2025-2026学年北师大版八年级下册数学期末模拟试题

**基本信息** 北师大版八年级下册数学期末模拟卷，通过劳动工具采购、城市“绿波带”等真实情境，结合新定义“合九数”、几何动态探究，考查抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|分式、方程、平行四边形判定|第6题结合劳动课程标准，考查分式方程建模| |填空题|6/24|因式分解、坐标平移、新定义|第16题创设“合九数”概念，培养创新意识| |解答题|7/86|几何探究、函数应用、综合实践|第24题以“绿波带”为情境，第25题等边三角形动态探究，发展空间观念与推理能力|

北师大版2025-2026学年八年级下册数学期末模拟试题 （解析版） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1．下列式子为分式的是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义， 根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式，判断即可． 【详解】选项A：，分母为字母，符合分式定义， 选项B：，分母是常数，不含字母，不是分式， 选项C：，分母为数字，不含字母，不是分式， 选项D：是整数，不属于分式． 故选A ． 2．下列变形正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可． 【详解】根据不等式的基本性质判断： 对于A，∵ ，不等式两边同除以，不等号方向改变， ∴ ， A变形错误． 对于B，∵ ，不等式两边同除以，是正数，不等号方向不变， ∴ ， B变形错误． 对于C，∵ ，当时，， 可得， C变形错误． 对于D，∵ ， ∴ ，不等式两边同时除以，不等号方向不变， 可得， 即， 也就是， D变形正确． 3．如图，在正五边形中，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正五边形的性质可得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可求解． 【详解】解：∵是正五边形， ∴，， ∴． 4．下列四个等式从左至右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断各选项即可. 【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、等式的右边不是积的形式，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式的右边不是整式的积的形式，不符合题意. 5．要使有意义的x取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，且， 解得：且． 6．根据《义务教育劳动课程标准（2022版）》的要求，某中学计划采购A、B两种型号的劳动工具开展农耕实践活动，预算总额设定为1200元．已知A型工具的单价比B型工具的单价便宜20元，如果全部购买A型工具，可比全部购买B型工具多买3把．设B型工具的单价为x元/把，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为分式方程的实际应用题，解题思路为根据B型单价表示出A型单价，再结合总预算计算两种工具的可购买数量，最后根据数量关系列方程． 【详解】解：设B型工具单价为元/把， 由“A型工具单价比B型便宜20元”可得A型工具单价为元/把， 根据“如果全部购买A型工具，可比全部购买B型工具多买3把”可得， A选项符合题意． 7．在四边形中，由下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐个分析各选项，找出不能判定四边形是平行四边形的选项即可． 【详解】解：如图， A选项，由，不能判定四边形是平行四边形，等腰梯形也满足该条件，故此选项符合题意； B选项，∵，，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可以判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C选项，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 四边形两组对边分别平行，因此是平行四边形，故此选项不符合题意； D选项，∵，，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可以判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； 8．如图，在等边中，三个内角的角平分线相交于点，过点作的平行线分别交，于点，．若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义得，，再根据平行线的性质得，，则，，根据等腰三角形的判定得，，再根据三角形的定义得的周长为：，结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，的平分线相交于点P， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长为， ∵等边中，， ∴， ∴的周长为． 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用勾股定理求得AB=10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF=CD． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝＝＝10． 又∵CD为中线， ∴CD＝AB＝5． ∵F为DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点， ∴BF是△CDE的中位线，则BF＝CD＝2.5． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线． 10．已知整式：，其中，，，为自然数，，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中所有的单项式之积为； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次式的和记为，当取任意实数时，的值一定为正数； ④满足条件的整式共有14个． 其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意逐项分析，进行分类讨论，即可求解． 【详解】由题意，为正整数，为正整数，为自然数，满足，逐一验证： ① 若是单项式，则，故，正整数解为 所有单项式为，乘积为，故①正确； ② 当时，，，所有满足条件的为：， 求和得：，故②正确； ③ 二次式满足，故，， 列出所有二次式并求和：， 对于，判别式，且二次项系数为正，故对任意实数，，③正确； ④ 按分类计算整式总数：时，，，共4个不同整式；时，，，共6个不同整式；时，，，共4个不同整式；时，，，共1个不同整式；总数为，故④错误， 综上，正确的说法有3个． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11．将点水平平移5个单位长度到达点B，则点B的坐标为________ 【答案】 或 【分析】根据水平平移只改变点的横坐标，纵坐标不变，需分向右平移和向左平移两种情况讨论求解． 【详解】解：已知点的坐标为，将点水平平移个单位长度，平移后纵坐标不变， 分两种情况讨论： 当点向右平移个单位长度时，点的横坐标为，纵坐标为，可得点坐标为； 当点向左平移个单位长度时，点的横坐标为，纵坐标为，可得点坐标为， 所以点B的坐标为或． 12．如图，直线分别交坐标轴于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】 【分析】先根据直线平移得出直线向右平移2个单位得到的函数解析式为，再求出直线与x轴的交点坐标为，最后得出关于x的不等式的解集是即可． 【详解】解：将直线向右平移2个单位得到的函数解析式为， ∵直线与x轴交于点， ∴将直线向右平移2个单位后与x轴的交点为， 即直线与x轴的交点坐标为， ∵当时，直线的图像在x轴的上方， ∴关于x的不等式的解集是． 13．分解因式：_____． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法分解因式，解题思路为找出多项式各项的公因式，提取公因式即可得到结果． 【详解】解：对多项式分解因式，提取公因式得：． 14．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的度数是________ ． 【答案】 /48度 【分析】根据角平分线的定义可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得，然后可算出的度数． 【详解】解：∵平分， ． ， ． ∵垂直平分， ， ， ∵平分， ， ， ， ， ． 15．如图，在中，，为边上的高，平分，点F在上，连接并延长交于点G，若，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】过点作于点，证明，得出，说明，判断③正确；根据，得出，证明，判断①正确；证明，得出，判断④正确；证明，根据，得出，判断②正确． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ，， ，，， ， ， ， ， ， ，故③正确； 为边上的高， ， ， ， ， ， ，故①正确； 在和中， ， ， ，故④正确； ，， ， 平分， ， ，故②正确； 综上分析可知，①②③④正确． 16．我们规定：若两个两位数，的十位相同，满足 ，若一个四位数，则称这个四位数为“合九数”．例如：四位数1980， ， ， 是“合九数”．按此规定，最小的“合九数”是_______，一个“合九数”，将放在的左边组成一个新的四位数，将 的千位数字和百位数字交换位置，十位数字和个位数字交换位置，得到另一个新数，记，．若能被7整除，除以8余5，则满足条件的的最大值是_______． 【答案】 【分析】对于第一空可证明a的最小值为3，要使M最小，那么首先要保证a最小，则 ，求出，可证明 ，则M的最小值为1170；对于第二空，根据题意可得 ， ，根据能被7整除，得到 能被7整除，可求出 ，讨论 的值，进而确定对应情形下a和b的值，结合除以8余5验证，进而推出符合题意的M的值，比较即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ，且 ， ∴ ， ∵ ， ∴a的最小值为3， ∵要使M最小，且， ∴首先要保证a最小， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴当 或 时，有最小值，最小值为1170， ∴M的最小值为1170，即最小的“合九数”是1170； 由题意得， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵能被7整除， ∴ 能被7整除， ∴ 能被7整除， ∵ ， ∴ ， 当 时，则 ， 当 时， ， ∵ ， ∴此时满足除以8余5，符合题意， ∴ ， ∴ ； 当 时， ， ∵ ， ∴此时不满足除以8余5，不符合题意； 当 时，则 ， 当 时， ， ∵ ， ∴此时不满足除以8余5，不符合题意； 当 时， ， ∵ ， ∴此时不满足除以8余5，不符合题意； 当 时， ， ∵ ， ∴此时不满足除以8余5，不符合题意； 当 时，则 ， 当 时， ， ∵ ， ∴此时满足除以8余5，符合题意， ∴ ， ∴ ； 当 时， ， ∵ ， ∴此时不满足除以8余5，不符合题意； 当 时， ， ∵ ， ∴此时不满足除以8余5，不符合题意； 当 时，则 ， 当 时， ， ∵ ， ∴此时不满足除以8余5，不符合题意； 当 时， ， ∵ ， ∴此时不满足除以8余5，不符合题意； 综上所述，符合题意的M的值为1188或4148， ∵ ， ∴M的最大值为4148． 三、解答题（每小题8分，共16分） 17．解不等式组：，并写出它的最小整数解． 【答案】不等式组的解集为 ，最小整数解为 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分，最后确定最小整数解即可. 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， ∴最小整数解为. 18．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 四、解答题（每小题10分，共70分） 19．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．若三角形向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度后得到三角形，点，，的对应点分别为，，． (1)在图中画出平移后的三角形，并求出三角形的面积； (2)若点为轴上一动点，当三角形的面积是4时，求出点的坐标． 【答案】(1)画图见详解，7 (2)或 【分析】本题主要考查了平移的性质，割补法求面积，通过面积求点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握平移的性质和割补法． （1）①根据平移的性质，向左平移横坐标减去平移的长度，向上平移纵坐标加上平移的长度，找到三个顶点平移后的对应点坐标，连接三个顶点即可； ②根据平移的性质求出平移后对应顶点的坐标，构造矩形，求出相关线段的长度，用矩形的面积减去外围三个三角形的面积，剩下的即为所求三角形的面积； （2）分情况讨论，即点在点的上方和下方，利用三角形的面积求出底边的长，根据平移的性质即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：①即为所求； ②如图构造矩形， 经过平移后可得,,, ∴,,， ，，，，，， ， ， ∴三角形的面积是7； （2）解：根据题意假设点的坐标为， ， 即， 解得， ∴点的坐标为或． 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 21．如图，在中，，点D是边上一点，连接，先以点A为圆心，长为半径画弧，再以点D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E，连接、，交于点F，且．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：由题意得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴； (2)． 【分析】（1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，然后利用定理即可得证； （2）先根据等腰三角形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）已证：，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 22．“买新能源车到底省不省钱？”是消费者最为关心的话题之一．某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，所得信息如表所示：根据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多0.55元． 燃油车 新能源车 油箱容积： 电池容量： 油价：8元/L 电价： 续航里程：千米 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用：___________元 (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用___________元． (2)分别求出这两款车的每千米行驶费用． (3)若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 【答案】(1) (2)燃油车每千米行驶费用为元，新能源车每千米行驶费用为元 (3)每年行驶里程大于千米时，新能源车的年费用更低 【分析】（1）根据表格进行求解即可； （2）根据“燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元”列分式方程求解即可； （3）设每年行驶的里程为m千米，根据“新能源车的年费用更低”建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，新能源车的每千米行驶费用为（元）； （2）解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ，， ∴燃油车每千米的行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元； （3）解：设每年行驶的里程为m千米， 由题意得，， 解得， 答：每年行驶里程大于6000千米时，新能源车的年费用更低． 23．如图，矩形 中，，连接 ，，点从点出发沿着（不含、两点）运动，当点到达点时停止运动，连接，设点的运动路程为，记． (1)直接写出关于的函数表达式及自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数的图象，当函数的图象与有2个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)；当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理可求出，再分两种情况：当时，点P在线段上，当时，点P在线段上，分别求出的面积即可得到答案； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再根据函数图象写出对应函数的增减性即可； （3）求出函数的图象恰好经过点和点时k的值，结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴； 如图所示，当时，点P在线段上， ∴； 如图所示，当时，点P在线段上， ∴； 综上所述，； （2）解：函数图象见解析， 由函数图象可知，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小； （3）解：当函数的图象恰好经过点时，则，解得， 当函数的图象恰好经过点时，则，解得， ∴由函数图象可知，当时，函数的图象与有2个交点． 24．综合实践：城市交通中的“绿波带”． 在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯． 为响应泉州洛江“智慧交通”建设号召，某模拟线路上依次设有A、B、C三个路口，相邻路口间距为，，汽车以速度（，单位：m/s）从路口出发匀速行驶，出发时路口绿灯刚好开始亮起．各路口红绿灯均按“绿灯30s、红灯30s”交替循环，绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．请解决以下问题： (1)假设汽车以的速度匀速行驶： ①若A、B、C红绿灯完全同步（即同时绿灯、同时红灯），判断汽车能否全程绿灯通过A、B、C三个路口；若不能，计算从A路口出发到通过C路口的所需时间． ②为实现绿波通行，调整B、C绿灯亮起时间：设B路口绿灯相对A路口延迟秒亮起，C路口绿灯相对A路口延迟秒亮起（，）．要求汽车到达B路口、C路口时能顺利通过路口，即到达时刻在绿灯亮起后到绿灯熄灭前（含端点），直接写出、的取值范围． (2)若红绿灯按如下规则亮起：A路口绿灯亮起后，B路口绿灯亮起；A路口绿灯亮起后，C路口绿灯亮起．求汽车能全程绿灯匀速通过A、B、C三个路口的“绿波速度”的取值范围． 【答案】(1)①不能全程绿灯通过，从A到C需要124秒；②， (2) 【分析】（1）先求A到B的时间：，推导出不能全程绿灯通过，继而求出在B路口等待红灯时间：，B到C的时间：，则总时间为，即可解答； ②先求出B路口的第一次绿灯时段，C路口的第二次绿灯时段，A到C总路程，再根据题意列不等式组求解即可； （2）先求出B路口的第一次绿灯时段，C路口的第二次绿灯时段，A到C总路程，再根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：①A到B的时间：， A路口秒绿灯，秒红灯． 汽车36秒到达B路口，遇到红灯， 因此不能全程绿灯通过； 在B路口等待红灯时间：， B到C的时间：， 总时间： 答：不能全程绿灯通过，从A到C需要124秒． ②B路口绿灯比A晚x秒亮起，绿灯时间段为至． 汽车36秒到达B路口，B路口为绿灯， ∴，解得， ∵， ∴x的取值范围是：， C路口绿灯每次都延迟，因此： 第1次绿灯：， 第2次绿灯：， 汽车到达C路口的时间：， 由题意，100秒在第二次绿灯内， ∴， 解得， ∵， ∴y的取值范围是； （2）解：B比A晚24秒绿灯，B路口的绿灯时段：， 对B路口：， 解得， C比A晚15秒绿灯， 因此： C路口的第1次绿灯：， C路口的第2次绿灯：，即 A到C总路程：， 对C路口： ， 解得， ∵， ∴． 25．已知为等边三角形，点是边延长线上一点，连接，在边有一点，连接交于点，若． (1)如图1，若为中点，，求的长； (2)如图2，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明； (3)如图3，在（1）的条件下，在外作，点、分别为边、上动点，过作于点，连接，，点为中点，连接，当最小时，以为边构等边，连接、，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，证明如下： 如图2，延长至使得，连接， 设， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）作于点，则，根据等边三角形以及三线合一性质得到，由得，利用三角形外角的性质得到，则，再利用含30度角的直角三角形的性质得到，利用勾股定理得到，再利用线段的和差即可求解； （2）延长至使得，连接，设，利用等边三角形的性质导角得，，再证明，得到，，进而得到，则，即可得出结论； （3）延长至使得，连接、，取的中点，作交延长线于点，连接、，根据三角形中位线定理可得，当最小时，最小；证明得到，，分析可得当时，有最小值，此时最小，利用含30度直角三角形的性质得到，进而推出是等边三角形，再证明，得到，从而证明，得到，则有，再利用勾股定理求出的长，即可解答． 【详解】（1）解：如图1，作于点， 则， ∵为等边三角形， ∴，， 又∵为中点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵在中，， ∴， ∴，， ∴； （2）略 （3）解：如图3，延长至使得，连接、，取的中点，作交延长线于点，连接、， ∵点为中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，最小， ∵于点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 由（1）得，，， ∴， 当时，有最小值，此时最小， 则， ∴， ∴， ∵点是的中点 ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版2025-2026学年八年级下册数学期末模拟试题 满分150分，共120分钟 一、单选题（每小题4分，共40分） 1．下列式子为分式的是（   ） A． B． C． D．1 2．下列变形正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 3．如图，在正五边形中，的度数为（     ） A． B． C． D． 4．下列四个等式从左至右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5．要使有意义的x取值范围是（    ） A． B． C． D．且 6．根据《义务教育劳动课程标准（2022版）》的要求，某中学计划采购A、B两种型号的劳动工具开展农耕实践活动，预算总额设定为1200元．已知A型工具的单价比B型工具的单价便宜20元，如果全部购买A型工具，可比全部购买B型工具多买3把．设B型工具的单价为x元/把，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 7．在四边形中，由下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．如图，在等边中，三个内角的角平分线相交于点，过点作的平行线分别交，于点，．若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．4 10．已知整式：，其中，，，为自然数，，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中所有的单项式之积为； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次式的和记为，当取任意实数时，的值一定为正数； ④满足条件的整式共有14个． 其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（每小题4分，共24分） 11．将点水平平移5个单位长度到达点B，则点B的坐标为________ 12．如图，直线分别交坐标轴于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 13．分解因式：_____． 14．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的度数是________ ． 15．如图，在中，，为边上的高，平分，点F在上，连接并延长交于点G，若，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填序号） 16．我们规定：若两个两位数，的十位相同，满足 ，若一个四位数，则称这个四位数为“合九数”．例如：四位数1980， ， ， 是“合九数”．按此规定，最小的“合九数”是_______，一个“合九数”，将放在的左边组成一个新的四位数，将 的千位数字和百位数字交换位置，十位数字和个位数字交换位置，得到另一个新数，记，．若能被7整除，除以8余5，则满足条件的的最大值是_______． 三、解答题（每小题8分，共16分） 17．解不等式组：，并写出它的最小整数解． 18．分解因式： (1)； (2)． 四、解答题（每小题10分，共70分） 19．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．若三角形向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度后得到三角形，点，，的对应点分别为，，． (1)在图中画出平移后的三角形，并求出三角形的面积； (2)若点为轴上一动点，当三角形的面积是4时，求出点的坐标． 20．先化简，再求值：，其中． 21．如图，在中，，点D是边上一点，连接，先以点A为圆心，长为半径画弧，再以点D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E，连接、，交于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 22．“买新能源车到底省不省钱？”是消费者最为关心的话题之一．某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，所得信息如表所示：根据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多0.55元． 燃油车 新能源车 油箱容积： 电池容量： 油价：8元/L 电价： 续航里程：千米 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用：___________元 (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用___________元． (2)分别求出这两款车的每千米行驶费用． (3)若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 23．如图，矩形 中，，连接 ，，点从点出发沿着（不含、两点）运动，当点到达点时停止运动，连接，设点的运动路程为，记． (1)直接写出关于的函数表达式及自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数的图象，当函数的图象与有2个交点时，直接写出的取值范围． 24．综合实践：城市交通中的“绿波带”． 在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯． 为响应泉州洛江“智慧交通”建设号召，某模拟线路上依次设有A、B、C三个路口，相邻路口间距为，，汽车以速度（，单位：m/s）从路口出发匀速行驶，出发时路口绿灯刚好开始亮起．各路口红绿灯均按“绿灯30s、红灯30s”交替循环，绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．请解决以下问题： (1)假设汽车以的速度匀速行驶： ①若A、B、C红绿灯完全同步（即同时绿灯、同时红灯），判断汽车能否全程绿灯通过A、B、C三个路口；若不能，计算从A路口出发到通过C路口的所需时间． ②为实现绿波通行，调整B、C绿灯亮起时间：设B路口绿灯相对A路口延迟秒亮起，C路口绿灯相对A路口延迟秒亮起（，）．要求汽车到达B路口、C路口时能顺利通过路口，即到达时刻在绿灯亮起后到绿灯熄灭前（含端点），直接写出、的取值范围． (2)若红绿灯按如下规则亮起：A路口绿灯亮起后，B路口绿灯亮起；A路口绿灯亮起后，C路口绿灯亮起．求汽车能全程绿灯匀速通过A、B、C三个路口的“绿波速度”的取值范围． 25．已知为等边三角形，点是边延长线上一点，连接，在边有一点，连接交于点，若． (1)如图1，若为中点，，求的长； (2)如图2，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明； (3)如图3，在（1）的条件下，在外作，点、分别为边、上动点，过作于点，连接，，点为中点，连接，当最小时，以为边构等边，连接、，请直接写出的最小值． 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $