2.1.1 有理数的加法（第2课时 有理数加法的运算律）（教学课件）-2026--2027学年人教版七年级数学上册

这是一份初中数学开学阶段的课件，针对人教版七年级上册“有理数加法的运算律”，包含复习旧知、新知探究、知识归纳、典例分析、当堂巩固等模块，以学习支架形式帮助学生理解交换律和结合律，掌握简化运算的方法。 资料特色突出，通过“特殊到一般”探究运算律，结合小麦重量计算、长江水位变化等实例，培养学生抽象能力和应用意识，典例分析展示相反数结合、同号结合等技巧，助力教师开展从具体到抽象的教学，帮助七年级学生适应代数思维，提升运算能力和数学思维。

人教版 七年级上册 2.1.1有理数的加法 第2课时有理数加法的运算律 第2章有理数的运算 1.7.2013 （面带微笑，声音亲切）同学们好！欢迎来到今天的数学课堂。在上课之前，老师想问大家一个问题：你们喜欢做简单的计算题，还是复杂的计算题呀？（稍作停顿，与学生互动）嗯，我听到很多同学说喜欢简单的！那今天，老师就带大家学习一个超级厉害的“武功秘籍”，学会了它，再复杂的有理数加法，我们也能算得又快又准！这个秘籍就是——有理数的加法运算律！让我们一起揭开它神秘的面纱吧！ ‹#› 学习目标 1.理解有理数加法的交换律和结合律，能用它们简化有理数的加法运算； 2.体会从特殊到一般的方法在研究数学问题中的作用，感悟数学归纳与总结的思想； 3.体会用字母表示数的优越性，感受代数语言的简洁性与一般性。 1.7.2013 （指着屏幕）这节课我们的目标非常明确，就三件事。第一，我们要彻底搞明白什么是加法交换律，什么是加法结合律。听起来有点抽象？别怕，待会儿老师会用生活中的例子让你一看就懂！第二，我们要体会从特殊到一般的数学思想。第三，也是最重要的，我们要学会怎么用这两个“法宝”，让一些看起来很头疼的计算变得简单！大家有没有信心？（引导学生回答“有！”）好，那我们就带着满满的信心，开始今天的学习之旅！ ‹#› 目录 复习旧知 新知探究 知识归纳 新知探究 知识归纳 归纳总结 典例分析 对比反思 能力提升 感受中考 课堂小结 当堂巩固 课后延伸：完成课堂小结梳理，并按要求完成布置的分层作业，巩固本课核心知识点。 1.7.2013 这是我们今天的学习路线图。我们会先复习一下旧知识，然后一步步探索新知识，通过例题和练习来巩固，最后进行总结和拓展。跟着这个节奏，大家一定能轻松掌握今天的内容。 ‹#› 复习旧知 快速计算： （1）(-4) + (-6) = -10 （2）(-4) + 4 = 0 （3）0 + (-6) = -6 （4）(-0.9) + 1.5 = 0.6 思考探究： 我们已经掌握了有理数的加法法则，而在小学阶段我们学习过加法交换律（a+b=b+a）和结合律[(a+b)+c=a+(b+c)]。那么，这些运算律在有理数的加法运算中，是否依然成立呢？这是我们本节课需要重点验证和探讨的核心问题。 1.7.2013 （语速稍快，营造回顾氛围）在学习新知识之前，我们先来快速回顾一下。谁还记得有理数的加法法则？对啦，同号相加取相同符号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。非常棒！那我们来小试牛刀，快速口算一下这几道题。（逐题给出答案并简单核对）大家都算对了吗？看来大家基础都很扎实。那我们以前学的加法交换律和结合律，在有理数范围内还管用吗？这就是我们今天要探究的问题！ ‹#› 新知探究 问题1： 1. 异号两数相加交换位置： 计算 30 + (-20) = 10，(-20) + 30 = 10。结果发现：两次计算所得的和完全相同！ 2. 同号两数相加交换位置： 计算 -30 + (-20) = -50，(-20) + (-30) = -50。结果发现：交换加数位置后，和依然保持不变！ 3. 大胆猜想与验证： 尝试更换几组不同的加数（如一正一负、两个正数）再次验证。从上述所有计算中，你能归纳出有理数加法的什么规律？结论：交换两个加数的位置，和不变！ 1.7.2013 （拿出两个不同颜色的积木或粉笔）同学们，我们来玩个小游戏。假设红色积木代表+30，蓝色积木代表-20。我先放红色的，再放蓝色的，总共是多少？（引导学生计算30 + (-20) = 10）。现在，我把顺序换一下，先放蓝色的，再放红色的，总共又是多少？（引导学生计算(-20) + 30 = 10）。哎，大家发现了什么？结果是不是一样的？我们再来看一组，这次是两个负数相加。（-30）+（-20）等于多少？（-50）。那如果交换一下位置，（-20）+（-30）呢？（还是-50）。哇，太神奇了！交换两个加数的位置，和竟然不变！这是不是一个规律呢？ ‹#› 知识归纳 在有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。 加法交换律：a + b = b + a 其中，a, b 表示任意两个有理数。 由以上计算结果发现，当数由非负数扩大到有理数范围时，加法交换律仍然适用。 1.7.2013 同学们，你们刚才的发现太了不起了！这其实就是我们今天要学习的第一个运算律——加法交换律！大家一起读一遍：两个数相加，交换加数的位置，和不变。我们可以用一个非常简洁的公式来表示它：a + b = b + a。这里的a和b可以是任何有理数，正数、负数、零都可以！记住它，就像记住你最好朋友的名字一样，以后会经常用到它！ ‹#› 1.计算两组式子： (1) [8 + (-5)] + (-4) = 3 + (-4)；(2) 8 + [(-5) + (-4)] = 8 + (-9) 观察计算结果，两次所得的最终数值是完全相同的！ = -1 = -1 问题2： 尝试：更换几组不同的有理数加数再计算，是否依然能得到相同的结论？ 归纳：从上述计算中你能得出什么结论？试着用自己的语言概括有理数加法的这一规律。 抽象：你能用字母 a、b、c 把这个加法规律简洁地表示出来吗？ 新知探究 1.7.2013 （用三个不同颜色的积木或粉笔）好，加法交换律我们搞定了！现在来看看第二个秘籍。这次我们有三个积木：黄色代表+8，蓝色代表-5，绿色代表-4。第一种玩法：我们先把黄色和蓝色的积木搭在一起，算出它们的和，然后再和绿色的积木相加。也就是先算 [8 + (-5)]，等于多少？（+3）。然后再用+3加上-4，最终结果是多少？（-1）。第二种玩法：我们换个组合方式，先把蓝色和绿色的积木搭在一起，算出它们的和，然后再和黄色的积木相加。也就是先算 [(-5) + (-4)]，等于多少？（-9）。然后再用+8加上-9，最终结果是多少？（-1）。（故作惊讶状）哇塞！大家快看，虽然我们组合的顺序不一样，但最后的结果竟然也完全相同！这又是一个非常重要的规律！ ‹#› 知识归纳 在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c) 其中，a, b, c 表示任意三个有理数。 由以上计算结果发现，当数由非负数扩大到有理数范围时，加法结合律仍然适用。 1.7.2013 （充满激情地）同学们，你们又发现了一个数学界的大秘密！这就是加法结合律！（指着屏幕上的定义）大家一起大声读出来：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。它的公式是这样的：(a + b) + c = a + (b + c)。这里的括号就像我们的手臂，想先抱住哪两个数，就把括号加在哪。无论你怎么抱，最后的总和都是一样的！是不是很神奇？ ‹#› 归纳总结 根据加法交换律和结合律，多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数相加。 利用加法交换律、结合律，可以灵活调整运算顺序与组合，有效简化有理数的加法运算；深入认识并掌握这些运算律，对于理解数学运算的本质逻辑有着至关重要的意义。 1.7.2013 （语速放慢，进行总结）好了，现在我们已经掌握了两大“神器”——加法交换律和结合律。大家想想，我们学它们到底是为了什么呢？（引导学生思考）对啦！就是为了让计算变得更简单！交换律可以帮我们“改变顺序”，结合律可以帮我们“改变组合”。我们的目标只有一个：利用它们，把那些容易计算的数，比如能凑成整数的（像25和75），或者能凑成零的（像-8和+8），先放到一起计算！这就是简便计算的核心思想——“凑整”和“凑零”！ ‹#› 典例分析 例1：计算：（1）8 + (-6) + (-8) 解：8 + (-6) + (-8) = [8 + (-8)] + (-6)（利用加法交换律和结合律，凑“互为相反数”的和为0） = 0 + (-6) = -6 💡 思路点拨：观察算式中数字的特征，发现8和-8互为相反数，和为0，利用运算律先计算这两个数的和，可简化运算。 1.7.2013 （展示例题）来看第一道例题，这道题如果按照从左到右的顺序硬算，会非常麻烦。但是，现在我们有了运算律这个“神器”，能不能让它变得简单呢？大家观察一下这三个数字，有没有发现哪两个数是“好朋友”？（引导学生发现8和-8）对啦！8和-8加起来正好是0。这就叫“凑零”！那我们怎么操作呢？第一步，利用加法交换律，把-8和-6的位置交换一下，算式变成：8 + (-8) + (-6)。第二步，利用加法结合律，把8和-8用括号括起来，变成：[8 + (-8)] + (-6)。现在计算是不是就简单多啦？0 + (-6) = -6。看，原本复杂的计算，我们用运算律轻松搞定！ ‹#› 解：（2）16 + (-25) + 24 + (-35) = (16 + 24) + [(-25) + (-35)]（加法交换律和结合律） = 40 + (-60) = -20 思考： 例1中是怎样使计算简化的？这样做的依据又是什么呢？ 方法：将正数与正数结合，负数与负数结合，分别相加后再求和，以此简化运算步骤。 依据：有理数加法的交换律和结合律。 例1：计算：（2）16 + (-25) + 24 + (-35) 典例分析 1.7.2013 我们再来看例1的第二问。这道题里，正数和正数是好朋友，负数和负数是好朋友。我们利用加法交换律和结合律，把正数16和24结合在一起，把负数-25和-35结合在一起。这样，16+24=40，-25+(-35)=-60，最后40+(-60)=-20。看，通过“同号结合”的方法，计算变得非常简单！这就是运用运算律的魅力。 ‹#› 学了有理数的加法，我们看看现实生活中的例子，体会如何运用有理数加法的知识，去分析和解决实际生活里的数学问题，将抽象的运算规则转化为具体的应用能力。 例2：10袋小麦称后记录（单位: kg）如下：50.5, 50.5, 50.8, 49.5, 50.6, 50.7, 49.2, 49.4, 50.9, 50.4。请问这10袋小麦的总重量是多少千克？如果设定每袋小麦的质量标准为50 kg，那么这10袋小麦总计超过标准重量多少千克，或不足多少千克？ 解题思路提示：以50kg为基准，将每袋重量转化为“基准数+偏差值”的形式（如50.5记为+0.5，49.5记为-0.5），先计算偏差值的和，再结合基准总重量（50×10）求解，可大幅简化计算过程。 典例分析 1.7.2013 （展示例题）来看一个生活中的问题。这里有10袋小麦的重量，我们要算它们的总重量。如果直接把这10个数加起来，是不是头都大了？别急，题目给了我们一个提示：“以50kg为标准”。这是什么意思呢？我们可以把50kg当作“0”点。比50kg多的，我们就记为正数；比50kg少的，就记为负数。这样一来，问题就变成了有理数的加法！ ‹#› 再计算总计超过多少千克： 502.5 - 50 × 10 = 2.5 解法1：先计算10袋小麦的总重量是多少千克： 50.5+50.5+50.8+49.5+50.6+50.7+49.2+49.4+50.9+50.4 = 502.5 典例分析 1.7.2013 解法一，我们可以直接把10个数加起来，得到总重量是502.5千克。然后用总重量减去10个标准袋的重量（50×10），得到超过标准2.5千克。这种方法虽然直接，但计算量很大，容易出错。 ‹#› 解法2：每袋小麦超过50 kg的千克数记作正数，不足的千克数记作负数。10袋小麦对应的偏差数分别为： +0.5, +0.5, +0.8, -0.5, +0.6, +0.7, -0.8, -0.6, +0.9, +0.4 0.5+0.5+0.8+ (-0.5) +0.6+0.7+ (-0.8) + (-0.6) +0.9+0.4 = [0.5 + (-0.5)] + [0.8 + (-0.8)] + [0.6 + (-0.6)] + (0.5 + 0.7 + 0.9 + 0.4) = 0 + 0 + 0 + 2.5 = 2.5 总重量：50 × 10 + 2.5 = 502.5 (kg) 结论：总计超过标准重量2.5 kg 答：10袋小麦一共502.5千克，总计超过2.5千克。 典例分析 1.7.2013 解法二就非常巧妙了！我们先算出每袋小麦与标准重量50kg的差值。比如，50.5kg就是“+0.5”，49.5kg就是“-0.5”。然后，我们把这些“偏差值”加起来。观察一下，有没有可以凑成零的？（引导学生发现+0.5和-0.5，+0.8和-0.8，+0.6和-0.6）我们利用运算律重新组合，前三个括号里的和都是0！剩下的就是0.5 + 0.7 + 0.9 + 0.4 = 2.5。这说明10袋小麦总计超过了标准重量2.5千克。总重量就是10个标准袋的重量加上超过的部分：50×10 + 2.5 = 502.5千克。看，运用运算律，是不是让一个复杂的应用题变得清晰简单了？ ‹#› 对比反思 思考： 比较这两种解法，解法2使用了哪些运算律？ 解法2使用了加法交换律和结合律，通过调整加数的位置并进行合理结合，把能凑成整十、整百的数先相加，有效减少了复杂的进位计算，从而使整个运算过程得到了极大的简化，计算效率也大幅提升。 1.7.2013 （提出问题，引导学生思考）同学们，刚才我们解决了小麦称重的问题，用了两种方法：一种是硬算，一种是用运算律简便计算。大家心里比较一下，你更喜欢哪一种？为什么呢？（让学生自由发言）没错，大家都觉得用运算律更简单、更快，还不容易出错！那大家想一想，运用运算律进行简便计算的关键到底是什么呢？（引导学生回答）对啦！关键就在于“观察”！拿到一个算式，先别急着下手，要先观察数字的特点，看看有没有能凑成整数或者凑成零的“好朋友”。找到了它们，我们就可以利用交换律和结合律，把它们“拉”到一起先计算！ ‹#› 当堂巩固 2.计算：运用加法运算律简化有理数加法运算 （1）(-1) + 2 + (-3) + 4 解：原式 = [(-1) + 2] + [(-3) + 4] = 1 + 1 = 2 思路：观察符号规律，将相邻的“一负一正”结合，凑成整数简化计算。 （2）(-1/2) + (-1/3) + (+1/2) + (-2/3) 解：原式 = [(-1/2) + (+1/2)] + [(-1/3) + (-2/3)] = 0 + (-1) = -1 思路：互为相反数的两数结合为0；同分母的分数结合，分母不变分子相加。 ❖ 相反数结合法：互为相反数的两个数先相加，和为0，可快速消项。 ❖ 同分母结合法：同分母分数或易通分的分数先结合，简化运算步骤。 1.7.2013 好，现在轮到大家大显身手了！我们来看两道练习题。第一题，通过观察，我们可以把-1和+2结合，-3和+4结合，每组的结果都是1，最后1+1=2。第二题是分数的计算，我们可以把同分母的分数结合，-1/2和+1/2互为相反数，和为0；-1/3和-2/3是同分母，和为-1。所以最终结果是0+(-1)=-1。大家都算对了吗？ ‹#› 星期 一 二 三 四 五 六 水位变化 （米） ＋0.2 ＋0.8 －0.4 ＋0.2 ＋0.3 －0.2 3.下表记录的是今年长江某一周内的水位变化情况，这一周的上周末的水位已达到警戒水位33米（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）。 （1）本周哪一天长江的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？ （2）与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了还是下降了？并通过计算说明理由。 当堂巩固 1.7.2013 我们来看一道应用题。这是长江一周的水位变化记录。大家注意，表格里的数字是“比前一天”的变化量。我们要解决两个问题：第一，哪天水位最高？第二，周末相比上周是升了还是降了？请大家动笔算一算，第一问需要算出每天的实际水位，第二问只需要把所有变化量加起来就行。 ‹#› 解：（1）正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降，由此计算出每天的实际水位即可求值。 依次计算每日相对于警戒水位的高度： 周一：+0.2 m；周二：+0.2 + 0.8 = +1.0 m；周三：+1.0 - 0.4 = +0.6 m；周四：+0.6 + 0.2 = +0.8 m；周五：+0.8 + 0.3 = +1.1 m；周六：+1.1 - 0.2 = +0.9 m。 结论：本周水位最高的为周五，实际水位为 33 + 1.1 = 34.1 m，高于警戒水位 1.1 m。 星期 一 二 三 四 五 六 水位变化（米） ＋0.2 ＋0.8 －0.4 ＋0.2 ＋0.3 －0.2 当堂巩固 1.7.2013 我们来公布第一问的答案。我们可以从周一开始，依次计算出每天相对于警戒水位的高度。周一+0.2米，周二+1.0米，周三+0.6米，周四+0.8米，周五+1.1米，周六+0.9米。通过比较，我们发现周五的水位最高，比警戒水位高出1.1米。 ‹#› （2）通过表格计算水位总变化量： 0.2 + 0.8 - 0.4 + 0.2 + 0.3 - 0.2 = (0.2 + 0.8) + (0.2 + 0.3) + (-0.4 - 0.2) = 1.0 + 0.5 - 0.6 = 0.9 (m) 结论：故与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了 0.9 m。 星期 一 二 三 四 五 六 水位变化（米） ＋0.2 ＋0.8 －0.4 ＋0.2 ＋0.3 －0.2 当堂巩固 1.7.2013 现在看第二问。要判断周末水位的总变化，我们只需要把这一周所有的变化量加起来。利用加法交换律和结合律，我们可以把正数和正数相加，负数和负数相加。(0.2 + 0.8 + 0.2 + 0.3) + (-0.4 - 0.2) = 1.5 - 0.6 = 0.9米。结果是正数，说明与上周周末相比，本周周末长江的水位上升了0.9米。大家都做对了吗？ ‹#› 能力提升 1.计算： (1)1 + (-2) + 3 + (-4) + ... + 99 + (-100) 结果：-50 (2)(-0.5) + 3.25 + 2.75 + (-5.5) 结果：0 (3)(-1/3) + (-5/2) + (-2/3) + 1/2 结果：-3 2.计算：1 - 2 + 3 - 4 + ... + 2025 - 2026结果：-1013 1.7.2013 这道题看起来有点吓人，从1一直加到-100。如果一个个去加，一节课都算不完！但是，数学题总是有规律的。大家仔细观察，这个算式里的数字是怎么排列的？（引导学生发现是1和-2，3和-4……这样成对出现的）太棒了！我们可以利用加法结合律，把它们两两结合起来：[1 + (-2)] + [3 + (-4)] + ... + [99 + (-100)]。每一个括号里的计算结果是多少？（-1）。那一共有多少个这样的括号呢？从1到100，一共100个数，两两一组，就是50组。所以，最后的结果就是50个-1相加，等于-50！看，只要找到了规律，再复杂的题目也能迎刃而解！ ‹#› 感受中考 （2024•陕西）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，-2，-1，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是（写出一个符合题意的数即可）。 【解答】解：解法一：根据“凑零”思想，我们可以选择将0填入中间位置，再将互为相反数的数分别配对放置。 例如：横向填入1、0、-1，纵向填入2、0、-2。此时计算可得： 1 + 0 + (-1) = 0， 2 + 0 + (-2) = 0，横竖之和均相等，满足题意。 故答案为：0。（注：此题为开放题，答案不唯一，合理即可） 1.7.2013 （严肃而激励地）同学们，我们今天学的知识，不仅仅是为了应付眼前的作业，它在未来的考试，包括中考中，都是非常重要的考点。大家看这道题，这是一道中考题。它要求我们把五个数填入方格，使得横、竖三个数的和相等。我们可以尝试把0放在中间，然后把互为相反数的数1和-1，2和-2分别放在上下和左右，这样横竖的和都是0。这就是运用了我们今天学的“凑零”思想。 ‹#› （2024•陕西）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，-2，-1，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是（写出一个符合题意的数即可） 【解答思路】：利用“幻方”横竖和相等的性质，设中间数为a，横向和纵向总和相加时，中间数a被计算两次，即总和为(0-2-1+1+2)+a = a。因此横向和纵向的和均为a/2，说明a必为偶数，可选-2、0、2。 示例解答：取中间数为-2，构造如下： 横向：1 + (-2) + 0 = -1；纵向：2 + (-2) + (-1) = -1 故答案为：-2（答案不唯一，0或2也符合题意）。 感受中考 1.7.2013 这道题还有其他解法。比如，我们可以把-2放在中间，然后尝试组合其他数字，使得横竖和都为-1。这说明数学问题往往有多种解法。大家看，只要我们掌握了方法，中考题也没那么可怕！所以，一定要把今天学的知识牢牢掌握！ ‹#› 课堂小结 本节课我们学习了有理数加法的交换律和结合律，掌握这些运算律的核心是为了让有理数的加法计算更简便。尤其对于三个及以上有理数相加的情况，我们可以遵循以下策略进行简算： 01.相反数结合法：观察算式中是否有互为相反数的数，优先将它们相加，和为0，简化计算步骤。 02.同号结合法：把所有的正数结合在一起相加，所有的负数结合在一起相加，最后再求它们的和，避免符号混乱。 03.凑整与同分母结合法：若算式中有同分母的分数，优先结合相加；若有能凑成整数的数（如和为10、100等），也先结合相加，大幅降低计算难度。 1.7.2013 （语速放缓，清晰总结）好了，一节课的时间很快就过去了。我们来回顾一下今天都收获了什么。我们认识了两个非常重要的运算律——加法交换律和加法结合律。更重要的是，我们学会了运用它们的核心思想——凑整和凑零，来进行简便计算。具体来说，有三种常用的简便方法：相反数结合法、同号结合法、凑整或同分母结合法。希望大家记住，以后再做加法题，先观察，再思考，最后动手，你一定会成为一个计算小能手！ ‹#› 布置作业 P34：习题2.1：第2题； P36：习题2.1：第9、10题。 请同学们认真审题，运用本节课所学的简便计算方法完成练习，注意书写规范与步骤完整。 温馨提示：完成后请自行对照参考答案检查，对于错题要做好标记，下节课我们将进行集中讲解与答疑。 1.7.2013 （清晰地布置作业）今天的作业请大家完成课本第34页的第2题，以及第36页的第9和第10题。这些题目可以帮助大家更好地巩固今天所学的简便计算方法。请大家认真完成。 ‹#› 课程结束页 谢谢观看 下课！ 1.7.2013 好了，今天的课就到这里，同学们下课！ ‹#› $