第02 讲 集合间基本关系-2026年初升高数学衔接

第02讲 集合间基本关系 基●础●知●识 一子集与真子集的定义与表示 1、子集：如果集合中的任意一个元素都是集合的元素，那么集合叫做集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. 2、真子集：如果集合是集合的子集，并且中至少有一个元素不属于，那么集合叫做集合的真子集记作或 【注意】（1）子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系（而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系）. （2）并不是任意两个集合之间都具有包含关系. 例如：，因为，但，所以不是的子集；同理，因为，但，所以也不是的子集. 二、空集 1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到：（1）空集只有一个子集，即它本身；（2）空集是任何非空集合的真子集. 2、的关系 与0 与 与 相同点 都表示无意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合；0是实数 中不含任何元素；含一个元素0 不含任何元素；含一个元素，该元素是 关系 $或 三、子集的性质 （1）规定：空集是任意一个集合的子集也就是说，对任意集合，都有. （2）任何一个集合都是它本身的子集，即. （3）如果，则. （4）如果，，则. 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解的含参数的问题时，要注意讨论和两种情况，前者常被忽视1，造成思考问题不全面. 四、子集的个数 如果集合中含有个元素，则有 （1）的子集的个数有个. （2）的非空子集的个数有个. （3）的真子集的个数有个. （4）的非空真子集的个数有个. 题●型●破●译 题型 01 判断集合子集（真子集）个数 【典例01】已知集合，则集合A的子集个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【详解】因为， 所以集合A的子集个数为. 【变式01】集合的子集的个数为（   ） A．64 B．16 C．6 D．4 【答案】A 【分析】确定集合，根据集合中元素的个数确定子集的个数. 【详解】由题意且，的值可以为：，所以有6个元素. 故集合的子集有：个. 【变式02】全集，且，则满足条件的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．4 D．2 【答案】A 【详解】因为全集，且， 所以可能为，共个 即集合的个数为. 题型02 判断集合包含关系 【典例01】设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两集合中的数字特征，即可得出两集合的关系. 【详解】由题意得, 显然仅表示奇数，而表示整数， 因此集合是集合的子集，即， 故选：B 【变式01】已知集合，则（    ） A． B． C． D．⫋ 【答案】C 【分析】根据集合的描述法将集合化成列举法，根据集合中的元素确定集合的关系. 【详解】， ， 则，故. 故选：C. 【变式02】若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解方程化简集合A，然后根据元素与集合的关系、集合与集合的关系逐项判断. 【详解】集合， 所以，，，. 故选项A正确，选项BCD错误. 故选：A 题型03 根据集合关系求参数 【典例01】设集合，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合间的包含关系，判断端点大小关系即可. 【详解】集合，因为，所以. 【变式01】已知集合，，，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用子集的定义可得答案. 【详解】由，得：， 即，故， 由，得：， 又因为， 所以. 【变式02】集合，，若，则实数m的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，集合，，可得. 所以的取值范围是. 题型04 空集性质与应用 【典例01】下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】运用集合的基本关系与概念：集合间的包含关系（子集、相等集合）；空集的定义与性质；元素与集合、集合与集合的区别. 【详解】①： 子集的定义是：若集合的所有元素都属于集合，则， 中的元素属于，因此是的子集，①正确； ②： 集合具有“无序性”，和是同一个集合；而任何集合都是自身的子集，故②正确； ③： 空集的性质：空集是任何集合的子集，因此是的子集，③正确； ④： 空集是“不含任何元素的集合”，而是包含元素的集合，二者元素不同，因此，④错误； ⑤： 是“包含两个数、的集合”，而是“包含一个有序数对的集合”，元素类型不同，因此，⑤错误； ⑥： 是“元素”，是“包含元素的集合”，元素和集合不能相等，因此⑥错误. 故选C. 【变式01】下列各结论中，正确的是（   ） A．是空集 B．空集没有子集 C． D．与不是相同的集合 【答案】C 【分析】根据定义逐项判断即可. 【详解】A：是含有一个元素的数集，故错误； B：因为空集是任何集合的子集，故错误； C：因为是自然数集，所以，故正确； D：由元素具有无序性可知，与是相同的集合，故错误； 故选：C. 【变式02】下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和元素与集合、集合与集合的关系判断即可. 【详解】因为中没有任何元素，故A错误； ，故B错误； 因为是任何集合的子集，故C正确； 由于，故D错误． 故选：C． 题型05 空集性质求参数 【典例01】已知集合． (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意，由，分类讨论当和两种情况，解不等式即可得出实数的取值范围； （2）根据题意，由，得出，解不等式即可求实数的取值范围． 【详解】（1）解：由题可知，，， ①若，则，即； ②若，则，解得：； 综合①②，得实数的取值范围是． （2）解：已知，，， 则，解得：， 所以实数的取值范围是． 【变式01】已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用判别式计算即可； （2）直接代入1计算即可. 【详解】（1）若，则， 即实数的取值范围为； （2）若，则 即实数的值为2. 【变式02】已知集合， (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知，可得集合是集合的子集，结合两个集合的范围，可得直接求解出实数的取值范围. （2）由已知，可得集合和集合没有交集，结合两个集合的范围，可得直接求解出实数的取值范围. 【详解】（1）已知，，要满足， 即中的任意一个元素都是中的元素，则， 即实数a的取值范围是： （2）当，即与没有公共元素， 因为和都不可能为空集， 所以要使得两个集合没有公共元素，则， 即实数a的取值范围：． 题●型●巩●固 1.已知集合，则的非空子集的个数为（   ） A．32 B．31 C．64 D．63 【答案】D 【详解】因为集合的元素有个， 所以集合的非空子集的个数为. 2.集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据真子集的概念可知为的一个真子集． 3.设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】集合A为所有奇数组成的集合，集合B为所有整数组成的集合，故A是B的子集. 【详解】， ， 集合A为所有奇数组成的集合，集合B为所有整数组成的集合，故A是B的子集. 故选：A 4.以下四个选项中，正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合与集合的关系依次判断各选项即可得答案. 【详解】对于A，混淆元素与集合，集合与集合的关系，为的真子集，故错误； 对于B，是的真子集 ，不存在大小关系，故错误； 对于C，，正确； 对于D，空集是任何集合的子集，即，不是的元素，故错误. 故选：C 5.若，则的真子集个数为（   ） A．3 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】由集合的无序性结合集合的关系确定，进而可求集合的真子集个数. 【详解】因为，所以，所以的真子集个数为. 6.下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确； 故选：C. 7.给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的是（    ） A．①②④⑤ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 【答案】D 【分析】根据元素与集合，集合与之间的关系一一判断即可. 【详解】由于元素与集合之间用或表示，所以①错误，②正确， 由于，集合与集合之间用或等表示，所以③错误，④正确， 根据集合与集合的关系可得⑤，⑥均正确， 所以正确的是②④⑤⑥， 故选：D. 8.（多选）已知集合，，若，则符合条件的实数的值可能为（   ）几何关系求参数 A． B． C． D．0 【答案】ABD 【分析】讨论集合中的参数和，再利用子集关系求解. 【详解】由，可知. 当时，，此时，满足条件. 当时，，则有或， 解得或. 9.（多选）若集合．下列关系式正确的有（   ）空集概念判断 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据子集、空集、元素的性质和概念，对各选项进行分析判断． 【详解】选项A：是任何集合的子集，故成立，故A正确； 选项B：符号用于表示元素与集合的从属关系，不是集合B的元素， 错误，故B错误； 选项C：，，故C正确； 选项D：中元素，故错误，故D错误． 故选：AC． 10.（多选）以下选项正确的是（    ）空集概念判断 A． B． C． D．是空集 【答案】BCD 【分析】根据元素与集合间的关系、集合与集合间的关系可判定得到答案. 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，因为空集是任何集合的子集，故B正确； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，所以，又，所以方程无解，故是空集，故D正确. 故选：BCD. 11.已知集合，或． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用非空集合思想来得到参数的不等式求解即可； （2）根据子集思想，讨论空集和非空集合两种情形，再进行端点值比较，得到不等式求解即可. 【详解】（1）由，则， 因为集合，所以， 解得：，故实数的取值范围是； （2）由，则， 当为空集时满足题意，此时有，即； 当，且，或．则, 而且还满足或，解得：或， 由于，所以此时只有， 综上可得：实数的取值范围是. 12.已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空集的定义即可得解； （2）利用集合的包含关系，分类讨论与两种情况即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以中没有元素，即， 所以的取值范围为. （2）因为，， 由（1）知，当时，，此时满足； 当时，则； 所以的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 集合间基本关系 基●础●知●识 一子集与真子集的定义与表示 1、子集：如果集合中的任意一个元素都是集合的元素，那么集合叫做集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. 2、真子集：如果集合是集合的子集，并且中至少有一个元素不属于，那么集合叫做集合的真子集记作或 【注意】（1）子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系（而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系）. （2）并不是任意两个集合之间都具有包含关系. 例如：，因为，但，所以不是的子集；同理，因为，但，所以也不是的子集. 二、空集 1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到：（1）空集只有一个子集，即它本身；（2）空集是任何非空集合的真子集. 2、的关系 与0 与 与 相同点 都表示无意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合；0是实数 中不含任何元素；含一个元素0 不含任何元素；含一个元素，该元素是 关系 $或 三、子集的性质 （1）规定：空集是任意一个集合的子集也就是说，对任意集合，都有. （2）任何一个集合都是它本身的子集，即. （3）如果，则. （4）如果，，则. 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解的含参数的问题时，要注意讨论和两种情况，前者常被忽视1，造成思考问题不全面. 四、子集的个数 如果集合中含有个元素，则有 （1）的子集的个数有个. （2）的非空子集的个数有个. （3）的真子集的个数有个. （4）的非空真子集的个数有个. 题●型●破●译 题型 01 判断集合子集（真子集）个数 【典例01】已知集合，则集合A的子集个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【变式01】集合的子集的个数为（   ） A．64 B．16 C．6 D．4 【变式02】全集，且，则满足条件的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．4 D．2 题型02 判断集合包含关系 【典例01】设集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式01】已知集合，则（    ） A． B． C． D．⫋ 【变式02】若集合，则（    ） A． B． C． D． 题型03 根据集合关系求参数 【典例01】设集合，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式01】已知集合，，，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式02】集合，，若，则实数m的取值范围（ ） A． B． C． D． 题型04 空集性质与应用 【典例01】下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式01】下列各结论中，正确的是（   ） A．是空集 B．空集没有子集 C． D．与不是相同的集合 【变式02】下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型05 空集性质求参数 【典例01】已知集合． (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 【变式01】已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【变式02】已知集合， (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 题●型●巩●固 1.已知集合，则的非空子集的个数为（   ） A．32 B．31 C．64 D．63 2.集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 3.设集合，，则（   ） A． B． C． D． 4.以下四个选项中，正确的为（    ） A． B． C． D． 5.若，则的真子集个数为（   ） A．3 B．8 C．7 D．6 6.下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 7.给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的是（    ） A．①②④⑤ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 8.（多选）已知集合，，若，则符合条件的实数的值可能为（   ）几何关系求参数 A． B． C． D．0 9.（多选）若集合．下列关系式正确的有（   ）空集概念判断 A． B． C． D． 10.（多选）以下选项正确的是（    ）空集概念判断 A． B． C． D．是空集 11.已知集合，或． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 12.已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $