期末高频易错题专项训练（十九大类型）-2025-2026学年八年级数学下册苏科版期末复习

**基本信息** 聚焦八年级下册期末19类高频易错点，以题型为载体系统提炼解题方法，知识逻辑从概念辨析到综合应用递进，强化数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |统计与概率|5类（普查抽样/统计图/频数频率等）|调查类型判断、图表信息转化、频率估算概率|从数据收集到分析推断，形成统计观念| |四边形|4类（平行四边形/特殊平行四边形等）|辅助线构造、性质判定综合应用、动态问题分类讨论|从一般到特殊，结合几何直观与推理能力| |代数|10类（因式分解/分式/二次根式等）|公式法与提公因式法、分式运算技巧、根式化简规则|从概念到运算，培养运算能力与符号意识|

2025-2026学年数学八年级下册苏科版期末复习期末高频易错题专项训练（十九大类型） 目录 高频易错题型一普查与抽样调查 1 高频易错题型二三大统计图的认识及应用 2 高频易错题型三频数与频率 4 高频易错题型四频数分布表和频数分布直方图 5 高频易错题型五随机事件 6 高频易错题型六频率与概率 7 高频易错题型七平行四边形 8 高频易错题型八特殊的平行四边形 9 高频易错题型九三角形的中位线 10 高频易错题型十梯形 11 高频易错题型十一因式分解的概念 12 高频易错题型十二提公因式法 13 高频易错题型十三公式法 14 高频易错题型十四分数的概念 14 高频易错题型十五分式的基本性质 15 高频易错题型十六分式的加减乘除及混合运算 15 高频易错题型十七分式方程 16 高频易错题型十八二次根式的概念 16 高频易错题型十九二次根式的加减乘除及混合运算 17 高频易错题型一普查与抽样调查 1．下列调查中，只适宜采用全面调查的是（     ） A．了解一批日光灯管的使用寿命 B．了解全国九年级学生的视力状况 C．调查长江流域的水质状况 D．检查运载火箭的各零部件 2．在2025年中学生运动会跳高比赛中，各年龄组的参赛人数情况如表所示： 年龄组 13岁 14岁 15岁 16岁 参赛人数 5 19 12 14 若小明所在年龄组的参赛人数占全体参赛人数的，则小明所在的年龄组是______________． 3．阳光中学开展了健康调查活动调查每个同学的健康状况，结果如下： 状况 年级 健康 不健康 合计 七年级 595 5 600 八年级 490 500 九年级 592 8 600 （1）调查采用______（填“随机抽样调查”或“普查”），取得了有效成果． （2）计算阳光中学三个年级总共的人数以及的值． （3）请给出关于维持身体健康的一条切实建议． 高频易错题型二三大统计图的认识及应用 4．某校1～4月连续开展了4次数学计算能力检测，并将检测成绩为A的学生进行整理，绘制了如图所示的统计图（参加的学生总人数不变），已知1月份检测成绩为A的学生有10人，下列结论中正确的是（     ） A．共有490名学生参加计算能力检测 B．从1月到4月，检测成绩为A的学生人数在总人数中的占比先增后减 C．检测成绩为A的学生，从3月到4月增长的人数比从2月到3月增长的人数多 D．4月份检测成绩为A的学生有170人 5．某校为了举办“庆祝建国60周年”的活动，调查了本校所有学生，调查的结果如图所示，这所学校赞成举办演讲比赛的学生有___________ 人． 6．新能源车企系列生产，，，四种车型，小江利用工具调查了~月该车企系列车的月销量、~月各车型销量占总销量比例及~月各车型的平均售价情况，并绘制成如下尚不完整的统计图和统计表． ~月系列车月销量的折线统计图     ~月系列车各车型销量占总销量比例的扇形统计图 1～4月系列车的平均售价统计表 品牌 平均售价（单位：万元） 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查中，~月种车型的销量是多少辆？ （2）在保持各车型平均售价不变的情况下，该新能源车企预计~月系列车的月销量平均数将达辆，且~月各车型销量占总销量的比例与~月的占比相同，请估计月份该车企种车型的销售收入． 高频易错题型三频数与频率 7．李老师对本班名学生的A，B，O，四种血型作了统计，列出如下的统计表，则本班A型血的人数是（     ）个． 组别 A型 B型 型 O型 频数 频率 A．人 B．人 C．人 D．人 8．某班有名同学，按出生月份的不同分成组，其中，月的频率是，月的频率是，月的有人，则月的有______人． 9．2025年湖南省足球联赛（简称“湘超联赛”）于9月7日在长沙贺龙体育场开幕以来，激发了湖南这片土地上的足球热情．某校体育兴趣小组随机对部分同学进行了足球知识的问卷调查（满分100分）．将调查的数据整理、绘制成如下不完整的统计图表． 等级 分数x（分） 频率 A 0.2 B a C 0.3 D b 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）求扇形统计图中B对应的圆心角的度数； （3）若该校有2200名学生，估计其中达到A等级的学生共有多少名？ 高频易错题型四频数分布表和频数分布直方图 10．已知某校九年级200名学生义卖所得金额分布直方图如图所示，如果用扇形图表示，那么金额在元的人数占九年级人数的扇形图的圆心角是（    ） A． B． C． D． 11．如图，是30名初三女学生1分钟内仰卧起坐次数的频数分布直方图（每组次数只含最小值而不含最大值），则仰卧起坐次数在次的频率是_____________． 12．为了解七年级学生的体重情况，某校随机抽取了七年级部分学生体重进行调查（体重用x表示，单位：kg），收集并整理数据后，数据分为五组：A：；B：；C：；D：；E：，根据数据绘制了如图两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）求随机抽取的七年级学生人数； （2）在扇形统计图中________，组所对应的圆心角度数是_______，把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； （3）若该校七年级共有名学生，估计体重在及以上的学生有多少人? 高频易错题型五随机事件 13．下列说法正确的是（     ） A．“从四大名著中任意抽取一本是《三国演义》”是不可能事件 B．“掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是随机事件 C．“旭日东升”是必然事件 D．“学校合唱队共有13名队员，至少两名队员的生日在同一个月”是不可能事件 14．小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有17根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明先取，且小明一定获胜，则小明第一次取走火柴棒的根数是________． 15．盒中装有红球、黄球共10个，每个球除颜色外其余都相同，每次从盒中摸出一个球，摸三次，不放回，请你按要求设计出装球方案： （1）“摸到三个球都是红球”是不可能事件； （2）“摸到红球”是必然事件； （3）“摸到两个黄球”是随机事件． 高频易错题型六频率与概率 16．下列说法正确的是（     ） A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 B．“汽车累计行驶10000 km，从未出现故障”是随机事件 C．“200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品”是不可能事件 D．明天的降水概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨 17．据气象预报，高新区未来天中“最高温度为”将出现天，那么这天中出现“最高温度为”的频率是________． 18．植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数 37 77 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 （1）完成上述表格：_____，_____； （2）这种树苗成活的概率估计值为_____（精确到0.1）． （3）如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 高频易错题型七平行四边形 19．如图，为平行四边形内任一点，，，面积分别为3，4，5，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 20．如图，在四边形中，，请添加一个条件使四边形是平行四边形，可添加的条件是_____（只填一个即可）． 21．图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1个单位长度，在图中已画出线段，其中点、点均为格点．仅用无刻度直尺按照以下要求作图： （1）在图①中，以为边作直角三角形，使其面积为6，且点在格点上； （2）在图②中，以为对角线作平行四边形，使其面积为6，且点、点在格点上． 高频易错题型八特殊的平行四边形 22．如图，菱形对角线交于点，为中点，连接，若，则菱形的周长为（     ） A．2 B．4 C．16 D．32 23．如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F，，，则图中阴影部分的面积为___________． 24．如图，直线与坐标轴分别交于 、 两点，动点 、 同时从 点出发，同时到达 点时运动停止．点 沿线段 运动，速度为每秒1个单位长度，点 沿路线运动． （1） 、 求两点的坐标； （2）设点 的运动时间为 （秒），的面积为 ，求出 与 之间的函数关系式； （3）当时，求出点 的坐标，并直接写出以点 、 、 为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标． 高频易错题型九三角形的中位线 25．如图，在平行四边形中，，对角线，相交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是（     ） A． B． C． D． 26．如图，平行四边形 的对角线 、 相交于点 ，点 是的中点，．若 的周长为5，则平行四边形 的周长为______． 27．如图，在四边形中，， ， 是的中点，连接 ． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规作图，找到线段的中点．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接， ，求证：四边形是平行四边形． 高频易错题型十梯形 28．如图1和2是一架木梯及其示意图的一部分，已知四边形和四边形均为等腰梯形且，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 29．如图，已知等腰梯形中，，，，，则此等腰梯形的周长为______． 30．如图，在等腰梯形中，，，．等腰直角三角形的斜边长，A点与N点重合，和在一条直线上．如果等腰梯形不动，等腰直角三角形沿所在直线以1厘米/秒的速度向右平移，直到点N与点B重合为止． （1）等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状由________形变为________形． （2）当等腰直角三角形运动________秒时，等腰直角三角形与等腰梯形重叠的面积最大，此时面积是________平方厘米． （3）当等腰直角三角形运动4秒时，等腰直角三角形与等腰梯形的重叠面积是多少平方厘米？ 高频易错题型十一因式分解的概念 31．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 32．若将多项式因式分解得，则的值为______． 33．下列从左到右的等式变形是不是因式分解？如果不是，请说明理由． （1）； （2）； （3）． 高频易错题型十二提公因式法 34．如图，边长为，的矩形的周长为，面积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 35．边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为_______ ． 36．把下列各式因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 高频易错题型十三公式法 37．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：州，爱，我，数，学，兰．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．我爱兰州 B．爱兰州 C．我爱数学 D．兰州数学 38．设a，b，c是的三条边，且，则这个三角形是______． 39．如图，有①②③三种不同型号的卡片若干，其中型号①②分别是边长为a和b的正方形卡片，型号③是长为a、宽为b的长方形卡片． （1）请用这些卡片分别拼出面积为的长方形，并画出图形． （2）你能拼出面积为的长方形吗？如果能，请画出图形；如果不能，请说明理由． （3）请再提出一个问题，并加以解答． 高频易错题型十四分数的概念 40．若 ，则的值为（     ） A． B． C． D． 41．当时，分式无意义；当时，分式的值为0，则的值为______． 42．已知，求代数式的值． 高频易错题型十五分式的基本性质 43．下列从左到右的分式变形中，正确的是（     ） A． B． C． D． 44．在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 45．已知，求代数式的值． 高频易错题型十六分式的加减乘除及混合运算 46．计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 47．当分式有意义时，化简：_________． 48．计算： （1）； （2） （3） （4） 高频易错题型十七分式方程 49．某列车提速前行驶与提速后行驶所用时间相同，若列车平均提速，设提速后平均速度为，所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 50．将分式方程化为整式方程为________． 51．中秋节是我国的传统佳节，人们赏月吃月饼，寄托着思乡、思念亲人的情感．中秋节来临前夕，某商店准备从某品牌月饼厂家购买A，B两种类型的月饼用于销售．已知每盒A型月饼比每盒B型月饼贵15元，且用540元购买A型月饼的数量和用360元购买B型月饼的数量相等． （1）求A，B两种类型月饼的单价． （2）该商店计划购买A，B两种类型的月饼共100盒，且A型月饼的数量不少于B型月饼数量的2倍，请计算该商店购买两种类型月饼各多少盒时费用最少，最少费用是多少元？ 高频易错题型十八二次根式的概念 52．若，，，则的值为（） A． B． C． D． 53．如图，与关于点成中心对称，若，，，则的长为_____． 54．计算：． 高频易错题型十九二次根式的加减乘除及混合运算 55．下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 56．已知，则多项式________． 57．已知算式：，其中第四个根号下的被开方数“□”模糊不清． （1）若“□”猜成50，求原式的值； （2）若原式的结果为，求“□”表示的数． 参考答案 1．D 【分析】本题考查全面调查与抽样调查的适用场景，解题思路是根据调查是否具有破坏性，范围大小，是否对结果精度有极高要求来判断选择． 【详解】解：∵调查一批日光灯管的使用寿命具有破坏性，无法对所有灯管进行测试， ∴不适宜全面调查，A错误； ∵全国九年级学生人数多，调查范围过大， ∴不适宜全面调查，B错误； ∵长江流域水域范围广，无法对全流域水质逐一检查， ∴不适宜全面调查，C错误； ∵运载火箭各零部件的质量直接关系发射安全，必须保证每个零件都合格，对精度要求极高， ∴只适宜采用全面调查，D正确． 2．14岁 【分析】本题考查统计中百分比的计算，解题思路为先求出全体参赛总人数，再根据给定百分比计算出小明所在年龄组的参赛人数，最后对照表格得到对应年龄组即可． 【详解】解：根据表格信息，计算全体参赛总人数：， 设小明所在年龄组的参赛人数为，根据题意可得， 解得， 对照表格可知，参赛人数为19对应的年龄组是14岁． 3．（1）普查 （2）总人数为1700人； （3）每天进行跑步锻炼；坚持早睡早起；（答案不唯一，合理即可） 【详解】（1）解：由题意可知，本次调查采用的方式是普查 ； （2）解：总人数（人）， ； （3）略 4．C 【分析】观察统计图根据1月份检测学生的人数和所占的百分比求出总人数解答A，再根据统计图的变化趋势解答B，然后分别求出增长的人数，并比较解答C，最后求出4月份检测成绩的学生人数解答D即可． 【详解】解：由统计图可知总人数是（人）， 所以共有500名学生参加计算能力检测，则A不正确； 观察统计图可知1月份占总人数的，2月份占总人数的，3月份占总人数的，4月份占总人数的，所以检测成绩为A的学生人数在总数中的所占的比逐渐增加，则B不正确； 由统计图可知从3月到4月增长总人数的，从2月到3月增长总人数的，所以C正确； 4月份检测成绩为A的学生有人，所以D不正确． 5． 100 【分析】用A方式的人数除以所占的百分比求出总人数，再乘以C方式的人数所占的比例，进行求解即可. 【详解】解：（人）. 6．（1）辆 （2）万元 【分析】（1）先求得种车型的销量所占的百分比为以及~月的总销量为，然后相乘即可解答； （2）由扇形统计图得：月种车型的销量占比为，平均数为辆，进而求得月份种车型的销量，最后求销售收入即可． 【详解】（1）解：由扇形统计图得：种车型的销量所占的百分比为， 由折线统计图得：~月的总销量为， 所以~月种车型的销量为． （2）解：由扇形统计图得：月种车型的销量占比为， 因为月系列车月销量的平均数为辆， 所以估计月份种车型的销量为 辆， 由统计表可得：种车型的平均售价为万元， 所以估计该车企月份种车型的销售收入为：万元． 7．A 【分析】利用所有分组的频率和为1，先求出O型血的频率，再计算A型血的频率，最后根据频数=总人数×频率得到A型血的人数. 【详解】∵本班总人数为，O型血的频数为， ∴O型血的频率为． ∵所有分组的频率和为， ∴A型血的频率， ∴本班A型血的人数为（人）． 8． 【分析】先求出月的频率，根据各组频率之和为，可得月的频率，最后结合总人数求出对应人数即可． 【详解】由题意可知，总人数为，月的频率为， 根据各组频率之和为，可得月的频率为：， 月的人数为（人）． 9．（1），， （2） （3）估计其中达到A等级的学生共有名 【分析】本题考查的是从频数分布表与扇形图中获取信息，利用样本估计总体． （1）由频数分布表与扇形图可得答案． （2）由乘以扇形统计图中B的占比即可得到结论． （3）由2200乘以A的占比即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∴． （2）解：扇形统计图中B对应的圆心角的度数为：． （3）解：， ∴该校有2200名学生，估计其中达到A等级的学生共有名． 10．B 【分析】用乘以金额在元的人数占九年级人数的比例即可得出结果． 【详解】解：， 即金额在元的人数占九年级人数的扇形图的圆心角是． 11． 【详解】解：由频数分布直方图可知，仰卧起坐次数在次的频数为，数据总数为30，所以仰卧起坐次数在次的频率为． 12．（1）随机抽取的七年级学生人数为人 （2）；； 补全频数分布直方图如下： （3）估计体重在及以上的学生有人 【分析】（1）用组人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数； （2）根据组人数可求出组人数占抽取总人数的百分比，即可得出的值，根据组人数占抽取总人数的百分比，乘以，即可求出组所对应的圆心角度数，用总人数减去其他组人数，求出组人数，补全统计图即可； （3）用全体七年级人数乘以抽取的学生中体重在及以上的学生所占百分比即可得出答案． 【详解】（1）解：（人）， ∴随机抽取的七年级学生人数为人． （2）解：∵组人数为人，抽取的七年级学生人数为人， ∴组人数占抽取总人数的百分比为， ∴， ∵组人数占抽取总人数的百分比为， ∴组所对应的圆心角度数是， 组人数为（人）， 补全频数分布直方图略 （3）解：（人）， ∴估计体重在及以上的学生有人． 13．C 【分析】必然事件指一定会发生的事件，不可能事件指一定不会发生的事件，随机事件指可能发生也可能不发生的事件，根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义逐一判断选项即可得到结果． 【详解】A、从四大名著中任意抽取一本，可能抽到《三国演义》，该事件是随机事件，因此A错误； B、掷一枚质地均匀的骰子，点数最大为6，不可能掷出点数7，该事件是不可能事件，因此B错误； C、“旭日东升”是自然规律，一定会发生，该事件是必然事件，因此C正确； D、一年共12个月，13名队员中，至少有两名队员生日在同一个月，该事件是必然事件，因此D错误． 14．2 【分析】本题考查了必然事件．判断出使两人所取的根数之和为3是解题的关键． 由题意知，小明第一次取2根，然后保证第二次所取的根数和小丽所取的根数和为3，则小明必然要取到第根． 【详解】解：由题意知，小明第一次取2根，然后保证第二次所取的根数和小丽所取的根数和为3，则小明必然要取到第根火柴，小明一定获胜， ∴小明先取，第一次取走2根， 故答案为：2． 15．（1）盒中装有红球2个、黄球8个（答案不唯一）； （2）盒中装有红球8个、黄球2个（答案不唯一）； （3）盒中装有红球8个、黄球2个（答案不唯一）． 【分析】（1）要使“摸到的3个球都是红球”是不可能事件，只要盒子中的红球数不足3个即可； （2）要使“摸到红球”是必然事件，只要盒子中的黄球数最多为2个，则摸三次，必然会摸到红球； （3）要使“摸到2个黄球”是随机事件，即可能摸到2个黄球，也可能摸不到2个黄球，则黄球最少有2个，才能保证摸到2个黄球，但是最多有8个，否则一定可以摸到2个黄球． 【详解】（1）解：盒中装有红球2个、黄球8个，则“摸到三个球都是红球”是不可能事件； （2）解：盒中装有红球8个、黄球2个，则“摸到红球”是必然事件； （3）解：盒中装有红球8个、黄球2个，则“摸到两个黄球”是随机事件． 16．B 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义，结合概率的概念逐一判断选项即可． 【详解】解：A，中奖率为的奖券10张，仍有可能不中奖，“中奖”是随机事件，不是必然事件，故A错误，不符合题意； B，汽车累计行驶，可能从未出现故障，也可能出现故障，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，故B正确，符合题意； C，200件产品中只有5件次品，任意抽取6件，最多有5件次品，因此至少1件正品一定发生，是必然事件，不是不可能事件，故C错误，不符合题意； D，明天降水概率为，指明天降水的可能性为，不是的时间下雨，故D错误，不符合题意． 17． 【分析】根据频率的定义，确定出现目标情况的频数和总天数，代入频率公式计算即可． 【详解】解：“最高温度为”出现的频数为，数据总数为， 因此频率． 18．（1）， （2） （3） 【分析】（1）利用数据占比目标数总数计算即可； （2）利用大量测试下，概率估计值为试验频率可得； （3）利用除以成活概率进行估算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而试验数据量最大为1000棵，对应频率为， 所以这种树苗成活的概率估计值是， （精确到）； （3）解：（棵）， 答：在相同条件下至少需要买棵树苗． 19．B 【分析】过P作交于点E，交于点F，作交于点M，交于点N，根据平行四边形的性质得出，根据，，即可得出答案． 【详解】如图，过P作交于点E，交于点F，作交于点M，交于点N，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵ ， 同理：， ∴． 20．（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可． 【详解】解：添加， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 21．（1）见解析； （2）见解析 【分析】（1）根据格点特性画图即可； （2）分别在网格中取点E、F，分别连接即可． 【详解】（1）如图所示； 由网格可知，面积为：； （2）如图所示． 如图可知，， ∴四边形是平行四边形， 四边形的面积为：． 22．C 【分析】利用菱形的对角线互相垂直且平分，结合直角三角形斜边中线定理即可求出菱形的边长，即可解答． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， 为中点， 是斜边上的中线， ， ， ， 菱形的周长为． 23． 【分析】根据矩形的性质证明，得到图中阴影部分的面积，即可得到答案． 【详解】解：矩形， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积． 24．（1）， （2）， （3），点坐标为或或 【分析】（1）令 时，求出点 坐标，令 时，求出点 坐标． （2）分类讨论点 的为，点 在 和 ，确定好位置之后根据三角形面积公式计算即可． （3）给出运动运动时间，可以求出运动距离，从而求出坐标，点 、 、 、为顶点平行四边形，根据平行四边形性质确定点坐标即可． 【详解】（1）解：直线与坐标轴分别交于 、 两点， ∴当 时，即，解得， ∴点 坐标为， 当 时，解得， ∴点 坐标为． （2）解：∵点 坐标为，点 坐标为， ∴，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∵动点 、 同时到达 点时运动停止，点 速度为每秒1个单位长度， ∴点 时到达 的时间， 点 运动的路程为， ∴点 的运动速度， 设点 的运动时间为 （秒）， ∴， ∵ ∴点 运动到点时， ∴时，点 在上运动时，的面积， 当时，点在上运动时，过点作交 于点 ，取中点，连接，如图， ∴，， ∵为斜边中线， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． （3）解：时，由（2）知， ∴， ∵点 在直线上，即， ∴，解得， ∴点 坐标为，点 坐标为， ∴，， 过点作，且，与轴交于点，如图， ∴轴， ∵，， ∴四边形时矩形， ∴， ∴点坐标，点坐标为， 过点作，且， ∵点 坐标为，点 坐标为， ∴， ， ∴， ∴平行四边形是菱形 ∴点和点关于轴对称 ∴点坐标为 ∴综上所述，点坐标为或或． 25．B 【分析】根据中点定义求得，又四边形是平行四边形，所以，即是的中点，因为点是的中点，所以是的中位线，然后通过中位线定理即可求解． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴的长是． 26．12 【分析】利用三角形中位线，求得，结合已知，求得 求解即可． 【详解】解：平行四边形 的对角线 、 相交于点 ， ∵点 是的中点， ， ， ∵ 的周长为5， ， ， ， ， ， 故平行四边形 的周长为12． 27．（1） （2）证明：如图，由 ， 分别是， 的中点，可知 是 的中位线， ，． 又，， ∴，， 四边形是平行四边形． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据三角形中位线定理得到，，由已知，得到，，即可证明结论成立． 【详解】（1）略 （2）略 28．D 【分析】根据平行线的性质求出的度数，再根据等腰梯形的性质求出的度数． 【详解】解： 四边形为等腰梯形 ． 29．22 【分析】作，证明四边形是矩形，从而有，根据等腰梯形的性质得，证明，根据所对的直角边是斜边的一半得出即可求解． 【详解】解：如图，作， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∵四边形是等腰梯形， ， ∴， ， ， ∴， ， ∴等腰梯形的周长为． 30．（1）等腰直角三角；等腰梯 （2）10；21 （3）4平方厘米 【分析】本题主要考查三角形、梯形的有关知识，考查学生应用运动观念，通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想的能力和分类讨论、数形结合的思想方法． （1）等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状有两种情况，画出图形即可； （2）根据（1）中分析知，当点N与点B重合时，重叠部分面积最大，最大为梯形的面积，利用梯形面积公式即可求解； （3）易得此时重叠部分为等腰直角三角形，计算出此等腰直角三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状如下： 开始是等腰直角三角形，当经过点D后，重叠部分变为等腰梯形； 故答案为：等腰直角三角；等腰梯； （2）解：如图，当点N与点B重合时，重叠部分面积最大，最大为梯形的面积， 此时运动时间为：（秒）； 过点D作于点E， ∵， ∴ ∴， 故答案为：10；21； （3）解：等腰直角三角形运动4秒时，此时重叠部分为等腰直角三角形，如图，过点E作于点H， 则； ∵， ∴， ∴ 31．B 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的乘积的形式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、原式变形左边是整式乘法，结果是多项式，不是几个整式乘积的形式，不符合要求； B、左边是多项式，右边是两个整式的乘积，且变形正确，符合因式分解的定义； C、，右边中不是整式，不符合要求； D、，原式变形错误，不符合要求． 32． 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ， 解得， ． 33．（1）不是因式分解，见解析 （2）是 （3）不是因式分解，见解析 【分析】（1）判断等式的右边是不是几个因式的乘积，求解即可； （2）判断等式的右边是不是几个因式的乘积，求解即可； （3）判断等式的右边是不是几个因式的乘积，求解即可． 【详解】（1）解：不是因式分解，理由：从左到右的变形不是化成整式积的形式， 故不是因式分解； （2）解：从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解； （3）解：不是因式分解，理由：等式右边不是整式的形式， 故不是因式分解． 34．A 【分析】根据矩形的周长公式和面积公式分别求出与的值，再代入计算即可． 【详解】解：矩形的周长为，面积为， ，， ， ∴． 35．70 【分析】首先根据长方形周长和面积的条件，推导得到与的值，对待求式进行因式分解，再将和的值代入分解后的式子，即可求出结果． 【详解】解：∵长方形的周长为， ∴； 长方形面积为． 则． 36．（1） （2） （3） （4） 【分析】首先观察多项式各项，确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，两者相乘得到公因式；因为因式分解提公因式法的规则是将公因式提取到括号外，所以用多项式的每一项分别除以公因式，将得到的结果作为括号内的因式，整理后完成分解；如果多项式首项系数为负，那么先提取负号，使括号内首项系数为正，再对剩余部分提取公因式． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 37．A 【分析】先对多项式提取公因式，再利用平方差公式完成因式分解，根据各因式对应密码得到最终信息，选出正确选项，正确分解因式是解题关键. 【详解】解：∵， 又∵ ∴ 根据题意，对应关系为：我，爱，州，兰， 因此结果呈现的密码信息可能为我爱兰州. 38．等腰三角形或直角三角形/直角三角形或等腰三角形 【分析】对已知等式移项分组后进行因式分解，得到，根据多个因式乘积为零则至少一个因式为零，可得或，结合三角形的定义即可判断三角形形状． 【详解】解： ∴ ∴ ∴ 或 ∴或 又∵a，b，c是的三条边， 是等腰三角形或直角三角形． 39．（1）面积为, ∴长方形的长为，宽为a，如图所示； 面积为， ∴长方形的长和宽均是，如图所示： （2）能，， 长方形的长为，宽为，如图所示： （3）解：你能拼成一个面积为的长方形吗？画出图形，并计算出这个长方形的长和宽． ． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 40．B 【分析】先根据已知得到，然后两式相乘得到，再利用幂的乘方运算法则和同底数幂的乘法运算法则得到，再由积的乘方逆运算法则得到，即可得到，再变形求解即可． 【详解】解： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 41． 【分析】先根据分式无意义的条件求出的值，再根据分式值为的条件求出的值，最后代入计算即可． 【详解】解：当时，分式无意义 ， 使得分母等于0，即 ， 解得， 当时，分式的值为， ， 将代入得，满足条件， 解得， ． 42． 【分析】先根据已知等式得到的值，再对所求分式进行化简约分，最后代入计算即可得到结果. 【详解】解：由得，， ∴ . 43．C 【分析】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于A，分式的分子分母同时加上同一个整式，不满足分式基本性质，值不一定相等，例如取，左边为，右边为，，因此A错误； 对于B，该变形是分子分母同乘，但未说明，当时，右侧分母为0，无意义，因此B错误； 对于C，原式分母为，，分子分母同时约去公因式，可得，变形正确，因此C正确； 对于D，该变形不符合分式基本性质，值不一定相等，例如取，左边为，右边为，，因此D错误． 44．②④ 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式基本性质中，同乘的整式必须不为0的要求，逐一判断变形是否正确即可. 【详解】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一判断： ①，当时，该变形不成立，故①错误； ②，分式有意义，则，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故②正确； ③，当时，该变形不成立，故③错误； ④，由平方的非负性得，因此，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故④正确. 45． 【分析】先对等式进行变形，再对分式进行约分，最后代入求值即可． 【详解】解：由得，， 将代入上式得， 原式． 46．A 【详解】解： ． 47． 【分析】先对原式中的分子因式分解，再约分后，然后利用同分母分式的加法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 48．（1） （2） （3） （4） 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 49．C 【分析】根据提速前行驶400km与提速后行驶500km所用时间相等，结合时间等于路程除以速度的关系列方程即可． 【详解】解：设提速后平均速度为，则提速前的平均速度为 ， 根据题意得：． 50． 【详解】解：方程两边同时乘以，得 ． 51．（1）A型月饼的单价为45元，B型月饼的单价为30元 （2）购买A型月饼67盒，B型月饼33盒时费用最少，最少费用是4005元 【分析】（1）设B型月饼的单价为x元，则A型月饼的单价为元，根据题意列分式方程解答即可； （2）设该商店准备购买A型月饼m盒，则购买B型月饼盒，设购买费用为y元，根据题意列不等式，求出m的取值范围，再表示出y的表达式，根据增减性求解即可． 【详解】（1）解：设B型月饼的单价为x元，则A型月饼的单价为元． 由题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合实际意义． ∴． 答：A型月饼的单价为45元，B型月饼的单价为30元． （2）解：设该商店准备购买A型月饼m盒，则购买B型月饼盒，设购买费用为y元． ∵A型月饼的数量不少于B型月饼数量的2倍， ∴， 解得． 由题意，得． ∵， ∴y随着m的增大而增大． ∵，且m为整数， ∴当时，y有最小值，最小值为． 此时． 答：该商店购买A型月饼67盒，B型月饼33盒时费用最少，最少费用是4005元． 52．D 【分析】先根据平方和二次根式的性质，得到、的所有可能取值，再结合判断与的符号关系，分情况计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴与异号，分两种情况讨论： 当时，，； 当时，，． ∴，故选D． 53． 【分析】根据中心对称的性质可得点是和的中点，从而求出的长，再在直角三角形中利用勾股定理求出的长，进而求出的长； 【详解】解：与关于点成中心对称， 点是和的中点， ， ， ， ， 是直角三角形， 在直角三角形中，， 由勾股定理得：， ． 54． 【分析】先将根号内的多项式整理为完全平方式，再利用二次根式的性质化简，根据的大小判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值后计算即可得到结果． 【详解】解： ， 根据二次根式的性质化简得：原式 ， ∵， ∴， ， ∴ 原式． 55．D 【分析】利用二次根式的性质和运算法则，逐个验证选项即可得到答案． 【详解】解：A、，A选项错误，不符合题意； B、，B选项错误，不符合题意； C、，C选项错误，不符合题意； D、，正确，符合题意． 56． 【分析】先求出x，再将两边平方得出，然后将多项式依次降幂代入以及计算即可． 【详解】解：∵ ∴． ∴， 两边平方得：，得， 整理得：， ∴， ． 57．（1）； （2）． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：由题，可得， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $