2025-2026学年沪教版七年级数学下册期末考试高频易错题综合复习卷一

**基本信息** 聚焦七年级下册高频易错点，以代数推理与几何直观为核心，通过分类讨论、辅助线构造等方法体系，系统衔接概念原理与综合应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数综合|选择1-2、填空7-9|不等式性质应用、分式方程增根检验|从概念辨析到实际问题建模，强化符号意识与运算能力| |几何性质|选择3-6、填空10-14|三角形中线/高性质、平移性质应用|以三角形全等为核心，构建"性质-判定-计算"逻辑链，发展几何直观| |动态探究|解答25-26|动点问题分类讨论、辅助线构造|结合对称与运动，培养空间观念与推理意识，衔接综合应用|

2025-2026学年沪教版七年级数学下册期末考试高频易错题综合复习卷一 一、选择题 1．下列不等式变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 2．把若干支钢笔分给班级同学，若每人分支，剩余支；若每人分支，则最后一名同学也分到了钢笔，但钢笔数量不足支．设班级共有名学生，据此列出不等式组为（     ） A． B． C． D． 3．如图，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，，分别是的高和中线，已知，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．如图，在中，，，，，则点到边的距离是（     ） A． B． C． D． 6．如果一个等腰三角形的两边分别为3和7，那么这个三角形的周长是（ ） A．13 B．15 C．19 D．17 二、填空题 7．数学家曾提出快速估算两个正分数的平均数的方法，即：已知a，b，c，d都是正整数，如果，那么，例如：，那么．若，且p为整数，则________． 8．写出一个使分式的值大于1的x值：________． 9．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程 的解为正数，则符合条件的所有整数的值为_______． 10．如图，直线，相交于，于，若，则___________度． 11．如图，在三角形中，，将周长为12的三角形沿方向平移2个单位得到三角形，连接，则下列结论：①，；②；③四边形的周长是18；④，其中正确的有______（填序号） 12．如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则___． 13．若，和分别是对应边和的高，且的面积是6，，则_______________． 14．如图，在中，、分别平分和，过点O作，分别交边、于点D和点E，如果，那么______ ． 15．如图，在四边形中，，，E是中点．点P在线段上以的速度由B向C单向运动的同时，点Q在线段上匀速由C向D单向运动．为使与在两点运动过程中全等，点Q的速度应为________________ ． 16．已知等腰三角形的底边长为，一边的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长，那么三角形的腰长为________． 17．如图，在中，平分交于点，过点作，交的延长线于点，且，．若，，则的长为_________． 18．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，交于点，连接，若，的周长为6，则的值为_____． 三、解答题 19．按要求完成各题： （1）解方程：； （2）解不等式：． 20．如图，点、分别在、上，于点，，与互余，求证：． 21．某商场推出两种优惠方案． 方案一：购买商品一律按标价的九折优惠； 方案二：若购物金额满500元，则超出500元的部分按八折优惠． （1）若顾客购买标价为800元的商品，选择哪种方案更划算？请通过计算说明． （2）设顾客购买商品的标价为x元（），分别用含x的代数式表示两种方案下顾客需要支付的金额，然后分析当x满足什么条件时，方案二更优惠． 22．如图，在中，在上，在上，，在上，连接，，，已知，平分，且． （1）请证明：； （2）若，求的度数． 23．直线、相交于点O，平分． （1）如图1，若，则的度数为______； （2）如图2，，且，求的度数． 24．已知直线、，点A、B为分别在直线、上，点C为平面内一点，连接、，且． （1）求证：； （2）如图2，射线、分别平分和，交直线于点E，与内部的一条射线交于点D，若，求的度数． 25．如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；动点Q同时从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，交于点D，点D关于的对称点为E，连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： （1）的长为______；（用含t的代数式表示） （2）当点B在线段的垂直平分线上时，求t的值； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； 26．综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境：已知，在中，，，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，，连接，． 实践探究： （1）如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系：①________，②________； （2）如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； （3）拓展应用：“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，点在射线上运动的过程中，如果，，请直接写出线段的长． 参考答案 1．A 【分析】根据不等式的基本性质，对每个选项逐一判断，即可得到正确结果． 【详解】解：对于选项A，∵，不等式两边同乘正数，不等号方向不变，∴，不等式两边再同减，不等号方向不变，∴，选项A变形正确． 对于选项B，∵，不等式两边同乘负数，不等号方向改变，∴，选项B变形错误． 对于选项C，由，仅能推出时，但无法推出，选项C变形错误． 对于选项D，举例：当时，满足，但，因此无法推出，选项D变形错误． 2．A 【分析】先根据题意得到钢笔总数，再表示出最后一名同学分得的钢笔数量，结合数量范围列出不等式组即可. 【详解】解：班级共有名学生，每人分支剩余支， 钢笔总数为支， 若每人分支，只有最后一名同学分得的数量不足支，则前名同学共分得支， 最后一名同学分得的钢笔数量为支， 最后一名同学分到钢笔数量大于，且不足支， ． 3．A 【分析】根据同位角相等，两直线平行可得，再根据两直线平行，同位角相等可得的补角的度数，进而可以求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴的补角为， ∴． 4．C 【分析】根据三角形中线的性质求出的面积，再根据面积公式求出即可． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∵， 即， ∴． 5．C 【分析】作，根据即可求出点到边的距离． 【详解】解：作，如图， ， ， ． 6．D 【分析】题目未明确腰和底，需要分情况讨论，再验证能否构成三角形，舍去不符合题意的情况后再计算周长． 【详解】解：①若3为腰长，7为底边长， ∵ ，不满足三角形三边关系， ∴ 该三角形不存在，舍去这种情况； ②若7为腰长，3为底边长， ∵ ，，满足三角形三边关系， ∴ 这个三角形的周长为． 7．4 【分析】根据题意直接求解即可． 【详解】解：∵，即， ． 8．4（答案不唯一） 【分析】先对不等式变形求解，得到的取值范围，再在取值范围内写出一个符合要求的值即可． 【详解】解：由题意得 ， 移项得 ， 通分计算得 ， 化简得 ， 所以 ，解得 ． 取，满足条件． 9． ， 【分析】先解不等式组得到的范围，再解分式方程，结合解为正数且不为增根确定的最终范围，即可得到符合条件的整数． 【详解】解：， 解不等式①得：， 不等式组无解， ， 整理分式方程 ， 得， 两边同乘 得：， 解得： ， 分式方程的解为正数，且分母不为， 且， 解得： 且， 综上可得，，且， ∴符合条件的所有整数的值为，1． 10． 【分析】根据垂直的定义得出，进而根据对顶角相等，根据解答即可． 【详解】解：， ， 直线，相交于点， ， ， ． 11． ①②④ 【分析】根据平移的性质：平移前后的图形对应线段平行且相等，对应点所连的线段平行且相等，利用这些性质结合已知条件和三角形周长数据，对四个结论逐一进行判定即可； 【详解】解：∵平移得到， 对于①，与是对应边，根据平移性质可得，，故①正确； 对于②，与是对应边，根据平移性质可得， ，即， ，故②正确； 对于③，平移距离为2，即， 四边形的周长 ， 的周长为12，即， 四边形的周长，故③错误； 对于④，由平移性质得， ，， ，故④正确； 综上所述，正确的结论有①②④． 12．6 【分析】根据三角形中线的定义可得，根据三角形周长公式表示的周长，得到，再根据三角形周长公式表示的周长，即可求出的长． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长是，， ∴， ∴， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴． 13． 【分析】根据全等三角形对应边上的高相等，可得，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：，和分别是对应边和的高， ， ， ． 14．/度 【详解】先由角平分线的定义与三角形内角和定理求得，再根据平行线的性质得出，即可求解． 【分析】解：由条件可知 ， ， ， 平分， ∴ ， ∵， ∴， ． 15．或 【分析】设运动时间为，点Q的速度为，根据线段的中点可得：再根据题意可得：，，从而可得，然后分两种情况：当时；当时，从而分别进行计算即可解答． 【详解】解：设运动时间为，点Q的速度为， ∵E是中点， ∴， 由题意得：，， ∵， ∴， ∵， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴， 解得：； 当时， ∴， ∴， 解得：，； 综上所述：为使与在两点运动过程中全等，点Q的速度应为或． 16．或 【分析】设，则，根据题意，得，得，根据一部分比另一部分长，建立方程求解即可； 【详解】解：根据题意，得， 当时，根据题意，得分成的两部分为，与其中一部分比另一部分长，不一致，不符合题意； 当时，根据题意，得分成的两部分为， 设，则， 根据题意，得， 故， 由其中一部分比另一部分长， 故或， 解得或， 故三角形的腰长为或． 17． 【分析】先利用等腰三角形内角求出角度，再结合平行线、角平分线以及三角形内角和推出是等腰三角形，代入边长计算即可． 【详解】解：∵，， ， ， ， ，， ， 平分， ， ， ∵，， ，， ， ． 18．4 【分析】由尺规作图可知直线是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得，进而将的周长转化为，代入数据即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线， ， 的周长为， ， ， 即， ， ， ． 19．（1） （2） 【详解】（1）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：不等式两边同乘以2，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 20．见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，三角形内角和定理，互余的定义，平行线的证明与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据，推出，根据与互余，以及，推出，从而得到，再根据平行线的性质，得到． 【详解】证明： 与互余 21．（1）选择方案一更划算，理由见解析 （2）方案一：；方案二：；当时，方案二更优惠 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用、列代数式、解一元一次不等式等知识点，读懂题目信息，理解两种优惠方法是解题的关键． （1）分别按“方案一”和“方案二”求得所需要的金额，然后再比较即可； （2）先列出方案一：需支付元，方案二：需支付（元），再根据方案二更优惠得，解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：方案一：按标价的九折优惠，购买标价为800元的商品需支付（元）， 方案二：购物金额满500元，超出部分为（元）， 这部分按八折优惠，则需支付（元）； 因为， 所以选择方案一更划算； （2）解：设顾客购买商品的标价为x元（）， 方案一：需支付元； 方案二：需支付（元）； 若方案二更优惠，则， 移项可得：， 即， 解得， 所以当时，方案二更优惠． 22．（1）见解析 （2） 【分析】（1）根据平行线的性质得到，等量代换得到，即可证明； （2）根据平行线的性质得到，等量代换得到，求出，根据角平分线的定义即可得到的度数． 【详解】（1）证明：， （两直线平行，同位角相等）， ， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）； （2）解：， （两直线平行，同位角相等）， ， ， ， ， 平分， ． 23．（1） （2） 【分析】本题考查角平分线的定义、垂直定义、几何图形中的角度计算，找到角之间的数量关系是解答的关键． （1）先根据角平分线的定义求得，然后利用平角定义求解即可； （2）设，，根据角平分线的定义及垂直定义列方程求得，则可得，进而利用平角定义求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴可设，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴． 24．（1）见解析 （2） 【分析】（1）过作，证明，从而得到； （2）连接并延长交于点，由已知可以得到，再由及平角的意义可以得到解答． 【详解】（1）证明：过作，如图所示， ， ， ， ， ， ； （2）如图所示，连接并延长交于点， ∵射线、分别平分和， ∴，， ∵ ，，， ∴， 而， ， ， 与（1）同理可得：， ， ， 即， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的应用，平行线的判定和性质，平行公理，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的判定和性质及利用辅助线解题是解题关键． 25．（1） （2） （3）存在， 【分析】（1）根据动点运动情况，得到，作差即可得到； （2）当点B在线段的垂直平分线上时，，列方程求解即可； （3）连接，由对称可知，再借助，可知，故可以得出，进而推出，再利用垂直关系和等腰三角形三线合一的性质，由此得到此时点P是的中点，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：由题意，得， ∵点B在线段的垂直平分线上， ∴，即， 解得； （3）解：存在， 如图，连接， 由对称的性质，可知， 当，则， ∴， ∴， 又， ∴，即， 解得． 26．（1）①；② （2）成立，理由见解析 （3）或 【分析】（1）通过证明，可推出，再根据和推出； （2）当点在延长线上时，通过证明，传递边与角的等量关系，可验证（1）的结论依然成立； （3）分点在线段上和延长线上两种情况，结合前两题的全等三角形结论，分别计算出． 【详解】（1）解：，即，，即， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即． （2）解：成立，理由如下： ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即． （3）解：当点在上时， 由（1）可知， ，， ， ； 当点在延长线上时， 由（2）可知， ，， ， ， 综上，或． 学科网（北京）股份有限公司 $