精品解析：重庆市九龙坡区川外基础教育集团2025—2026学年度下期6月初二数学定时作业

川外基础教育集团2025—2026学年度下期6月初二数学定时作业 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图像的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，以 为边在正六边形的内部作正方形 ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知小伟家、体育场、文具店在同一直线上，上面的图象反映的过程是：小伟从家跑步去体育场，在那里锻炼了一段时间后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中 表示时间， 表示小伟离家的距离．则下列说法中不正确的是（ ） A. 体育场离小伟家 B. 体育场离文具店 C. 小伟在文具店停留了 D. 小伟从文具店回家的平均速度是 5. 如图，菱形 对角线交于点， 为 中点，连接，若，则菱形 的周长为（ ） A. 2 B. 4 C. 16 D. 32 6. 某商店今年1月份的销售额为200万元，经过促销第一季度（1月、2月、3月）总销售额达到798万元．设2、3月份每月销售额的平均增长率为 ，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点、、在同一个函数的图象上，这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 在统计学中，三个数值把一组数由小到大排列分成四等份，称这三个数值为这组数据的四分位数，张老师绘制了某次数学检测中1班，2班两个班级学生得分的箱线图，则下列说法正确的是（ ） A. 1班中位数班中位数 B. 1班方差班方差 C. 1班得分低于105的人数多于2班得分低于105的人数 D. 若每班都有50个学生，2班的第13名分数高于1班的第13名 9. 如图，在正方形 中， 为 上一点，连接 ， 为 上一点，连接 交 于点 ，，连接，，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 10. 已知整式，其中 ，为正整数，，…，，为整数，且，，下列说法： ①满足条件的单项式有3个； ②当时，满足条件的整式有19个； ③满足条件的二次二项式有16个； ④当且时，满足方程有实数解，这样的 有15个． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 学校开展演讲比赛．某选手演讲的内容、能力、效果得分分别为84分、90分、95分，若成绩按照内容、能力、效果权重为 确定，则该选手的最终成绩为_______分． 12. 若 为正整数，且满足，则 的值为_______． 13. 如图，正方形 的边 ， 向外作 ， ，，以 ，， ， 为边向外作正方形，面积分别为6，2， ，11，则 的值为_______． 14. 已知 ，是关于 的一元二次方程两个实根，且满足，则 的值为_______． 15. 如图，在 中，， 为 的中线，，点 在 上，，若，则线段 的长度为_______． 16. 我们规定：若两个两位数，的十位相同，满足 ，若一个四位数，则称这个四位数 为“合九数”．例如：四位数1980， ， ， 是“合九数”．按此规定，最小的“合九数”是_______，一个“合九数”，将放在的左边组成一个新的四位数，将 的千位数字和百位数字交换位置，十位数字和个位数字交换位置，得到另一个新数，记，．若能被7整除，除以8余5，则满足条件的 的最大值是_______． 三、解答题：（本大题9个小题，17-18每小题8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算与解方程： （1）解方程：； （2）计算：． 18. 已知：如图， 中，，， 为 上一点，平分 交 于 ． （1）使用尺规完成基本作图：作于点 交 于点 ．（保留作图痕迹，不写做法，不下结论） （2）求证：． 证明：， 平分 ① ． ，② 在和中 ． 19. 某校初二年级组为了了解学生体育情况，组织学生进行体育模拟测试．分别从男生，女生中各随机抽取20名学生测试成绩进行整理分析（单位：分，满分：50分，成绩均为整数）． 抽取的男生成绩如下：42，43，44，44，44，45，45，46，48，49，49，49，49，49，50，50，50，50，50，50． 抽取的女生成绩用 表示，整理后分成五组（A：；B：；C：；D：；E：）并绘制成如图所示扇形统计图，其中D组学生的成绩为：47，47，47，48，48，48． 抽取男生与女生成绩的平均数、中位数、众数、下四分位数如表所示： 平均数 中位数 众数 下四分位数 男生 49 c d 女生 49 46 （1）根据上述信息可得：_______，_______， _______， _______； （2）根据以上数据，你认为男生的体育成绩更好还是女生的体育成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校初二年级有男生1200人，女生800人，请估计该校初二年级体育在49分及以上的学生共有多少人． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，矩形 中，，连接 ， ，点 从点 出发沿着（不含 、 两点）运动，当点 到达 点时停止运动，连接，设点 的运动路程为 ，记． （1）直接写出关于 的函数表达式及自变量 的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数的图象，当函数的图象与有2个交点时，直接写出 的取值范围． 22. 如图，在平行四边形 中，连接 、 ，，点 、 为 、 上的点，且，点 、 分别为 、 的中点，连接 、、、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求 的长． 23. 列方程解应用题： 如今，无人机、机器狗等玩具备受孩子们的喜爱，某工厂安排100名工人组装无人机和机器狗，每人每天可组装12架无人机或5个机器狗，且每人每天只能组装一种产品，组装160架无人机所用的时间与组装100个机器狗所用的时间相等． （1）应安排多少名工人组装无人机，多少名工人组装机器狗？ （2）由于工厂改进组装工艺，工人每人每天比原来多组装无人机 架，每人每天组装机器狗的数量比原来多，工长从组装无人机的工人中调拨 人增援组装机器狗，抽调后每天组装机器狗总数量比无人机的总数量仍少180个，求 的值． 24. 如图1，在平面直角坐标系中．一次函数（）与 轴， 轴分别交于点 ， 两点，一次函数与 轴， 轴分别交于点，点 ，若，且． （1）求直线 的函数解析式； （2）点 是的中点，连接交 于点 ，在 有一动点 ，连接，当时，求点 的坐标； （3）如图2，点 是直线 上一动点，连接 ，将沿着 翻折得，直线与直线 交于点，直线与直线 交于点 ，当时，请直接写出符合条件的点 的坐标． 25. 已知 为等边三角形，点 是边延长线上一点，连接 ，在边 有一点 ，连接 交 于点 ，若． （1）如图1，若 为 中点，，求 的长； （2）如图2，请猜想线段、 、 之间的数量关系，并证明； （3）如图3，在（1）的条件下，在 外作，点 、 分别为边 、 上动点，过 作于点，连接，，点 为中点，连接，当最小时，以为边构等边，连接、，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 川外基础教育集团2025—2026学年度下期6月初二数学定时作业 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、的被开方数含有分母，不是最简二次根式； B、的被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式； C、是最简二次根式； D、的被开方数含有分母，不是最简二次根式． 2. 二次函数的图像的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了顶点式顶点坐标为，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图像的顶点坐标是． 故选：A 3. 如图，以 为边在正六边形的内部作正方形 ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正多边形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 4. 已知小伟家、体育场、文具店在同一直线上，上面的图象反映的过程是：小伟从家跑步去体育场，在那里锻炼了一段时间后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中 表示时间， 表示小伟离家的距离．则下列说法中不正确的是（ ） A. 体育场离小伟家 B. 体育场离文具店 C. 小伟在文具店停留了 D. 小伟从文具店回家的平均速度是 【答案】D 【解析】 【详解】解：由图象可得，体育场离小伟家，故A正确； 体育场离文具店，故B正确； 小伟在文具店停留了，故C正确； 小伟从文具店回家的平均速度是，故D错误． 5. 如图，菱形 对角线交于点 ， 为 中点，连接，若，则菱形 的周长为（ ） A. 2 B. 4 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】利用菱形的对角线互相垂直且平分，结合直角三角形斜边中线定理即可求出菱形的边长，即可解答． 【详解】解： 四边形是菱形， ，， ， 为 中点， 是斜边上的中线， ， ， ， 菱形的周长为． 6. 某商店今年1月份的销售额为200万元，经过促销第一季度（1月、2月、3月）总销售额达到798万元．设2、3月份每月销售额的平均增长率为 ，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别表示出三个月的销售额，再根据第一季度总销售额为798万元列出等式即可． 【详解】解：∵1月份销售额为200万元，2、3月份每月销售额的平均增长率为 ， ∴2月份销售额为万元，3月份销售额为万元， 由题意得：． 7. 已知点、、在同一个函数的图象上，这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得当 时的函数值与时的函数值相等，且时的函数值大于 时的函数值，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵点、、在同一个函数的图象上， ∴当 时的函数值与时的函数值相等，且时的函数值大于 时的函数值， ∴四个函数图象中，只有B选项中的函数图象符合题意． 8. 在统计学中，三个数值把一组数由小到大排列分成四等份，称这三个数值为这组数据的四分位数，张老师绘制了某次数学检测中1班，2班两个班级学生得分的箱线图，则下列说法正确的是（ ） A. 1班中位数班中位数 B. 1班方差班方差 C. 1班得分低于105的人数多于2班得分低于105的人数 D. 若每班都有50个学生，2班的第13名分数高于1班的第13名 【答案】D 【解析】 【分析】根据箱线图读取两个班级的中位数、四分位数及极差等统计量，结合方差的定义及百分位数的概念逐项判断即可． 【详解】解：由箱线图可知：1班的中位数大于120，2班的中位数小于120， ∴1班中位数班中位数，故A错误； 由图可知，2班数据的极差（最大值减最小值）及四分位距（箱体长度）均大于1班，数据分布更分散， ∴1班方差班方差，故B错误； 虽然2班得分低于105分的比例大于，1班得分低于105分的比例小于， 但两个班级的总人数未知，无法比较具体人数，故C错误； 若每班都有50个学生，将成绩从高到低排列， ∵ 由图可知，1班的上四分位数小于2班的上四分位数， ∴2班的第13名分数高于1班的第13名，故D正确． 9. 如图，在正方形 中， 为 上一点，连接， 为 上一点，连接 交于点，，连接，，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正方形的十字模型，通过证明，从而得到，，再通过角度的代换，利用平行线和直角，和，推出，得到，作，通过证明，从而推出的关系，通过勾股定理依次计算，推出，由此可利用勾股定理得到 与的关系，求出答案． 【详解】解：如图，作， 在正方形中，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， 设，则，， 设，则， 由勾股定理，得，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 已知整式，其中，为正整数，，…，，为整数，且，，下列说法： ①满足条件的单项式有3个； ②当时，满足条件的整式有19个； ③满足条件的二次二项式有16个； ④当且时，满足方程有实数解，这样的有15个． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目给出的条件，逐个验证四个说法的正确性，按分类讨论计算各类整式的个数，即可得到结果． 【详解】解：验证①：∵是单项式， ∴仅非零，其余系数均为 ； ∴对，时，，不满足， ∴仅 ，，此时，为正整数，故，共个， 即满足条件的单项式有3个，①说法正确； 验证②：由，且， 故所有，即，条件变为，， 当 时，，，此时，，， 若，则由可得，解得，满足条件的整数有4个； 若，则由可得，解得，满足条件的整数有3个； 若，则由可得，解得，满足条件的整数有3个； 即当 时，满足条件的整式有个； 同理当时，满足条件的整式有个； 当时，满足条件的整式有 个； 故总共有，②错误； 验证③：∵二次二项式， ∴，，恰好两个非零系数，则、中有一个为零， 若，则，矛盾，不合题意； 若，则，，设，则， 当时，，符合条件的共个； 当时，，，由可得，所有组合都符合，共个； 总共有个，③正确； 验证④：∵，，， ∴， ∵方程有实数解， ∴方程有实根， ∴判别式， 当时，，无实根，共 个； 当，，令，，，由可得，， ∵， ∴， 代入整理得， 当，时，由和解得，符合条件的有个； 当，时，由和解得，符合条件的有个； 当，时，由和解得，符合条件的有 个； 当，时，由和解得，符合条件的有 个； 当，时，由和解得，符合条件的有个； 当，时，由解得，与矛盾； 当，时，由解得，与矛盾； ∴符合条件的共，故④错误． 综上，正确的说法共 个． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 学校开展演讲比赛．某选手演讲的内容、能力、效果得分分别为84分、90分、95分，若成绩按照内容、能力、效果权重为 确定，则该选手的最终成绩为_______分． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的各项得分和对应权重，利用加权平均数的计算方法求出该选手的最终成绩． 【详解】解： 分， 故该选手的最终成绩88分． 12. 若为正整数，且满足，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用算术平方根的性质估算出的取值范围，再对已知不等式变形，得到的取值范围，结合为正整数即可求解． 【详解】解： ，即 对不等式三边同时加，得 结合可得，且， 解得， 又∵为正整数， ∴． 13. 如图，正方形 的边 ， 向外作 ， ，，以，， ， 为边向外作正方形，面积分别为6，2， ，11，则 的值为_______． 【答案】3 【解析】 【详解】解：在 中，由勾股定理得：， ∴ 同理可得：， ∴， ∴． 14. 已知 ，是关于 的一元二次方程两个实根，且满足，则 的值为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，用含m的式子表示，求出的值，从而将已知条件转化为关于m的方程，求出m的值，再根据根的判别式求出m的取值范围，确定最终结果即可． 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系，得，， 由根的判别式，可知， 解得或， ∴， 解得或， ∵， ∴不符合题意， ∴ ． 15. 如图，在 中，， 为 的中线，，点 在 上，，若，则线段 的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】延长 至 ，使，连接，构造全等三角形，将 转化到. 由得出，设，表示出和 的长. 过点 作，利用角解直角三角形求出和，最后在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解： 延长 至 ，使，连接 为的中线    在与中     设 过点 作于点 在中，，    由勾股定理得 在中， 整理得 解得，（不合题意，舍去） ．  16. 我们规定：若两个两位数，的十位相同，满足 ，若一个四位数，则称这个四位数为“合九数”．例如：四位数1980， ， ， 是“合九数”．按此规定，最小的“合九数”是_______，一个“合九数”，将放在的左边组成一个新的四位数，将 的千位数字和百位数字交换位置，十位数字和个位数字交换位置，得到另一个新数，记，．若能被7整除，除以8余5，则满足条件的的最大值是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对于第一空可证明a的最小值为3，要使M最小，那么首先要保证a最小，则 ，求出，可证明 ，则M的最小值为1170；对于第二空，根据题意可得 ， ，根据能被7整除，得到 能被7整除，可求出 ，讨论 的值，进而确定对应情形下a和b的值，结合除以8余5验证，进而推出符合题意的M的值，比较即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ，且 ， ∴ ， ∵ ， ∴a的最小值为3， ∵要使M最小，且， ∴首先要保证a最小， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴当 或 时，有最小值，最小值为1170， ∴M的最小值为1170，即最小的“合九数”是1170； 由题意得， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵能被7整除， ∴ 能被7整除， ∴ 能被7整除， ∵ ， ∴ ， 当 时，则 ， 当 时， ， ∵ ， ∴此时满足除以8余5，符合题意， ∴ ， ∴ ； 当 时， ， ∵ ， ∴此时不满足除以8余5，不符合题意； 当 时，则 ， 当 时， ， ∵ ， ∴此时不满足除以8余5，不符合题意； 当 时， ， ∵ ， ∴此时不满足除以8余5，不符合题意； 当 时， ， ∵ ， ∴此时不满足除以8余5，不符合题意； 当 时，则 ， 当 时， ， ∵ ， ∴此时满足除以8余5，符合题意， ∴ ， ∴ ； 当 时， ， ∵ ， ∴此时不满足除以8余5，不符合题意； 当 时， ， ∵ ， ∴此时不满足除以8余5，不符合题意； 当 时，则 ， 当 时， ， ∵ ， ∴此时不满足除以8余5，不符合题意； 当 时， ， ∵ ， ∴此时不满足除以8余5，不符合题意； 综上所述，符合题意的M的值为1188或4148， ∵ ， ∴M的最大值为4148． 三、解答题：（本大题9个小题，17-18每小题8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算与解方程： （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ，， ∴ ∴ 解得，； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知：如图， 中，，，为 上一点，平分 交 于 ． （1）使用尺规完成基本作图：作于点 交 于点 ．（保留作图痕迹，不写做法，不下结论） （2）求证：． 证明：， 平分 ① ． ，② 在和中 ． 【答案】（1）解：如图所示为所求： （2）解：，， 【解析】 【分析】（1）过点作 的垂线，分别交于点即可； （2）根据证明过程结合图形填空即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 某校初二年级组为了了解学生体育情况，组织学生进行体育模拟测试．分别从男生，女生中各随机抽取20名学生测试成绩进行整理分析（单位：分，满分：50分，成绩均为整数）． 抽取的男生成绩如下：42，43，44，44，44，45，45，46，48，49，49，49，49，49，50，50，50，50，50，50． 抽取的女生成绩用 表示，整理后分成五组（A：；B：；C：；D：；E：）并绘制成如图所示扇形统计图，其中D组学生的成绩为：47，47，47，48，48，48． 抽取男生与女生成绩的平均数、中位数、众数、下四分位数如表所示： 平均数 中位数 众数 下四分位数 男生 49 c d 女生 49 46 （1）根据上述信息可得：_______，_______， _______， _______； （2）根据以上数据，你认为男生的体育成绩更好还是女生的体育成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校初二年级有男生1200人，女生800人，请估计该校初二年级体育在49分及以上的学生共有多少人． 【答案】（1）15；48；50； （2）男生的体育成绩更好； 因为男生的体育成绩的中位数 大于女生的体育成绩的中位数48．（答案不唯一） （3）人 【解析】 【分析】（1）计算扇形统计图中的百分比 ，女生成绩的中位数 ，男生成绩的众数，下四分位数d即可； （2）比较男女生成绩，通过中位数判断成绩好坏； （3）利用样本中49分及以上的比例，估计总体中相应的人数． 【小问1详解】 解：因为扇形统计图各部分百分比之和为 ， 所以， 女生抽取20人，中位数是第 、个数的平均数， 组有人，B组有人， 组有人，D组有6人，那么前四组共有人， 组有人， 所以第 、个数都在组的最后两个数，组成绩为， 所以第10个数是48，第11个数是48，则， 男生成绩中50出现的次数最多， 所以； 将男生成绩从小到大进行排序，排在第5的是44，第6的是45，因此下四分位数． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：据题意得：（人）， ∴估计该校初二年级体育在49分及以上的学生共有1020人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 21. 如图，矩形 中，，连接 ， ，点 从点出发沿着（不含、 两点）运动，当点 到达 点时停止运动，连接，设点 的运动路程为 ，记． （1）直接写出关于 的函数表达式及自变量 的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数的图象，当函数的图象与有2个交点时，直接写出 的取值范围． 【答案】（1） （2）；当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理可求出 ，再分两种情况：当时，点P在线段 上，当时，点P在线段 上，分别求出的面积即可得到答案； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再根据函数图象写出对应函数的增减性即可； （3）求出函数的图象恰好经过点和点时k的值，结合函数图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵四边形 是矩形， ∴ ， ∵， ， ∴； 如图所示，当时，点P在线段 上， ∴； 如图所示，当时，点P在线段 上， ∴； 综上所述，； 【小问2详解】 解：函数图象见解析， 由函数图象可知，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：当函数的图象恰好经过点时，则，解得， 当函数的图象恰好经过点时，则，解得， ∴由函数图象可知，当时，函数的图象与有2个交点． 22. 如图，在平行四边形 中，连接 、 ，，点 、 为 、 上的点，且，点 、 分别为 、 的中点，连接 、、、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求 的长． 【答案】（1）证明： 四边形为平行四边形， ，， ∵点 、 分别为 、 的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， ∵， ，即， 在和中， ， ， ， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，得到，即可证明结论； （2）连接 交 于点 ，利用等腰三角形三线合一的性质可得，求出，易证，同理求出，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接 交 于点 ， ∵，点 为 的中点， ∴，即， 四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 同理求出， ∴． 23. 列方程解应用题： 如今，无人机、机器狗等玩具备受孩子们的喜爱，某工厂安排100名工人组装无人机和机器狗，每人每天可组装12架无人机或5个机器狗，且每人每天只能组装一种产品，组装160架无人机所用的时间与组装100个机器狗所用的时间相等． （1）应安排多少名工人组装无人机，多少名工人组装机器狗？ （2）由于工厂改进组装工艺，工人每人每天比原来多组装无人机架，每人每天组装机器狗的数量比原来多，工长从组装无人机的工人中调拨 人增援组装机器狗，抽调后每天组装机器狗总数量比无人机的总数量仍少180个，求 的值． 【答案】（1）应安排40名工人组装无人机，60名工人组装机器狗 （2） 的值为1． 【解析】 【分析】（1）设安排x名工人组装无人机，则名工人组装机器狗，根据“组装160架无人机所用的时间与组装100个机器狗所用的时间相等”列方程即可求解； （2）根据“机器狗总数量比无人机总数量仍少180个”列方程即可求解． 【小问1详解】 解：设安排x名工人组装无人机，则名工人组装机器狗， 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解且满足题意， ， 应安排40名工人组装无人机，60名工人组装机器狗； 【小问2详解】 解：无人机单人日产量：架，抽调m人后，组装无人机人数： ，日总产量：， 机器狗单人日产量： 个，组装机器狗人数： ，日总产量：， 根据题意得： ， 解得或（舍去）， 即 的值为1． 24. 如图1，在平面直角坐标系中．一次函数（）与 轴， 轴分别交于点， 两点，一次函数与 轴， 轴分别交于点，点，若，且． （1）求直线 的函数解析式； （2）点 是的中点，连接交 于点 ，在 有一动点 ，连接，当时，求点 的坐标； （3）如图2，点 是直线 上一动点，连接 ，将沿着 翻折得，直线与直线 交于点，直线与直线 交于点 ，当时，请直接写出符合条件的点 的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先将点代入直线 的解析式得出，即可得出直线 的解析式为，进而得出，根据，可得直线 的解析式为，代入，即可求解； （2）根据题意求得直线的解析式为，设，根据结合图形推导出，根据三角形的面积公式建立方程，解方程，求得 的值，即可求解； （3）取 中点，连接，先证明是等边三角形，进而得出，根据，分情况讨论，当在 的下方，和在 的上方时根据含 度角的直角三角形的性质，勾股定理，分别求得点 的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：∵一次函数与 轴交于点 ∴ 解得： ∴直线 的解析式为， ∵， ∴，则 ∴ ∵， ∴直线 的解析式为， 代入得 ∴ 解得： ∴直线 的解析式为 【小问2详解】 解：∵直线 的解析式为 当 时，， ∴ ∵点 是的中点， ∴，则 设直线的解析式为，代入， ∴ ∴ ∴直线的解析式为 故设， ∵， ∴ 设与 轴交于 ，如图， ∵, 在 上， ∴ ∴ ∴ 即 解得： ∴ ∴； 【小问3详解】 解：如图，取 中点，连接， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∵，同理可得， 情形一：当在 的下方时，如图，在的左侧，截取，则， ∴ ∵ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵将沿着 翻折得 ∴， 在中， ∴ ∴，即在 轴的负半轴上， ∴直线即为 轴， 点即为 点，即； 情形二：当在 的上方时，，则轴，如图， ∵，将沿着 翻折得 ∴， ∵ 在中， ∴，垂足为 ， ∴ ∴ 过点 作于点 ， ∵， ∴ ∴ ∴ 将代入 ∴， ∴ 综上所述，或 25. 已知 为等边三角形，点是边延长线上一点，连接 ，在边 有一点 ，连接 交 于点 ，若． （1）如图1，若 为 中点，，求 的长； （2）如图2，请猜想线段、 、 之间的数量关系，并证明； （3）如图3，在（1）的条件下，在 外作，点、 分别为边 、 上动点，过作于点 ，连接，，点 为中点，连接，当最小时，以为边构等边，连接、，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2），证明如下： 如图2，延长 至 使得，连接， 设， ∵ 为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵ ，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）作于点 ，则，根据等边三角形以及三线合一性质得到，由得，利用三角形外角的性质得到，则，再利用含30度角的直角三角形的性质得到，利用勾股定理得到，再利用线段的和差即可求解； （2）延长 至 使得，连接，设，利用等边三角形的性质导角得，，再证明，得到，，进而得到，则，即可得出结论； （3）延长至使得，连接、，取 的中点 ，作交延长线于点，连接、，根据三角形中位线定理可得，当最小时，最小；证明得到，，分析可得当时，有最小值，此时最小，利用含30度直角三角形的性质得到，进而推出是等边三角形，再证明，得到，从而证明，得到，则有，再利用勾股定理求出的长，即可解答． 【小问1详解】 解：如图1，作于点 ， 则， ∵ 为等边三角形， ∴，， 又∵ 为 中点， ∴ 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵在中，， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，延长至使得，连接、，取 的中点 ，作交延长线于点，连接、， ∵点 为中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，最小， ∵于点 ， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 由（1）得，，， ∴， 当时，有最小值，此时最小， 则， ∴， ∴， ∵点 是 的中点 ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $