第20章 勾股定理章节复习课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学单元复习课件系统梳理了勾股定理及其逆定理、互逆命题与定理、勾股数等核心内容，通过概念辨析、定理证明、例题解析、应用拓展及数学思想提炼，构建从基础概念到综合应用的知识网络，体现知识点间的逻辑关联。 其亮点在于以“除魔招式”强化易错点，通过蚂蚁爬行最短路径等生活实例培养几何直观与空间观念，运用方程思想解决折叠问题提升推理能力，分层设计例题与应用，帮助学生巩固知识，助力教师精准复习教学。

勾股大魔王：终极试炼 2个概念 互逆命题： 将一个命题的条件和结论互换以后，得到一个新命题，新命题和旧命题为互逆命题 原命题：全等三角形的对应角相等 逆命题：对应角相等的两个三角形全等 互逆定理： 将一个定理的条件和结论互换以后，得到一个新定理，新定理和旧定理为互逆定理 原定理：两直线平行，同位角相等 逆定理：同位角相等，两直线平行 除魔招式之避坑：互逆命题这两个命题不一定都是真的 互逆定理这两个命题一定是真的 例 说出命题的逆命题，并判断是否成立。 如果ab＜0，那么a＞0，b＜0。 逆命题：如果a＞0，b＜0，那么ab＜0 逆命题成立 2个定理 勾股定理：直角三角形两直角边为a,b，斜边为c，则a2+b2=c2 勾股定理的证明：核心为等面积法（用不同的方式去表示同一个图形的面积） 除魔招式之结论 勾股定理的延伸：以直角三角形的三边做正方形，等腰/等边/等腰直角三角形，半圆，均满足两直角边的图形面积加起来等于斜边的图形面积。 2个定理 如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长． 解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°． 在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°， ∴∠B=∠BAD=45°， ∴BD=AD=1，∴AB= ． 在Rt△ADC中，∵∠C=30°， ∴AC=2AD=2， ∴CD= ， ∴BC=BD+CD=1+ ， ∴△ABC的周长=AB+AC+BC= ． 2个定理 观察如图所示的图形，回答问题： (1)如图①，△DEF为直角三角形，正方形 P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为________； (2)如图②，分别以直角三角形ABC的三边长为直径向三角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式是______ ；(用图中字母表示) (3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆，请你利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积． 24 S1＋S2＝S3 设两个小半圆形的面积分别为S1，S2，大半圆形的面积为S3，三角形的面积为S△， 则S阴影＝S1＋S2＋S△－S3 ＝S△＝×3×4＝6. 2个定理 勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形。 勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数。（3.4.5，5.12.13，7.24.25，8.15.17等） 例：判断三边长为3、2 的三角形，是否为直角三角形？ 除魔招式之运用勾股定理逆定理的步骤： 1. 排序，确定最长边 2. 验证平方关系 解：3＞2 ∵，（)2=13 ∴（)2 由勾股定理的逆定理可得，这个三角形为直角三角形 2个定理 若△ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则(　　) A．∠A为直角 　　　　B．∠B为直角 C．∠C为直角 　　　　D．△ABC不是直角三角形 解：∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c， ∴ a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0. 即 (a－3)²+ (b－4)²+ (c－5)²=0. ∴ a=3, b=4, c=5， 即 a2+b2=c2. ∴△ABC是直角三角形. A 2个应用 勾股定理的应用 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行(　　) A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（　　） A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm B D 2个应用 勾股定理的应用 如图，在平面直角坐标系中有两点A(-3,5),B(1,2)求A,B两点间的距离. 在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中以A出发分别画出长度为 的线段AB． A -3 -2 2 3 4 y O x B 1 -4 -1 1 5 3 2 -1 解：如图，过点A作x轴的垂线,过点B作x,y轴的垂线.相交于点C,连接AB. ∴AC=5-2=3，BC=3+1=4， 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 ∴A,B两点间的距离为5. 2个应用 勾股定理的应用 如图，点C表示的数是(　　) A．1 B. C．1.5 D. 如图，在长方形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（　　） D C 2个应用 勾股定理逆定理的应用 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积. C B A D 解：连接BD. 在Rt△ABD中, 由勾股定理得 BD2=AB2+AD2， ∴BD=5m. 又∵ CD=12cm，BC=13cm, ∴ BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形. ∴S四边形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD= BD•CD－ AB•AD = ×(5×12－3×4)=24 (cm2)． 2个应用 勾股定理逆定理的应用 医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东 的方向. 东 医院 公园 超市 北 65° 2种方法之化曲/折为直（展开图） 如图所示的长方体的高为8 cm，底面是长为10 cm，宽为6 cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿长方体的 表面爬到顶点B.求：蚂蚁经过的最短路程； 化折为直：长方体中求两点之间的最短距离，展开方法有多种，一般沿最长棱展开，距离最短. 2种方法之化曲/折为直（展开图） B B1 8 6 10 B3 AB12 =102 +（6+8）2 =296， AB22= 82 +（10+6）2 =320， AB32= 62 +（10+8）2 =360， 解：由题意知有三种展开方法，如图.由勾股定理，得 ∴AB1＜AB2＜AB3. ∴小蚂蚁完成任务的最短路程为AB1，长为 . 2种方法之化曲/折为直（展开图） 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是(　　) A．5　　　 B．25　　　 C．10＋5　　　 D．35 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是 . B A 73cm 2种方法之化曲/折为直（展开图） 在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从A处爬向B处，若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，π取3.蚂蚁怎么走最近？ B A 3 O 12 侧面展开图 12 3π A B 解：在Rt△ABA′中，由勾股定理得 立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线. 2种方法之化曲/折为直（展开图） 有一圆柱体高为8cm，底面圆的半径为2cm，如图.在AA1上的点Q处有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1上的点P处有一只苍蝇，PB=2cm．求蜘蛛爬行的最短路径长(π取3). 解：如图,沿AA1剪开,过Q作QM⊥BB1于M,连接QP. 则PM=8-3-2=3(cm)， QM=A1B1= ×2×π×2=6(cm)， 在Rt△QMP中，由勾股定理得 答：蜘蛛爬行的最短路径长是 cm． 2种方法之化斜为直（构造直角三角形） 如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10. 求BC的长． 解：如图，过点A作AD⊥BC于D. ∵∠ADC＝90°，∠C＝60°，∴CD＝ AC＝5. 在Rt△ACD中， AD 在Rt△ABD中， BD ∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16. 3种思想之分类讨论 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长. 4 3 A C B 4 3 C A B 除魔招式之避坑：当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解. 解：本题斜边不确定，需分类讨论： 当AB为斜边时，如图， 当BC为斜边时，如图， 3种思想之方程思想 如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长. D A B C E F 解：在Rt△ABF中,由勾股定理， 得 BF2=AF2－AB2=102－82=36， ∴BF=6cm.∴CF=BC－BF=4. 设EC=xcm，则EF=DE=(8－x)cm ， 在Rt△ECF中,根据勾股定理 得 x2+ 42=(8－x)2， 解得 x=3. 即EC的长为3cm. 3种思想之方程思想 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，则CD的长为 ． 如图，在△ABC中，AB=17，BC=9，AC=10，AD⊥BC于D.试求△ABC的面积． 1.75cm 解：在Rt△ABD和Rt△ACD中， AB2-BD2=AD2，AC2-CD2=AD2， 设DC=x，则BD=9+x， 故172-(9+x)2=102-x2，解得x=6. ∴AD2= AC2−CD2 = 64，∴AD=8. ∴S△ABC= ×9×8=36． 3种思想之数形结合思想 在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长． 解：当高AD在△ABC内部时，如图①. 在Rt△ABD中，由勾股定理得 BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162， ∴BD＝16. 在Rt△ACD中，由勾股定理得， CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81， ∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25， ∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60. 当高AD在△ABC外部时，如图② 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60. 谢谢观看 $