期末常考题型突破训练（一）2025-2026学年北师大版八年级数学下学期

**基本信息** 北师大版八年级下学期期末突破训练卷，以校徽图形、《四元玉鉴》古题等真实情境为载体，融合几何直观与代数推理，覆盖中心对称图形、因式分解等核心知识，通过分层设问发展抽象能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|中心对称图形、不等式性质、假命题判断|结合校徽文化考查图形性质，强化数学眼光观察现实| |填空题|6/18|多边形内角和、分式方程正整数解、中位线计算|设置开放探究（如第13题正整数解个数），培养推理意识| |解答题|8/72|几何证明（24题等腰直角三角形旋转）、新定义“相伴方程”（25题）、污水管道工程应用（21题）|综合题融合旋转全等与勾股定理（24题），新定义题（25题）发展数学语言表达能力，应用题体现模型观念|

期末常考题型突破训练（一）2025-2026学年北师大版八年级下学期 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．校徽是一所学校的外在形象标识，象征性诠释了学校特有的历史、理念和追求，是学校文化的一个重要组成部分．下列四幅图案是四所学校校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如果，那么下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．下列命题是假命题的是（   ） A．同个三角形中，等边所对的角相等 B．若，则 C．平行四边形的对角线相等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等 4．下列由左边到右边的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 5．若多项式有一个因式为，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 6．等腰三角形一边长，另一边长，它第三边长可以是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平行四边形中，点，在对角线上，连接，，，，点，满足以下条件中的一个：①；②；③．其中，能使四边形为平行四边形的条件个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（一丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 9．如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，平分，分别交于点．若，则线段的长为（    ） A．4 B． C． D． 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．分解因式：＝________________． 12．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 13．若正整数使得关于的分式方程有正整数解，那么符合条件的所有正整数的个数有_____________个． 14．如图，平面直角坐标系中，一次函数与x轴相交于点，则关于x的不等式的解集是______． 15．如图，△ABC中，已知AB=8，∠C=90°，∠A=30°，DE是中位线，则DE的长为_____． 16．如图，在中， 点E在边上且，连接，将沿进行折叠，点B的对应点为点F， 点D是的中点，连接，当时， _______． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．（1）解不等式组：； （2）解分式方程：． 18．先化简，后求值：，然后在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值． 19．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题：    (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为作出并写出其余两个顶点的坐标； (2)将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； (3)若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标 20．角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等．”是一条常用定理，灵活应用这个定理解决实际问题，往往能起到事半功倍的效果；如图，在中，，，是的角平分线．    (1)若，求的长； (2)判断、、之间的数量关系，并说明理由． 21．某市为治理污水，需要铺设一段全长为的污水排放管道． (1)为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，预计每天工作效率比原计划增加，这样可提前30天完成任务，求原计划每天需要铺设多长管道？ (2)按原计划工作效率施工，每天需要支付1.2万元施工费；按增效施工，每天需支付2万元施工费，在（1）结论下，若完成工程所需施工费用不超过236万元，求按原计划工作效率施工至少多少天？ 22．如图，点O为平行四边形的对称中心，经过点O的直线交边于点M，交的延长线于点E，交边于点N，交的延长线于点F． (1)若，，，求的长； (2)求证：． 23．已知函数，，解决下列问题： (1)若，求x的取值范围； (2)若，求实数A、B； (3)若分式的值是正整数，求满足条件的所有整数x的值． 24．已知AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠MON＝90°． （1）如图1：连AM，BN，求证：AOM≌BON； （2）若将RtMON绕点O顺时针旋转，当点A，M，N恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段OH//BN，OH与AM交点为H，若OB＝4，ON＝3，求出线段AM的长； （3）若将MON绕点O顺时针旋转，当点N恰好落在AB边上时，如图3所示，MN与AO交点为P，求证：MP2+PN2＝2PO2． 25．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组，的“相伴方程”． (1)下列方程是不等式组的“相伴方程”的是_____；（填序号） ①；②；③ (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程都是关于的不等式组的“相伴方程”，其中，求的取值范围． 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C D A B C B C D 二、填空题 11． 12．8 13．4 14． 15．2 16． 三、解答题 17．【详解】解：（1）， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是； （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 解得， 经检验，是原方程的根. 18．【详解】解：． ， ∵且， ∴且， ∴， ∴原式． 19．【详解】（1）解：如图，即为所求作三角形；    ，． （2）解：如图，即为所求作三角形；    （3）解：取点，，连接，，，，，交于点G， ∵，，， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∵，， ∴x轴垂直平分， ∴绕点F旋转可得到， ∴旋转中心的坐标为．    20．【详解】（1）解：如图所示，过点D作于E， ∵，是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴；    （2）解：，理由如下： 如图所示，过点D作于E， ∵，是的角平分线，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴．    21．【详解】（1）解：设原计划每天需要铺设x米长管道，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：原计划每天需要铺设20米长管道； （2）解：设按原计划工作效率施工m天，则增效施工天，根据题意得： ， 解得：， 答：按原计划工作效率施工至少10天． 22．【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵点O为平行四边形的对称中心， ∴； (2)证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 即． 23．【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解： ∵， ∴ ∴， ∴， 解得：； （3）解：， ∵分式的值是正整数， ∴或， 解得：， ∵x为整数， ∴满足条件的所有整数x的值为2． 24．【详解】（1）∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形， ∴OM=ON，AO=BO， ∵∠AOB＝∠MON＝90°， ∴∠AOB+∠AON=∠MON+∠AON， ∴∠AOM＝∠BON， 在△AOM和△BON中， ∴△AOM≌△BON（SAS）． （2）如图，当MN在OA左侧时，设OA交BN于J， ∵△AOM≌△BON， ∴∠OAM＝∠OBN， ∵∠AJN＝∠BJO， ∴∠ANJ＝∠JOB＝90°， ∵OH//BN， ∴∠OHN=∠ANJ=90°， ∵OM＝ON＝3，∠MON＝90°，OH⊥MN， ∴MN＝=3，MH＝HN＝OH＝， ∵OA=OB=4， ∴AH＝＝＝， ∴AM＝MH+AH＝． 如图，当MN在OA右侧时， 同理可得：MN＝，MH＝HN＝OH＝，AH＝， ∴AM＝AH-MH＝． 综上所述，BN的长为或． （3）如图，在OB上取一点T，使得OT＝OP，连接PT，NT． ∵∠MON＝∠POT＝90°， ∴∠MON-∠PON=∠POT-∠PON， ∴∠MOP＝∠NOT， 在△POM和△TON中 ∴△POM≌△TON（SAS）， ∴PM＝TN，∠M＝∠ONT＝45°， ∵∠M=∠ONM=45°， ∴∠ONM＝∠ONT＝45°， ∴∠PNT＝∠ONM+∠ONT＝90°， ∴PT2＝PN2+NT2＝PN2+PM2 ∵△POT是等腰直角三角形， ∴PT2＝2OP2， ∴PM2+NP2＝2OP2． 25．【详解】（1）解：解不等式组，得， 解方程得：； 解方程得：； 解方程得：， ∵，， ∴①②是不等式组的“相伴方程”， 故答案为：①②； （2）解：解不等式组得：， 解方程得：， ∵关于x的方程是不等式组的“相伴方程”， ∴， 解得：， 即k的取值范围是； （3）解：解方程得， 解方程得， ∵方程都是关于x的不等式组的“相伴方程”，， 所以分为两种情况：①当时，则， ∴不等式组为， 此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去； ②当时，不等式组的解集是， 所以根据题意得：， 解得：， 所以m的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $