河北承德市双滦区实验中学2025-2026学年第二学期高一优班5月份数学测试卷

**基本信息** 高一年级优班5月数学周测试卷，以函数、向量、几何等知识为载体，通过鲟鱼养殖场矩形水池设计等实际情境考查数学建模与运算能力，体现用数学思维分析问题、用数学语言表达现实世界的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数性质、向量夹角、圆柱侧面展开|注重基础概念辨析，如第4题考查圆柱侧面展开图形状| |多选题|3/18|多面体性质、三角函数图像|考查概念准确性，如第9题辨析棱台、直四棱柱性质| |填空题|3/15|向量投影、三角恒等变换|强调运算细节，如第12题向量投影坐标计算| |解答题|5/77|向量运算、解三角形、圆台侧面最短路径|结合实际情境（如第16题扇形区域矩形面积优化），考查数学建模与逻辑推理|

2025--2026学年第二学期高一年级优班5月份数学测试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．函数在区间内的取值不可能为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．已知在矩形ABCD中，，分别为的中点，则（ ） A． B． C．0 D． 4．底面半径为1，高为的圆柱的侧面展开图是（     ） A．一个边长为的正方形 B．一个边长为的正方形 C．一个长为，宽为的矩形 D．一个长为，宽为的矩形 5．如图，正方形的边长为2，分别为边 上的动点，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 6．已知A，B，C三点在球O的球面上，且，若球O上的动点D到点A，B，C所在平面的距离的最大值为，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 7．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则面积的最大值为（ ） A．无最大值 B． C． D． 8．已知函数，则下列结论正确的个数是（   ） ①的图象关于点对称； ②在区间内有2个极大值点； ③； ④将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于直线对称． A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．关于多面体的下列说法，其中正确的是（   ） A．四棱锥是五面体，所以五面体就是四棱锥 B．每一个棱台的侧棱延长后必交于一点 C．长方体是直四棱柱，但直四棱柱不一定是长方体 D．棱锥的侧面形状一定是具有一个公共顶点的等腰三角形 10．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的图象可由曲线向左平移个单位长度得到 C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为 11．在 中，，，，则（    ） A．外接圆的半径为 B． C．是钝角三角形 D．内切圆的半径为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知，，，则向量在上投影向量的坐标为______． 13．已知是实数，若，则的值为_____________ 14．如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为_______ 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）已知向量，且与的夹角为． (1)求的值； (2)求的值； (3)若与垂直，求的值． 16．(本小题15分）近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且米，设． (1)求扇形区域的面积； (2)若，求的长； (3)若矩形的面积为，当为何值时， 取得最大值，并求出这个最大值． 17．(本小题15分）已知向量 . (1)当时，求的值； (2)设函数，已知在中，内角的对边分别为 ，若，求的取值范围. 18．(本小题17分）的内角的对边分别为，已知. (1)求角的值； (2)若的面积为，求； (3)若，求周长的最大值. 19．(本小题17分）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，． (1)求圆台的高； (2)求圆台轴截面的面积； (3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D C A C A C BC ACD 题号 11 答案 ABD 1．【详解】可化为， 当时，，所以，所以函数在区间内的取值不可能为. 2．【详解】因为，所以，又，， 即，因为，所以. 3．【详解】如图，以A为坐标原点O，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 则.∵分别为的中点，∴， ，. 4．【详解】底面半径为1，高为的圆柱的侧面展开图是一个长为，宽为的矩形. 5．【详解】法一： 建立以A为坐标原点，为轴，为轴的平面直角坐标系， 则，设，所以，则，又， 则有， 令，，则， 左右同时平方得， 则，整理得， 所以，又，所以， 则，即， 解得，或（舍去），又，且， 所以，即，综上所述. 法二：设，则∠BCP＝， ∵正方形ABCD的边长为2，， ∴. ∴， ∵，则，∴， ∴. 6．【详解】因为，故为直角三角形，斜边为其外接圆直径， 由勾股定理得， 因此外接圆半径. 设球心到平面的距离为，根据球的截面性质，有， 球上动点到平面的最大距离为，由题意得，即， 将、代入截面性质公式得， 展开整理得，解得. 则球的体积. 7．【详解】由及，得， 在中，由正弦定理将边化为角得， 即， 即， ，由，得，因此，即， 所以，当且仅当时取等号， 又由题知，故不能取等号，即有，所以，故的面积无最大值． 8．【详解】. 对于①，因为，所以是的一条对称轴，故①错误； 对于②，由，得，，所以，， 所以可能为：，等等，在内只有两个极大值点和，故②正确； 对于③，因为， ， 又在上单调递减，所以，即，故③正确； 对于④，把的图象向左平移个单位，可得， 当时，为函数最小值，是所得函数的一条对称轴，故④正确. 综上，结论正确的个数是3. 9．【详解】选项A：四棱锥是五面体，但五面体不一定是四棱锥，比如三棱柱也是五面体，故A错误；选项B：每一个棱台的侧棱延长后必交于一点，故B正确； 选项C：长方体是直四棱柱，若直四棱柱的底面不是长方形，则该直四棱柱就不是长方体，故C正确；选项D：棱锥的侧面形状一定是具有一个公共顶点的三角形，不一定是等腰三角形，故D错误. 10．【详解】由函数的图象可知：, 又因为,即则得,故A正确； 因,结合函数图象可得所以,即． 而曲线向左平移个单位长度得到,故B错误； 当时,可得,故的图象关于直线对称,故C正确； 当时,,则,故D正确． 11．【详解】在 中，由，则， 对于A，设 外接圆的半径为 ， 则由正弦定理有，即，故A正确； 对于B，由余弦定理有，即， 化简整理得， 解得，或（舍去），故B正确； 对于C，结合选项B知为最大边，且其对应的角为最大角， 又，所以的最大角为锐角， 所以 是锐角三角形，故C错误； 对于D，设 内切圆的半径为 ，结合选项B有， 则， 即，解得，故D正确． 12．【详解】由题可得，，， 所以向量在上投影向量为． 13．【详解】，可得， 所以, 所以. 14．【详解】因为，，所以，，，，.. 15．【详解】（1）因为向量，且与的夹角为，所以； （2）因为向量，且，所以， ； （3）因为与垂直，所以， ，解得. 16．【详解】（1）由题意可知扇形的半径，圆心角， 所以扇形的面积，所以扇形区域的面积为平方米； （2）因为，在中，， 又因为为矩形，所以，在中，，， 所以，即的长为米； （3）在中，，， 又因为为矩形，所以，在中，，， 所以，所以， 所以 ， 因为，所以当， 所以当，即时，取最大值，为， 即当时，取得最大值，最大值为平方米. 17．【详解】（1）当时，则存在非零实数，使得， 当时，则，与时矛盾，舍去. 当时，，即， 所以. （2）而， 由正弦定理可知，即，∵且，∴. 得到, 而，得到，∴. 18．【详解】（1）已知，根据正弦定理可得，，由于在中，，所以，， 因此，化简得， 由于，，所以，由于，解得. （2）由（1）可知，，又因为的面积为，即， 化简得，，又因为，根据余弦定理，可得，化简得， 所以，即，结合，解得. （3）由（1）可知，，又因为， 根据余弦定理，可得， 化简得，即，， 根据基本不等式，有，所以，解得，即， 当且仅当，即时取等号，所以周长的最大值为. 19．【详解】（1）如图1，作交于， 易得， 则，则圆台的高为． （2）圆台的轴截面面积为：． （3）把圆台补成圆锥可得大圆锥的母线长为，底面半径为， 圆锥侧面展开图的圆心角为， 设的中点为，连接（如图2）， 可得， 则， 所以沿着该圆台表面从点到中点的最短距离为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $