第1章 因式分解（3大考点+9大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学湘教版2024八年级上册

第1章 因式分解 教学目标 1. 理解因式分解的概念，明晰其与整式乘法的互逆关系，能准确判断给定式子是否为因式分解。 2. 熟练掌握提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）进行因式分解 ，并能根据多项式特点选择合适方法。 3. 借助因式分解解决相关数学问题，如化简求值、解方程等，提升数学运算与应用能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握因式分解的基本方法，包括提公因式法和运用公式法，能正确对常见多项式进行因式分解。 （2）理解因式分解与整式乘法的相互关系，通过对比二者运算过程，深化对因式分解本质的认识。 2.难点 （1）面对复杂多项式，准确观察其结构特点，灵活选择并综合运用多种因式分解方法，确定合理分解步骤。 （2）深刻理解因式分解的恒等变形本质 ，避免在分解过程中出现符号、系数等运算错误，确保分解结果的正确性与完整性。 知识点01 因式分解的概念 因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 知识点02 提公因式法因式分解 ①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)； 注意:挖掘隐含公因式;有时公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最好能一次性提取完. 知识点03 运用公式法因式分解 运用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)； 运用公式法：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。 题型01 判断是否因式分解 【典例1】（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的判断，熟练掌握因式分解的定义是解题关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、，是整式乘法，不属于因式分解，不符合题意； B、，原因式分解错误，不符合题意； C、，原因式分解错误，不符合题意； D、，属于因式分解，符合题意； 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义； 因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A.是整式乘法，不是因式分解； B.等式右边不是整式乘积的形式，不是因式分解； C.是因式分解； D.等式右边不是整式乘积的形式，不是因式分解； 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，判断每个选项是否将多项式化为几个整式的积的形式．本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题的关键． 【详解】解：选项A，，是对单项式的拆分，不是因式分解，故该选项不符合题意； 选项B，，是整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； 选项C，，是因式分解，故该选项符合题意； 选项D，，不是整式，原变形不是因式分解，故该选项不符合题意． 故选：C． 【变式3】（25-26九年级上·山西太原·开学考试）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．根据因式分解的定义逐一判断可得答案． 【详解】解：A．是整式乘法，不属于因式分解，不合题意； B．，等号右侧没有写成几个整式积的形式，不属于因式分解，不合题意； C．，属于因式分解，符合题意； D．，等号左侧不是多项式，不属于因式分解，不合题意； 故选C． 题型02 已知因式分解的结果求参数 【典例2】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）把分解因式得，则常数的值为（  ） A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查多项式乘以多项式；根据多项式乘以多项式法则计算，再对比原多项式即可求解． 【详解】解：， ∴， 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·新疆巴音郭楞·期末）若多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得当时，的值为0，则，解之即可得到答案． 【详解】解：∵多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为， ∴当时，的值也为0， ∴当时，的值也为0， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·上海普陀·期末）已知整式可以因式分解为，如果、、都为整数，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查因式分解的意义．由题意可得式，则，，根据m、p，q都为整数确定m的值即可． 【详解】解：由题意可得， 则，， ∵m、p，q都为整数， ∴，或，， 则或， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ． 解得：， ∴另一个因式为，的值为， 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为________，得：=________， 则 ． 解得：=________，=________． 另一个因式为________，的值为________． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)；；；；； (2)另一个因式为，的值为 【知识点】计算多项式乘多项式、已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键． （1）设另一个因式是，则，再建立方程组解题即可； （2）设另一个因式是，利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出m、p的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得：， 则 ． 解得：，． 另一个因式为，的值为20， 故答案为：；；；；；； （2）解：二次三项式有一个因式是，设另一个因式是，则 ， 则， 解得， ∴另一个因式是，的值为． 题型03 公因式 【典例3】（25-26八年级上·全国·单元测试）多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 根据公因式的定义求解即可． 【详解】解：多项式的公因式是， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）多项式各项的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了公因式的定义，熟练掌握确定多项式各项的公因式，需找出系数部分的最大公约数和各字母的最低次幂是解题关键． 根据公因式的定义即可求解． 【详解】解：， 多项式各项的公因式是． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列各组多项式：①（1）和；②和；③和；④和．其中含有公因式的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】判断各组多项式是否存在公因式，需逐一分析各组的因式分解关系. 【详解】1. 第①组：和 无法提取作为公因式，且两式无其他共同因式，故无公因式. 2. 第②组：和 = ，因此两式可分别写为和，公因式为. 3. 第③组：和 两式分别写为和，公因式为. 4. 第④组：和 与符号不同且不可分解，且不是的因式，故无公因式. 综上，含有公因式的组为②③. 故选：B. 【变式3】（24-25八年级下·陕西西安·期末）将多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了运用公因式法进行因式分解，确定多项式的公因式需提取各项系数的最大公约数和共有字母的最低次幂，据此进行分析，即可作答． 【详解】解： ∴将多项式分解因式时，应提取的公因式是 故选：C 题型04 判断能否用公式法因式分解 【典例4】（24-25八年级上·山东烟台·期中）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】提公因式法分解因式、判断能否用公式法分解因式 【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可． 【详解】解：A． ，可以利用平方差公式进行因式分解，因此选项A不符合题意； B．，可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项B不符合题意； C．，可以利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C符合题意； D．，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【变式1】（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】判断能否用公式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键．利用公式法进行因式分解，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：①不可以因式分解； ②可以用平方差公式进行因式分解； ③不可以因式分解； ④可以用完全平方公式进行因式分解； ⑤可以用完全平方公式进行因式分解． 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·江西景德镇·期末）下列多项式在实数范围内不能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断能否用公式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式是解答的关键．利用完全平方公式和平方差公式进行逐项判断即可． 【详解】解：A、在实数范围内不能用公式法因式分解，符合题意； B、，在实数范围内能用完全平方公式因式分解，不符合题意； C、，在实数范围内能用平方差公式因式分解，不符合题意； D、，在实数范围内能用平方差公式因式分解，不符合题意； 故选：A． 【变式3】（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（　　） （1）（2）（3）（4）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】判断能否用公式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解中的公式法，涉及完全平方公式以及平方差公式，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：，故（1）符合题意； 不能运用公式法分解因式，故（2）不符合题意； ，故（3）符合题意； ，不能运用公式法分解因式，故（4）不符合题意； 所以能运用公式法分解因式的有（1）和（3）， 故选：B 题型05 综合提公因式和公式法因式分解 【典例5】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先提取公因数2，再利用平方差公式继续分解即可； （2）先提取公因数3，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）因式分解 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、十字相乘法、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的几种基本分解方法并能灵活应用是关键； （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）先用完全平方公式分解，再利用十字相乘法分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式2】（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能再分解为止，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）先提取公因式，接着利用完全平方公式进行因式分解； （2）先提取公因式，接着利用平方差公式进一步因式分解． 【详解】（1）解：． （2）解： ； 【变式3】（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）因式分解 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】综合运用公式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）直接提取公因式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 题型06 利用因式分解求值 【典例6】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如果，，那么代数式的值是 ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】此题考查了平方差公式．将利用平方差公式分解，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）已知， ，则代数式的值是 ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了因式分解的应用，二次根式的化简求值，掌握因式分解的方法，二次根式的加减运算是解题的关键．先利用平方差进行因式分解，则变形为，然后把，分别代入进行计算即可． 【详解】解：，， 故答案为： 【变式2】（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）若，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先提取公因式分解因式，在把，，代入原式计算即可． 【详解】解：， 把，，代入， 原式， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）学完多项式乘以多项式，爱思考的小明发现：， (1)若，那么m的值是______，n的值是______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、因式分解的应用 【分析】本题考查了多项式乘多项式，因式分解的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式法则展开合并同类项得，再比较，即可作答． （2）同理得，再与比较得，然后处理，再代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：依题意 ∵， ∴， 则 则把代入， 得． 题型07 十字相乘法因式分解 【典例7】（24-25八年级上·河南漯河·期末）下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务． 2024年12月12日  阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为． 例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务： (1)因式分解： ． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值． 【答案】(1) (2)整数a的所有可能的值是， 【知识点】十字相乘法 【分析】此题考查了因式分解——十字相乘法， （1）由一次项为：，则常数项为，再利用十字相乘法分解因式即可； （2）找出所求满足乘积为，相加为的值即可． 【详解】（1）解：一次项为：，则常数项为， 则； （2）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是： ；；；， 即整数的所有可能的值是：，． 【变式1】（24-25八年级上·河北保定·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把中看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数．分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如：将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）利用十字相乘法进行求解即可； （2）利用十字相乘法进行求解即可； （3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ； （3）解： ， ． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ．次项系数． Ⅱ．常数项，验算：“交叉相乘之和” ①，②， ③，④． Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即， 则． 像这样分解因式的方法叫做十字相乘法． 【迁移运用】仿照此方法，分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式． （1）直接利用十字乘法分解因式即可； （2）直接利用十字乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型08 分组分解法因式分解 【典例8】（24-25八年级上·山东淄博·期末）观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的因式分解： 甲：        分成两组 ．            各组提公因式因式分解 乙：        分成两组 ．            平方差公式因式分解 请你在他们解法的启发下，因式分解：． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式、分组分解法、平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法和提取公因式因式分解成为解题的关键． 按照乙的思路运用分组法和公式法因式分解即可． 【详解】解： ． 【变式1】（24-25八年级上·湖北黄冈·期末）阅读材料并解决问题：分解因式时，细心观察这个式子就会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：，这种分解因式的方法叫做分组分解法．利用这种方法解决问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边长，，，满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【知识点】分组分解法、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用．熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）应用分组分解法直接分解因式即可； （2）首先应用分组分解法，把分解因式，然后得到，从得到是等腰三角形． 【详解】（1）解： ； （2）解：的三边长，，满足， ， ， ， ， ． 是等腰三角形． 【变式2】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分别分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：． 再如“”分法：．利用上述方法解决下列问题： (1)分解因式： ①． ②． (2)已知：a、b、c为的三条边，，求的周长． 【答案】(1)①；② (2)7 【知识点】分组分解法、因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法时，要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题． （1）①根据“”分法即可得出答案；②根据“”分法即可得出答案； （2）运用完全平方公式进行分解因式，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）①， ， ， ； ②， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ，，， ，， 的周长． 题型09 因式分解的应用 【典例9】（24-25九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若为任意整数，则的值总能（   ） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先根据完全平方公式和合并同类项法则进行化简，得出，然后进行判断即可． 【详解】解： ． 和中必有一个为偶数， 一定能被6整除． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）已知的三边分别为．例如：若，则为等腰三角形．理由如下：方程整理为：，，，那么是等腰三角形．对于满足的条件给出下列说法： ①若，那么这个三角形是等腰三角形； ②若，那么这个三角形是等边三角形； ③若，那么这个三角形是直角三角形． 以上说法中正确的是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】因式分解的应用、等边三角形的判定、判断三边能否构成直角三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了因式分解的应用，特殊三角形的判定； ①等式左边进行因式分解得，即可判断； ②等式左边进行因式分解得，即可判断； ③等式左边进行因式分解得，即可判断； 能熟练进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：①由题意得：， ， ， 或， 或， 这个三角形是等腰三角形； 故此项正确； ②， ， ， ，，， ，，， ， 这个三角形是等边三角形； 故此项正确； ③由题意得：， ， 或， 或， 这个三角形是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形； 故此项不正确； 故选：C． 【变式2】（24-25九年级下·福建·期中）若一个整数能表示成（、都是整数）的形式，则称这个数为完美数．例如，5是完美数，因为．再如，（，都是整数），所以也是完美数． (1)请你再写出一个小于10的完美数，并判断34是否为完美数； (2)已知（、都是整数，是常数），要使为完美数，试求出符合条件的一个值，并说明理由； (3)如果，都是完美数，试说明也是完美数． 【答案】(1)8，是 (2)13，理由见解析 (3)见解析 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用 （1）利用“完美数”的定义可得； （2）利用完全平方公式，将配成完美数，可求的值， （3）设，，再证明即可． 【详解】（1）解：， 是完美数， ， 是完美数； （2）解：时，为“完美数”，理由如下： ， ∵是整数， ∴也是整数， ∴当，即，是完美数； （3）证明：设，，，，，为整数）， ， ∵是整数， ∴都是整数， 是完美数． 一、单选题 1．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的判断，熟练掌握因式分解的定义是解题关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、，是整式乘法，不属于因式分解，不符合题意； B、，属于因式分解，符合题意； C、，不属于因式分解，不符合题意； D、，不属于因式分解，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）把多项式分解因式时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，正确掌握公因式的定义是解题的关键． 取系数的最大公约数，字母的最小指数的乘积作为公因式，根据定义解答即可． 【详解】解：． 即应提取的公因式是． 故选：C 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，能用完全平方公式分解因式的式子的特点是：有三项；平方项的符号必须相同；有两底数积的2倍．据此逐个判断即可． 【详解】解：①，符合用完全平方公式分解因式； ②不符合用完全平方公式分解因式； ③符合用完全平方公式分解因式； ④不符合用完全平方公式分解因式； ⑤不符合用完全平方公式分解因式； ⑥符合用完全平方公式分解因式． 综上，能用完全平方公式分解因式有①③⑥，一共有3个． 故选：B． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查提公因式法分解因式，熟练掌握提取公因式法进行分解因式是解题的关键．运用提公因式法分解因式即可解答． 【详解】解： ， ， 故选：C． 5．（2025八年级·全国·竞赛）博士最近有一个新爱好——密码编译，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，，和常数分别对应下列字母或汉字：脑、动、W、M、开、筋、O、爱，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．动脑筋 B．爱动脑筋M C．W爱动脑筋 D．爱开动脑筋 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，利用提公因式，平方差公式将式子因式分解，再根据题中的密码编译可得到密码信息是：爱开动脑筋，从而得到答案． 【详解】解： ∵对应的密码是开，对应的密码是动，对应的密码是脑，对应的密码是筋，而3是常数，它对应的密码是爱， ∴合起来的密码信息可能是：爱开动脑筋， 故选：D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，运用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·全国·期末）已知关于x的方程的左边可分解因式为，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式相等的关系及参数的求解，熟练掌握多项式因式分解的展开与系数比较是解题的关键．首先将给定的因式分解式展开，然后与原方程进行比较，从而确定b和c的值，进而代入即可得解． 【详解】解： ∴． ∴． ∴ ， 故答案为：2． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知实数x，y，满足，，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是利用提公因式的方法分解因式，求解代数式的值，由条件可得，再把代入计算即可． 【详解】解：． ， ∴， 故答案为：4． 9．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）将个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成，定义上述式子叫做阶行列式．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，平方差公式和解一元一次方程，根据新定义得到方程，再根据完全平方公式，平方差公式去括号，然后合并同类项，进而解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得 故答案为：． 10．（2025·四川成都·模拟预测）定义：若a，b，c不全为0，且满足，，如果正整数n使得恒成立，那么正整数n称为“好数”．例如，当时，恒成立，所以1是“好数”．把所有“好数”按从小到大的顺序排列，则第3个“好数”是 ；大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为 ． 【答案】 5 1023669 【分析】本题考查数的规律探究，因式分解的应用，解题关键是通过推导得出“好数”为正奇数，再利用规律计算． 由变形得，代入，通过整式运算化简，结合，推出．因为a、b、不全为0，所以其中只有一个数为0，不妨设，则．将，代入，分析得出满足恒成立的正整数n是奇数，即“好数”为所有正奇数．按正奇数从小到大排列，找到第3个“好数”是5；确定大于100且不超过2025的正奇数，通过数的个数和首尾数，利用（首数尾数）个数的方法，算出这些“好数”的和． 【详解】解：由，得， 则 , ∵， ， 、b、c不全为零， 、b、c中只有一个数为零， 不妨设，从而， 恒成立即恒成立， 显然满足条件的正整数n为奇数， 即不超过2025的正整数中“好数”有1、3、5、、2025共1013个， 大于100且不超过2025的正整数中“好数”有963个， 第3个“好数”是5，大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为． 故答案为：5，． 三、解答题 11．（25-26七年级下·全国·单元测试）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的几种常用方法是解题的关键． （1）先提取，再由完全平方公式分解； （2）先将原式变形为，再提取，然后由平方差公式进行分解． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 12．（25-26八年级上·全国·单元测试）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）提公因式即可； （2）提公因式即可； （3）把看成整体，利用完全平方公式即可分解； （4）利用完全平方公式即可分解． 本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法因式分解是解题关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． （4）解：原式． 13．（20-21八年级下·贵州六盘水·期末）阅读材料： 已知多项式有一个因式是，求n的值． 解法：设（A为整式） 由于上式为恒等式，为方便计算取，则，解得． 根据上述材料，解决下列问题： (1)已知多项式有一个因式是，求m的值． (2)已知多项式有因式和，求m和n的值． 【答案】(1) (2)，． 【分析】本题考查了因式分解的实际应用，解一元一次方程，解二元一次方程组，首先应该仔细分析题干内容，理解解决这类高次多项式求参数的通用方法，再运用方程的思想进行解题，读懂题意是解题关键． （1）设（A为整式），然后代入，解方程即可； （2）设（A为整式），分别代入和，然后联立解方程组即可得出答案． 【详解】（1）解：设（A为整式） 取， 则， 解得：； （2）解：设（A为整式） 当时，可得① 当时，可得  ② 联立①②得， 解得： 故，． 14．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，，两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式． (1)若抽中的卡片是． ①求整式； ②当时，求整式的值； (2)若无论取何值，整式的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片． 【答案】(1)①；②4 (2)抽到的是卡片 【分析】此题考查整式的混合运算和因式分解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）①根据卡片各项改变符号后得出 ，再与整式相加，合并同类项即可； ②把代入整式C计算即可； （2）分抽中的卡片是B和抽中的卡片是A两种情况进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：①； ②当时，； （2）由（1）知，若抽中的卡片是，则． ，， 无论取何值，整式的值都是非负数； 若抽中的卡片是，则． ，， 无论取何值，整式的值都是非正数， 抽到的是卡片． 15．（25-26八年级上·全国·单元测试）某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用十字相乘法分解因式： （1）仿照题干，利用十字相乘法分解因式； （2）仿照题干，利用十字相乘法分解因式． 【详解】（1）解：如图① 由答图①知． （2）解：如图②． 由答图②可知． 16．（25-26八年级上·全国·单元测试）【阅读材料】 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：． (2)因式分解：． (3)证明：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟练运用整体思想和十字相乘法与完全平方公式因式分解的能力． （1）将看作整体，利用完全平方公式因式分解即可得； （2）将看作整体，先整理整理成一般式，再利用完全平方公式因式分解可得； （3）先计算得，再将看作整体因式分解得原式，继而由为正整数可得结论． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 则原式， 再将“”还原，原式； （2）解：将“”看成整体，令， 则原式， 再将“”还原，原式； （3）解：证明：原式 ， 为正整数， 为正整数， 式子的值一定是某个整数的平方． 17．（25-26八年级上·全国·期末）第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有 ．这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）________； 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：； 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）这个三角形为等边三角形，见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用、等边三角形的定义，解决本题的关键是利用正确方法将式子进行因式分解． （1）将式子分成两组，分别提取公因式，然后出现一个新的公因式，再提取公因式即可； （2）将式子分成两组，分别提取公因式，然后出现一个新的公因式，再提取公因式即可； （3）由可得，求出，因为三角形的三边长分别是a、b、c，所以这个三角形是等边三角形． 【详解】解：（1）， 故答案为： （2） ； （3）这个三角形为等边三角形． 理由：， ， ， 即， ，， ，， 这个三角形是等边三角形． 18．（25-26八年级上·全国·单元测试）【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”． 【解决问题】 (1)当______时，多项式，所以可以因式分解为______； (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值； (3)对于三次多项式，用“试根法”因式分解． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键． （1）将代入即可； （2）由题意得，再由系数关系求a、b即可； （3）多项式有因式，设另一个因式为，则，再由系数关系求a、b即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 故答案为：，； （2）解：由题意可知， ∴， ∴，， ∴，； （3）解：当时，， ∴多项式有因式， 设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第1章因式分解 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01因式分解的概念 知识点02提公因式法因式分解 知识清单 知识点03运用公式法因式分解 题型01判断是否因式分解 题型02已知因式分解的结果求参数 因式分解 题型03公因式 题型04判断能否用公式法因式分解 题型05综合提公因式和公式法因式分解 题型精讲 题型06利用因式分解求值 题型07十字相乘法因式分解 题型08分组分解法因式分解 题型09因式分解的应用 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解因式分解的概念，明晰其与整式乘法的互逆关系，能准确判断给定式子是否为 因式分解。 2.熟练掌握提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）进行因式分解，并 教学目标 能根据多项式特点选择合适方法。 3.借助因式分解解决相关数学问题，如化简求值、解方程等，提升数学运算与应用能 力e 1/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.重点 (1)掌握因式分解的基本方法，包括提公因式法和运用公式法，能正确对常见多项 式进行因式分解。 (2)理解因式分解与整式乘法的相互关系，通过对比二者运算过程，深化对因式分 解本质的认识。 教学重难点 2.难点 (1)面对复杂多项式，准确观察其结构特点，灵活选择并综合运用多种因式分解方 法，确定合理分解步骤。 (2)深刻理解因式分解的恒等变形本质，避免在分解过程中出现符号、系数等运算 错误，确保分解结果的正确性与完整性。 知识清单 知识点01因式分解的概念 因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解， 也叫做把这个多项式分解因式。 知识点02提公因式法因式分解 ①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c): 注意：挖掘隐含公因式；有时公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最 好能一次性提取完。 知识点03运用公式法因式分解 运用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b): 运用公式法：a2+2ab+b2-(a+b)2;a2-2ab+b2-(a-b)2。 题型精讲 题型01判断是否因式分解 【典例1】(25-26九年级上广东深圳开学考试)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（) A.(a+4)(a-4=a2-16 B.x2-4y2=(x+4y)(x-4y) C.x2-2x+1=x(x-1+1 D.x2-8x+16=(x-4)2 【变式1】(25-26八年级上·全国·单元测试)下列从左到右的变形，属于因式分解的是() A.(a+3(a-3)=a2-9 B.x2+4x+4=xx+4+4 C.x2-y2=(x+y)(x-y) 【变式2】(25-26九年级上广东深圳开学考试)下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是() 2/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.6.x2y3=2x2.3y3 B.a(a+l)(a-1)=a-a .+ 【变式3】(25-26九年级上山西太原·开学考试)下列从左到右的变形，属于因式分解的是() A.（a+b)(a-b)=a2-b2 B.ab+ac+d=a(b+c)+d C.a2+2ab+b2=(a+b)2 D.12ab2=3a.4b 题型02已知因式分解的结果求参数 【典例2】(24-25八年级上山西吕梁期末)把x2-4x+c分解因式得(x-5)(x+),则常数c的值为() A.4 B.-4 C.5 D.-5 【变式1】(24-25八年级上·新疆巴音郭楞期末)若多项式2x2+3x-m能分解成两个因式的积，且其中一 个因式为x+2,则m的值为一. 【变式2】(24-25七年级上·上海普陀期末)已知整式x2+x-3可以因式分解为x+px+q),如果m、 P、9都为整数，那么m的值为一· 【变式3】(24-25九年级上山东淄博阶段练习)仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式 x2-4x+m有一个因式是x+3),求另一个因式以及m的值. 解：设另一个因式为x+n,得x2-4x+m=(x+3)(x+n), 则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n, n+3=-4 m=3n· 解得：n=-7,m=-21 ∴另一个因式为x-7),m的值为-21， 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是(2x-5),求另一个因式以及k的值. 解：设另一个因式为】 ,得：2x2+3x-k= 则2x2+3x-k=2x2+(2n-5)x-5n [2n-5=3 -5n=-k 解得：n= k= .另一个因式为 k的值为 3/12 ©命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2)已知二次三项式6x2-x-p有一个因式是(2x+3到，求另一个因式以及p的值. 题型03公因式 【典例3】(25-26八年级上·全国·单元测试)多项式8ab2-12ab'c的公因式是() A.4ab2 B.4abc C.2ab2 D.4ab 【变式1】(24-25八年级上·福建厦门阶段练习)多项式9xy-3xy+6z各项的公因式是() A.3y B.3xz C.3xy D.3x 【变式2】(25-26八年级上·全国课后作业)有下列各组多项式：①(1)2a+b和a+b:②5m(a-b)和 b-a:③3(a+b)和-(a+b);④(x-川x2+y+y)和x2-y+y2.其中含有公因式的是() A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 【变式3】(24-25八年级下陕西西安期末)将多项式4xy2z-82y2z-6yz2分解因式时，应提取的公因式 是() A.9z2 B.8xy C.2xyz D.24x2y2z2 题型04判断能否用公式法因式分解 【典例4】(2425八年级上山东烟台·期中)下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是() A.x2-1 B.4x2+4x+4 C.x2+2x+1 D.x2-2x-1 【变式1】(2324七年级下浙江温州期末)下列各式：①--y:②1-46；③。+b+:④ 4 2+2y+y2;⑤x2-x+ 4,可以用公式法分解因式的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【变式2】(23-24八年级下·江西景德镇·期末)下列多项式在实数范围内不能用公式法因式分解的是( A.x2-2x+4B.-x2-2y-y2C.-x2+y2 D.x2-(y+z2 【变式3】(23-24八年级上河南南阳·阶段练习)下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有() (1)-x2+4y2(2)9a2b2-3ab+1(3)-x2-2xy-y2(4)-x2-y2。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型05综合提公因式和公式法因式分解 【典例5】(24-25八年级上·湖南长沙阶段练习)因式分解： 4/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)2x2-2: (2)3x2-18x+27. 【变式1】(24-25八年级上·辽宁鞍山阶段练习)因式分解 (1)9a2(x-y-462(x-y). 21x2-2x2-6x2-2x+9 【变式2】(24-25八年级上湖北襄阳期中)因式分解： (1)x3y+2x2y+y (2)a20-b)+b2b-10 【变式3】(24-25八年级上·辽宁盘锦期中)因式分解 (1)x2y+xy2 (2)a2(x-y)+b2(y-x 3)a2+42-16a2 题型06利用因式分解求值 【典例6】(24-25七年级下江苏淮准安期中)如果x+y=-4,x-y=3,那么代数式x2-y2的值是一 【变式1】(24-25八年级下.重庆渝北期中)已知x+y=2,x-y=V3,则代数式x2-y2+√3的值是。 【变式2】(24-25八年级上·福建厦门阶段练习)若x+y 3,w=2,则xy+y2的值为一 【变式3】(24-25七年级下·陕西西安阶段练习)学完多项式乘以多项式，爱思考的小明发现： (x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq, (1)若(x+3x-4)=2+mx+n,那么m的值是，n的值是一： 2)若(x+a(x+b)=x2+3x-13,求ab+ab+2a2b的值. 题型07十字相乘法因式分解 【典例7】(24-25八年级上·河南漯河·期末)下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面 的任务， 2024年12月12日阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思 考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式+(p+gx+P9的分解 因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为 5/12 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x2+(p+g)x+p9=(x+p)川x+q.例如：将二次三项式x2+7x+10因式分解，这个式 子的二次项系数是1，常数项10=2×5，一次项系数7=2+5，则 x2+7x+10=(x+2)(x+5),如图所示. 1- --2 1.-- -.5 1×5+1×2=7 任务： (1)因式分解：x2-8x+15=_ (2)若二次三项式x2+ax-8可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值. 【变式1】(24-25八年级上河北保定期末)利用整式的乘法运算法则推导得出： (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd.我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系 可得acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d).通过观察可把acx2+(ad+bc)x+bd中看作以x为未知数， a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数ac与常数项bd分别进行适 当的分解来凑一次项的系数.分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分 解的方法称为十字相乘法.例如：将二次三项式2x2+11x+12的二次项系数2与常数项12分别进行适当的 分解，如图2，则2x2+11x+12=(x+4)(2x+3). a×d+c×b=ad+bc1×3+2×4=11 图1 图2 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：x2+6x-27: (2)用十字相乘法分解因式：6x2-7x-3: (3)结合本题知识，分解因式：20(x+y)2+7(x+y)-6. 【变式2】(24-25八年级上·辽宁铁岭期末)【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式2x2-x-3. 1.次项系数2=1×2. ‖.常数项-3=-1×3=1×(-3)，验算：“交叉相乘之和” 1 ④ 6/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①1×3+2×(-)=1，②1×(-)+2×3=5」 ③1×(-3)+2×1=-1，④1×1+2×(-3)=-5」 Ⅲ.发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数-1， 即(x+1)(2x-3)=2x2-3x+2x-3=2x2-x-3, 则2x2-x-3=(x+1)(2x-3). 像这样分解因式的方法叫做十字相乘法， 【迁移运用】仿照此方法，分解因式： (1)x2-5x+6: (2)3x2+2x-8. 题型08分组分解法因式分解 【典例8】(24-25八年级上山东淄博·期末)观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的因式分解： 甲：x2-xy+4x-4y=x2-y)+(4x-4y) 分成两组 =xx-y)+4(x-y)=x-y)(x+4. 各组提公因式因式分解 乙：a2-b2-c2+2bc=a2-b2+c2-2bc 分成两组 =a2-(b-c)2=(a+b-c)(a-b+c). 平方差公式因式分解 请你在他们解法的启发下，因式分解：4x2+4x-y2+1. 【变式1】(24-25八年级上湖北黄冈期末)阅读材料并解决问题：分解因式x2-4y2-2x+4y时，细心观 察这个式子就会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公 因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为： x2-4y2-2x+4y=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y-2),这种分解因式的方法叫做分组分解法. 利用这种方法解决问题： (1)分解因式：x2-4x+4-y2: (2)已知△ABC的三边长a,b,c,满足ac+a2-ab-bc=0,试判断△ABC的形状， 【变式2】(24-25七年级下·江苏扬州阶段练习)将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分别分解 的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2 ”分法及“3+3”分法等.如“2+2”分法： ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(br+by)=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b).再如“3+1”分法： x2-2xy+y2-16=x2-2xy+y2-16=(x-y)-42=(x-y+4)(x-y-4.利用上述方法解决下列问题： (1)分解因式： 7/12 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①9x2-6y+y2-16 ②4a2+4a-4a2b-b-4ab+1. (2)已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2-4a-4b-6c+17=0,求△ABC的周长. 题型09因式分解的应用 【典例9】(24-25九年级下安徽蚌埠阶段练习)若k为任意整数，则(2k+)-(k+)+k的值总能 () A.被4整除 B.被5整除 C.被6整除 D.被7整除 【变式1】(24-25八年级下·重庆阶段练习)已知△ABC的三边分别为ab、c.例如：若ab-bc=0,则 △ABC为等腰三角形.理由如下：方程整理为：ba-c=0,:b≠0，a=c,那么△ABC是等腰三角形. 对于a、b、c满足的条件给出下列说法： ①若ab+bc=b2+ac,那么这个三角形是等腰三角形： ②若a2+b2+c2-ab-ac-bc=0,那么这个三角形是等边三角形： ③若a23-a2b+ab2-ac2-b3+bc2=0,那么这个三角形是直角三角形. 以上说法中正确的是() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【变式2】(24-25九年级下·福建期中)若一个整数能表示成a2+b2(a、b都是整数)的形式，则称这个 数为完美数.例如，5是完美数，因为5=22+12.再如，M=x2+2y+y2=(x+y)+y2(x,y都是整 数)，所以M也是完美数。 (1)请你再写出一个小于10的完美数，并判断34是否为完美数： (2)已知S=x2+4y2+4x-12y+k(x、y都是整数，k是常数)，要使S为完美数，试求出符合条件的一 个k值，并说明理由： (3)如果A,B都是完美数，试说明A×B也是完美数. 强化训练 一、单选题 1.(25-26九年级上·广东深圳开学考试)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是() A.(a+4)(a-4)=a2-16 B.x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 8/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.x2-2x+2=xx-12+1 D.x2-4x+16=(x-42 2.(25-26八年级上·全国·单元测试)把多项式16ab2+12abc分解因式时，应提取的公因式是() A.4ab B.4ab'c C.4ab2 D.8ab2 3.(25-26八年级上·全国·课后作业)下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（) 1 ①x+4x+4:②4x2-4x-1:图r+x+4:④4m2+2mn+n2:⑤1+16a2:⑥(x-2)2-2x+4y+1: A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4.(25-26八年级上全国课后作业)若9a2(x-y2-3a(y-x°=M(3a+x-y,则M等于() A.y-x B.x-y C.3a(x-y)2 D.-3a(x-y) 5.(2025八年级·全国·竞赛)博士最近有一个新爱好一一密码编译，在他的密码手册中有这样一条信息： a-b,x-1,x2+1,a,x+1,a2+ab+b2,a2-ab+b2和常数分别对应下列字母或汉字：脑、动、 W、M、开、筋、0、爱，现将3ax2-1-36(x2-1因式分解，结果呈现的密码信息可能是() A.动脑筋MOB.爱动脑筋M C.W爱动脑筋 D.爱开动脑筋 二、填空题 6.(25-26九年级上广东深圳阶段练习)分解因式：81-m2=一 7.(24-25九年级上全国期末)已知关于x的方程2x2+bx+c=0的左边可分解因式为2(x-3(x+1,则 b-c= 8.(25-26八年级上·全国课后作业)已知实数x,少，满足x2y-y2=20,y=5,则x-y的值为一 9.(24-25八年级上山东德州阶段练习)将4个数a,b,c,(排成两行、两列，两边各加一条竖直线 a b a b 2x+11-2x 记成cd, 定义 c d =ad-bc.上述式子叫做，阶行列式.若 1-2x1+2x =8,则的值是一· 10.(2025四川成都模拟预测)定义：若a,b,c不全为0，且满足a+b+c=0,a3+b3+c3=0,如果 正整数n使得a”+b+c”=0恒成立，那么正整数n称为“好数”.例如，当n=l时，a+b+c=0恒成立， 所以1是“好数”·把所有“好数”按从小到大的顺序排列，则第3个“好数”是一：大于100且不超过 2025的正整数中所有“好数”的和为一 三、解答题 11.(25-26七年级下·全国单元测试)分解因式： (1)a3-4a2b+4ab2: (2)x2(x-y)+y2(y-x). 9/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 12.(25-26八年级上·全国单元测试)分解因式： (1)9abc-6a2b2+12abc2; (2)3x2(x-y)+6.x(y-x): (3)(0m+n)2-4(m+n-1): (4)4(a-b)2-12a(a-b)+9a2 13.(20-21八年级下·贵州六盘水·期末)阅读材料： 己知多项式3x3-x2+n有一个因式是x+1,求n的值. 解法：设3r-x2+n=A(x+l(A为整式) 由于上式为恒等式，为方便计算取x=-1,则3x(-13-(-1)+n=0,解得n=4 根据上述材料，解决下列问题： (1)已知多项式6x3-x2+m有一个因式是3x+1,求m的值 (2)已知多项式x4+mx2+nx-16有因式x-)和(x-2),求m和n的值. 14.(2025河北沧州模拟预测)如图，A,B两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上， 随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式 C. x2-9x-1 5x2-x+3 A B (1)若抽中的卡片是A. ①求整式C; ②当x=-2时，求整式C的值： (2)若无论x取何值，整式C的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片. 15.(25-26八年级上·全国·单元测试)某些形如ax2+bx+c的二次三项式可利用十字相乘法分解因式.十 字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角：再分解常数项，分别写在十字交 叉线的右上角和右下角：然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.如：将式子x2+3x+2和 2x2+x-3分解因式，如图，x2+3x+2=(x+(x+2);2x2+x-3=x-1(2x+3). 1×1+1×1=3 -1×2+1×3=1 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)x2+5x+6: (2)2x2-7x+3. 16.(25-26八年级上·全国·单元测试)【阅读材料】 10/12