别求出最佳燃脂心率最高值，最低值，即可求解． 【详解】解：最佳燃脂心率最高值为， 最低值为， ∴15岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为． 故选：B 10. 在中，点分别是的中点，如图是甲、乙两位同学添辅助线的作法： 甲同学：如图1，延长到点，使，连接． 乙同学：如图2，过点作，过点作与交于点． 其中能够用来证明三角形中位线定理的是（ ） A. 甲、乙都可以 B. 甲、乙都不可以 C. 甲可以，乙不可以 D. 甲不可以，乙可以 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中位线判定定理，平行四边形判定及性质，全等三角形判定及性质等．先证明作法一的合理性，先得到四边形是平行四边形，后得到四边形是平行四边形，继而利用平行四边形性质可得答案；再证明作法二，先证明，后得到四边形是平行四边形，再得到四边形是平行四边形，继而利用平行四边形性质可得答案． 【详解】解：甲：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，； 乙：， ，， 在和中， ， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， 甲、乙都可以， 故选：A． 二、填空题(本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项) 11. 天气预报说明天的气温是，明天的昼夜温差是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数减法的应用，正确理解题意、列出算式是解题的关键； 根据题意可列出算式，再计算即可得到答案. 【详解】解：， 所以明天的昼夜温差是； 故答案为：. 12. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的减法，先化简，再合并即可. 【详解】解：； 故答案为：． 13. 因式分解：a3－a=______． 【答案】a（a－1）（a + 1） 【解析】 【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：a3-a =a（a2-1） =a（a+1）（a-1） 故答案为：a（a－1）（a + 1）． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键． 14. 若点在第一象限，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查象限内点的符号特征，解一元一次不等式．解题的关键是掌握坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 根据第一象限内点的坐标符号为，得到，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 15. 将一次函数先向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得直线的函数表达式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将一次函数先向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得直线的函数表达式是， 即， 故答案为：． 16. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是__________． 【答案】250 【解析】 【分析】本题考查中心投影，位似图形的性质，与是位似图形，求出位似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：由平行投影可知与是位似图形， ， ， 与的位似比为， ， ， 故答案为：250． 17. 如图，正五边形内接于，过点D作的切线交的延长线于点F．则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，三角形内角和定理，切线的性质， 先求出中心角的度数，即可求出，再根据切线的性质可求，然后根据正多边形的外角和定理求出，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵正五边形内接于， ∴． ∵， ∴． ∵是的切线， ∴， ∴． ∵是正五边形的外角， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 正方形的边长为，是射线上一点，连接，，过点作与直线交于点，连接，若的面积为，则的长为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】分为当在线段上时和当在的延长线上时，根据题意得出，证明，根据相似三角形的性质，列出比例式，进而即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴，， 当在线段上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当在的延长线上时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴ ∴ ∴ 解得：，（舍去）． 综上所述，或2． 三、解答题(本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10．分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算负指数、零指数幂、二次根式和三角函数，再合并即可求解． 【详解】解： 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的性质，分式的混合运算是关键． 根据分式的性质，分式的混合运算法则计算，再代入计算，分母有理化即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 21. 星期天，淇淇所在的社会实践小组到某级旅游景区对游客登山的方式进行了抽样调查．调查发现游客上山的方式共有种：．西上全程索道；．北上全程索道；．西上步行；．北上步行；．西上索道+步行；．北上索道+步行．淇淇和小组成员共调查了名游客，并把相关的数据绘制成如下不完整的统计图（图-1和图-2）． （1）根据统计图信息，求的值，并补全条形统计图； （2）5月1日，该景区共接待游客约万人，其中，，，登山方式的索道费用（含下山）分别为：元/人，元/人，元/人，元/人（不考虑其他因素）．估计这一天该景区的索道收入（用科学记数法表示）； （3）淇淇和嘉嘉都想走西上的路线（登山方式包括，，三种），请用列表法或画树状图法求两个人恰好都选择“西上全程索道”登山方式的概率． 【答案】（1），补全条形统计图如图所示： （2）索道收入元 （3）见解析，两个人恰好都选择“西上全程索道”登山方式的概率为 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，科学记数法，用列表法或树状图求概率，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）由扇形统计图得选择方式登山的游客有人，所占百分比为，根据求得样本容量，即的值，利用总人数减去、、、、登山方式的人数即可求解方式的人数； （2）先求抽查的人里，，，，方式的索道费用，再利用样本估计总体即可求解； （3）用列表法列出两个人走西上路线的全部情况，其中两个人恰好都选择“西上全程索道”登山方式的有种，利用随机事件的概率计算公式即可求解． 【小问1详解】 解：由题图可知，选择方式登山的游客有人，所占百分比为， ， 选择方式登山的游客人数为， 【小问2详解】 解：索道收入为 元． 【小问3详解】 解：两个人走“西上全程索道”的全部情况如下表： 淇淇 嘉嘉 A C E A C E 由列表可知，共有种等可能情况，其中两个人恰好都选择“西上全程索道”登山方式的有种， 则（两个人恰好都选择“西上全程索道”登山方式）． 22. 家是温暖的港湾，老家的房子承载了我们成长的故事和回忆．小明打算修缮老家的房子，需要测量房子的高度便于后期设计．如图，该房屋示意图是由等腰（）和矩形构成的轴对称图形，对称轴为房屋的高所在的直线．在地面上的点M处架设测角仪，测得房檐C的仰角，然后沿方向前进到达点N处，再次测出点C的仰角．又测量出，点E，P，F，M，N在同一条直线上，测角仪的高度忽略不计．请你根据题中的测量数据，计算房屋的高度． （结果保留1位小数，参考数据：） 【答案】该房屋的高度约为11.3m 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用． 过点作于点，设．则四边形和四边形是矩形，在得出，在，根据，建立方程，求出，设与交于点，由房屋关于所在直线轴对称可知，．在中，得出，进而根据即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点H，设， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 根据题意可得四边形和四边形是矩形， ∴， 设与交于点Q，由房屋关于所在直线轴对称可知，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． ∴该房屋的高度约为． 23. 如图，、分别是的直径和弦，于点，过点作的切线与的延长线交于点，、的延长线交于点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 是的切线，理由： 连接，如图， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， 而， ∴， ∴，即， ∴， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了扇形的面积公式，等边三角形的判定与性质，垂径定理，解直角三角形等知识． （1）连接，如图，根据切线的性质得到，再根据垂径定理得到，则垂直平分，所以，利用等腰三角形的性质得到°，然后根据切线的判定方法可判断是的切线； （2）先证明为等边三角形得到，再计算出，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 24. 某工厂从外地连续两次购得，两种原料，购买情况如表：现计划租用甲，乙两种货车共8辆将两次购得的原料一次性运回工厂． （吨） （吨） 费用（元） 第一次 12 8 33600 第二次 8 4 20800 （1），两种原料每吨的进价各是多少元？ （2）已知一辆甲种货车可装4吨种原料和1吨种原料；一辆乙种货车可装，两种原料各2吨．甲种货车的运费是每辆400元，乙种货车的运费是每辆350元．设安排甲种货车辆，总运费为元，求（元）与（辆）之间的函数关系式；为何值时，总运费最小，最小值是多少元？ 【答案】（1）原料每吨的进价是2000元，原料每吨的进价是1200元 （2）与之间的函数关系式为；当时，总运费最小，最小值是2900元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，读懂题意找到合适的等量关系是解题的关键． （1）设原料每吨的进价是元，原料每吨的进价是元，根据表格中第一次和第二次够买原料的吨数和费用列出方程，解之即可； （2）设安排甲种货车辆，则乙种货车辆，根据“一辆甲种货车可装4吨种原料和1吨种原料；一辆乙种货车可装、两种原料各2吨”，结合表中两次、原料的吨数列出一元一次不等式组，得到的取值范围；然后根据“甲种货车的运费是每辆400元，乙种货车的运费是每辆350元”列出与之间的函数关系式，根据一次函数的性质和的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：设原料每吨的进价是元，原料每吨的进价是元， 依题意得，， 解得， 答：原料每吨的进价是2000元，原料每吨的进价是1200元． 【小问2详解】 解：设安排甲种货车辆，则乙种货车辆， 依题意得，， 解得； 设总运费为元， 则， ， 随的增大而增大， ， 当时，取得最小值，最小值为． 答： 与之间的函数关系式为；当时，总运费最小，最小值是2900元． 25. 如图，已知正方形，E是边上一点，连接，过点B作于点F，过点D作于点G． 【建立模型】（1）如图1，求证：； 【模型应用】（2）如图2，将线段绕点B逆时针旋转并延长交的延长线于点H，连接．用等式写出之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点M，若，，求及的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（）， ∴． （2）．理由如下： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 由（1）知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质，得，，结合 ，，可得，得（），即得． （2）证明为等腰直角三角形，得，由（1）知，得，，可得，即得． （3）根据，得，设，则，得，解得，得，即得．求出，， 根据，得，即得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，等腰直角三角形判定和性质，正切定义，相似三角形判定和性质，是解题的关键． 26. 如图，过点的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．且 （1）求此抛物线的解析式； （2）若抛物线的对称轴交轴于点，交于点，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，连接交对称轴于点，抛物线对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） 解：四边形为平行四边形． ∵此抛物线与y轴交于点C， ∴， 又∵， ∴， 又∵抛物线的对称轴为：， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形； （3）抛物线的对称轴上存在点点的坐标，或或或，使是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）把点、代入抛物线求出b和c的值即可； （2）求出，得出，证出，即可得出四边为平行四边形； （3）求出，分情况讨论：①当点O为直角顶点时，证明，求出，即可得出P的坐标；②当点F为直角顶点时，同理可求出，，即可得出P的坐标；③当点P为直角顶点时，由勾股定理得，由直角三角形斜边上的中线性质得出的长，若点P在上方，得到；若点P在下方时，则；即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点、， ∴， 解得：， ∴此抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ①当点O为直角顶点时，如图1所示： 则， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ②当点F为直角顶点时，如图2所示： 同理可得， ∴， ∴， ∴； ③当点P为直角顶点时，由勾股定理得， 又∵是斜边上的中线， ∴， 若点P在上方，如图3所示： 则， ∴； 若点P在下方时，如图4所示： 则， ∴； 综上所述，抛物线的对称轴上存在点点的坐标，或或或，使是直角三角形． 【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形性质、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要进行分类讨论才能得出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $