21.1 四边形及多边形 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十一章 四边形 21.1 四边形及多边形 侵权必究 21.1.1 四边形及其内角和 第二十一章 四边形 21.1 四边形及多边形 侵权必究 1.掌握四边形的定义及有关概念，能识别凸多边形. 2.掌握四边形的内角和及外角和.（重点） 3.了解四边形具有不稳定性. 学习目标 侵权必究 新课导入 教学目标 教学重点 侵权必究 4 观察图中的图片，这些都给我们以由一些线段围成的图形的形象，你能从这些图形中发现什么特点吗？ 新课导入 侵权必究 讲授新课 典例精讲 归纳总结 侵权必究 6 在平面内，不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形. 讲授新课 A B C D 组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点.四边形用表示它的各个顶点的字母表示. 如图，按照四边形顶点的顺序，记作“四边形ABCD”，其中AC，BD是四边形的两条对角线. 四边形的定义 一 四边形 连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线. 侵权必究 如图（1），画出四边形是任何一条边所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形.而图（2）中的四边形就不是凸四边形，因为画出其中一条边所在的直线后，整个四边形不都在这条直线的一侧. 讲授新课 凸四边形 侵权必究 思考 我们知道，三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都 等于360°.那么，任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？你能利用 三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°吗？ 讲授新课 一二 四边形的内角和 侵权必究 任意四边形的内角和等于多少度？ 你是怎样得到的？ A B C D 侵权必究 A B C D 2×180 º =360 º 4×180 º－360º =360 º 四边形的内角和是360º 3×180 º－180º =360 º A B C D A B C D E P 侵权必究 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由. 解： 如图，四边形ABCD中，∠A+ ∠C =180°. ∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180 °= 360 °， 因为 ∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C） = 360°－ 180° =180°. 所以 A B C D 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补. 典例精析 例1 侵权必究 【变式题】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形． 证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC， ∴∠CDF+∠EBF=90°， ∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD， ∴∠CDF+∠CFD=90°， 故△DCF为直角三角形． 运用了整体思想 侵权必究 如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和. 四边形的外角和等于多少度？ 解： ∵∠1+∠DAB=180°，∠2+∠ABC=180°， ∠3+∠BCD=180°，∠4+∠ADC=180°， 又∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=4×180°-360°=360°. ∴四边形的外角和为360°. 四边形的外角和等于360º 三 四边形的外角和 例2 侵权必究 三角形具有稳定型，那么四边形呢？用4根木条钉成如图的木框，任意扭转四边形的边，它的形状会发生变化吗？ 侵权必究 我们发现，四边形的边长不变，但它的形状改变了，这 说明四边形具有不稳定性. 图1 图2 图3 在实际生活中，我们经常利用四边形的不稳定性，如上图1中电动伸缩门，图2中的升降机.有时又要克服四边形的不稳定性，例如图3中的栅栏两横梁之间加钉斜木条，构成三角形，这是为了利用三角形的稳定性. 侵权必究 当堂练习 当堂反馈 即学即用 侵权必究 17 1.下列多边形中，不是凸多边形的是（ ） A B C D B 2.把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（ ） A. 六边形 B . 五边形 C.四边形 D.三角形 A 当堂练习 侵权必究 3.请举出日常生活中利用四边形不稳定性的一些例子. 答：折叠衣架，伸缩尺，立体折叠画等. 侵权必究 19 课堂小结 归纳总结 构建脉络 侵权必究 20 四边形 定义 前提条件是在一个平面内 内角和 四边形的内角和等于360° 外角和 四边形的外角和等于360° 课堂小结 侵权必究 21.1.2 多边形及其内角和 第二十一章 四边形 21.1 四边形及多边形 侵权必究 1.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式. （重点） 2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题. （难点） 学习目标 侵权必究 新课导入 教学目标 教学重点 侵权必究 24 观察图中的图片，其中的房屋结构、蜂巢结构等给我们以 由一些线段 围成的图形的形象，你能从图中想象出几个由一些 线段围成的图形吗？ 新课导入 侵权必究 讲授新课 典例精讲 归纳总结 侵权必究 26 多边形定义 平面内，不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接，所得到的封闭图形叫多边形。 多边形以边数命名： 五边形ABCDE或五边形EDCBA A B C D E A B C D E F 讲授新课 一 多边形 侵权必究 多边形按组成它的线段的条数分成三角形、 四 边形、五边形……三角形是最简单的多边形.如果一 个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n 边形.如图,螺母底面的边缘可以设计为六边形，也可 以设计为八边形. 侵权必究 顶点 内角 边 可表示为： 五边形ABCDE或五边形DCBAE A B C D E 外角 ：多边形相邻两边组成的角 内角的邻补角 组成多边形的各条线段 相邻两条边的公共端点 侵权必究 下列说法中，正确的有(　　) (1)三角形是边数最少的多边形； (2)由n条线段连接起来组成的图形叫多边形； (3)n边形有n条边、n个顶点、2n个内角和外角； (4)多边形分为凹多边形和凸多边形． A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 (2)的说法不严密，应点明三点：其一，“不在同一直线上” 的线段；其二，是“平面图形”；其三，“线段首尾顺次连 接”；(3)n边形有n个内角和2n个外角，即外角的个数是内角 个数的2倍．(1)(4)说法正确． 导引： B 例题1 侵权必究 理解多边形的定义需注意： (1)线段必须“不在同一直线上”且条数要不少于3条； (2)必须是“平面图形”； (3)首尾顺次相接． 侵权必究 对于多边形的外角，最准确的表述是(　　) A．内角的邻角 B．与内角有公共顶点的角 C．内角的邻补角 D．内角的对顶角 1 C 练一练 侵权必究 图中的各个图形，是否是多边形？如果是，说出是几边形． 2 解： 图①②④是多边形，图③不是多边形． 其中图①是四边形，图②是五边形， 图④是五边形． 侵权必究 定义 像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形. 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 一 正多边形 侵权必究 想一想：下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？ （四条边都相等） （四个角都相等） 答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等；第二个图形不符合各边都相等. 判断一个多边形是不是正多边形，各边都相等，各角都相等，两个条件必须同时具备. 注意 侵权必究 A B C D E 定义： 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 线段AC是五边形ABCDE的一条对角线，多边形的对角线通常用虚线表示. 注意 三 多边形的对角线 侵权必究 画一画：画出下列多边形的全部对角线. 侵权必究 三角形 六边形 四边形 八边形 …… 五边形 探究：请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数： 多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 八边形 n边形 从同一顶点引出的对角线的条数 分割出的三角形的个数 0 1 2 3 5 n-3 1 2 3 4 6 n-2 侵权必究 从n(n≥3)边形的一个顶点可以作出(n-3)条对角线. 将多边形分成(n-2)个三角形. n(n≥3)边形共有对角线 条. 归纳总结 侵权必究 www.czsx.com.cn 过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线分该多边形所得三角形的个数的和为21，求这个多边形的边数． 解：设这个多边形为n边形，则有(n-3)条对角线，所分得的三角形个数为n-2， ∴n-3+n-2=21， 解得n=13． 答：该多边形的边数有13条． 例题2 侵权必究 多边形 的边数 图 形 从一个顶点引出的对角线条数 分割出的三角形的个数 多边形的 内角和 3 4 5 6 …… …… …… …… …… n (n－2)×180º 4× 180º 2× 180º 3× 180º 1× 180º 0 1 1 2 2 3 3 4 n－3 n－2 三 多边形的内角和 侵权必究 一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n － 3) 条对角线，它们将n边形分为（n － 2)个三角形，n边形 的内角和等于180°×(n － 2). 把一个多边形分成几个三角 形，还有其他分法吗？由新 的分法，能得出多边 形内角 和公式吗？ 侵权必究 一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？ 1 已知正多边形的每个内角都是156°，求这个多边形的边数． 2 解： 设这个多边形的边数为n，则(n－2)×180°＝n×120°，解得n＝6.所以它是六边形． 解： 设这个多边形的边数为n，由题意得(n－2)×180°＝156°×n，解得n＝15，即这个多边形的边数为15. 练一练 侵权必究 若一个多边形的内角和是1 260°， 则这个多边形的边数是________． 设这个多边形的边数为n，由题意知， (n－2)×180°＝1 260°，解得n＝9. 导引： 9 例题3 侵权必究 (1)已知多边形的内角和求边数n的方法：根据多边形内 角和公式列方程：(n－2)×180°＝内角和，解方程 求出n，即得多边形的边数； (2)已知正多边形每个内角的度数k求边数n的方法：根据 多边形内角和公式列方程：(n－2)×180°＝kn，解 方程求出n，即得多边形的边数． 总结归纳 侵权必究 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？ 解：设这个多边形边数为n，则 （n-2）•180=360+720， 解得n=8， ∵这个多边形的每个内角都相等， （8-2）×180°=1080°， ∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°． 例题4 侵权必究 已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°． （1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由； 解：∵360°÷180°=2， 630°÷180°=3......90°， ∴甲的说法对，乙的说法不对， 360°÷180°+2=4． 故甲同学说的边数n是4； 例题5 侵权必究 （2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x． 解：依题意有 （n+x-2）×180°-（n-2）×180°=360°， 解得x=2． 故x的值是2． 侵权必究 【变式题】一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？ 解：设此多边形的内角和为x， 则有1125°＜x＜1125°＋180°， 即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°， 因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数， 所以x＝180°×7＝1260°. 所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°. 因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形． 思路点拨：多边形的内角的度数在0°~180°之间. 侵权必究 如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度数． 解析：根据五边形的内角和等于540°，由∠C,∠D, ∠E的度数可求∠EAB+∠ABC的度数，再根据角平 分线的定义可得∠PAB与∠PBA的角度和，进一步求 得∠P的度数． 可运用了整体思想 例题6 侵权必究 解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°， ∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°. ∵AP平分∠EAB, ∴∠PAB＝ ∠EAB， 同理可得∠ABP＝ ∠ABC， ∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°， ∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA =180°− (∠EAB+∠ABC)=180°− ×230°=65°． 侵权必究 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 用形状、大小完全相同的任意四边形可拼成一块无空隙的地板，你知道这是为什么吗？ 你知道吗？ 侵权必究 如图，从多边形的一个顶点A 出发，沿多边形的各 边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发的方向，一 共转过了多少度呢？ 四 多边形的外角和 侵权必究 如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和． 问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？ 问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？ E B C D 1 2 3 4 5 A 互补 5×180°=900° 侵权必究 E B C D 1 2 3 4 5 A 五边形外角和 =360 ° =5个平角 －五边形内角和 =5×180° －(5－2) × 180° 结论：五边形的外角和等于360°. 问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？ 侵权必究 在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和． n边形外角和 n边形的外角和等于360°. －(n－2) × 180° =360 ° =n个平角-n边形内角和 = n×180 ° An A2 A3 A4 1 2 3 4 n A1 思考：n边形的外角和又是多少呢？ 与边数无关 侵权必究 问题4：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？ 每个内角的度数是 每个外角的度数是 练一练： (1)若一个正多边形的内角是120 °,那么这是正____边形. (2)已知多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是 ______边形. 六 正八 侵权必究 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的 2倍，求这个多边形的边数. 解： 设多边形的边数为n. ∵它的内角和等于 (n－2)•180°， 多边形外角和等于360°， ∴ (n－2)•180°=2× 360º. 解得 n=6. ∴这个多边形的边数为6. 例题7 侵权必究 已知一个多边形的每个内角与外角的比都 是7:2，求这个多边形的边数. 解法一：设这个多边形的内角为7x °,外角为2x°, 根据题意得 7x+2x=180， 解得x=20. 即每个内角是140 °，每个外角是40 °. 360° ÷40 °=9. 答：这个多边形是九边形. 还有其他解法吗？ 例题8 侵权必究 解法二：设这个多边形的边数为n ,根据题意得 解得n=9. 答：这个多边形是九边形. 侵权必究 【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数． 解：设该正多边形的内角是x°，外角是y°， 则得到一个方程组 解得 而任何多边形的外角和是360°， 则该正多边形的边数为360÷120=3， 故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三条． 侵权必究 当堂练习 当堂反馈 即学即用 侵权必究 62 1.判断． (1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.( ) (2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.( ) (3)三角形的外角和与八边形的外角和相等． ( ) 2.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的 每一个内角等于______． 120° 当堂练习 侵权必究 3.九边形的对角线有（ ） A.25条 B.31条 C.27条 D.30条 C 4.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这是 边形. 十三 5.过八边形的一个顶点画对角线，把这个八边形分割成 个三角形. 六 当堂练习 侵权必究 6.一个多边形的内角和不可能是（ ） A.1800° B.540 ° C.720 ° D.810 ° D 7.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形 内角和等于（ ） A.360° B.540 ° C.720 ° D.900 ° B 当堂练习 侵权必究 8.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是________米． 150 当堂练习 侵权必究 9. 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和. 解：∵1800÷180＝10， ∴原多边形边数为10＋2＝12. ∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1， ∴新多边形的边数可能是11，12，13， ∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°. 当堂练习 侵权必究 能力提升：如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数. 解：如图， ∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°. 8 9 当堂练习 侵权必究 课堂小结 归纳总结 构建脉络 侵权必究 69 多边形及其内角和 内角和计算公式 (n-2) × 180 °(n ≥3的整数） 外角和 多边形的外角和等于360° 特别注意：与边数无关. 正多 边形 内角= ，外角= 课堂小结 侵权必究 Thanks 侵权必究 侵权必究 71 $