1.4 十字相乘法同步 讲义 2026-2027学年湘教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦十字相乘法核心知识点，系统梳理二次三项式因式分解方法，涵盖二次项系数为1（分常数项同号、异号）和不为1两类，以“拆常数、凑一次项”为核心原理搭建学习支架，强调先提公因式的优先级。 资料通过分类典例（如常数项异号高频易错题型）和跟踪训练，引导学生在推理验证（交叉相乘验中间项）中提升运算能力与推理意识，随堂演练与课后分层练习（选择、填空、解答）助力课中教学实施和课后查漏补缺，体现数学模型的应用价值。

1.4 十字相乘法 【知识点梳理】 1．适用对象：二次三项式，分为两类：① 二次项系数为1：x²＋px＋q；② 二次项系数不为1：ax²＋bx＋c(a≠1)。 2．核心解题原理：十字相乘法本质：拆常数、凑一次项，横向写因式，交叉相乘验中间项。 3．类型一：二次项系数为1（必考基础） 公式：x²＋(m＋n)x＋mn＝(x＋m)(x＋n)。 口诀：首尾拆开，交叉相乘，和为中间，横向书写。 拆分规则：常数项拆成两个数乘积，两数之和等于一次项系数；同号两数相加取相同符号，异号两数相加取绝对值大数符号。 4．类型二：二次项系数不为1（重难点） 公式：a₁a₂x²＋(a₁c₂＋a₂c₁)x＋c₁c₂＝(a₁x＋c₁)(a₂x＋c₂)。 拆分规则：二次项、常数项分别拆成两个因数，交叉相乘求和，结果匹配原式一次项系数。 注意：① 拆分后务必交叉验算，避免一次项系数匹配错误； ② 多项式首项为负，先提取负号再十字拆分； ③ 因式分解优先级不变：先提公因式，再十字相乘，禁止直接拆分。 【典例精讲】 题型1：二次项系数为1，常数项同号 【例题1】因式分解：x²＋5x＋6。 解：原式=(x＋2)(x＋3)。 【例题2】因式分解：x²－7x＋12。 解：原式=(x－3)(x－4)。 【例题3】因式分解：x²＋8x＋16。 解：原式=(x＋4)(x＋4)＝(x＋4)²。 跟踪训练： 1．x²＋7x＋10。。 解：原式=(x＋2)(x＋5)。 2．x²－9x＋14。 解：原式=(x－2)(x－7)。 3．x²＋6x＋8。 解：原式=(x＋2)(x＋4)。 4．x²－10x＋21。 解：原式=(x－3)(x－7)。 题型2：二次项系数为1，常数项异号（高频易错） 【例题1】因式分解：x²＋x－6。 解：原式=(x＋3)(x－2)。 【例题2】因式分解：x²－2x－8。 解：原式=(x－4)(x＋2)。 【例题3】因式分解：x²－3x－10。 解：原式=(x－5)(x＋2)。 跟踪训练： 1．x²＋2x－8。 解：原式=(x＋4)(x－2)。 2．x²－5x－6。 解：原式=(x－6)(x＋1)。 3．x²＋x－12。 解：原式=(x＋4)(x－3)。 4．x²－4x－12。 解：原式=(x－6)(x＋2)。 题型3：二次项系数不为1＋先提公因式再十字相乘 【例题1】因式分解：2x²＋7x＋3。 解：原式=(2x＋1)(x＋3)。 【例题2】因式分解：3x²－10x＋3。 解：原式=(3x－1)(x－3)。 【例题3】因式分解：2x²－2x－12。 解：原式=2(x－3)(x＋2)。 跟踪训练： 1．2x²＋5x＋2。 解：原式=(2x＋1)(x＋2)。 2．5x²－7x－6。 解：原式=(5x＋3)(x－2)。 3．3x²＋3x－6。 解：原式=3(x＋2)(x－1)。 4．4x²－4x－3。 解：原式=(2x－3)(2x＋1)。 【随堂演练】 1．x²＋6x＋5＝ 。 【答案】(x＋1)(x＋5) 【解析】拆5：1×5＝5，1+5＝6，得 (x+1)(x+5)。 2．x²－x－6＝ 。 【答案】(x－3)(x＋2) 【解析】拆-6（异号）：(-3)×2＝-6，(-3)+2＝-1 ，得 (x-3)(x+2)。 3．x²－8x＋12＝ 。 【答案】(x－2)(x－6) 【解析】拆12（同号，一次项-8＜0所以两负）：(-2)×(-6)＝12，(-2)+(-6)＝-8，得(x-2)(x-6)。 4．2x²＋3x＋1＝ 。 【答案】(2x＋1)(x＋1) 【解析】2x²拆2x·x，1拆1×1。交叉：2x×1＝2x，x×1＝x，和＝3x ，得(2x+1)(x+1)。 5．x²＋2x－15＝ 。 【答案】(x＋5)(x－3) 【解析】拆-15（异号）：5×(-3)＝-15，5+(-3)＝2 ，得 (x+5)(x-3)。 6．3x²－6x－9＝ 。 【答案】3(x－3)(x＋1) 【解析】一提公因式3：3(x²-2x-3)；二十字相乘：(x-3)(x+1)。最终 3(x-3)(x+1)。注意：必须先提公因式！ 【课后对点练】 一、选择题（8题，每题3分，共24分） 1．多项式x²+7x+12因式分解结果为（ ） A.(x+3)(x-4)　　B.(x+2)(x+6)　　C.(x-3)(x-4) D.(x+3)(x+4) 【答案】D 【解析】拆12：候选。3+4＝7 得(x+3)(x+4)；B中2+6＝8≠7；C两负数和为-7≠7。 2．x²-2x-8分解因式正确的是（ ） A.(x-4)(x+2)　　B.(x+4)(x-2)　　C.(x-8)(x+1) D.(x+4)(x+2) 【答案】A 【解析】拆-8：(-4)×2＝-8，(-4)+2＝-2 ；B中4+(-2)＝2≠-2；C中(-8)+1＝-7≠-2。 3．能用十字相乘法直接分解的是（ ） A.x²+2　　 B.x²+3x+2　　C.2x+4 D.x²+5x-7 【答案】B 【解析】十字相乘法要求是二次三项式 ax²+bx+c。A缺少一次项；B是标准的二次三项式，可分解为(x+1)(x+2)；C是一次二项式,D不可以分解。 4．2x²+5x-3分解结果为（ ） A.(2x-1)(x+3)　　B.(2x+1)(x-3)　　C.(x-1)(2x+3) D.(2x-1)(x-3) 【答案】A 【解析】2x²拆2x·x，-3拆(-1)×3。交叉：2x×3＋x×(-1)＝6x-x＝5x ，得 (2x-1)(x+3)。 5．分解3x²-3x-6第一步应（ ） A. 直接十字相乘　　B. 先提取公因式3　　 C. 套用完全平方公式 D.用平方差公式 【答案】B 【解析】一提二套三检查：系数3、-3、-6有公因数3，必须先提出。3x²-3x-6＝3(x²-x-2)，再对括号内十字相乘。 6．若x²+mx+6=(x+2)(x+3)，则m的值为（ ） A.5　　 B.-5　　 C.6 D.-6 【答案】A 【解析】展开(x+2)(x+3)＝x²+5x+6，一次项系数m＝5。或直接用十字相乘思维：2+3＝5。 7．x²-5x+6拆分常数项正确的是（ ） A.-1和-6　　 B.2和3 　　 C.-2和-3 D.1和6 【答案】B 【解析】拆6，和为-5，故两因数同负。(-2)+(-3)＝-5 ✓。A：(-1)+(-6)＝-7 ≠ -5。C：2+3＝5 ≠ -5。 8．下列十字相乘分解错误的是（ ） A.x²+x-2=(x+2)(x-1)　　 B.2x²-7x+3=(2x-1)(x-3)　　 C.x²-4x-5=(x-1)(x+5) D.x²-2x-8=(x-4)(x+2) 【答案】C 【解析】A：2+(-1)＝1 ；B：2x²拆2x·x，3拆(-1)×(-3)，交叉：2x·(-3)+x·(-1)＝-6x-x＝-7x ；C：(x-1)(x+5)展开＝x²+4x-5，中间项应为+4x而非-4x。正确应为 (x-5)(x+1)，验证：(-5)+1＝-4 。D.4+(-2)=-2。 二、填空题（6题，每题3分，共18分） 9．x²+5x+6＝ 。 【答案】(x+2)(x+3) 【解析】常数项6，2×3＝6，2+3＝5。 10．x²-3x-4＝ 。 【答案】(x-4)(x+1) 【解析】常数项-4：(-4)×1＝-4，(-4)+1＝-3。 11．2x²-3x-2＝ 。 【答案】(2x+1)(x-2) 【解析】2x²拆2x·x，-2拆1×(-2)。交叉：2x×(-2)+x×1＝-4x+x＝-3x。 12．x²-11x+28＝ 。 【答案】(x-4)(x-7) 【解析】常数项28：(-4)×(-7)＝28，(-4)+(-7)＝-11。 13．因式分解综合顺序：一提二套三 。 【答案】十字 【解析】完整顺序：一提（公因式）→二套（公式：平方差/完全平方）→三（十字相乘）→四（分组分解）。十字相乘法放在公式之后。 14．4x²+4x-3＝ 。 【答案】(2x+3)(2x-1) 【解析】4x²拆2x·2x，-3拆3×(-1)。交叉：2x×(-1)+2x×3＝-2x+6x＝4x。 三、解答题（4题，共28分） 15．（6分）基础十字相乘分解： （1）x²+9x+14；　　 （2）x²-4x-21。 解：（1）原式=(x+2)(x+7)。 （2）原式=(x-7)(x+3)。 16．（7分）二次项系数不为1因式分解： （1）3x²+7x+2；　　 （2）6x²-7x-3。 解：（1）原式=(3x+1)(x+2)。 （2）原式=(2x-3)(3x+1)。 17．（7分）先提公因式，再十字相乘： （1）2x²-10x+12； （2）3x²-3x-18。 解：原式=＝2(x²-5x+6)2(x-2)(x-3)。 （2）原式=3(x²-x-6)=3(x-3)(x+2)。 18．（8分）已知二次三项式x²+kx-12可十字分解，写出所有整数k的值。 解：常数项-12可拆分为两个整数乘积，两数之和即为k。 所有整数拆分组合及对应k值： 1×(-12) → k＝1+(-12)＝-11， (-1)×12 → k＝(-1)+12＝11， 2×(-6) → k＝2+(-6)＝-4， (-2)×6 → k＝(-2)+6＝4， 3×(-4) → k＝3+(-4)＝-1， (-3)×4 → k＝(-3)+4＝1， 因此k的所有整数取值为：±11、±4、±1，共6个值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 十字相乘法 【知识点梳理】 1．适用对象：二次三项式，分为两类：① 二次项系数为1：x²＋px＋q；② 二次项系数不为1：ax²＋bx＋c(a≠1)。 2．核心解题原理：十字相乘法本质：拆常数、凑一次项，横向写因式，交叉相乘验中间项。 3．类型一：二次项系数为1（必考基础） 公式：x²＋(m＋n)x＋mn＝(x＋m)(x＋n)。 口诀：首尾拆开，交叉相乘，和为中间，横向书写。 拆分规则：常数项拆成两个数乘积，两数之和等于一次项系数；同号两数相加取相同符号，异号两数相加取绝对值大数符号。 4．类型二：二次项系数不为1（重难点） 公式：a₁a₂x²＋(a₁c₂＋a₂c₁)x＋c₁c₂＝(a₁x＋c₁)(a₂x＋c₂)。 拆分规则：二次项、常数项分别拆成两个因数，交叉相乘求和，结果匹配原式一次项系数。 注意：① 拆分后务必交叉验算，避免一次项系数匹配错误； ② 多项式首项为负，先提取负号再十字拆分； ③ 因式分解优先级不变：先提公因式，再十字相乘，禁止直接拆分。 【典例精讲】 题型1：二次项系数为1，常数项同号 【例题1】因式分解：x²＋5x＋6。 【例题2】因式分解：x²－7x＋12。 【例题3】因式分解：x²＋8x＋16。 跟踪训练： 1．x²＋7x＋10。。 2．x²－9x＋14。 3．x²＋6x＋8。 4．x²－10x＋21。 题型2：二次项系数为1，常数项异号（高频易错） 【例题1】因式分解：x²＋x－6。 【例题2】因式分解：x²－2x－8。 【例题3】因式分解：x²－3x－10。 跟踪训练： 1．x²＋2x－8。 2．x²－5x－6。 3．x²＋x－12。 4．x²－4x－12。 题型3：二次项系数不为1＋先提公因式再十字相乘 【例题1】因式分解：2x²＋7x＋3。 【例题2】因式分解：3x²－10x＋3。 【例题3】因式分解：2x²－2x－12。 跟踪训练： 1．2x²＋5x＋2。 2．5x²－7x－6。 3．3x²＋3x－6。 4．4x²－4x－3。 【随堂演练】 1．x²＋6x＋5＝ 。 2．x²－x－6＝ 。 3．x²－8x＋12＝ 。 4．2x²＋3x＋1＝ 。 5．x²＋2x－15＝ 。 6．3x²－6x－9＝ 。 【课后对点练】 一、选择题（8题，每题3分，共24分） 1．多项式x²+7x+12因式分解结果为（ ） A.(x+3)(x-4)　　B.(x+2)(x+6)　　C.(x-3)(x-4) D.(x+3)(x+4) 2．x²-2x-8分解因式正确的是（ ） A.(x-4)(x+2)　　B.(x+4)(x-2)　　C.(x-8)(x+1) D.(x+4)(x+2) 3．能用十字相乘法直接分解的是（ ） A.x²+2　　 B.x²+3x+2　　C.2x+4 D.x²+5x-7 4．2x²+5x-3分解结果为（ ） A.(2x-1)(x+3)　　B.(2x+1)(x-3)　　C.(x-1)(2x+3) D.(2x-1)(x-3) 5．分解3x²-3x-6第一步应（ ） A. 直接十字相乘　　 B. 先提取公因式3　　 C. 套用完全平方公式 D.用平方差公式 6．若x²+mx+6=(x+2)(x+3)，则m的值为（ ） A.5　　 B.-5　　 C.6 D.-6 7．x²-5x+6拆分常数项正确的是（ ） A.-1和-6　　 B.2和3 　　 C.-2和-3 D.1和6 8．下列十字相乘分解错误的是（ ） A.x²+x-2=(x+2)(x-1)　　 B.2x²-7x+3=(2x-1)(x-3)　　 C.x²-4x-5=(x-1)(x+5) D.x²-2x-8=(x-4)(x+2) 二、填空题（6题，每题3分，共18分） 9．x²+5x+6＝ 。 10．x²-3x-4＝ 。 11．2x²-3x-2＝ 。 12．x²-11x+28＝ 。 13．因式分解综合顺序：一提二套三 。 14．4x²+4x-3＝ 。 三、解答题（4题，共28分） 15．（6分）基础十字相乘分解： （1）x²+9x+14；　　 （2）x²-4x-21。 16．（7分）二次项系数不为1因式分解： （1）3x²+7x+2；　　 （2）6x²-7x-3。 17．（7分）先提公因式，再十字相乘： （1）2x²-10x+12； （2）3x²-3x-18。 18．（8分）已知二次三项式x²+kx-12可十字分解，写出所有整数k的值。 学科网（北京）股份有限公司 $