河北承德市双滦区实验中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

**基本信息** 以摩天轮高度函数、扇形内接矩形面积等真实情境为载体，通过向量运算、三角函数性质及应用问题，考查数学眼光观察、数学思维推理与数学语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量判定（1）、三角函数求值（2-3）、函数周期（4）、实际情境函数（5）|第5题结合摩天轮运动构建三角函数模型，体现数学眼光观察现实世界| |多选题|3/18|向量性质（9）、三角函数图像与性质（10-11）|第9题通过向量命题辨析，考查逻辑推理能力| |填空题|3/15|正切周期（12）、两角和正切（13）、函数单调性参数（14）|第14题结合函数严格单调性求参数范围，深化数学思维| |解答题|5/77|三角函数图像与性质（15）、三角恒等变换（16）、函数零点（17）、综合应用（18-19）|第19题扇形内接矩形面积最值问题，融合几何与三角函数，体现数学语言表达实际问题|

2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．在四边形中，若，则四边形的形状一定是（   ） A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 5．如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈．若初始位置是从距地面21米时开始计算时间，以摩天轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设从点运动到点时所经过的时间为（单位：分钟），且此时点距离地面的高度为（单位：米），则是关于的函数．当时，（    ）   A． B． C． D． 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．关于非零向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 10．已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．若，则 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点中心对称 11．函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，下列说法中正确的有（     ） A．与有相同的最小值 B．与有相同的最小正周期 C．与有相同的对称中心 D．与都在上单调递增 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．函数的最小正周期为_________． 13．已知均为锐角，且，，则________. 14．已知函数在区间上严格增，则的最大值是__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题13分）已知函数. (1)求的值； (2)求函数的对称中心和对称轴； (3)作出在一个周期内的图象（将给定的表格中填全，并描点画图） 16．（本小题15分）已知锐角满足， (1)求的值. (2)求的大小. 17．（本小题15分）已知函数的部分图象如图. (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图象先向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的单调递增区间； (3)函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围. 18．（本小题17分）已知函数，． (1)求在的单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)若，，求的值． 19．（本小题17分）某城市滨江公园有一块扇形观景区域，弧长为米，面积为平方米.计划在该扇形区域内设计一个内接矩形区域，用于修建市民休闲活动区，如图所示：设. (1)求与的长度（用表示） (2)求矩形的面积（用表示）； (3)求矩形面积的最大值； 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C B A C D C BD AC 题号 11 答案 AB 1．B 【分析】根据向量相等和平行四边形定义判断可得答案. 【详解】四边形中，所以，且， 所以四边形为平行四边形. 而邻边不一定相等、且不一定垂直， 所以四边形不是梯形，也不一定是菱形、矩形. 2．B 【详解】因为，且， 所以. 3．C 【分析】在题干等式两边同时平方，结合二倍角的正弦公式求解即可. 【详解】因为，等式两边平方可得， 所以，解得. 4．B 【详解】设的最小正周期为T，由函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为，所以，解得，由，解得 5．A 【分析】先由题意得到，进而得到后，以为始边，为终边的角，从而得到点的纵坐标为，即距地面的高度函数求解． 【详解】由题意得，而是以为始边，为终边的角， 由在内转过的角为，可知以为始边， 为终边的角为，则点的纵坐标为， 所以点距地面的高度为， 故选：A. 6．C 【分析】利用三角恒等变换求解. 【详解】因为，， 所以， 所以， 所以. 7．D 【详解】原式展开化简得， 则， 又是锐角，则，所以，选D. 8．C 【详解】由，解得. 又解得，∴， ∴要使函数在区间上单调递增，则该区间必须是函数某个单调递增区间的子集， 则，， 解得， ∴的取值范围是. 9．BD 【分析】根据相等向量、向量的定义逐一判断即可. 【详解】A：两个非零向量相等除了它们的模相等之外还要方向相同，故本选项命题不正确； B：由，可以得到非零向量的方向相反，所以，因此本选项命题正确； C：两个向量不能比较大小，所以本选项命题不正确； D：由向量相等的定义可以判断本选项命题正确， 故选：BD 10．AC 【分析】利用辅助角公式化简可得，结合正弦型函数周期性可以判断A；利用求出的取值，再计算的值可以判断B；利用“整体法”判断单调区间可以判断C；结合正弦型函数对称中心的性质，代入验证即可判断D. 【详解】利用辅助角公式化简：. 选项A，最小正周期， A正确； 选项B，若，则，即， 得：，即， 因此，B错误； 选项C，当时，令， 则在上单调递增， 因此在上单调递增，C正确； 选项D，若函数关于点中心对称，则满足， 则，D错误. 11．ABD 【详解】的图象向左平移个单位得到的函数是， A选项，最小值为，最小值为，所以A选项正确； B选项，最小正周期值为，最小正周期值为，所以B选项正确； C选项，令，解得对称中心为，其中， 令，解得对称中心为，其中，所以两者的对称中心不一样，所以C选项错误； D选项，当时，，此时单调递增，，所以单调递增，所以D选项正确. 12． 【详解】由正切函数周期公式得：. 13．/0.6 【分析】求出的值，再利用两角和差公式展开，联立方程求出与的关系，即可得到的值. 【详解】因为均为锐角，即，，所以，. ，故，则：， 即， 已知，则， 所以，即， ，即， 所以. 14． 【分析】利用辅助角公式化简，再结合正弦函数性质得到不等式组，进而求出参数范围即可. 【详解】由辅助角公式得， 因为，所以， 而在区间上严格增，且，则， 解得，可得的最大值是. 15．(1) (2)对称中心：  对称轴： (3) 0 0 1 0 0 作图见解析 【分析】（1）根据函数的解析式代入求值即可； （2）结合正弦函数的对称轴和对称中心，利用整体代入法进行求解即可； （3）利用五点作图法填写表格作出图象即可. 【详解】（1）因为， 所以. （2）令，得， 所以函数的对称中心为. 令，得， 所以函数的对称轴为. （3）表格如下图： 0 0 1 0 0 图象如下： 16．(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角关系可得，再结合倍角公式运算求解； （2）先根据同角三角关系求，再利用两角和差公式可求，即可得结果. 【详解】（1）因为， 则 所以； （2）因为，则， 则， 且，所以. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）由函数的图像，求得，得到，再由，求得，进而得到函数的解析式； （2）根据三角函数的图象变换，求得，结合三角函数的图象与性质，即可求得的单调递增区间； （3）令，得到，转化为方程在有且仅有两个实根，结合余弦函数的性质，求得方程的根，进而求解. 【详解】（1）由图象可知， 设函数的最小正周期为， 由函数的图像，可得，所以， 因为，所以，所以函数， 又因为，所以，解得， 因为，所以令，可得， 所以函数的解析式为. （2）函数的图象先向右平移个单位长度， 得到，的图象， 再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，（纵坐标不变）， 得到函数的图象，所以， 令，解得， 所以函数的单调递增区间. （3）令，则， 因为函数在区间上有且仅有两个零点， 所以方程在有且仅有两个实根， 令，得或， 所以方程的较小的三个正根从小到大排列分别是， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 18．(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质即可求解； （2）根据三角函数的性质即可求解最值； （3）由已知得出，结合及同角三角函数的平方关系得出，由两角和的正弦公式即可求解． 【详解】（1）， 由，解得， 又，所以的单调递减区间为． （2）因为，所以，则， 所以， 所以的最大值为，最小值为． （3）由，所以，所以， 又，所以， 所以， 所以 ． 19．(1)， (2)（） (3) 【分析】（1）根据弧长和扇形面积公式求出圆心角，结合图形求出与的长度；（2）表示矩形的面积，运用三角恒等变换得到面积的表达式；（3）结合正弦函数的性质求出面积的最大值. 【详解】（1）在扇形中，设半径为，弧长为， 圆心角（）， 则，， 解得米，. 在矩形中，. 因为，所以在中， . （2），， . （）. （3），则， 当，即时，取到最大值1， 此时矩形的面积最大，. 答案第2页，共10页 答案第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $