5.1.2 轴对称 课件 2025--2026学年湘教版七年级数学下册

该初中数学课件聚焦轴对称性质及作轴对称图形，通过“镜子解决等式”生活实例导入，引导学生从折纸扎“14”探究对应点连线被对称轴垂直平分、对应线段与角相等，衔接轴对称概念，为后续旋转学习搭建基础。 其亮点在于以探究活动（折纸观察）培养几何直观（数学眼光），通过几何证明（对称轴垂直平分对应点连线）发展推理能力（数学思维），作图步骤“找、作、连”及例题强化模型意识（数学语言）。含视频资源辅助理解，课堂小结系统梳理知识，助力学生提升观察分析能力，为教师提供清晰教学流程与实例。

5.1.2 轴对称 第五章 轴对称与旋转 1. 会利用轴对称的性质，作对称点、对称图形、 对称轴等； （重点、难点） 2. 经历丰富材料的学习过程，提高对图形的观察、分析、判断、归纳等能力．体验数学与生活的联系、提高审美． 一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何将下面的式子变成一个真正的等式？”过了很长时间，也没有人答出．小兰仅仅拿了一面镜子，就很快解决了这道题目． 你知道她是怎样做的吗？ 你知道这运用了什么数学知识吗？ 探究 如图，将一张长方形纸对折，然后用笔尖扎出“14”这个数，将纸打开后铺平： 打开 1 轴对称的性质 (1) 两个“14”有什么关系？ (2) 在上面扎字的过程 中，点 E 和 点 E′ 重合. 设折痕所在直线为 l，连接点 E 和点 E′ 的线段和 l 有什么关系？连接点 F 和点 F′ 呢？ (3) 线段 AB 与 A′B′，CD 与 C′D′ 有什么数量关系？ (4)∠1 与∠2 有什么数量关系？∠3 与∠4 呢？ 都被直线 l 垂直平分. AB = A′B′，CD = C′D′. ∠1 =∠2， ∠3 =∠4. 成轴对称. 打开 l 将一张长方形的纸对折，然后用笔尖扎出“14” 这个数字，将纸打开后铺平． 点击观看视频 轴对称的性质 （1）两个“14”有什么关系？ 成轴对称 （2）线段CD与C′D′ ，AB与A′B′有什么关系？ （3）∠1与∠2有什么关系？∠3与∠4呢？ AB = A′B′ ∠1=∠2 CD = C′D′ ∠3=∠4 A B C D F E A′ B′ C′ D′ F′ E′ 1 2 3 4 l 打开 在铺平的图中： （4）设折痕所在直线为 l，连接点 E 和 E′ 的线段和 l 是什么关系？点F 和 F′ 呢？请举例说明并与同伴交流. ②线段被直线 l 垂直平分 ①EN = E′ N，FM =F′ M A B C D F E A′ B′ C′ D′ F′ E′ 1 2 3 4 l M N 新知探究 探究：在图中，△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，点P的对应点是点P，线段PP交直线l于点 D.线段 PP与对称轴l有什么关系？ 沿直线l对折，△ABC和△A'B'C'重合 在这个轴对称下，点 P 的对应点是点 P，点D的对应点是点D自身， ∴PD与PD重合，∠1与∠2重合 ∴ PD=PD，∠1=∠2 ∵ ∠1+∠2=180° ∴ ∠1=∠2=×180°=90° 新知探究 ∴l⊥PP ∵PD=PD ∴D点为PP的中点 综上所述，直线l垂直平分线段PP 轴对称的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分. 做一做： 右图是一个轴对称图形. (1) 找出它的对称轴； (2) 连接点 A 与点 A1 的线段与 对称轴有什么位置关系？连 接点 B 与点 B1 的线段呢？ A A1 B C D D1 C1 B1 3 4 1 2 被对称轴垂直平分. 如图所示. (3) 线段 AD 与线段 A1D1 有什么 数量关系？线段 BC 与 B1C1 呢？ 为什么？ (4) ∠1 与∠2 有什么关系?∠3 与∠4 呢？说说你的理由. B C D D1 C1 B1 3 4 1 2 思考：综合以上问题，你能得到什么结论？ A A1 AD = A1D1，BC = B1C1. ∠1 =∠2，∠3 =∠4. 问题1：如何画一个点关于某条直线的轴对称图形？ 已知直线 l 及直线外一点 P，画一点 P′， 使它与点 P 关于直线 l 对称. 作法如下： 1. 过点 P 作 PQ⊥l， 交 l 于点 O. 2. 在射线 OQ 上， 截取 OP′= OP. 则点 P′ 即为所求作的点. 作轴对称图形 问题2：如何画一条线段的对称图形？ 已知线段 AB和直线 l，画出线段 AB 关于直线 l 的对称图形. A B A B l l A B l A′ A′ A′ B′ (B′) B′ 思考：如果有一个图形和一条直线，如何画出这个图形关于这条直线对称的图形呢？ 新知探究 思考： 若两个图形的任意一组对应点的连线都被同一条直线垂直平分，这两个图形关于这条直线对称吗？ 因为成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分， 所以若两个图形关于一条直线对称，则其中一个图形上的任意一点 P 与另一个图形上的对应点 P'的连线段 PP'被这条直线垂直平分. 反过来，若两个图形的任意一组对应点的连线段都被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称. 新知探究 特别地，若点P与点P'关于一条直线对称，则线段 PP' 被这条直线垂直平分. 反过来，若线段 PP' 被一条直线垂直平分，则点 P与点 P' 关于这条直线对称. 点P与点P关于一条直线对称 线段 PP被一条直线垂直平分 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中： 轴对称的性质 总结归纳 2.轴对称保持任意两点间距离不变，保持角的大小不变（对应线段相等，对应角相等）. 1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分. 作轴对称图形 问题1：如何画一个点关于某条直线的轴对称图形？ 画出点 A 关于直线 l 的对应点 A′. ﹒ l A ﹒ A′ O 作法： (1) 过点 A 作 l 的垂线，垂足为点 O； (2) 在 l 另一侧的垂线上截取 OA′ = OA. 则点 A′ 就是点 A 关于直线 l 的对应点. 2 例1 如图，已知△ABC 和直线 l，作出与△ABC 关于直线 l 对称的图形. A B C 分析：△ABC 可以由三个顶点的位置确定，只要能分别画出这三个顶点关于直线 l 的对应点，连接这些对应点，就能得到要画的图形. 作法：（1）过点 A 画直线 l 的垂线，垂足为点 O，在垂线上截取 OA′ = OA，A′ 就是点 A 关于直线 l 的对应点； （3）连接 A′B′，B′C′，C′A′，得到△A′B′C′ 即为所求. （2）同理，分别画出点 B，C关于直线 l 的对应点 B′，C′； A B C A′ B′ C′ O 作轴对称图形的方法 画原图关于某直线对称的图形的步骤： ①找：在原图形上找特殊点（如线段的端点）； ②作：作各个特殊点关于对称轴的对称点； ③连：按原图的顺序连接所作的各对称点． 新知探究 思考：轴对称除了对应点的连线被对称轴垂直平分外，还有其它性质吗？ 边与对应边有什么数量关系？ 角与对应角有什么数量关系？ “相等” 轴对称保持任意两点间距离不变，保持角的大小不变. 例题精讲 例2 如图，已知△ABC和直线 l，画出△ ABC关于直线 l 的对称图形. 解： （1）如图，过点A作直线 l 的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA'=OA，点A'就是点A关于直线 l 的对称点； （2）类似地，分别画出点B，C关于直线 l 的对称点 B'，C'； （3）连接A'B'，B'C'，C'A'，所得到的△A'B'C'即为所为△ ABC关于直线 l 的对称图形. 问题2：如何画一条线段的对称图形？ 已知线段 AB，画出 AB 关于直线 l 对称的线段. A B (图1) (图2) (图3) A B l l A B l A′ A′ A′ B′ (B′) B′ 作轴对称图形的方法 几何图形都可以看作由点组成的.对于某些图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的对应点，连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形. 方法归纳 新知探究 议一议：先过直线 l 外一点分别画直线 l 的垂线段与斜线段，再利用轴对称变换说明垂线段最短，并将结果与同学交流. ∵三角形两边之和大于第三边 ∴PA+PA>PB+PB ∴斜线段的2倍＞垂线段的2倍 ∴垂线段最短. 课堂小结 ◆轴对称的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分. ◆轴对称的性质：轴对称保持任意两点间距离不变，保持角的大小不变. ◆找特殊点的方法：规则图形的特殊点是图形的顶点，不规则图形的特殊点是线与线的交点. ◆作对应点的方法：过这个点作对称轴的垂线，并延长一倍，就得到该点的对应点. 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段，被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等. 轴对称 性质 作图方法 ①找：在原图形上找特殊点（如线段的端点）； ②作：作各个特殊点关于对称轴的对称点； ③连：按原图的顺序连接所作的各对称点． $