精品解析：2025年湖南省益阳市沅江市两校联考中考考前第三次模拟演练数学试题

2024-2025学年下学期第三次中考质量检测试卷 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 一、选择题(本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项) 1. 在，，，这四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. “宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来．”已知某种梅花的花粉直径约为0.000028m，将0.000028用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中最简分式是（ ） A. B. C. D. 5. 九年级中10名男生身高数据为（单位：厘米）：175、170、175、178、169、180、174、173、175、180．上数据中的众数、极差、中位数分别为________． A. 175、11、175 B. 180、11、175 C. 175、11、180 D. 180、169、175 6. 某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，点O，A，B在格点上．若每个小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 7. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 8. 如图，，点E在上，点F在上，且，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 研究表明，运动时将心率 （次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值为，最低值为．所以15岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 10. 在中，点 分别是的中点，如图是甲、乙两位同学添辅助线的作法： 甲同学：如图1，延长 到点 ，使，连接． 乙同学：如图2，过点 作 ，过点 作与 交于点 ． 其中能够用来证明三角形中位线定理的是（ ） A. 甲、乙都可以 B. 甲、乙都不可以 C. 甲可以，乙不可以 D. 甲不可以，乙可以 二、填空题(本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项) 11. 天气预报说明天的气温是，明天的昼夜温差是________． 12. 计算：___________． 13. 因式分解：a3－a=______． 14. 若点在第一象限，则的取值范围是____________． 15. 将一次函数先向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得直线的函数表达式是________． 16. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是__________． 17. 如图，正五边形内接于，过点D作的切线交的延长线于点F．则 的度数为______． 18. 正方形的边长为， 是射线上一点，连接 ，，过点 作与直线 交于点 ，连接 ，若的面积为 ，则 的长为_______． 三、解答题(本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10．分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 星期天，淇淇所在的社会实践小组到某 级旅游景区对游客登山的方式进行了抽样调查．调查发现游客上山的方式共有种： ．西上全程索道； ．北上全程索道；．西上步行； ．北上步行； ．西上索道+步行； ．北上索道+步行．淇淇和小组成员共调查了名游客，并把相关的数据绘制成如下不完整的统计图（图-1和图-2）． （1）根据统计图信息，求的值，并补全条形统计图； （2）5月1日，该景区共接待游客约万人，其中 ， ， ， 登山方式的索道费用（含下山）分别为： 元/人， 元/人，元/人， 元/人（不考虑其他因素）．估计这一天该景区的索道收入（用科学记数法表示）； （3）淇淇和嘉嘉都想走西上的路线（登山方式包括 ，， 三种），请用列表法或画树状图法求两个人恰好都选择“西上全程索道”登山方式的概率． 22. 家是温暖的港湾，老家的房子承载了我们成长的故事和回忆．小明打算修缮老家的房子，需要测量房子的高度便于后期设计．如图，该房屋示意图是由等腰（ ）和矩形构成的轴对称图形，对称轴为房屋的高 所在的直线．在地面上的点M处架设测角仪，测得房檐C的仰角，然后沿 方向前进到达点N处，再次测出点C的仰角．又测量出，点E，P，F，M，N在同一条直线上，测角仪的高度忽略不计．请你根据题中的测量数据，计算房屋的高度 ． （结果保留1位小数，参考数据：） 23. 如图，、分别是的直径和弦，于点 ，过点 作的切线与的延长线交于点 ， 、的延长线交于点 ． （1）判断直线 与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 24. 某工厂从外地连续两次购得 ， 两种原料，购买情况如表：现计划租用甲，乙两种货车共8辆将两次购得的原料一次性运回工厂． （吨） （吨） 费用（元） 第一次 12 8 33600 第二次 8 4 20800 （1） ， 两种原料每吨的进价各是多少元？ （2）已知一辆甲种货车可装4吨 种原料和1吨种原料 ；一辆乙种货车可装 ， 两种原料各2吨．甲种货车的运费是每辆400元，乙种货车的运费是每辆350元．设安排甲种货车辆，总运费为元，求（元）与（辆）之间的函数关系式；为何值时，总运费最小，最小值是多少元？ 25. 如图，已知正方形 ，E是 边上一点，连接 ，过点B作 于点F，过点D作 于点G． 【建立模型】（1）如图1，求证：； 【模型应用】（2）如图2，将线段绕点B逆时针旋转并延长交 的延长线于点H，连接 ．用等式写出 之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点M，若 ，，求及的长． 26. 如图，过点的抛物线 与轴交于 、 两点，与轴交于点．且 （1）求此抛物线的解析式； （2）若抛物线的对称轴交轴于点 ，交 于点 ，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，连接 交对称轴于点 ，抛物线对称轴上是否存在点 ，使是直角三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期第三次中考质量检测试卷 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 一、选择题(本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项) 1. 在，，，这四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握“两个负数的大小比较”是解本题的关键． 有理数的大小比较：正数大于0，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小，根据有理数的大小比较的方法比较四个数的大小，从而可得答案． 【详解】解：，，， ， ， 故选：D． 2. “宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来．”已知某种梅花的花粉直径约为0.000028m，将0.000028用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据0.000028用科学记数法表示为； 故选D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，二次根式的加法，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别利用同底数幂的除法、幂的乘方运算法则，二次根式的加法法则和完全平方公式判断即可． 【详解】解：A、，写法正确，符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，原写法错误，不符合题意； 故选：A． 4. 下列各式中最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的定义，将分式的分子、分母进行因式分解，根据最简分式的定义逐一判断，即可求解；理解“分子分母不含有除1以外的公因式的分式叫最简分式”是解题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A. ，分子分母含有公因式2，不是最简分式，故不符合题意； B. ，分子分母含有公因式 ，不是最简分式，故不符合题意； C. 分子分母含有公因式 ，不是最简分式，故不符合题意； D. 是最简分式，故符合题意； 故选：D． 5. 九年级中10名男生身高数据为（单位：厘米）：175、170、175、178、169、180、174、173、175、180．上数据中的众数、极差、中位数分别为________． A. 175、11、175 B. 180、11、175 C. 175、11、180 D. 180、169、175 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位数、极差、众数的概念，出现次数最多的数为众数，用最大值减去最小值得出的数即为极差，先把数据排序，位于中间位置的数分别是175、175，再求出它们的平均数，即为中位数． 【详解】解：依题意，数据175出现次数为3次，且出现次数最多， 故众数是175； 这组数据的最小值为169，这组数据的最大值为180， ∴极差， 先把数据从小到大排序，得169、170、173、174、175、175、175、178、180、180． 则排在中间位置的数分别是175、175， ∴中位数是， 故选：A． 6. 某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，点O，A，B在格点上．若每个小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，根据勾股定理得，根据勾股定理逆定理得出 ，再求出扇形面积即可． 【详解】解：由勾股定理得， ， ∴，， ∴， ∴ ， ∴这个圆锥的侧面积是． 故选：D． 7. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程根与系数的关系，先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ， 故选：C． 8. 如图，，点E在上，点F在 上，且，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质与角度计算，解题的关键是利用平行线性质和直角建立角度关系． 先由结合得与 的关系，求出 ，最后根据平行线性质得 与 的关系算出 ． 【详解】 ， ，即 ， ， ， ， 故选：D． 9. 研究表明，运动时将心率 （次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值为，最低值为．所以15岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了不等式的表示．分别求出最佳燃脂心率最高值，最低值，即可求解． 【详解】解：最佳燃脂心率最高值为， 最低值为， ∴15岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为． 故选：B 10. 在中，点 分别是的中点，如图是甲、乙两位同学添辅助线的作法： 甲同学：如图1，延长 到点，使 ，连接． 乙同学：如图2，过点 作 ，过点作与 交于点． 其中能够用来证明三角形中位线定理的是（ ） A. 甲、乙都可以 B. 甲、乙都不可以 C. 甲可以，乙不可以 D. 甲不可以，乙可以 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中位线判定定理，平行四边形判定及性质，全等三角形判定及性质等．先证明作法一的合理性，先得到四边形 是平行四边形，后得到四边形是平行四边形，继而利用平行四边形性质可得答案；再证明作法二，先证明，后得到四边形 是平行四边形，再得到四边形是平行四边形，继而利用平行四边形性质可得答案． 【详解】解：甲： ，， 四边形 是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ，； 乙：， ，， 在和 中， ， ， ，， ，， 四边形 是平行四边形， ， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 甲、乙都可以， 故选：A． 二、填空题(本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项) 11. 天气预报说明天的气温是，明天的昼夜温差是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数减法的应用，正确理解题意、列出算式是解题的关键； 根据题意可列出算式，再计算即可得到答案. 【详解】解：， 所以明天的昼夜温差是； 故答案为：. 12. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的减法，先化简，再合并即可. 【详解】解：； 故答案为：． 13. 因式分解：a3－a=______． 【答案】a（a－1）（a + 1） 【解析】 【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：a3-a =a（a2-1） =a（a+1）（a-1） 故答案为：a（a－1）（a + 1）． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键． 14. 若点在第一象限，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查象限内点的符号特征，解一元一次不等式．解题的关键是掌握坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 根据第一象限内点的坐标符号为，得到，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴， 解得： ， 故答案为： ． 15. 将一次函数先向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得直线的函数表达式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将一次函数先向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得直线的函数表达式是， 即 ， 故答案为： ． 16. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是__________． 【答案】250 【解析】 【分析】本题考查中心投影，位似图形的性质，与是位似图形，求出位似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：由平行投影可知与是位似图形， ， ， 与的位似比为， ， ， 故答案为：250． 17. 如图，正五边形内接于，过点D作的切线交的延长线于点F．则 的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，三角形内角和定理，切线的性质， 先求出中心角的度数，即可求出，再根据切线的性质可求 ，然后根据正多边形的外角和定理求出 ，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵正五边形内接于， ∴． ∵， ∴． ∵ 是的切线， ∴， ∴． ∵ 是正五边形的外角， ∴， ∴． 故答案为： ． 18. 正方形的边长为， 是射线上一点，连接 ，，过点 作与直线 交于点，连接 ，若的面积为 ，则 的长为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】分为当 在线段上时和当 在的延长线上时，根据题意得出，证明，根据相似三角形的性质，列出比例式，进而即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴， ， 当 在线段上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为 ， ∴， ∴ ， ∴， 解得：， 当 在的延长线上时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为 ， ∴ ∴ ∴ 解得：，（舍去）． 综上所述，或2． 三、解答题(本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10．分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算负指数、零指数幂、二次根式和三角函数，再合并即可求解． 【详解】解： 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的性质，分式的混合运算是关键． 根据分式的性质，分式的混合运算法则计算，再代入计算，分母有理化即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 21. 星期天，淇淇所在的社会实践小组到某 级旅游景区对游客登山的方式进行了抽样调查．调查发现游客上山的方式共有种：．西上全程索道； ．北上全程索道；．西上步行；．北上步行； ．西上索道+步行；．北上索道+步行．淇淇和小组成员共调查了名游客，并把相关的数据绘制成如下不完整的统计图（图-1和图-2）． （1）根据统计图信息，求的值，并补全条形统计图； （2）5月1日，该景区共接待游客约万人，其中， ， ，登山方式的索道费用（含下山）分别为： 元/人， 元/人，元/人， 元/人（不考虑其他因素）．估计这一天该景区的索道收入（用科学记数法表示）； （3）淇淇和嘉嘉都想走西上的路线（登山方式包括，， 三种），请用列表法或画树状图法求两个人恰好都选择“西上全程索道”登山方式的概率． 【答案】（1） ，补全条形统计图如图所示： （2）索道收入元 （3）见解析，两个人恰好都选择“西上全程索道”登山方式的概率为 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，科学记数法，用列表法或树状图求概率，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）由扇形统计图得选择方式登山的游客有 人，所占百分比为 ，根据求得样本容量，即的值，利用总人数减去、 、、 、登山方式的人数即可求解方式的人数； （2）先求抽查的 人里，， ， ，方式的索道费用，再利用样本估计总体即可求解； （3）用列表法列出两个人走西上路线的全部情况，其中两个人恰好都选择“西上全程索道”登山方式的有 种，利用随机事件的概率计算公式即可求解． 【小问1详解】 解：由题图可知，选择方式登山的游客有 人，所占百分比为 ， ， 选择方式登山的游客人数为 ， 【小问2详解】 解：索道收入为 元． 【小问3详解】 解：两个人走“西上全程索道”的全部情况如下表： 淇淇 嘉嘉 A C E A C E 由列表可知，共有种等可能情况，其中两个人恰好都选择“西上全程索道”登山方式的有 种， 则 （两个人恰好都选择“西上全程索道”登山方式）． 22. 家是温暖的港湾，老家的房子承载了我们成长的故事和回忆．小明打算修缮老家的房子，需要测量房子的高度便于后期设计．如图，该房屋示意图是由等腰（ ）和矩形构成的轴对称图形，对称轴为房屋的高 所在的直线．在地面上的点M处架设测角仪，测得房檐C的仰角，然后沿 方向前进到达点N处，再次测出点C的仰角．又测量出，点E，P，F，M，N在同一条直线上，测角仪的高度忽略不计．请你根据题中的测量数据，计算房屋的高度 ． （结果保留1位小数，参考数据：） 【答案】该房屋的高度 约为11.3m 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用． 过点作于点 ，设．则四边形 和四边形是矩形，在得出，在，根据，建立方程，求出，设 与 交于点，由房屋关于 所在直线轴对称可知，．在中，得出，进而根据即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点H，设， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 解得 ， ∴， ∵， ∴， 根据题意可得四边形 和四边形是矩形， ∴， 设 与 交于点Q，由房屋关于 所在直线轴对称可知，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． ∴该房屋的高度 约为． 23. 如图，、分别是的直径和弦，于点，过点作的切线与的延长线交于点 ， 、的延长线交于点 ． （1）判断直线 与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 是的切线，理由： 连接，如图， ∵ 为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴垂直平分， ∴ ， ∴ ， 而 ， ∴ ， ∴，即， ∴， ∴ 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了扇形的面积公式，等边三角形的判定与性质，垂径定理，解直角三角形等知识． （1）连接，如图，根据切线的性质得到，再根据垂径定理得到 ，则垂直平分，所以 ，利用等腰三角形的性质得到°，然后根据切线的判定方法可判断 是的切线； （2）先证明为等边三角形得到 ，再计算出，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴为等边三角形， ∴ ， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 24. 某工厂从外地连续两次购得， 两种原料，购买情况如表：现计划租用甲，乙两种货车共8辆将两次购得的原料一次性运回工厂． （吨） （吨） 费用（元） 第一次 12 8 33600 第二次 8 4 20800 （1）， 两种原料每吨的进价各是多少元？ （2）已知一辆甲种货车可装4吨种原料和1吨种原料 ；一辆乙种货车可装， 两种原料各2吨．甲种货车的运费是每辆400元，乙种货车的运费是每辆350元．设安排甲种货车辆，总运费为 元，求 （元）与（辆）之间的函数关系式；为何值时，总运费 最小，最小值是多少元？ 【答案】（1）原料每吨的进价是2000元， 原料每吨的进价是1200元 （2） 与之间的函数关系式为；当时，总运费 最小，最小值是2900元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，读懂题意找到合适的等量关系是解题的关键． （1）设原料每吨的进价是元， 原料每吨的进价是 元，根据表格中第一次和第二次够买原料的吨数和费用列出方程，解之即可； （2）设安排甲种货车辆，则乙种货车辆，根据“一辆甲种货车可装4吨种原料和1吨种原料 ；一辆乙种货车可装、 两种原料各2吨”，结合表中两次、 原料的吨数列出一元一次不等式组，得到的取值范围；然后根据“甲种货车的运费是每辆400元，乙种货车的运费是每辆350元”列出 与之间的函数关系式，根据一次函数的性质和的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：设原料每吨的进价是元， 原料每吨的进价是 元， 依题意得，， 解得， 答：原料每吨的进价是2000元， 原料每吨的进价是1200元． 【小问2详解】 解：设安排甲种货车辆，则乙种货车辆， 依题意得，， 解得； 设总运费为 元， 则， ， 随的增大而增大， ， 当时， 取得最小值，最小值为． 答： 与之间的函数关系式为；当时，总运费 最小，最小值是2900元． 25. 如图，已知正方形 ，E是 边上一点，连接 ，过点B作 于点F，过点D作 于点G． 【建立模型】（1）如图1，求证：； 【模型应用】（2）如图2，将线段绕点B逆时针旋转并延长交 的延长线于点H，连接 ．用等式写出 之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点M，若 ，，求及的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形 是正方形， ∴，， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ （）， ∴． （2） ．理由如下： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴ ， ， 由（1）知 ，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ． （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质，得，，结合 ， ，可得 ，得 （），即得． （2）证明为等腰直角三角形，得 ，由（1）知 ，得，，可得，即得 ． （3）根据 ，得，设 ，则，得 ，解得，得 ，即得．求出，， 根据 ，得，即得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵ ， ， ∴ ， ∴， 设 ，则， ∴ ， 解得， ∴， ， ∴ ， ∴． ∵， ，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴ ， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，等腰直角三角形判定和性质，正切定义，相似三角形判定和性质，是解题的关键． 26. 如图，过点的抛物线 与轴交于、 两点，与 轴交于点．且 （1）求此抛物线的解析式； （2）若抛物线的对称轴交轴于点 ，交 于点，连接、 ，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，连接 交对称轴于点，抛物线对称轴上是否存在点 ，使是直角三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） 解：四边形为平行四边形． ∵此抛物线与y轴交于点C， ∴， 又∵， ∴， 又∵抛物线的对称轴为： ， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形； （3）抛物线的对称轴上存在点点 的坐标，或或或，使是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）把点、代入抛物线求出b和c的值即可； （2）求出，得出，证出，即可得出四边为平行四边形； （3）求出，分情况讨论：①当点O为直角顶点时，证明，求出，即可得出P的坐标；②当点F为直角顶点时，同理可求出，，即可得出P的坐标；③当点P为直角顶点时，由勾股定理得 ，由直角三角形斜边上的中线性质得出 的长，若点P在上方，得到；若点P在下方时，则；即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点、， ∴， 解得：， ∴此抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ①当点O为直角顶点时，如图1所示： 则， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ②当点F为直角顶点时，如图2所示： 同理可得， ∴， ∴， ∴； ③当点P为直角顶点时，由勾股定理得， 又∵ 是斜边 上的中线， ∴， 若点P在上方，如图3所示： 则， ∴； 若点P在下方时，如图4所示： 则， ∴； 综上所述，抛物线的对称轴上存在点点 的坐标，或或或，使是直角三角形． 【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形性质、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要进行分类讨论才能得出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $