专题02 相交线与平行线（暑假复习讲义）新八年级数学新教材沪教版五四制

专题02 相交线与平行线 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 对顶角、邻补角 题型2 垂线 题型3 点到直线的距离 题型4 同位角、内错角、同旁内角 题型5 平行线的判定 题型6 平行线的性质 题型7 平行线的判定与性质 题型8 命题与定理 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 对顶角、邻补角的性质与角度计算 2. 垂线的性质及点到直线的距离 3. 同位角、内错角、同旁内角的识别 4. 平行线的判定定理5. 平行线的性质定理6. 平行线的判定与性质综合应用 7. 命题、定理与证明 1. 对顶角与邻补角：结合相交线、角平分线、垂线求角度，选择填空基础题高频 2. 垂线相关：考查 “过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”“垂线段最短”，以及点到直线距离的概念辨析 3. 三线八角：在复杂图形中识别三类角，是平行线判定的核心基础，常以选择题形式考查 4. 平行线判定：根据角的数量关系判定两直线平行，常结合角平分线、对顶角、邻补角进行角的转化 5. 平行线性质：利用 “两直线平行，同位角 / 内错角相等，同旁内角互补” 求角度，是几何计算的基础工具 6. 判定与性质综合：先判定平行，再利用性质求角或证明角相等 / 互补，是基础几何证明题的必考题型7. 命题与定理：判断命题真假，区分命题的题设与结论，多以概念辨析类选择题出现 考情解码：本专题是初中平面几何的入门核心，是几何逻辑推理与证明的起点，承接线段、角的初步知识，为后续三角形、四边形、相似、圆等所有几何模块奠定推理基础。易错点集中在复杂图形中三线八角的识别、平行线判定与性质的混淆、“垂线段最短” 与 “点到直线距离” 的概念区分。近年考题常结合角平分线、图形折叠、平移变换等模型综合考查，侧重基础逻辑推理能力和几何证明语言的规范表达。 知识点一 相交线 1.相交线 （1）经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单地说：两点确定一条直线． （2）当两条直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，或称它们是相交直线．这个公共点叫作它们的交点． 【特别提醒】 两条直线相交，只有一个交点． 2.对顶角 （1）对顶角的概念：有公共顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线的两个角叫作对顶角．如图所示，直线 AB与CD相交于点和是对顶角，和是对顶角． （2）对顶角的性质：对顶角相等． 如图所示，由 ，可得 ，即对顶角相等． 注意：对顶角一定相等,但相等的角不一定是对顶角. （3）（补充）邻补角的概念 如图，和有公共顶点，有公共的一边，只有一条边互为反向延长线，这样的两个角叫做邻补角，它们的度数和是． 3.垂线 （1）夹角:两条直线相交形成四个小于平角的角,其中不大于直角的那个角叫作这两条直线的夹角. 【提示】两条直线相交的位置特征,可以通过两条直线的夹角来描述. （2）垂线:如果两条相交直线的夹角为直角,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫作另一条直线的垂线,它们的交点叫作垂足. 【巧记】(已知垂直得直角,已知直角得垂直） （3）垂直的记法与读法:垂直用符号“⊥”表示,两条直线AB与CD互相垂直,记作AB⊥CD,读作“AB 垂直于 CD” （4）垂线的画法:给定直线l和点P,要求过点P画已知直线l的线,如图1,将三角尺的一条直角边紧靠直线l,另一直角边经过点P,沿着这条边画直线,它就是直线l的垂线,如图2.如果点P在直线l上,同样也可以画出直线l的垂线. 【特别提醒】 (1)在画垂线时,要标记垂直符号.(2)过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在的直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上. （5）垂线的数量:在同一平面上,经过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线. 【易混易错提醒】 垂线、垂线段的辨析 垂线是直线，无法度量长度;垂线段是线段，可以度量长度. 4.垂线段 点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段长度,叫作点到直线的距离如果一个点在直线l上,那么就说这个点到直线l的距离为零. 【补充说明】 （1）在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短. （2）垂线段是一条线段，是图形;点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，有单位. 即时即练如图，已知，垂足为O，若，则直线与的夹角为______．    【答案】40 【分析】由垂直的定义可求得，再利用对顶角可求得答案． 【详解】解：， ， ， 即直线与的夹角为， 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查垂直的定义和对顶角的性质，由垂直的定义求得是解题的关键． 知识点二 三线八角 1.平行线公理 定义:在同一平面上不相交的两条直线叫作平行线. 平行用符号“//”表示.如果直线和直线是平行线,那么也称它们互相平行,记作“//”,读作“平行于”. 【特别提醒】 （1）关于平行线的定义,应特别注意“在同一平面内”这个条件,因为在空间里,还存在两条直线既不相交,也不平行的情况（异面），想象立交桥,而在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:相交和平行. （2）平行线概念中的“不相交”是指直线，而不是线段或射线. （3）线段(或射线)平行，是指线段(或射线)所在的直线平行. （4）判断同一平面内两条直线的位置关系时，可根据它们的公共点的个数来确定. 2.平行线的画法 画法:(1)将三角板的一边紧靠直线,将直尺紧靠三角板的另一边,如图1所示; (2) 沿直尺推动三角板,使三角板紧靠直线的一边(边)经过点,如图2所示; (3)沿三角板的这条经过点的边,画直线,如图3所示.直线就是所要画的直线,如图4所示. 【注意】(1)过直线上一点，不能画该直线的平行线:(2)借助直尺和三角尺画平行线时，必须保持“紧靠”，否则画出的直线不平行;(3)画线段或射线的平行线指的是画它们所在直线的平行线. 经过直线外的一点,有且只有一条直线与该直线平行. 【特别提醒】 (1)在叙述时，一定要强调“直线外一点”，否则不存在平行线. (2)“有且只有”中的“有’表示存在性,“只有”表示唯一性. (3)基本事实是过直线外一点画这条直线的平行线的依据. (4)平行线基本事实的推论表述了平行线的传递性，推论中不用强调“在同一平面内” 平行公理的推论:在同一个平面上,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. （补充）反证法 证明步骤：(1)先假设求证的结论是错误的;(2)由此推导出与已知定义、公理、定理或条件等相矛盾的结果;(3)从而否定开始的假设,肯定先前求证的结论的正确性. 3.三线八角 如图,直线与相交(也可以说两条直线被第三条直线所截),构成了个角，简称“三线八角”. （1）同位角、内错角、同旁内角 名称 定义 图形的结构特征 图示 同 位 角 ∠1与∠5都在第三条直线的同旁，并且分别位于直线的同一侧，这样的一对角叫做同位角. (1)在截线同侧； (2)在两条被截直线同侧； (3)形如字母“F” (或倒置、反置、旋转) 直线被直线所截 内 错 角 ∠3与∠5分别位于第三条直线异侧，且都在直线之间，这样的一对角叫做内错角. (1)在被截两直线之间； (2)在截线的异侧； (3)形如字母“Z” (或倒置、反置、旋转) 同 旁 内 角 ∠3与∠6在直线同旁且在直线之间，这样的一对角叫做同旁内角. (1)在被截两直线之间； (2)在截线同旁； (3)形如字母“U” (或倒置、反置、旋转) 注意： (1)同位角、内错角、同旁内角指的都是位置关系，而不是大小关系. (2)这三类角都是两条直线被第三条直线所截形成的，要分清截线和被截线 (3)两条直线被第三条直线所截形成的8个角中共有4对同位角、2对内错角、2对同旁内角. （2）手势表示 同位角、内错角、同旁内角也可以用手势表示出来(两大拇指代表两条被截直线，食指代表截线),如图所示，采用不同的手势，分别得到同位角、内错角、同旁内角. ①根据手势识别同位角(两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线) ②根据手势识别内错角(两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线) ③根据手势识别同旁内角(两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线) 即时即练如图，，，用和表示，_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，作，，则，由平行线的性质可得，，，再结合几何图形分析即可得解，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，作，， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点三 平行公理的判定 1.平行线的判定 （1）两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单地说同位角相等,两直线平行 符号语言 示意图 因为 ， 所以 （同位角相等，两直线平行） （2）两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行,简单地说内错角相等,两直线平行 符号语言 示意图 因为 ， 所以 （内错角相等，两直线平行） （3）两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.,简单地说:同旁内角互补,两直线平行. 符号语言 示意图 因为 ， 所以 （同旁内角互补，两直线平行） 【提示】 (1)三种判定方法的共同的前提条件是“两条直线被第三条直线所截”，共同的结论是“两直线平行”(2)这三种判定方法都是根据角之间的数量关系来判断直线之间的位置关系.(3)判定两直线平行,还可用平行线的概念、平行线的基本事实的推论及拓展中补充的方法来进行. 即时即练如图，下列条件中：①；②；③；④．则一定能判定的条件有________．（请填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练应用平行线的判定方法是解题的关键．根据平行线的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故①符合题意； ∵， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意． 故答案为：①③④． 知识点四 平行公理的性质 性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。简单地说：两直线平行，同位角相等。 性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。简单地说：两直线平行，内错角相等。 性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单地说：两直线平行，同旁内角互补。 即时即练如图，直线，被直线所截，若，，，则_____度．    【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 由对顶角相等求得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，    故答案为：80． 知识点五 命题与证明 1.命题 命题、真命题、假命题：判断一件事情的语句叫作命题。正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题。数学命题通常由条件、结论两部分组成。命题常可以写成“如果……，那么……”的形式，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论。 逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另外一个命题叫作它的逆命题。 原命题是真命题时，其逆命题不一定是真命题。 2.证明 证明一个命题，一般可按“已知”“求证”“证明”的顺序，其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”是完整的推理过程。 在初中平面几何中，一般按如下的步骤： （1）根据题意画出示意的图形； （2）根据条件和结论，参照图形，写出“已知”和“求证”； （3）写出由已知推出结论的完整过程。 要判定一个命题是假命题，有时只需举出一个例子，它符合命题的条件但不满足命题的结论。这样的例子通常称为反例。 即时即练下列说法中错误的个数是（    ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行 （2）不相交的两条直线叫做平行线 （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种 （4）相等的角是对顶角 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行公理，平行线的定义，对顶角与邻补角，是基础题，熟练掌握定义与性质是解题的关键．根据平行公理，平行线的定义，对顶角与邻补角，逐一分析作出判断． 【详解】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．故说法错误； （2）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．故说法错误； （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种，故说法正确； （4）相等的角不一定是对顶角，故说法错误． 故选：C． 题型1 对顶角、邻补角 例1．下面的四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，由此判断即可． 【详解】解：A、∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意； B、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； C、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； D、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键． 例2．下列选项中，与是对顶角的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了对顶角的概念．根据对顶角的概念可知，互为对顶角的两个角的两边应互为反向延长线，从而可判定满足条件的选项． 【详解】解：A. 与不是对顶角； B. 与不是对顶角； C. 与不是对顶角； D. 与是对顶角． 故选：D． 【技巧总结】 邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 【变式训练1-1】如图，直线CD、EF相交于点O，若∠COF＝95°，那么直线CD与EF的夹角大小为　 　 ． 【答案】85° 【分析】根据邻补角互补进行计算即可． 【详解】解：∵∠COF＝95°， ∴∠DOF＝180°﹣95°＝85°， ∴直线CD与EF的夹角大小为85°， 故答案为：85°． 【点评】此题主要考查了邻补角，关键是掌握邻补角互补． 【变式训练1-2】如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠BOE＝65°，∠AOD＝　 　 °． 【答案】130． 【分析】根据角平分线的定义求出∠BOC的度数，再根据对顶角相等求出∠AOD的度数即可． 【详解】解：∵OE平分∠BOC，∠BOE＝65°， ∴∠BOC＝2∠BOE＝2×65°＝130°， ∴∠AOD＝∠BOC＝130°， 故答案为：130． 【点评】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，熟练掌握对顶角相等、角平分线的定义是解题的关键． 【变式训练1-3】如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF＝90°． （1）若∠BOE＝70°，求∠AOF的度数； （2）若∠BOD：∠BOE＝1：2，求∠AOF的度数． 【答案】（1）50°； （2）54°． 【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠BOC的度数，根据邻补角的性质求出∠AOC的度数，根据余角的概念计算即可； （2）根据角平分线的定义和邻补角的性质计算即可． 【详解】解：（1）∵OE平分∠BOC，∠BOE＝70°， ∴∠BOC＝2∠BOE＝140°， ∴∠AOC＝180°﹣140°＝40°，又∠COF＝90°， ∴∠AOF＝90°﹣40°＝50°； （2）∵∠BOD：∠BOE＝1：2，OE平分∠BOC， ∴∠BOD：∠BOE：∠EOC＝1：2：2，∠BOD+∠BOE+∠EOC＝180°， ∴∠BOD＝36°， ∴∠AOC＝36°， 又∵∠COF＝90°， ∴∠AOF＝90°﹣36°＝54°． 【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的性质以及角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键． 题型2 垂线 例3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥OC．若∠AOC＝31°，则∠EOB的大小为　 　 °． 【答案】59． 【分析】由垂直的定义得∠COE＝90°，然后结合平角即可求解． 【详解】解：∵OE⊥OC， ∴∠COE＝90°（垂直的定义）， ∵∠AOC＝31°， ∴∠EOB＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣31°﹣90°＝59°． 故答案为：59． 【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，熟练掌握知识点是解题的关键． 例4．如图，BO⊥AO，∠BOC与∠AOC的度数之比为1：5，则∠BOC＝　 　 °． 【答案】15． 【分析】由垂直的定义得∠BOA＝90°，结合∠BOC与∠AOC的度数比即可求解． 【详解】解：∵BO⊥AO，∠BOC与∠AOC的度数之比为1：5，∠BOC+∠AOC＝∠BOA， ∴∠BOA＝90°， ∴． 故答案为：15． 【点评】本题考查的是垂线，熟知当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直是解题的关键． 【易错警示】 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 【变式训练2-1】如图，AB、DE交于点G，CG⊥DE，垂足为G，∠BGC＝52°，则∠AGD＝　 　 °． 【答案】142． 【分析】根据垂线的定义得出∠DGC＝90°，即可求出∠DGB的度数，再根据邻补角互补即可求出∠AGD的度数． 【详解】解：∵CG⊥DE， ∴∠DGC＝90°， ∵∠BGC＝52°， ∴∠DGB＝90°﹣52°＝38°， ∴∠AGD＝180°﹣∠DGB＝180°﹣38°＝142°， 故答案为：142． 【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据图形得出角之间的关系是解题的关键． 【变式训练2-2】如图，若∠BOC＝44°，BO⊥DE，垂足为O，则∠AOD＝　 　 度． 【答案】46 【分析】本题需先根据已知条件和所给的图形，列出所要求的式子，即可求出答案． 【详解】解：∵∠BOC＝44°，BO⊥DE， ∴∠AOD＝180°﹣44°﹣90°＝46°． 故答案为：46°． 【点评】本题主要考查了垂线，在解题时要根据已知有条件，再结合图形列出式子是本题的关键． 【变式训练2-3】如图，直线AB，CD相交于点O，MO⊥AB，垂足为O，若∠1＝35°，求∠AOD的度数． 【答案】∠AOD＝125°． 【分析】根据MO⊥AB得到∠MOB＝90°，结合∠1＝35°得到∠COB＝90°+35°＝125°，最后根据对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：直线AB，CD相交于点O，MO⊥AB，垂足为O， ∵MO⊥AB， ∴∠MOB＝90°， ∵∠1＝35°， ∴∠COB＝90°+35°＝125°， ∴∠AOD＝∠COB＝125°． 【点评】本题考查垂线，正确进行计算是解题关键． 题型3 点到直线的距离 例5．如图，点A，B在直线l上，点P在直线l外，连接PA，PB，若PA＝3，PB＝5，则点P到直线l的距离可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故点P到直线l的距离小于3． 【详解】解：∵直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，且垂线段最短， ∴P到直线l的距离小于3， ∴点P到直线l的距离可能是2． 故选：A． 【点评】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 例6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，且AD⊥BC于点D，∠B＝35°，那么下列说法中错误的是（　　） A．直线AB与直线BC的夹角为35° B．直线AC与直线AD的夹角为55° C．点C到直线AD的距离是线段CD的长 D．点B到直线AC的距离是线段AB的长 【答案】B 【分析】根据角的概念以及点到直线的距离的概念进行判断，直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 【详解】解：A、∵∠B＝35°，∴直线AB与直线BC的夹角为35°，故（A）正确； B、∵∠BAC＝90°，且AD⊥BC，∴∠CAD＝∠B＝35°，故直线AC与直线AD的夹角为35°，故（B）错误； C、∵CD⊥AD于D，∴点C到直线AD的距离是线段CD的长，故（C）正确； D、∵BA⊥AC于A，∴点B到直线AC的距离是线段AB的长，故（D）正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查了点到直线的距离，解题时注意：点到直线的距离是垂线段的长度，而不是垂线段． 【技巧总结】 点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 【变式训练3-1】如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，AB＝8，AC＝10，则点B到AC的距离是 　 　 ． 【答案】4.8． 【分析】过点B作BD⊥AC交AC于点D，则BD为点B到AC的距离，根据三角形的面积公式求出BD即可． 【详解】解：过点B作BD⊥AC交AC于点D，则BD为点B到AC的距离． ∵∠B＝90°，BC＝6，AB＝8，AC＝10， ∴SRt△ABCAB•BCAC•BD， ∴BD4.8， ∴点B到AC的距离是4.8． 故答案为：4.8． 【点评】本题考查点到直线的距离，掌握其定义是解题的关键． 【变式训练3-2】如图，△ABC中，CD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是C、E，那么点C到线段AB的距离是线段CE 的长度． 【答案】CE 【分析】根据点到直线的距离的定义，找出点C到AB的垂线段即可． 【详解】解：如图，∵CE⊥AB，垂足是E， ∴点C到线段AB的距离是线段CE的长度． 故答案为：CE． 【点评】本题考查了点到直线的距离的定义，点到直线的距离就是这个点到这条直线的垂线段的长度． 【变式训练3-3】如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，，则点到直线的距离是_________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴点到直线的距离是． 题型4 同位角、内错角、同旁内角 例7．如图，下列说法错误的是（　　） A．∠2与∠4是同位角 B．∠2与∠3是同旁内角 C．∠1与∠2是内错角 D．∠1与∠A是内错角 【答案】C 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断． 【详解】解：A、B、D中的说法正确，故ABD不符合题意； C、∠1与∠2不是内错角，故C符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角，关键是掌握同位角、内错角、同旁内角的定义． 例8．下列各图中，∠1与∠2是同位角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需先根据同位角的定义进行筛选，即可得出答案． 【详解】解：A、∵根据同位角的定义得： ∠1与∠2不是同位角， 故本选项错误； B、∵根据同位角的定义得： ∠1与∠2是同位角， 故本选项正确； C、∵根据同位角的定义得： ∠1与∠2不是同位角， 故本选项错误； 、∵根据同位角的定义得： ∠1与∠2不是同位角， 故本选项错误． 故选：B． 【点评】本题主要考查了同位角，在解题时要根据同位角的定义进行筛选是本题的关键． 【技巧总结】 三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 【变式训练4-1】下列说法中正确的是（　　） A．同位角相等 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．直线外一点到已知直线引垂线，这个点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可判断A、D；根据垂线的性质可判断B；根据点到直线的距离的定义可判断C． 【详解】解：A、根据平行线的性质可得：两直线平行，同位角相等，该选项错误，不符合题意； B、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该选项正确，符合题意； C、直线外一点到已知直线引垂线，这个点和垂足之间的垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离，该选项错误，不符合题意； D、根据平行线的性质可得：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，该选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查同位角，内错角，同旁内角，正确记忆相关知识点是解题关键． 【变式训练4-2】如图，不是∠B的同旁内角的是（　　） A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠BCD 【答案】C 【分析】观察图形，根据同旁内角、内错角和同位角的定义，对各个选项中的角与∠B的关系进行判断即可． 【详解】解：A．∵观察图形可知：∠1和∠B是同旁内角，∴此选项不符合题意； B．∵观察图形可知：∠2和∠B是同旁内角，∴此选项不符合题意； C．∵观察图形可知：∠3和∠B不是同旁内角，也不是内错角，也不是同位角，∴此选项符合题意； D．∵观察图形可知：∠BCD和∠B是同旁内角，∴此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了同位角、内错角和同旁内角，解题关键是正确识别图形，能够能够准确判断同位角、内错角和同旁内角． 【变式训练4-3】如图，下列说法中不正确的是（　　） A．∠1与∠3是直线AB、FC被直线DE所截得的内错角 B．∠1与∠4是直线AB、FC被直线DE所截得的同位角 C．∠1与∠2是直线AB、FC被直线DE所截得的同旁内角 D．∠B与∠C是直线AB、FC被直线BC所截得的同旁内角 【答案】B 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，结合图形逐一判断各选项即可． 【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的定义，结合图形逐一判断各选项可得： A、∵∠1与∠3在直线AB，FC之间，且在直线DE两侧，∴∠1与∠3是内错角，原说法正确，不符合题意； B、∵∠1在直线DE上方，∠4在直线DE下方， ∴∠1与∠4不是同位角，原说法不正确，符合题意； C、∵∠1与∠2在直线AB，FC之间，且在直线DE同旁， ∴∠1与∠2是同旁内角，原说法正确，不符合题意； D、∵∠B与∠C在直线AB，FC之间，且在直线BC同旁， ∴∠B与∠C是同旁内角，原说法正确，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查同位角，内错角，同旁内角，正确记忆相关知识点是解题关键． 题型5 平行线的判定 例9．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（　　） A．∠3＝∠A B．∠1＝∠2 C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180° 【答案】B 【分析】根据平行线的判定分别进行分析可得答案． 【详解】解：A、∠3＝∠A，无法得到，AB∥CD，故此选项错误； B、∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行可得：AB∥CD，故此选项正确； C、∠D＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项错误； D、∠D+∠ACD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项错误； 故选：B． 【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理． 例10．小明将两块相同的直角三角尺如图摆放画出了平行线，其依据是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】B 【分析】由内错角相等，两直线平行，即可得到答案． 【详解】解：图形得到：由内错角相等，两直线平行画出了平行线， 故选：B． 【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握内错角相等，两直线平行． 【技巧总结】 常考定理： （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． 易错易混： （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 【变式训练5-1】如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠4 B．∠2＝∠3 C．∠2＝∠5 D．∠4＝∠5 【答案】A 【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：∵∠1＝∠4， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）， 故A符合题意； ∵∠2＝∠3， ∴AC∥BD（内错角相等，两直线平行）， 故B不符合题意； 由∠2＝∠5，不能判定AB∥CD， 故C不符合题意； 由∠4＝∠5，不能判定AB∥CD， 故D不符合题意； 故选：A． 【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 【变式训练5-2】如图，下列条件中： ①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5； 则一定能判定AB∥CD的条件有　 　 （填写所有正确的序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据平行线的判定方法：同旁内角互补，两直线平行可得①能判定AB∥CD； 根据内错角相等，两直线平行可得③能判定AB∥CD； 根据同位角相等，两直线平行可得④能判定AB∥CD． 【详解】解：①∵∠B+∠BCD＝180°， ∴AB∥CD； ②∵∠1＝∠2， ∴AD∥CB； ③∵∠3＝∠4， ∴AB∥CD； ④∵∠B＝∠5， ∴AB∥CD， 故答案为：①③④． 【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是熟练掌握平行线的判定定理． 【变式训练5-3】如图，已知三角形，点在的延长线上，是的平分线，若，求证： （请把证明过程补充完整） 点在延长线上 ___________ （　　） ___________ ______________________ ___________ 是的平分线 ___________ ___________ （　　） 【答案】见解析 【详解】证明：点在延长线上 （三角形内角和定理） 是的平分线 （同位角相等，两直线平行） 题型6 平行线的性质 例11．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当的半径画弧，分别交直线l1、l2于点B、C两点，连接AC、BC，若∠ABC＝58°，则∠1的大小为（　　） A．54° B．58° C．64° D．68° 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出∠2的度数，再由作图可知AC＝AB，根据等边对等角得出∠ACB的度数，最后用180°减去∠2与∠ACB即可得到结果． 【详解】解：如图， ∵l1∥l2，∠ABC＝58°， ∴∠2＝∠ABC＝58°， ∵以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点， ∴AC＝AB， ∴∠ACB＝∠ABC＝58°， ∵∠1+∠ACB+∠2＝180°， ∴∠1＝180°﹣∠ACB﹣∠2＝180°﹣58°﹣58°＝64°． 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定，解题的关键是要根据作图过程得到AC＝AB． 例12．如图，已知AB∥CD，则下列关系式一定成立的是（　　） A．α+β+γ＝180° B．α+β+2γ＝180° C．α﹣β+γ＝0° D．α+β﹣γ＝0° 【答案】D 【分析】根据平行线的性质可知γ＝∠AFE，再根据三角形外角的性质得∠AFE＝α+β，即可得可得α+β﹣γ＝0°． 【详解】解：如图， ∵AB∥CD， ∴∠CDE＝∠AFE＝γ， ∵∠AFE＝α+β， ∴γ＝α+β， ∴α+β﹣γ＝0°． 故选：D． 【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是根据图形利用平行线的性质和三角形外角的性质进行角的转化和角的计算． 【技巧总结】 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 【变式训练6-1】如图，直线a、b被直线c所截，如果a∥b，∠1＝105°，∠2＝35°，则∠3＝ 　 　 °． 【答案】70． 【分析】在图中标注∠4，利用邻补角互补，可求出∠4的度数，结合∠2的度数，可求出∠2+∠4的度数，由a∥b，利用“两直线平行，同旁内角互补”，即可求出∠3的度数． 【详解】解：在图中标注∠4，如图所示． ∵∠1+∠4＝180°，∠1＝105°， ∴∠4＝180°﹣105°＝75°， ∵∠2＝35°， ∴∠2+∠4＝35°+75°＝110°， 又∵a∥b， ∴∠3＝180°﹣（∠2+∠4）＝180°﹣110°＝70°． 故答案为：70． 【点评】本题考查了平行线的性质以及邻补角，牢记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． 【变式训练6-2】如图，从甲楼的一窗口观测点A处测得乙楼的楼顶端B的仰角是37°，那么从乙楼顶端B处看A处的俯角是　 　 ． 【答案】37°． 【分析】作AC⊥BC于点C，BD⊥BC，由平行线的性质得到∠DBA＝∠CAB＝37°，得出答案． 【详解】解：如图，作BD⊥BC，AC⊥BC于点C， ∴BD∥AC， ∴∠DBA＝∠CAB＝37°， ∴从甲楼的一窗口观测点A处测得乙楼的楼顶端B的仰角是37°，则从乙楼顶端B处看A处的俯角是37°， 故答案为：37°． 【点评】本题考查了仰角俯角的定义，平行线的性质，掌握相关知识是解题的关键． 【变式训练6-3】如图，已知， (1)求证：； (2)若于点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由可得，进而可得，再由，得到，再等量代换即可证得； （2）由题可得，再，可得，根据即可求解． 【详解】（1）证明：， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， ， （两直线平行，同旁内角互补）， ； （2）解：， ， 解得，则， ， ， ， 题型7 平行线的判定与性质 例13．如图，下列说法正确的有（　　） ①若∠1＝∠2，则DB∥EG； ②若∠1＝80°，∠A＝55°，则∠DBA＝45°； ③∠A和∠1是同旁内角； ④若DB∥EG，则∠A+∠DBA+∠2＝180°． A．①②④ B．①②③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据平行线的判定与性质对所给说法依次进行判断即可． 【详解】解：∵∠1＝∠DHF，∠1＝∠2， ∴∠DHF＝∠2， ∴DB∥EG． 故①正确； ∵∠1＝80°，∠A＝55°， ∴∠DBA＝180°﹣80°﹣55°＝45°． 故②正确； ∵∠A和∠1是直线DB和AB被直线AF所截得的一对同旁内角， 故③正确； ∵DB∥EG， ∴∠2＝∠DHG． ∵∠1＝∠DHG， ∴∠2＝∠1． 又∵∠A+∠DBA+∠1＝180°， ∴∠A+∠DBA+∠2＝180°． 故④正确； 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质及同位角、内错角、同旁内角，熟知平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 例14．如图，下列说法正确的是（　　） A．如果AB∥CD，则∠1＝∠2 B．∠2与∠4是同旁内角 C．如果∠3＝∠4，那么AD∥BC D．∠1与∠A是内错角 【答案】B 【分析】根据平行线的性质与判定，同旁内角与内错角的定义分析，即可求解． 【详解】解：A．如果AB∥CD，则∠3＝∠4，不能得到∠1＝∠2，不符合题意； B．∠2与∠4是同旁内角，符合题意； C．如果∠3＝∠4，那么AB∥CD，不能得到AD∥BC，不符合题意； D．∠1与∠2是内错角，∠1与∠A不是内错角，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的判定于性质，同位角、内错角、同旁内角，关键是相关性质的熟练掌握． 【技巧总结】 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 【变式训练7-1】如图，AD⊥BD，∠3+∠2＝180°，∠1＝55°，那么∠2的度数是　 　 度． 【答案】35． 【分析】先证明AB∥CD，然后利用平行线的性质求出∠BDC＝125°，在结合垂直的定义求解即可． 【详解】解：∵∠3+∠2＝180°， ∴AB∥CD， ∴∠1+∠BDC＝180°， 又∠1＝55°， ∴∠BDC＝125°， ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝90°， ∴∠2＝∠BDC﹣∠ADB＝35°， 故答案为：35． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，垂直的定义等，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【变式训练7-2】如图，已知∠B＝∠DEF，∠A＝∠D，说明AC∥DF 解：因为∠B＝∠DEF（　 　 ）， 所以AB∥DE（　 　 ）， 所以∠A＝∠EGC（　 　 ）， 又∠A＝∠D（　 　 ）， 所以　∠D ＝　∠EGC （　 　 ）， 所以AC∥DF（　 　 ）． 【答案】已知；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；已知；∠D；∠EGC；等量代换；同位角相等，两直线平行． 【分析】根据平行线的性质和判定定理解答即可． 【详解】解：因为∠B＝∠DEF（已知）， 所以AB∥DE（同位角相等，两直线平行）， 所以∠A＝∠EGC（两直线平行，同位角相等）， 又∠A＝∠D（已知）， 所以∠D＝∠EGC（等量代换）， 所以AC∥DF（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：已知；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；已知；∠D；∠EGC；等量代换；同位角相等，两直线平行． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，关键是相关性质和判定定理的熟练掌握． 【变式训练7-3】如图，已知AB∥CD，GH平分∠AGM，MN平分∠DMG，求证：GH∥MN． 【答案】证明：∵AB∥CD， ∴∠AHM＝∠DMG（两直线平行，内错角相等）， ∵GH平分∠AHM，MN平分∠DMH， ∴∠HGM∠AHM∠DMG＝∠NMG， ∴GH∥MN（内错角相等，两直线平行）． 【分析】先证明∠AHM＝∠HMD，再证明∠GHM＝∠HMN即可得到结论． 【详解】证明：∵AB∥CD， ∴∠AHM＝∠DMG（两直线平行，内错角相等）， ∵GH平分∠AHM，MN平分∠DMH， ∴∠HGM∠AHM∠DMG＝∠NMG， ∴GH∥MN（内错角相等，两直线平行）． 【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c． 题型8 命题与定理 例15．下列命题中，假命题的是（　　） A．矩形的对角线相等 B．平行四边形的对角线互相平分 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据平行四边形，矩形，菱形和正方形的对角线进行判断即可． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，是真命题； B、平行四边形的对角线互相平分，是真命题； C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题； D、对角线平分、相等且互相垂直的四边形是正方形，是假命题； 故选：D． 【点评】本题考查了从对角线来判断特殊四边形的方法：对角线互相平分的四边形为平行四边形；对角线互相垂直平分的四边形为菱形；对角线互相平分且相等的四边形为矩形；对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．也考查了真命题与假命题的概念． 例16．下列语句中真命题的个数是（　　） ①两直线平行，同旁内角相等； ②命题“对顶角相等”的逆命题是真命题； ③若a⊥b，a⊥c，则b∥c； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行线的判定和性质判断①③⑤命题；根据对顶角判断②命题；根据垂线判断④命题． 【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意； ②命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，逆命题是假命题，不符合题意； ③在同一平面内，若，a⊥c．则b∥c，原命题是假命题，不符合题意； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题，符合题意； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角互补，则其平分线互相垂直，原命题是真命题，符合题意． 即真命题的个数是2个． 故选：B． 【点评】本题考查的是命题与定理，平行线的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键． 【技巧总结】 1.命题写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 2.要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【变式训练8-1】将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式 为 　 　． 【答案】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【分析】“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．据此即可写成所要求的形式． 【详解】解：“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等． 则将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 【点评】本题考查了命题的叙述，正确分清命题的条件和结论是把命题写成“如果…那么…”的形式的关键． 【变式训练8-2】“如果两个角相等，那么它们是对顶角”的逆命题是　 　 （填“真”或“假”）命题． 【答案】真． 【分析】交换原命题的题设和结论后即可写出原命题的逆命题，然后判断正误即可． 【详解】解：“如果两个角相等，那么它们是对顶角”的逆命题是对顶角相等，正确，是真命题， 故答案为：真． 【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大． 【变式训练8-3】要说明命题“若a2≥4，则a＞2”是假命题，请举出一个反例：a＝　 　 ． 【答案】﹣4（答案不唯一）． 【分析】要使得a2≥4成立，则a＜﹣2或a＞2，因此举反例可列举a＜﹣2的数字即可． 【详解】解：当a＝﹣4时，a2＝16＞4，但不满足a＞2， 故命题“若a2≥4，则a＞2”是假命题， 故答案为：﹣4（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是命题与定理，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键． 1．下列图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对顶角‌是指两条直线相交时，拥有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角，逐个判断即可． 【详解】解：对于选项A：两个角没有公共顶点，不是对顶角，故A错误； 对于选项B：符合对顶角的定义，故B正确； 对于选项C：两个角有一边不在同一直线上，不是对顶角，故C错误； 对于选项D：两个角的两边都不在同一直线上，不是对顶角，故D错误． 2．如图，下列说法中不正确的是（    ） A．与是直线、被直线所截得的内错角 B．与是直线、被直线所截得的同位角 C．与是直线、被直线所截得的同旁内角 D．与是直线、被直线所截得的同旁内角 【答案】B 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，结合图形逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、与在直线之间，且在直线两侧， 与是内错角，原说法正确，故选项不符合题意； B、在直线上方，在直线下方， 与不是同位角，原说法不正确，故选项符合题意； C、与在直线之间，且在直线同旁， 与是同旁内角，原说法正确，故选项不符合题意； D、与在直线之间，且在直线同旁， 与是同旁内角，原说法正确，故选项不符合题意． 3．如图（1）－（4）是经过直线外一点画已知直线的平行线的步骤，其画图的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】根据同位角相等，两直线平行，判断即可． 【详解】解：由图可知：其依据是同位角相等，两直线平行． 4．如图，在中，若，平行于，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，根据平行公理的推论可得，利用两直线平行内错角相等建立角之间的关系即可求解． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ． 5．如图，已知四边形，点在延长线上，连接，则下列条件中，能判定的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据平行线的判定方法进行判断，即可得出结论． 【详解】解：若，则，故A选项不合题意； 若，则，故B选项符合题意； 若，则，故C选项不合题意； 若，则，故D选项不合题意． 6．如图所示，长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】长方形纸带隐含的条件，通过平行得到和的度数，再通过折叠前后，角的度数不变，得到折叠后对应角的度数，计算即可． 【详解】解：由题意，得， ∴，， ∵， ∴，， 图2中，由折叠，可知， ∴， 图3中，由折叠，可知， ∴． 7．将“对顶角相等”改写为“如果…，那么…”的形式，可写为________． 【答案】 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【分析】先明确命题的题设与结论，再按照要求将命题改写为“如果…，那么…”的形式即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”中，题设为两个角是对顶角，结论为这两个角相等， 因此将“对顶角相等”改写为“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 8．如图，已知，，则________． 【答案】/度 【分析】根据 利用平行线的判定定理得出 ，再利用平行线的性质定理得出，代入数据计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 9．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则______． 【答案】/40度 【分析】由平行线的性质推出，求出，再由角的和差计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 10．如图，把一个长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则________． 【答案】 【分析】由平行线的性质可得，由翻折变换的性质可知，据此根据平角的定义可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 由翻折变换的性质可知， ∴． 11．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空）． 已知：如图，直线，被直线所截；_______． 求证：直线与_________． 证明：假设_________， 则_________（_________）． 这与_________矛盾，故______不成立． 所以____________． 【答案】；不平行；；；两直线平行，同旁内角互补；；假设；直线与不平行 【分析】根据题干信息结合反证法的含义完善推理过程与推理依据即可. 【详解】解；已知：如图，直线，被直线所截；． 求证：直线与不平行． 证明：假设， 则（两直线平行，同旁内角互补）． 这与矛盾，故假设不成立． 所以直线与不平行． 12．已知，与的角平分线相交于点F，、相交于点M． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，，，求的度数； (3)若，，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点E向左侧作，过点F向右侧作，先根据平行线的判定与性质证明，得到，所以，再根据平行线的判定与性质，可得即得答案； （2）类似于（1）的思路，即可求解； （3）类似于（2）的思路，，即可求解． 【详解】（1）解：过点E向左侧作，过点F向右侧作， ， ， ， ， ， 即， ， 与的角平分线相交于点F， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即； （2）解：当时， 由（1）知， ，， ， 由（1）可知，； （3）解： 由（2）知，当时， ， ，， ， ， ， 即． 【点睛】解题时要注意三个小题的解答思路具有关联性． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相交线与平行线 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 对顶角、邻补角 题型2 垂线 题型3 点到直线的距离 题型4 同位角、内错角、同旁内角 题型5 平行线的判定 题型6 平行线的性质 题型7 平行线的判定与性质 题型8 命题与定理 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 对顶角、邻补角的性质与角度计算 2. 垂线的性质及点到直线的距离 3. 同位角、内错角、同旁内角的识别 4. 平行线的判定定理5. 平行线的性质定理6. 平行线的判定与性质综合应用 7. 命题、定理与证明 1. 对顶角与邻补角：结合相交线、角平分线、垂线求角度，选择填空基础题高频 2. 垂线相关：考查 “过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”“垂线段最短”，以及点到直线距离的概念辨析 3. 三线八角：在复杂图形中识别三类角，是平行线判定的核心基础，常以选择题形式考查 4. 平行线判定：根据角的数量关系判定两直线平行，常结合角平分线、对顶角、邻补角进行角的转化 5. 平行线性质：利用 “两直线平行，同位角 / 内错角相等，同旁内角互补” 求角度，是几何计算的基础工具 6. 判定与性质综合：先判定平行，再利用性质求角或证明角相等 / 互补，是基础几何证明题的必考题型7. 命题与定理：判断命题真假，区分命题的题设与结论，多以概念辨析类选择题出现 考情解码：本专题是初中平面几何的入门核心，是几何逻辑推理与证明的起点，承接线段、角的初步知识，为后续三角形、四边形、相似、圆等所有几何模块奠定推理基础。易错点集中在复杂图形中三线八角的识别、平行线判定与性质的混淆、“垂线段最短” 与 “点到直线距离” 的概念区分。近年考题常结合角平分线、图形折叠、平移变换等模型综合考查，侧重基础逻辑推理能力和几何证明语言的规范表达。 知识点一 相交线 1.相交线 （1）经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单地说：两点确定一条直线． （2）当两条直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，或称它们是相交直线．这个公共点叫作它们的交点． 【特别提醒】 两条直线相交，只有一个交点． 2.对顶角 （1）对顶角的概念：有公共顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线的两个角叫作对顶角．如图所示，直线 AB与CD相交于点和是对顶角，和是对顶角． （2）对顶角的性质：对顶角相等． 如图所示，由 ，可得 ，即对顶角相等． 注意：对顶角一定相等,但相等的角不一定是对顶角. （3）（补充）邻补角的概念 如图，和有公共顶点，有公共的一边，只有一条边互为反向延长线，这样的两个角叫做邻补角，它们的度数和是． 3.垂线 （1）夹角:两条直线相交形成四个小于平角的角,其中不大于直角的那个角叫作这两条直线的夹角. 【提示】两条直线相交的位置特征,可以通过两条直线的夹角来描述. （2）垂线:如果两条相交直线的夹角为直角,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫作另一条直线的垂线,它们的交点叫作垂足. 【巧记】(已知垂直得直角,已知直角得垂直） （3）垂直的记法与读法:垂直用符号“⊥”表示,两条直线AB与CD互相垂直,记作AB⊥CD,读作“AB 垂直于 CD” （4）垂线的画法:给定直线l和点P,要求过点P画已知直线l的线,如图1,将三角尺的一条直角边紧靠直线l,另一直角边经过点P,沿着这条边画直线,它就是直线l的垂线,如图2.如果点P在直线l上,同样也可以画出直线l的垂线. 【特别提醒】 (1)在画垂线时,要标记垂直符号.(2)过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在的直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上. （5）垂线的数量:在同一平面上,经过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线. 【易混易错提醒】 垂线、垂线段的辨析 垂线是直线，无法度量长度;垂线段是线段，可以度量长度. 4.垂线段 点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段长度,叫作点到直线的距离如果一个点在直线l上,那么就说这个点到直线l的距离为零. 【补充说明】 （1）在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短. （2）垂线段是一条线段，是图形;点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，有单位. 即时即练如图，已知，垂足为O，若，则直线与的夹角为______．    知识点二 三线八角 1.平行线公理 定义:在同一平面上不相交的两条直线叫作平行线. 平行用符号“//”表示.如果直线和直线是平行线,那么也称它们互相平行,记作“//”,读作“平行于”. 【特别提醒】 （1）关于平行线的定义,应特别注意“在同一平面内”这个条件,因为在空间里,还存在两条直线既不相交,也不平行的情况（异面），想象立交桥,而在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:相交和平行. （2）平行线概念中的“不相交”是指直线，而不是线段或射线. （3）线段(或射线)平行，是指线段(或射线)所在的直线平行. （4）判断同一平面内两条直线的位置关系时，可根据它们的公共点的个数来确定. 2.平行线的画法 画法:(1)将三角板的一边紧靠直线,将直尺紧靠三角板的另一边,如图1所示; (2) 沿直尺推动三角板,使三角板紧靠直线的一边(边)经过点,如图2所示; (3)沿三角板的这条经过点的边,画直线,如图3所示.直线就是所要画的直线,如图4所示. 【注意】(1)过直线上一点，不能画该直线的平行线:(2)借助直尺和三角尺画平行线时，必须保持“紧靠”，否则画出的直线不平行;(3)画线段或射线的平行线指的是画它们所在直线的平行线. 经过直线外的一点,有且只有一条直线与该直线平行. 【特别提醒】 (1)在叙述时，一定要强调“直线外一点”，否则不存在平行线. (2)“有且只有”中的“有’表示存在性,“只有”表示唯一性. (3)基本事实是过直线外一点画这条直线的平行线的依据. (4)平行线基本事实的推论表述了平行线的传递性，推论中不用强调“在同一平面内” 平行公理的推论:在同一个平面上,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. （补充）反证法 证明步骤：(1)先假设求证的结论是错误的;(2)由此推导出与已知定义、公理、定理或条件等相矛盾的结果;(3)从而否定开始的假设,肯定先前求证的结论的正确性. 3.三线八角 如图,直线与相交(也可以说两条直线被第三条直线所截),构成了个角，简称“三线八角”. （1）同位角、内错角、同旁内角 名称 定义 图形的结构特征 图示 同 位 角 ∠1与∠5都在第三条直线的同旁，并且分别位于直线的同一侧，这样的一对角叫做同位角. (1)在截线同侧； (2)在两条被截直线同侧； (3)形如字母“F” (或倒置、反置、旋转) 直线被直线所截 内 错 角 ∠3与∠5分别位于第三条直线异侧，且都在直线之间，这样的一对角叫做内错角. (1)在被截两直线之间； (2)在截线的异侧； (3)形如字母“Z” (或倒置、反置、旋转) 同 旁 内 角 ∠3与∠6在直线同旁且在直线之间，这样的一对角叫做同旁内角. (1)在被截两直线之间； (2)在截线同旁； (3)形如字母“U” (或倒置、反置、旋转) 注意： (1)同位角、内错角、同旁内角指的都是位置关系，而不是大小关系. (2)这三类角都是两条直线被第三条直线所截形成的，要分清截线和被截线 (3)两条直线被第三条直线所截形成的8个角中共有4对同位角、2对内错角、2对同旁内角. （2）手势表示 同位角、内错角、同旁内角也可以用手势表示出来(两大拇指代表两条被截直线，食指代表截线),如图所示，采用不同的手势，分别得到同位角、内错角、同旁内角. ①根据手势识别同位角(两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线) ②根据手势识别内错角(两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线) ③根据手势识别同旁内角(两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线) 即时即练如图，，，用和表示，_______． 知识点三 平行公理的判定 1.平行线的判定 （1）两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单地说同位角相等,两直线平行 符号语言 示意图 因为 ， 所以 （同位角相等，两直线平行） （2）两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行,简单地说内错角相等,两直线平行 符号语言 示意图 因为 ， 所以 （内错角相等，两直线平行） （3）两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.,简单地说:同旁内角互补,两直线平行. 符号语言 示意图 因为 ， 所以 （同旁内角互补，两直线平行） 【提示】 (1)三种判定方法的共同的前提条件是“两条直线被第三条直线所截”，共同的结论是“两直线平行”(2)这三种判定方法都是根据角之间的数量关系来判断直线之间的位置关系.(3)判定两直线平行,还可用平行线的概念、平行线的基本事实的推论及拓展中补充的方法来进行. 即时即练如图，下列条件中：①；②；③；④．则一定能判定的条件有________．（请填写序号） 知识点四 平行公理的性质 性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。简单地说：两直线平行，同位角相等。 性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。简单地说：两直线平行，内错角相等。 性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单地说：两直线平行，同旁内角互补。 即时即练如图，直线，被直线所截，若，，，则_____度．    知识点五 命题与证明 1.命题 命题、真命题、假命题：判断一件事情的语句叫作命题。正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题。数学命题通常由条件、结论两部分组成。命题常可以写成“如果……，那么……”的形式，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论。 逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另外一个命题叫作它的逆命题。 原命题是真命题时，其逆命题不一定是真命题。 2.证明 证明一个命题，一般可按“已知”“求证”“证明”的顺序，其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”是完整的推理过程。 在初中平面几何中，一般按如下的步骤： （1）根据题意画出示意的图形； （2）根据条件和结论，参照图形，写出“已知”和“求证”； （3）写出由已知推出结论的完整过程。 要判定一个命题是假命题，有时只需举出一个例子，它符合命题的条件但不满足命题的结论。这样的例子通常称为反例。 即时即练下列说法中错误的个数是（    ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行 （2）不相交的两条直线叫做平行线 （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种 （4）相等的角是对顶角 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型1 对顶角、邻补角 例1．下面的四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 例2．下列选项中，与是对顶角的是（   ） A．   B．   C．   D．   【技巧总结】 邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 【变式训练1-1】如图，直线CD、EF相交于点O，若∠COF＝95°，那么直线CD与EF的夹角大小为　 　 ． 【变式训练1-2】如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠BOE＝65°，∠AOD＝　 　 °． 【变式训练1-3】如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF＝90°． （1）若∠BOE＝70°，求∠AOF的度数； （2）若∠BOD：∠BOE＝1：2，求∠AOF的度数． 题型2 垂线 例3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥OC．若∠AOC＝31°，则∠EOB的大小为　 　 °． 例4．如图，BO⊥AO，∠BOC与∠AOC的度数之比为1：5，则∠BOC＝　 　 °． 【易错警示】 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 【变式训练2-1】如图，AB、DE交于点G，CG⊥DE，垂足为G，∠BGC＝52°，则∠AGD＝　 　 °． 【变式训练2-2】如图，若∠BOC＝44°，BO⊥DE，垂足为O，则∠AOD＝　 　 度． 【变式训练2-3】如图，直线AB，CD相交于点O，MO⊥AB，垂足为O，若∠1＝35°，求∠AOD的度数． 题型3 点到直线的距离 例5．如图，点A，B在直线l上，点P在直线l外，连接PA，PB，若PA＝3，PB＝5，则点P到直线l的距离可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 例6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，且AD⊥BC于点D，∠B＝35°，那么下列说法中错误的是（　　） A．直线AB与直线BC的夹角为35° B．直线AC与直线AD的夹角为55° C．点C到直线AD的距离是线段CD的长 D．点B到直线AC的距离是线段AB的长 【技巧总结】 点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 【变式训练3-1】如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，AB＝8，AC＝10，则点B到AC的距离是 　 　 ． 【变式训练3-2】如图，△ABC中，CD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是C、E，那么点C到线段AB的距离是线段CE 的长度． 【变式训练3-3】如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，，则点到直线的距离是_________． 题型4 同位角、内错角、同旁内角 例7．如图，下列说法错误的是（　　） A．∠2与∠4是同位角 B．∠2与∠3是同旁内角 C．∠1与∠2是内错角 D．∠1与∠A是内错角 例8．下列各图中，∠1与∠2是同位角的是（　　） A． B． C． D． 【技巧总结】 三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 【变式训练4-1】下列说法中正确的是（　　） A．同位角相等 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．直线外一点到已知直线引垂线，这个点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 【变式训练4-2】如图，不是∠B的同旁内角的是（　　） A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠BCD 【变式训练4-3】如图，下列说法中不正确的是（　　） A．∠1与∠3是直线AB、FC被直线DE所截得的内错角 B．∠1与∠4是直线AB、FC被直线DE所截得的同位角 C．∠1与∠2是直线AB、FC被直线DE所截得的同旁内角 D．∠B与∠C是直线AB、FC被直线BC所截得的同旁内角 题型5 平行线的判定 例9．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（　　） A．∠3＝∠A B．∠1＝∠2 C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180° 例10．小明将两块相同的直角三角尺如图摆放画出了平行线，其依据是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【技巧总结】 常考定理： （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． 易错易混： （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 【变式训练5-1】如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠4 B．∠2＝∠3 C．∠2＝∠5 D．∠4＝∠5 【变式训练5-2】如图，下列条件中： ①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5； 则一定能判定AB∥CD的条件有　 　 （填写所有正确的序号）． 【变式训练5-3】如图，已知三角形，点在的延长线上，是的平分线，若，求证： （请把证明过程补充完整） 点在延长线上 ___________ （　　） ___________ ______________________ ___________ 是的平分线 ___________ ___________ （　　） 题型6 平行线的性质 例11．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当的半径画弧，分别交直线l1、l2于点B、C两点，连接AC、BC，若∠ABC＝58°，则∠1的大小为（　　） A．54° B．58° C．64° D．68° 例12．如图，已知AB∥CD，则下列关系式一定成立的是（　　） A．α+β+γ＝180° B．α+β+2γ＝180° C．α﹣β+γ＝0° D．α+β﹣γ＝0° 【技巧总结】 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 【变式训练6-1】如图，直线a、b被直线c所截，如果a∥b，∠1＝105°，∠2＝35°，则∠3＝ 　 　 °． 【变式训练6-2】如图，从甲楼的一窗口观测点A处测得乙楼的楼顶端B的仰角是37°，那么从乙楼顶端B处看A处的俯角是　 　 ． 【变式训练6-3】如图，已知， (1)求证：； (2)若于点，求的度数． 题型7 平行线的判定与性质 例13．如图，下列说法正确的有（　　） ①若∠1＝∠2，则DB∥EG； ②若∠1＝80°，∠A＝55°，则∠DBA＝45°； ③∠A和∠1是同旁内角； ④若DB∥EG，则∠A+∠DBA+∠2＝180°． A．①②④ B．①②③④ C．①②③ D．②③④ 例14．如图，下列说法正确的是（　　） A．如果AB∥CD，则∠1＝∠2 B．∠2与∠4是同旁内角 C．如果∠3＝∠4，那么AD∥BC D．∠1与∠A是内错角 【技巧总结】 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 【变式训练7-1】如图，AD⊥BD，∠3+∠2＝180°，∠1＝55°，那么∠2的度数是　 　 度． 【变式训练7-2】如图，已知∠B＝∠DEF，∠A＝∠D，说明AC∥DF 解：因为∠B＝∠DEF（　 　 ）， 所以AB∥DE（　 　 ）， 所以∠A＝∠EGC（　 　 ）， 又∠A＝∠D（　 　 ）， 所以　∠D ＝　∠EGC （　 　 ）， 所以AC∥DF（　 　 ）． 【变式训练7-3】如图，已知AB∥CD，GH平分∠AGM，MN平分∠DMG，求证：GH∥MN． 题型8 命题与定理 例15．下列命题中，假命题的是（　　） A．矩形的对角线相等 B．平行四边形的对角线互相平分 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 例16．下列语句中真命题的个数是（　　） ①两直线平行，同旁内角相等； ②命题“对顶角相等”的逆命题是真命题； ③若a⊥b，a⊥c，则b∥c； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【技巧总结】 1.命题写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 2.要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【变式训练8-1】将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式 为 　 　． 【变式训练8-2】“如果两个角相等，那么它们是对顶角”的逆命题是　 　 （填“真”或“假”）命题． 【变式训练8-3】要说明命题“若a2≥4，则a＞2”是假命题，请举出一个反例：a＝　 　 ． 1．下列图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，下列说法中不正确的是（    ） A．与是直线、被直线所截得的内错角 B．与是直线、被直线所截得的同位角 C．与是直线、被直线所截得的同旁内角 D．与是直线、被直线所截得的同旁内角 3．如图（1）－（4）是经过直线外一点画已知直线的平行线的步骤，其画图的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 4．如图，在中，若，平行于，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，已知四边形，点在延长线上，连接，则下列条件中，能判定的是（     ）    A． B． C． D． 6．如图所示，长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（    ） A． B． C． D． 7．将“对顶角相等”改写为“如果…，那么…”的形式，可写为________． 8．如图，已知，，则________． 9．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则______． 10．如图，把一个长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则________． 11．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空）． 已知：如图，直线，被直线所截；_______． 求证：直线与_________． 证明：假设_________， 则_________（_________）． 这与_________矛盾，故______不成立． 所以____________． 12．已知，与的角平分线相交于点F，、相交于点M． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，，，求的度数； (3)若，，请直接写出与之间的数量关系． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $