第3章 二次根式 小结与评价 教学设计2025-2026学年湘教版（2024）八年级数学上册

第3章 二次根式 小结与评价 教学设计 课题 第3章 二次根式 小结与评价 单元 第3单元 学科 数学 年级 八年级上册 教学目标 1.使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子; 2.熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. 教学重点 含二次根式的式子的混合运算． 教学难点 综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子. 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 知识图谱 学生与教师一起回顾本章的内容。 通过对二次根式的梳理，让学生对本章知识有个系统的认知，理清知识点之间的联系，掌握注意的地方，加深对知识的全面理解。 思考回顾 1. 二次根式在实数范围内有意义的条件是什么？ 只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.反之也成立，即有意义 a ≥ 0. 2. ()2等于什么?等于什么？ ()2=a(a ≥ 0)，即一个非负数的算术平方 根的平方等于它本身； 即一个数的平方的算术平 方根等于它的绝对值. 3. 积的算术平方根的性质是什么？商的算术平方根的性质是什么？ 积的算术平方根的性质: （a≥ 0，b ≥ 0）. 积的算术平方根，等于积中各因式的算术 平方根的积. 商的算术平方根的性质: （a> 0，b ≥ 0）. 商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 4. 什么是最简二次根式？如何把二次根式化成最简二次根式？ 被开方数不含分母，且不含开得尽方的因数（或因式）. 这样的二次根式叫作最简二次根式. 例 2， 把二次根式化成最简二次根式的步骤： (1)“一分”，即利用因式分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式； (2)“二移”，即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因数(或因式)移到根号外时，要注意应写在分母的位置上； (3)“三化”，即化去被开方数中的分母. 5. 如何进行二次根式的加、减、乘、除运算？ 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的，与整式的混合运算顺序相同. 学生思考回答教师提出的问题。 引导学生回顾二次根式这章的知识点,使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系，通过问题，检查学生对知识点的掌握程度，及时发现问题，查漏补缺。 注意事项 1. 二次根式在实数范围内有意义的条件是a ≥ 0. 2. 对于任一实数a，有=|a|. 3.等式=⋅成立需同时满足a ≥ 0，b ≥ 0. 4. 最简二次根式的被开方数不含分母，且不含开得尽方的因数（或因式）. 一般地，运算结果中的二次根式要化成最简二次根式. 5. 实数的运算律在二次根式的加、减、乘、除运算中仍然成立. 学生与教师一起总结。 帮助学生梳理二次根式这章需要重点注意的地方，更好的理解知识点。 典例精讲 题型一：二次根式的概念及性质 例1 下列各式中，是二次根式的是( C ) A. B. C. D. 例2 要使二次根式 有意义，则 x 的取值范围是（　D ） A. x ＞2 B. x ＜2 C. x ≤2 D. x ≥2 例3 二次根式 化简的结果是（ A　） A.2 B.－2 C. 6 D. 12 例4 将化为最简二次根式，其结果是（　D　） A. B. C. D. 题型二：二次根式的化简及运算 例5 下列各组二次根式中，可以进行加减合并的一组是（ C　） A.与 B. 3 与5 C.－8 与2 D. 与 例6 已知 a ＝ ＋2， b ＝ －2，则代数式 的值为（　D　） A. 25 B. ±5 C.3 D.5 例7 计算： （1） （4－3）÷2； （2） ×（2－）； （3） （5 －6 ＋4 ）÷ . （4） －－ . 解：（1）原式＝2 － . (2)原式＝ ×2 － × ＝ －2. （3）原式＝（5×4－6×3＋4）÷ ＝（2 ＋4 ）÷ ＝2＋4 . （4）原式＝4＋－（＋）－（3－） ＝4＋ －－ －3＋ ＝1. 例8 先化简，再求值： ÷（ ＋ ），其中 a ＝ ＋1， b ＝ －1. 解：原式＝ ÷ ＝ · ＝ ab . 当 a ＝ ＋1， b ＝ －1时， 原式＝（ ＋1）（ －1）＝5－1＝4. 题型三：二次根式的实际应用 例9 已知一等腰三角形的两边长分别为 a ， b ，且 a，b满足 ＋（2 a ＋3 b －13）2＝0，则此等腰三角形的周长为 7或8 . 例10 已知长方形的长 a ＝ ，宽 b ＝ . （1）求长方形的周长； （2）求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长的大小关系. 解：（1）长方形的周长为 2×（ ＋ ）＝2×（3 ＋ ）＝8 . （2）长方形的面积为 × ＝3 × ＝9， 则正方形的边长为3， ∴此正方形的周长为12. ∵8 ＝ ，12＝ ，且 ＞ ， ∴8 ＞12， 则长方形的周长大于正方形的周长. 拓展提升 例11 已知x＝（＋），y＝（ －），求下列各式的值. （1） x2－ xy ＋ y2；（2） ＋ . 解：∵ x ＝ （ ＋ ）， y ＝ （ － ）， ∴ x ＋ y ＝ ， xy ＝ . （1） x2－ xy ＋ y2＝（ x ＋ y ）2－3 xy ＝13－ ＝ . （2） ＋ ＝ ＝ ＝24. 学生独立解答。 通过典型例题，帮助学生回忆二次根式的知识点，及时发现问题，灵活运用本章知识解决问题，锻炼学生的解题能力。 让学生了解二次根式与实际生活的联系，体会数学在实际生活中的应用。 让学生学会灵活运用知识进行解题，体会二次根式与公式法的混合应用。 作业布置 完成本单元测试卷 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $