2025—2026学年下学期八年级数学期末测试卷（人教版）（海南省专用）

**基本信息** 本卷以真实情境为载体，通过矩形面积关系、轮船航行距离等基础题，蚂蚁爬行最短路径、水库水位预测等综合题，以及正方形线段关系证明的探究题，考查一次函数、勾股定理、统计等核心知识，体现几何直观、数据意识与模型观念的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一次函数、勾股定理、方差计算|结合招聘成绩计算考查加权平均数，体现应用意识| |填空题|6/18|二次根式意义、矩形翻折、函数表达式|通过数据录入错误考查方差变化，强化推理能力| |解答题|8/72|菱形与矩形证明、研学成绩统计、风筝高度计算|24题分背景-类比-拓展三层探究，22题用表格数据建立水位函数模型，突出创新思维与模型观念|

2025一2026学年下学期八年级数学期末测试卷（海南省专 用) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个 是正确的) 题号 1 2 3 4 6 10 答案 C C D D C D D A 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11.x≥2026 12.（4,0)或4,04,0)或4,0) 7V2 13. 14.x≥-1 15.y=2x+1y=-2x+7 或 16.-1或4 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17.(8分)④3+5 (2v6 18.(8分)()∠ACB=80°： (2)AB=5 19.(6分)'=200x(0≤x≤5) (2)500 20.(8分)(1)如图所示： 答案第1页，共2页 七、八年级竞赛成绩分布直方图 频数 口七年级口八年级.一 101010 40；86 D 级 (2)780 (3)八年级平均数大于七年级，说明八年级总体掌握情况比七年级好.八年级众数是86，七 年级众数是79，所以八年级掌握情况比七年级好.（答案不唯一） 21.(8分)(I)证明：四边形ABCD是菱形， 2AC,AC1BD:即∠COD=90, 1 DE-2AC ÷OC=DE, DE‖AC, “四边形ODEC为平行四边形， :∠C0D=90°， “四边形ODEC为矩形： D B ②)1E=V5 22.(10分) (1)是，y=0.3x+3 答案第2页，共2页 23.(12分)()风筝离地面的垂直高度CD为13.5m: (2)风筝的离地高度能再上升1m至C'处， 假设风筝的离地高度能再上升lm至C'处， 此时 E 图2 CC=1m ∴CE=CE+CC=13m, :RtAEC'中，AC=CE2+AE=V132+16=57m 20<517=√425<21 .0<5V17-20<1 即0<AC-AC<1, 故在余线剩lm的情况下，风筝的离地高度能再上升lm至C'处. 24.(12分)(4)证明：延长CB到点G,使得BG=DF,连接4D, “四边形ABCD是正方形， ∠D=∠ABC=90°，AB=AD, ∴.∠ABG=∠D=90° .△ABG≌△ADF(SAS). .AG=AF,∠BAG=∠DAF, :∠BAD=90°，∠EAF=45°， .∠DAF+∠BAE=90°-45°=45°， ∴∠BAG+∠BAE=∠EAG=45°， 答案第3页，共2页 ∴.∠EAG=∠EAF, .AE=AE, ,∴，△EAG≌△EAF(SAS) :.EG=EF, .EG=BG+BEBE+DF, :.EF BE+DF D eV3 622-1 答案第4页，共2页 2025—2026学年下学期八年级数学期末测试卷（海南省专用） 满分120分 考试用时120分钟 说明： 1． 请在答题卡上写上学校、班级、姓名并填涂考生号，不得在其它地方作任何标记． 2． 本卷选择题1--10，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案（含作辅助线）必须用规定的笔，写在答题卡指定的答题区内，写在本卷或其他地方无效． 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．长方形的周长是，其中一边长为x（），面积为，则y与x的关系可以写为（    ） A． B． C． D． 2．一艘轮船以3海里/时的速度从港口出发向北航行，另一艘轮船以4海里/时的速度同时从港口出发向东航行，离开港口1小时，两船相距（    ） A．3海里 B．4海里 C．5海里 D．10海里 3．小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试得分分别为80分、90分，若依次按照4：6的比例确定成绩，则小王的成绩是（    ） A．430分 B．84分 C．85分 D．86分 4．如图，在平面直角坐标系中有一个矩形，点B的坐标是，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 5．在体育中考中，某校20名学生引体向上的成绩录入电脑后，计算得出这20名学生的平均成绩为10个，方差为（方差公式为，其中表示一组数据的总个数，为这组数据的平均数）．电脑录入员核对成绩时，发现两名学生成绩有误，其中一名学生成绩应为12个，错误输入为11个；另一名学生成绩应为8个，错误输入为9个，更正后实际成绩方差为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 6．如图，在中，，，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则的面积为（   ） A． B． C． D． 7．如图是一块长，宽，高分别是，和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（       ）    A． B． C． D． 8．如图，在中，点分别是的中点，以点为圆心，长为半径作圆弧交于点．若，则的长为（    ） A．3 B． C．5 D．7 9．如图1，在中，．动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是随变化的关系图象，其中为曲线的最低点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 10．如图，点是线段上一点，分别以为边向下作正方形，正方形，连结，．若要求出图中阴影部分的面积，只需知道线段（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________ ． 12．在轴上到点距离为5的点的坐标是___________． 13．如图，在矩形中，F是边上一点，将沿翻折，点C的对应点恰好落在线段上，已知，，则的长是 _______． 14．函数中，自变量的取值范围是_________． 15．已知一次函数，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围是．求该一次函数的表达式___________． 16．若一组数据0，1，2，3，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为______． 3、 解答题（本题共8小题，共72分） 17．（8分）计算及化简求值： (1)； (2)． 18．（8分）如图，在中，，的角平分线与的垂直平分线交于点，连结．若，． (1)当，时，求的度数； (2)当时，，，求的长． 19．（6分）体育场跑道上，起点到终点的距离为1000米，小红沿跑道从跑到，停留5分钟后再原路返回，期间小红离开处的路程 (米)与离开处的时间(分)之间的函数关系如图中折线所示． (1)求去程时 关于的函数表达式，并写出取值范围； (2)已知返程的时间共15分钟，其中前10分钟内的平均速度与后5分钟内的平均速度之比为，试求点 的纵坐标． 20．（8分）某校组织七、八年级学生去石家庄研学，并在研学基地开展了传统文化教育活动．活动结束后组织了一场传统文化知识竞赛，竞赛满分为100分．现随机抽取七、八年级各人的竞赛成绩，统计整理并绘制了如下不完整的统计图表： ①将抽查的两个年级成绩（用表示）进行整理，并将成绩分为4个等级： A．；B．；C．；D．． ②八年级B等级学生成绩为：82，86，86，84，86，84，86，89，88，85； 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 80 79 45.7 八年级 85 86 32.9 根据以上信息解答下列问题： (1)补全条形统计图，题中________表格中________； (2)若该校七年级有1200名学生，八年级有900名学生，请你估计该校七年级和八年级学生成绩达到A等级及以上的学生人数共________人； (3)请从平均数、中位数、众数、方差中任选两个统计量评价哪个年级传统文化知识掌握情况较好？ 21．（8分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，连接交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 22．（10分）一个水库的水位在某段时间内持续上涨，表格中记录了连续内6个时间点的水位高度，其中x表示时间，y表示水位高度． x 0 1 2 3 4 5 y 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 (1)水位高度y是否为时间x的函数？若是，请求出这个函数解析式； (2)据估计，这种上涨规律还会持续，并且当水位高度达到时，水库报警系统会自动发出警报．请预测再过多久系统会发出警报？ 23．（12分）小明买了一个风筝进行试放，如图，牵风筝线的手到地面的距离为，假设牵风筝线的手的位置高度不变的情况下，测得人站立的位置与风筝的水平距离为，手与风筝之间的距离为，已知点、、、在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线剩的情况下，如图，若想要让风筝的离地高度再上升至处，请判断小明能否成功，并说明理由． 24．（12分）【问题背景】 (1)正方形中，E、F分别为边、上一点，，求证：． 【类比分析】 (2)矩形中，M、N分别为边、上一点，、交于点P，若，，，，求的长． 【思维拓展】 (3)在中，点D，E分别在边，上，连接，交于点F．若，，，且，则______． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下学期八年级数学期末测试卷（海南省专用） 满分120分 考试用时120分钟 说明： 1． 请在答题卡上写上学校、班级、姓名并填涂考生号，不得在其它地方作任何标记． 2． 本卷选择题1--10，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案（含作辅助线）必须用规定的笔，写在答题卡指定的答题区内，写在本卷或其他地方无效． 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．长方形的周长是，其中一边长为x（），面积为，则y与x的关系可以写为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题先根据长方形周长公式求出x的邻边长度，再利用长方形面积公式推导得到y与x的关系式． 【详解】解：∵长方形周长为，其中一边长为， ∴长方形的另一边长为， ∵长方形面积等于两邻边的乘积，面积为， ∴，即． 2．一艘轮船以3海里/时的速度从港口出发向北航行，另一艘轮船以4海里/时的速度同时从港口出发向东航行，离开港口1小时，两船相距（    ） A．3海里 B．4海里 C．5海里 D．10海里 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的运用，熟练运用勾股定理是解题的关键；根据两艘轮船出发的方向，可以得到，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意，如图所示， 可知，，海里，海里， 在中，（海里）， 故两船相距海里 故选：C． 3．小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试得分分别为80分、90分，若依次按照4：6的比例确定成绩，则小王的成绩是（    ） A．430分 B．84分 C．85分 D．86分 【答案】D 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．根据加权平均数的定义列式计算可得． 【详解】解：小王的成绩是（分）． 故选：D 4．如图，在平面直角坐标系中有一个矩形，点B的坐标是，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】连接，根据两点间距离公式求出的长，再根据矩形的对角线相等即可求解． 【详解】解：连接， ∵点B的坐标是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 5．在体育中考中，某校20名学生引体向上的成绩录入电脑后，计算得出这20名学生的平均成绩为10个，方差为（方差公式为，其中表示一组数据的总个数，为这组数据的平均数）．电脑录入员核对成绩时，发现两名学生成绩有误，其中一名学生成绩应为12个，错误输入为11个；另一名学生成绩应为8个，错误输入为9个，更正后实际成绩方差为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了求方差和求平均数，根据原来的平均数，求出原来20名学生的总成绩，进而求出实际20名学生的总成绩，则可求出实际20名学生的平均成绩，再根据原来的方差求出实际的方差即可得到答案． 【详解】解：原来20名学生的总成绩为个， 实际20名学生的总成绩为个， ∴实际的平均成绩为个， ∵原来的方差为， ∴实际的方差为， ∴， 故选：C． 6．如图，在中，，，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，三角形的面积，过点作于点，由角平分线的性质可得，由勾股定理可得，进而可得，得到，即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于点， 由作图可知，为的角平分线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 7．如图是一块长，宽，高分别是，和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（       ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是掌握相关知识．展开成平面图形，根据两点之间线段最短，可知就是蚂蚁爬的最短路线，分三种情况，根据勾股定求解即可． 【详解】解：如图，就是蚂蚁爬的最短路线，    有三种情况： 当，时， ； 当，时， ； 当，时， ； ， 最短路径的长是． 故选：C． 8．如图，在中，点分别是的中点，以点为圆心，长为半径作圆弧交于点．若，则的长为（    ） A．3 B． C．5 D．7 【答案】D 【分析】利用三角形的中位线得到，进而求得即可求解． 【详解】解：∵在中，点D、E分别是、的中点，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵以A为圆心，为半径作圆弧交于点F， ∴． 9．如图1，在中，．动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是随变化的关系图象，其中为曲线的最低点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短．作，当动点P运动到点时，线段的长度最短，此时，当动点P运动到点时，运动结束，此时，根据直角三角形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】解：作，垂足为， 当点P在上时，动点P运动到点时，线段的长度最短，此时点P运动的路程为，即， 当动点P运动到点时，运动结束，线段的长度就是的长度，此时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：D． 10．如图，点是线段上一点，分别以为边向下作正方形，正方形，连结，．若要求出图中阴影部分的面积，只需知道线段（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】A 【分析】题目主要考查正方形的性质及三角形面积，结合图形，找准各个面积之间的关系是解题关键． 连接，根据正方形的性质得出，结合图形得出，确定，进行等量代换即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵正方形， ∴， ∴， ∵，正方形， ∴， ∴ ， ∴只需知道线段的长， 故选：A． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________ ． 【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：． 12．在轴上到点距离为5的点的坐标是___________． 【答案】 或/或 【分析】先利用轴上点的纵坐标为的特征设出所求点的坐标，再根据两点间距离公式列方程求解横坐标，即可得到所求点的坐标. 【详解】解：所求点在轴上， 设该点坐标为，由两点间距离公式得， 整理得， 解得或， ∴该点坐标为或． 13．如图，在矩形中，F是边上一点，将沿翻折，点C的对应点恰好落在线段上，已知，，则的长是 _______． 【答案】 【分析】先证出，然后在中，利用勾股定理，列方程即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵将沿翻折，点C的对应点恰好落在线段上， ∴，，， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得． 14．函数中，自变量的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于的不等式求解，即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：由题意得， 解得． 15．已知一次函数，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围是．求该一次函数的表达式___________． 【答案】 或 【分析】本题根据一次函数的增减性，分和两种情况讨论，利用待定系数法求解一次函数的表达式即可． 【详解】解：①当时，一次函数中随增大而增大， 所以当时，当时，代入得， 解得， 此时一次函数的表达式为； ②当时，一次函数中随增大而减小， 所以当时，当时，代入得， 解得， 此时一次函数的表达式为； 综上所述，该一次函数的表达式是或． 16．若一组数据0，1，2，3，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为______． 【答案】或4 【分析】本题考查方差的性质，一组数据同时加上或减去同一个常数，方差不变，据此判断第一组数据应为连续整数，即可确定的可能值． 【详解】解：第二组数据，，，，是个连续整数，方差为固定值， 又∵一组数据同时加上或减去同一个常数，方差不变， 第一组数据，，，，应为个连续整数， 当时，数据为，，，，，是个连续整数，符合条件， 当时，数据为，，，，，是个连续整数，符合条件， 的值为或． 3、 解答题（本题共8小题，共72分） 17．（8分）计算及化简求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算二次根式除法、乘法，化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先利用完全平方公式计算、化简绝对值及二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： 18．（8分）如图，在中，，的角平分线与的垂直平分线交于点，连结．若，． (1)当，时，求的度数； (2)当时，，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，熟记线段垂直平分线的性质、勾股定理是解题的关键． （1）根据角平分线定义及线段的垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形内角和定理列式计算即可； （2）同（1）的方法，求出，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：是的平分线， ， 在是线段的垂直平分线上， ， ， ， ， ， ，， ； （2）解：是的平分线， ， 在是线段的垂直平分线上， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ． 19．（6分）体育场跑道上，起点到终点的距离为1000米，小红沿跑道从跑到，停留5分钟后再原路返回，期间小红离开处的路程 (米)与离开处的时间(分)之间的函数关系如图中折线所示． (1)求去程时 关于的函数表达式，并写出取值范围； (2)已知返程的时间共15分钟，其中前10分钟内的平均速度与后5分钟内的平均速度之比为，试求点 的纵坐标． 【答案】(1) (2)500 【分析】（1）先求得小红沿跑道从跑到用时5分钟，再求出从跑到的速度，从而得解； （2）设返程时前10分钟内的平均速度为米/分钟，则后5分钟内的平均速度为米/分钟，再返回路程是1000米列出方程求出，可知段的解析式，再将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵停留5分钟后再原路返回，由图可知10分钟时原路返回， ∴小红沿跑道从跑到用时5分钟， ∴从跑到的速度是：(米/分钟)， ∴去程时 关于的函数表达式为：； （2）解：设返程时前10分钟内的平均速度为米/分钟，则后5分钟内的平均速度为米/分钟， ∴， 解得：， ∴段的解析式是：， 当时，， ∴点 的纵坐标为500． 20．（8分）某校组织七、八年级学生去石家庄研学，并在研学基地开展了传统文化教育活动．活动结束后组织了一场传统文化知识竞赛，竞赛满分为100分．现随机抽取七、八年级各人的竞赛成绩，统计整理并绘制了如下不完整的统计图表： ①将抽查的两个年级成绩（用表示）进行整理，并将成绩分为4个等级： A．；B．；C．；D．． ②八年级B等级学生成绩为：82，86，86，84，86，84，86，89，88，85； 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 80 79 45.7 八年级 85 86 32.9 根据以上信息解答下列问题： (1)补全条形统计图，题中________表格中________； (2)若该校七年级有1200名学生，八年级有900名学生，请你估计该校七年级和八年级学生成绩达到A等级及以上的学生人数共________人； (3)请从平均数、中位数、众数、方差中任选两个统计量评价哪个年级传统文化知识掌握情况较好？ 【答案】(1)如图所示： ，40 ； 86 (2)780 (3)八年级平均数大于七年级，说明八年级总体掌握情况比七年级好．八年级众数是86，七年级众数是79，所以八年级掌握情况比七年级好．（答案不唯一） 【分析】（1）根据八年级人数可得，然后求出七年级B等级的人数，进而可补全条形统计图，最后根据中位数的计算得到的值． （2）根据样本百分比估算总体数量的方法即可求解； （3）根据调查数据作决策即可． 【详解】（1）解：（人）， 则七年级B等级的人数有：（人） 补全条形图略， ∵七、八年级各抽取了人，八年级组有人，组有人，组有人，组有人， ∴八年级的中位数为排序后第位同学成绩的平均数， 八年级等级学生成绩从大到小排序为：， ∴． （2）解：（人）， 答：该校七年级和八年级学生成绩达到A等级及以上的学生人数共约人， （3）解：八年级的传统文化知识掌握情况较好，理由如下， ∵八年级平均数大于七年级，说明八年级总体掌握情况比七年级好． 八年级众数是86，七年级众数是79，所以八年级掌握情况比七年级好． 21．（8分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，连接交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，，即， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形； (2) 【分析】（1）根据菱形的性质可得，，结合题意可推出，得到四边形为平行四边形，根据，即可得证； （2）根据菱形的性质可得，，，根据题意推出是等边三角形，得到，，进而求出，根据矩形的性质得到，，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ． 22．（10分）一个水库的水位在某段时间内持续上涨，表格中记录了连续内6个时间点的水位高度，其中x表示时间，y表示水位高度． x 0 1 2 3 4 5 y 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 (1)水位高度y是否为时间x的函数？若是，请求出这个函数解析式； (2)据估计，这种上涨规律还会持续，并且当水位高度达到时，水库报警系统会自动发出警报．请预测再过多久系统会发出警报？ 【答案】(1)是， (2) 【分析】（1）根据函数的概念及待定系数法可进行求解； （2）由题意易得水位还需上涨系统会发出警报，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由表格可知：水位高度y是时间x的函数， 当x的值每增加1，y的值增加3， ∴这个函数解析式； （2）解：由题意得：， ∴； 答：再过系统会发出警报． 23．（12分）小明买了一个风筝进行试放，如图，牵风筝线的手到地面的距离为，假设牵风筝线的手的位置高度不变的情况下，测得人站立的位置与风筝的水平距离为，手与风筝之间的距离为，已知点、、、在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线剩的情况下，如图，若想要让风筝的离地高度再上升至处，请判断小明能否成功，并说明理由． 【答案】(1)风筝离地面的垂直高度为； (2)风筝的离地高度能再上升至处， 假设风筝的离地高度能再上升至处， 此时， ， 中，， ， ， 即， 故在余线剩的情况下，风筝的离地高度能再上升至处． 【分析】（1）作交于点，证明四边形是矩形，由矩形性质得出，，再结合勾股定理即可得解 （2）假设风筝的离地高度能再上升至处，利用勾股定理求出，再结合无理数的估算即可判断该情况能否成立． 【详解】（1）解：作交于点， 由题意得， 四边形是矩形， ，， 中，， ， 故风筝离地面的垂直高度为； （2）略 【点睛】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、勾股定理的实际应用、无理数的估算，解题关键是熟练掌握勾股定理的实际应用． 24．（12分）【问题背景】 (1)正方形中，E、F分别为边、上一点，，求证：． 【类比分析】 (2)矩形中，M、N分别为边、上一点，、交于点P，若，，，，求的长． 【思维拓展】 (3)在中，点D，E分别在边，上，连接，交于点F．若，，，且，则______． 【答案】(1)证明：延长到点G，使得，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； (2) (3) 【分析】（1）延长到点G，使得，连接，先证明，得到，，再证明，得到，即可证明结论； （2）在上取点Q，使得，连接，，设，过点B作，交的延长线于点E，过点B作于点F，过点Q作于点G，过点M作于点H，设，，先证明，，然后根据勾股定理求得，再利用面积的不同算法得到，所以得到方程，求解方程即得答案； （3）以、为边向上作平行四边形，过点M作于点Q， 于点P，连接，，，先用面积法得到，再根据全等三角形的判定与性质证明，所以，最后分别求出和值即可． 【详解】（1）略 （2）解：在上取点Q，使得，连接，， 设， 四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 过点B作，交的延长线于点E，过点B作于点F，过点Q作于点G，过点M作于点H， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在等腰直角三角形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 同时， ， 把②代入①，得， 整理得， ， ， 即的长为． （3）解：以、为边向上作平行四边形，过点M作于点Q， 于点P，连接，，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 解得 ，， 在中，， ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $